Дрючин В.Г., Ткачев Р.Ю. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи
Подождите немного. Документ загружается.
Электрические цепи синусоидального тока
72
Рисунок 2.7
Векторы напряжений, которые нужно определить, показа-
ны на диаграмме прерывистыми линиями. Их величину можно
получить, измерив длину и умножив на выбранный масштаб, но
можно и вычислить исходя из диаграммы:
( )
( )
( )
( ) ( )
33
22
111
2222
ва RL
2222
дв RC
2
2
22
зд RLC
UUU60350355B;
UUU12090150B;
UUUU6080160100B.
=+=+=
=+=+=
=+−=+−=
Полная мощность:
(
)
SUI3001003000BA
==⋅= .
Для вычисления активной P и реактивной Q мощностей
определим угол сдвига фаз между напряжением и током:
Электрические цепи синусоидального тока
73
э
э
x18
arctgarctg36.7
R24
ϕ===°
.
Угол φ можно определить и непосредственно измерением
на диаграмме (рис.2.7).
Активная и реактивная мощность:
(
)
(
)
(
)
() ( ) ( )
PScos3000cos36.72400
Вт ;
QSsin3000sin36.71800BAp.
=⋅ϕ=⋅°=
=⋅ϕ=⋅°=
В цепи на рис.2.8 заданы: U=120 В; R
1
=6 Ом; R
2
=12 Ом; R
3
=20
м, x
L
=8 Ом; x
C
=9 Ом. Определить токи в ветвях и в неразветвленной
части цепи, вычислить полную, активную и реактивную мощности,
построить векторную диаграмму.
Рисунок 2.8 Рисунок 2.9
Решение
Определить полное сопротивления и углы сдвига фаз в ветвях:
Электрические цепи синусоидального тока
74
( )
( )
( )
2222
L
11L1
1
2222
C
22C2
2
33
x8
zRx6810 Ом ;arctgarctg53.13;
R6
x9
zRx12915
Ом ;arctgarctg36.87;
R12
zR20 Ом ;0.
=+=+=ϕ===°
−−
=+=+=ϕ===−°
==ϕ=°
Токи в ветвях:
( ) ( ) ( )
123
123
U120U120U120
I12A;I8A;I6A.
z10z15z20
=========
Активные и реактивные составляющие токов:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ()
( ) ( ) ()
( ) ( ) ()
( ) () ()
( ) () ()
.A00sin6sinII
;A60cos6cosII
;A8.487.36sin8sinII
;A4.687.36cos8cosII
;A6.913.53sin12sinII
;A2.713.53cos12cosII
33p3
33a3
22p2
22a2
11p1
11a1
=°⋅=ϕ⋅=
=°⋅=ϕ⋅=
−=°−⋅=ϕ⋅=
=°−⋅=ϕ⋅=
=°⋅=ϕ⋅=
=
°
⋅
=
ϕ
⋅
=
Активная и реактивная составляющие общего тока:
(
)
( )
a1a2a3a
p1p2p3p
IIII7.26.46.019.6A;
IIII9.64.804.8A.
=++=++=
=++=−+=
Ток в неразветвленной части цепи:
( )
2222
ap
III19.64.820.18A
=+=+= .
Электрические цепи синусоидального тока
75
Полная мощность:
(
)
SUI12020.182421.6BA
=⋅=⋅= .
Коэффициент мощности:
()
a
I19.6
cos0.97
I20.18
ϕ===
Активная и реактивная мощность
(
)
(
)
( )
2222
PScos2421.60.972351.4 Вт ;
QSP2421.62351.4579.0BAp.
=⋅ϕ=⋅=
=−=−=
Векторная диаграмма построена на рис.2.9.
В цепи на рис.2.10 заданы: U=200 В; R
1
=4,87 Ом; R
2
=20 Ом;
R
3
=12 Ом; x
L1
=11,12 Ом; x
L3
=16 Ом; x
C2
=15 Ом. Определить токи.
Проверить баланс мощности. Построить векторную диаграмму.
Рисунок 2.10
Решение
Комплексные сопротивления ветвей:
Электрические цепи синусоидального тока
76
j66.3
1
j36.9
2
j53.1
3
z4.87j11.1214.14e;
z20.00j15.0025.00e;
z12.00j16.0020.00e.
°
−°
°
=+=
=−=
=+=
Комплексные сопротивления разветвленного участка и всей
цепи:
j36.9j53.1
j14.4
23
аб
j36.9j53.1
23
j36.9
1 аб
zz25.00e20.00e
z15.62e15.13j3.88;
zz25.00e20.00e
zzz4.87j11.1215.13j3.8820.00j15.0025.00e
.
−°°
°
−°°
°
⋅⋅
====+
++
=+=+++=+=
Будем считать, что вектор заданного напряжения
U
направлен
по вещественной положительной полуоси комплексной плоскости,
т.е. примем
U200B
=
.
Ток неразветвленной части цепи (он же ток первой ветви):
( )
j36.9
1
j36.9
U200
I8e6.40j4.80A
z25e
−°
°
====−
.
Напряжение на разветвленном участке:
j36.9j14.4j22.5
аб 1 аб
UIz8e15.62e125e
−°°−
==⋅=
&
.
Токи второй и третьей ветвей:
j22.5
j14.4
аб
2
j36.9
2
j22.5
j75.6
аб
3
j53.1
3
U125e
I5.0e4.84j1.24;
z25e
U125e
I6.25e1.55j6.05.
z25e
−°
°
−°
−°
−°
−°
====+
====−
Электрические цепи синусоидального тока
77
Комплекс полной мощности и ее составляющие:
( ) ( )
j36.9j36.9
1
ˆ
SUI2008e1600e1280j960;
P1280 Вт ;Q960BAp.
°°
=⋅=⋅==+
==
Активная и реактивная мощность в отдельных ветвях:
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
3
22
111
22
1L1
22
222
22
2C2
22
333
22
3L3
PRI4.878311.68 Вт ;
QxI11.128711.68BAp;
PRI20.05.0500.00 Вт ;
QxI15.05.0375.00BAp;
PRI12.06.25468.75 Вт ;
QxI16.06.25625.00BAp.
==⋅=
==⋅=
==⋅=
=−=−⋅=−
==⋅=
==⋅=
Баланс активной и реактивной мощности:
(
)
( )
123
123
PPP1280.431280P
Вт ;
QQQ961.68960QBAp.
++=≈=
++=≈=
Векторная диаграмма показана на рис.2.11.
Рисунок 2.11
Электрические цепи синусоидального тока
78
Рассчитать токи в цепи на рис.2.12, проверить баланс мощно-
сти, построить топографическую диаграмму, совмещенную с век-
торной диаграммой токов.
5j5;E100j100;
I =+=−
&
R
1
=8 Ом; R
3
=6
Ом; R
4
=10 Ом; x
L1
=6 Ом; x
C2
=10 Ом; x
L3
=8 Ом.
Рисунок 2.12
Решение
Применим метод контурных токов. Разметим токи в ветвях и
контурные токи, как показано на рис.2.12. учтем, что
11
I5j5
I
==+
.
Для оставшихся двух неизвестных контурных токов составим
систему уравнений:
(
)
( )
221233331
2233334
IzzzIzz;
IzIzzE;
I
++−=
−−+=
В этих уравнениях:
( )( )
123
41
z8j6;zj10;z6j8;
z10;z5j58j610j70.
=+=−=+
==++=+
&
I
Электрические цепи синусоидального тока
79
После подстановки числовых значений получим:
(
)
(
)
( ) ( )
2233
2233
14j4I6j8I10j70;
6j8I16j8I100j100.
+−+=+
+−+=−+
Определитель матрицы сопротивлений:
(
)
(
)
( ) ( )
14j46j8
220j80
6j816j8
+−+
∆==+
−++
.
Определитель матрицы токов:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
33
10j706j8
1800j1000;
100j10016j8
14j410j70
2300j1500.
6j8100j100
+−+
∆==−+
−++
++
∆==−+
−+−+
Контурные токи:
( )
j130.96
22
22
I5.766j6.6428.796eA;
°
∆
==−+=
∆
( )
j126.90
33
33
I7.044j9.38011.730eA.
°
∆
==−+=
∆
Токи в ветвях:
Электрические цепи синусоидального тока
80
(
)
( )
( )
( )
ej8.67
122
e130.96
222
ej64.98
32233
ej53.09
433
II10.766j1.64210.89A;
II5.766j6.6428.796A;
III1.278j2.7383.021A;
II7.044j9.38011.730A.
I
−°
°
−°
−°
=−=−=
==−+=
=−=−=
=−=−=
Полная мощность, отдаваемая источником тока и источником
ЭДС:
(
)
( )
аг 11
E4
SUzI737.20j222.60BA;
SEI1642.30j233.60BA.
I
II===−
==+
Суммарная полная, активная и реактивная мощность источни-
ков:
(
)
( ) ( )
E
SSS2379.50j11.00BA;
P2379.50
Вт ;Q11.00BAp.
I
=+=+
==
Суммарная активная и реактивная мощности в ветвях:
(
)
( )
123
222
113344
222
L1C2L3
RIRIRI2379.4P
Вт ;
xIxIxI10.87QBAp.
++=≈
++=≈
Баланс мощностей соблюдается, следовательно, токи рассчи-
таны правильно.
Для построения топографической диаграммы вычислим ком-
плекс потенциалов точек, обозначенных на схеме (рис.2.12), приняв:
Электрические цепи синусоидального тока
81
1
3
2 в
дг L1
ад11
ев L3
бе 31
жв 44
0;
jxI9.852j64.596;
RI95.980j51.460;
jxI21.900j10.220;
RI29.567j6.203;
RI70.438j93.796.
ϕ=ϕ=
ϕ=ϕ+=+
ϕ=ϕ+=+
ϕ=ϕ+=+
ϕ=ϕ+=+
ϕ=ϕ+=−+
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
Топографическая диаграмма, совмещенная с векторами токов,
показана на рис.2.13.
Рисунок 2.13
2.5 Контрольное задание 2
2.5.1 Считая, что индуктивная связь между катушками отсутствует:
а) определить токи во всех ветвях схемы;