Дрючин В.Г., Ткачев Р.Ю. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи

Подождите немного. Документ загружается.

Электрические цепи синусоидального тока

и n

PP;

QQ,

∑∑

где P

, Q

– мощности источников;

, Q

– мощности потребителей.

10 При последовательном соединении нескольких сопро-

тивлений (элементов) различного характера имеем:

akak

k1k1

pkpk

k1k1

apkk

k1k1

UUIR;

UUIx;

UUUIRx.



=+=+





∑∑

Сдвиг фаз между общим напряжением U и током I:

arctg





ϕ=





∑

11 При параллельном соединении нескольких сопротивле-

ний (элементов) различного характера имеем:

akak

k1k1

pkpk

k1k1

apkk

k1k1

IIUg;

IIUb;

IIIUgb.



=+=+





∑∑

Электрические цепи синусоидального тока

Сдвиг фаз между напряжением U и током I, проходящим в

неразветвленной части цепи:

arctg





ϕ=





∑

12 Символический метод расчета

1 Комплексные числа и действия над ними. Комплекс-

ное число, соответствующее точке на комплексной плоскости,

может быть записано в следующих формах:

алгебраической

Aaja

;

тригонометрической

(

)

(

)

(

)

Aacosjsin

=α+α

;

показательной

Aae

= .

Здесь

(

)

[

]

aacosReA

=α= – вещественная часть комплексного

числа

;

(

)

[

]

aasinImA

=α= – мнимая часть комплексного числа;

j90

j1e

=−= – мнимая единица;

( ) ( )

aAaa

sincos

==+==

αα

– модуль комплексного

числа

(всегда положителен);

Рисунок 2.5

Электрические цепи синусоидального тока

arctg



α=





– угол (или аргумент) комплексного числа.

Комплексное число

Aajaae

−α

=−= называется ком-

плексно-сопряженным числу

Aajaae

=+= .

Сложение и вычитание комплексных чисел:

(

)

(

)

(

)

(

)

12121122

ABajabjbabjab

±=+±+=±+±.

Умножение:

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

121211222112

ABajabjbababjabab

aebeabe

α+β

αβ

⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅=⋅

Деление:

( )

1211222112

2222

121212

AABajaabababab

Bbjbbbbb

aea

beb

α−β

⋅++−

===+=

+++

⋅

Произведение комплексно сопряженных чисел:

(

)

(

)

22jj2

121212

AAajaajaaaaeaea

α−α

⋅=+⋅−=+=⋅=

Возведение в степень:

( )

(

)

njnjn

Aajaaeae

αα

=+==.

Извлечение корня:

Электрические цепи синусоидального тока

Aaea

α+π

== ,

где k– целое число.

При n целом и положительном корень имеет n различных

значений, соответствующих числам k=0, 1, 2…,(n-1) (много-

значность извлечения корня).

2 Представление синусоидально изменяющихся ЭДС,

токов, напряжений комплексными числами.

Синусоидально изменяющееся ЭДС

(

)

eEsint

=ω+ψ

можно полностью охарактеризовать, задав комплексную ампли-

туду ЭДС

EEe

= или комплексное действующее значение

ЭДС

EEe,E







Синусоидальный ток

(

)

iIsint

=ω+ψ

полностью опреде-

ляется комплексной амплитудой тока

IIe

= или его ком-

плексным действующим значением

IIe,I







Напряжение

(

)

uUsint

=ω+ψ

может быть полностью

определено комплексной амплитудой

UUe

= или его ком-

плексным действующим значением

UUe,U







3 Комплексное сопротивление. Комплексная проводи-

мость. Пассивный участок цепи определяется комплексным со-

противлением:

Электрические цепи синусоидального тока

( )

() ()

UUeU

IIeI

zezcosjzsinRjx,

ψ−ψ

====

==ϕ+ϕ=+

где

и I

– комплексные действующие значения напряжения и

тока участка цепи;

R– активное сопротивление участка цепи;

X– реактивное сопротивление участка цепи;

Z– полное сопротивление участка цепи;

φ– угол сдвига по фазе между напряжением и током.

Величина, обратная комплексному сопротивлению, назы-

вается комплексной проводимостью:

( )

() ()

I1IeI

UzUeU

yeycosjysingjb,

−ψ−ψ

=====

==ϕ−ϕ=−

где g – активная проводимость участка цепи;

b – реактивная проводимость участка цепи;

y – полная проводимость участка цепи.

4 Закон Ома в комплексной форме:

для пассивного участка цепи:

= ;

для активного участка цепи:

Электрические цепи синусоидального тока

= .

5 Закон Кирхгофа в комплексной форме

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу электриче-

ской цепи имеет вид

∑

При записи этого уравнения комплексные токи, направ-

ленные к узлу, берутся с одним знаком (+), а комплексные то-

ки, направленные от узла, со знаком (-) или наоборот.

Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому конту-

ру цепи и имеет вид

kkk

k1k1

IzE

∑∑

где

∑

– алгебраическая сумма комплексных падений на-

пряжения замкнутого контура;

∑

– алгебраическая сумма комплексных ЭДС замкну-

того контура.

При записи этого уравнения

kkk

иE

берутся со знаком

плюс, если направление тока

и ЭДС

совпадают по на-

Электрические цепи синусоидального тока

правлению обхода контура, в противном случае они берутся со

знаком минус.

6 Последовательное и параллельное соединения

сопротивлений.

При последовательном соединении участков цепи ком-

плексное эквивалентное сопротивление равно сумме комплекс-

ных сопротивлений отдельных участков:

nnn

kkk

k1k1k1

zzRjx

===

==+

∑∑∑

При параллельном соединении ветвей цепи комплексная

эквивалентная проводимость равна сумме комплексных прово-

димостей ветвей:

nnn

kkk

k1k1k1

yygjb

===

==+

∑∑∑

7 Комплексная мощность

() ()

SUIPjQSe

UIcosjUIsin,

=⋅=+==

=⋅ϕ+⋅ϕ

где

SUI

=⋅

– полная мощность;

[

]

(

)

PReSReUIUIcos



==⋅=⋅ϕ



– активная мощность;

[

]

(

)

QImSImUIUIsin



==⋅=⋅ϕ



– реактивная мощность.

Электрические цепи синусоидального тока

Баланс мощностей в комплексной форме имеет вид:

( )

kkkkkk

k1k1

ˆˆ

EIUIIz

∑∑

где

– комплексное напряжение на источнике тока (оно определя-

ется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам ис-

точника тока);

– комплекс тока, сопряженный току

источника тока;

∑

– алгебраическая сумма (плюс, если

иI

– совпада-

ют по направлению, минус – в противоположном случае);

– алгебраическая сумма (плюс, если

иI

– совпадают по

направлению, минус – в противном случае);

∑

– комплексная мощность потребителей.

2.4 Типовые примеры. Расчет электрических цепей

синусоидального тока

В цепи на рис.2.6 заданы: U=300 В; f=50 Гц; R

=6 Ом;

=12 Ом; L

=25,48 мГн; L

=111,46 мГн; C

=199 мкФ; C

=353,8

мкФ. Необходимо:

а) вычислить ток;

б) построить топографическую векторную диаграмму;

в) определить напряжение между точками в и а, д и в, з и д;

г) вычислить полную, активную и реактивную мощности.

Электрические цепи синусоидального тока

Рисунок 2.6

Решение

Определим индуктивное и емкостное сопротивления:

(

)

( )

L11

L33

xL2fL31425.48108

Ом ;

xL2fL314114.461035

Ом ;

1110

x16 Ом ;

C2fC314199.00

1110

x9Ом .

C2fC314353.80

−

=ω=π=⋅⋅=

====

ωπ⋅

====

ωπ⋅

Находим эквивалентные активное, реактивное и полное

сопротивления:

(

)

( )

1312

э123

эLLCC

RRRR612624 Ом ;

xxxxx83516918

Ом ;

=++=++=

=+−−=+−−=

( )

2222

эээ

zRx241830

Ом .

=+=+=

Ток в цепи определяем по закону Ома:

Электрические цепи синусоидального тока

( )

U300

I10A

z30

=== .

Для построения векторной топографической диаграммы

вычислим по закону Ома напряжение на всех элементах цепи:

(

)

( )

UIR10660B;

UIR1012120B;

UIR10660B;

UIx10880B;

UIx1035350B;

UIx1016160B;

UIx10990B.

=⋅=⋅=

Диаграмму рис.2.7 строим в следующем порядке. Откла-

дываем произвольно, например горизонтально, вектор тока I,

который является общим для всех элементов цепи. Векторы на-

пряжения откладываем в таком порядке, в каком расположены

элементы цепи на схеме, начиная с точки а и заканчивая точкой

з. При этом каждый следующий вектор проводится из точки,

где заканчивается предыдущий. При таком построении осуще-

ствляется сложение векторов, а следовательно, и соответст-

вующих синусоидальных напряжений. Вектор, соединяющий

начало построения (точка а) с концом последнего вектора (точ-

ка з), есть напряжение на входных зажимах. Точки б, в, ..., з на

топографической диаграмме можно рассматривать как потен-

циалы соответствующих точек на схеме относительно точки а.