Дрючин В.Г., Ткачев Р.Ю. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи

Подождите немного. Документ загружается.

Электрические цепи синусоидального тока

е) рассчитать токи ветвей с нулевым сопротивлением в ис-

ходной непреобразованной схеме, используя первый за-

кон Кирхгофа.

Примечание. Если в состав ЭЦ входит только одна ветвь с

нулевым сопротивлением и источником ЭДС, то преобразова-

ние схемы по п.2.2.14 а можно не делать. В этом случае в каче-

стве БУ следует принять один из узлов ветви с источником

ЭДС и нулевым сопротивлением. Потенциал другого узла этой

ветви сразу определяют через величину ЭДС. Потенциалы дру-

гих узлов определяются аналогично п.2.2.14 в, г, д.

2. Если при расчете используется МУН, порядок действий ре-

комендуется следующий:

а) по известной расчетной формуле определить напряжение

между двумя узлами схемы ЭЦ;

б) определить искомые неизвестные величины каждой вет-

ви, используя закон Ома.

3. Если при расчете используется МЭГ, порядок действий ре-

комендуется следующий:

а) удалить из ЭЦ участок с искомой неизвестной величи-

ной и определить (любым расчетным методом) напряже-

ние между двухполюсниками оставшейся части ЭЦ, к

которым ранее был присоединен удаленный участок. Это

есть так называемое напряжение холостого хода эквива-

лентного генератора (ЭГ), численно равное его ЭДС;

б) определить входное сопротивление оставшейся части ЭЦ

относительно вышеуказанных полюсов, внутреннее со-

противление идеализированных источников тока и ЭДС.

Этим будет определено внутреннее сопротивление ЭГ;

в) подключить удаленный из нее участок с неизвестной ис-

комой величиной к ЭГ и определить ее, используя закон

Ома.

1.3 Основные соотношения

Закон Ома. Для ветви, состоящей только из сопротивлений

и не содержащей ЭДС (пассивная ветвь):

где

– напряжение (падение напряжения) на пассивном

элементе;

– сопротивление пассивной ветви.

Для ветви, содержащей ЭДС и сопротивления:

∑

где

– напряжение на концах ветви, описываемое по

выбранному положительному направлению тока;

∑

– алгебраическая сумма ЭДС, находящейся в этой

ветви;

∑

– арифметическая сумма ее сопротивлений.

Со знаком плюс берут те ЭДС, направления которых

Электрические цепи синусоидального тока

совпадают с выбранным положительным направлением тока, и

со знаком минус – ЭДС с противоположным направлением.

Законы Кирхгофа. Для написания законов Кирхгофа необ-

ходимо задаться положительными направлениями токов ка-

ждой ветви.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в

узле равна нулю:

∑

I .

Токи, направленные к узлу, условно принимаются поло-

жительными, а направлению от него отрицательными (или на-

оборот).

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС

замкнутого контура равна алгебраической сумме падений на-

пряжений в нем:

11==

∑∑

kkk

EIR

Направление обхода контура выбирается произвольно.

Положительными

принимаются в том случае, если

ЭДС и падения напряжения совпадают с направлением обхода

контура, в противоположном случае – отрицательным.

Метод контурных токов. Метод основывается на том свой-

стве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в

виде алгебраической суммы независимых контурных токов,

протекающих по этой ветви. По каждому независимому

контуру электрической цепи должен замыкаться контурный

ток

(двойной индекс указывает номер контура). Струк-

тура уравнений, составляемых по методу контурных токов,

имеет вид:

111122121111

112122222222

111222

+++++=

......;

........................................

.................................

......;

.......

kkknnn

kkkkkknnknkk

IRIRIRIRE

111222









+++++=





........................................

..........................

......;

nnkknknnnnnn

IRIRIRIRE

где

– собственное сопротивление контура k (сумма со-

противлений всех ветвей, входящих в контур k);

nkkn

– общее сопротивление контуров n и k: если

направления контурных токов в общей ветви для кон-

туров n и k совпадают, то

nkkn

положитель-

но(

nkkn

RR ), в противоположном случае – отрица-

тельно (

nkkn

RR ).

– контурная ЭДС контура k, равна алгебраической

сумме ЭДС ветвей, входящих в этот контур, и алгеб-

раической сумме произведений токов источников тока,

подключенных к ветвям данного контура, на сопротивле-

Электрические цепи синусоидального тока

ния данных ветвей соответственно: если ЭДС совпадает

по направлению с контурным током, то она берется по-

ложительной, в противоположном случае – отрицатель-

ной; если ток источника тока и контурный ток в сопро-

тивлении к которому подсоединен источник тока, сов-

падают по направлению, то произведение берется со

знаком минус, в противоположном случае – со знаком

плюс.

Метод узловых потенциалов. Сущность метода заключает-

ся в том, что вначале определяются потенциалы всех узлов,

а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью

закона Ома. При этом следует иметь в виду, что потенциал

одного узла известен, т.е. равен нулю. Таким образом, метод

узловых потенциалов позволяет уменьшить количество

уравнений, решаемых при расчете, до числа уравнений, со-

ставляемых согласно первого закона Кирхгофа.

Структура уравнений, составляемых по методу узловых

потенциалов (для цепи с "m+1" узлами) имеет вид:

1112121111

1212222222

1122

ϕϕϕϕ

+++++=

......;

.....................................................................

......;

.......................

kkmm

kkkkkmkmkk

ggggI

1122

ϕϕϕϕ









+++++=





..............................................

......;

mmkmkmmmmm

ggggI

где

–узловая проводимость – сумма проводимостей ветвей.

Присоединенных к узлу k;

kmmk

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел

k с узлом m, взятое со знаком минус;

– узловой ток узла k, равный алгебраической сумме про-

изведений ЭДС ветвей, подключенных к узлу k, на их про-

водимости и алгебраической сумме токов источников тока,

присоединенных к узлу k; при этом со знаком плюс берутся

те ЭДС и I, которые направлены к узлу, в противном случае

со знаком минус.

Метод двух узлов. Для схем, имеющих два узла (для опре-

деления узла a и b), узловое напряжение U

, определяется

формулой

⋅+

∑∑

∑

nnn

EqI

где

⋅

∑

– алгебраическая сумма произведений ЭДС (ЭДС

считается положительной, если они направлены к

узлу a, и отрицательными если направлены от узла

a) на проводимости этих ветвей;

∑

– алгебраическая сумма токов источников тока (по-

ложительны, если они направлены к узлу a, и отри-

цательны, если направлены от узла a);

Электрические цепи синусоидального тока

∑

– сумма проводимостей всех ветвей, включенных

между узлами a и b.

6 Метод преобразований. Эквивалентное сопротивление цепи, со-

стоящей из n последовательно соединенных сопротивлений, рав-

но сумме этих сопротивлений:

∑

Э k

При последовательном соединении n сопротивлений на-

пряжения на них распределяется прямо пропорционально этим

сопротивлениям:

1212

::...:::...:

UUURRR

Напряжение U

на каждом из них вычисляется через на-

пряжение U на участке последовательного соединения сопро-

тивлений:

∑

При параллельном соединении n сопротивлений токи в

них распределяются обратно пропорционально их сопротивле-

ниям или прямо пропорционально их проводимостям:

1212

111

::...:::...:::...:

IIIggg

RRR

Ток I

каждой из них вычисляется через ток I в не разветв-

ленной цепи:

∑

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (R

, R

) в эквивалентную звезду сопротивлений (R

, R

) и

наоборот имеют вид:

123112232331

123

122331122331122331

122313

121223233113

312

===

++++++

=++=++=++

;;;

;;.

RRRRRR

RRR

RRRRRRRRR

RRRRRR

RRRRRRRRR

RRR

7 Баланс мощностей. Для любой замкнутой электрической цепи

сумма мощностей P

, развиваемых источниками электрической

энергии, равна сумме мощностей P

, расходуемых в приемниках

энергии:

∑∑

ип

или

(

)

I+=

∑∑

kkkkkk

EIUIR

где ∑E

– алгебраическая сумма; здесь положительны те

из слагаемых, для которых направление действия ЭДС

Электрические цепи синусоидального тока

и соответствующего тока I

совпадают, в противном

случае сумма отрицательна;

∑U

– алгебраическая сумма, здесь положительны те

из слагаемых, для которых напряжение источника тока

(оно определяется расчетом цепи внешней по отно-

шению к зажимам источника тока) и его ток I

совпа-

дают по направлению, в противном случае слагаемое

отрицательно;

∑I

– арифметическая сумма; здесь должны быть

учтены как внешнее сопротивление, ток и сопротив-

ление самих источников энергии.

1.4 Типовые примеры.

Расчет линейной электрической цепи посто-

янного тока

Для электрической цепи, схема которой представлена на

рис.2.1, известно: R

=10 Ом, R

=27.5 Ом, R

=12.5 Ом, R

’=20

Ом, R

”=10 Ом, R

=17.5 Ом, R

’=40 Ом, R

”=40 Ом, E

=32.5 В,

=25 В, I=3 А.

Рисунок 1.1

Необходимо:

а) упростить схему, заменив последовательно и парал-

лельно соединенные сопротивления 4 и 6 ветвей экви-

валентными. Дальше считать для упрощенной схемы;

б) составить по законам Кирхгофа систему уравнений для

расчета токов во всех ветвях схемы;

в) определить токи во всех ветвях схемы методом контур-

ных токов;

г) определить токи во всех ветвях схемы методом узловых

потенциалов;

д) составить баланс мощностей в исходной схеме (схеме с

источником тока), вычислив суммарную мощность ис-

точников и суммарную мощность нагрузок;

е) определить ток I

(в сопротивлении R

) в заданной схе-

ме с источником тока, используя метод эквивалентного