Доспехов Б.А. Методика полевого опыта

Подождите немного. Документ загружается.

между двумя признаками

(или с

каким-нибудь третьим при-

знаком), когда незначительные

по

степени криволинейности свя-

зи практически можно принять

за

линейные.

Основной метод построения математических уравнений: под-

бор типа формулы

нахождение коэффициента

«ей.

Тип

фор-

мулы проще всего подобрать, пользуясь чертежами типовых кри-

вых,

для

которых даны соответствующие уравнения

(рис. 55).

Статистическая разработка экспериментального материала

часто приводит

построению уравнений, близких

квадратиче-

ской параболе:

Кривые, удовлетворяющие этому уравнению, получены мно-

гими исследователями

для

зависимости урожая

от

густоты сто-

яния растений.

Уравнение

для

квадратической параболы можно рассчитать

по соотношению:

Y=y+

(X—x)+

где

С-.

(Х-

*)*

2(Х—

?)2

•2(X—x)*Y —

nCy

S(X —Г)

—пС

X 1(Х-х)*-С],

Используя данные таблицы

101, где

показаны

все

необходимые вычисле-

ния сумм, входящих

формулу параболы, имеем:

F=27+i^(X_5)+

[

] [(^--5)

-2]^

1,02 (X—5)—0,71 [(X—5)

—2]

5,6+8,1Х—0,7Х

На рисунке

зависимость между урожайностью

нормами посева пше-

ницы изображена графически

виде эмпирической

теоретической линий

регрессии. Значения

, по

которым построена теоретическая линия регрессии,

вычисленные

по

найденному уравнению, проставлены

последнем столбце

таблицы

101.

Влияние норм посева

X (млн.

зерен

на 1 га) на

урожай

озимой пшеницы

У (ц с 1 га)

(Х-х)

(X—

*)2

(Х-х)*

(X—x)Y

(X—x)*Y

=5,6+

+8,1Х-0,7Х»

2Х=25

#=5

23,6

26,7

28,0

29,3

27,4

2К= 135

0=27

—2

—1

2(Х—

—х)=0

2(Х—

—х)

=10

2(Х-

-х)*= 34

—47,2

—26,7

29,3

54,8

2(Х-

—x)Y=

=10,2

94,4

26,7

29,3

109,6

ЩХ—

~x)*Y=

=260,0

23,6

26,8

28,6

29,0

28,0

293

29-

28-

^2S

2к

л>

- I)

3*557

Нормы

пасе8а,

млн.

зерен на / га

Когда для эмпирической

кривой трудно подобрать срав-

нительно простое математи-

ческое уравнение, а также

когда, нет веских оснований

уточнять результаты исследо-

ваний, выравн

'И ,в

а н и е р я-

да можно провести спо-

собом простой сколь-

зящей средней. Сущность

его заключается в том, что

для каждого значения незави-

симой переменной X берется

средняя арифметическая из

нескольких (соседних) значе-

ний зависимой переменной Y.

Если эмпирический ряд имеет

большую кривизну и 'слабую

вариабельность, то лучше про-

водить усреднение по трем точкам, а при малой кривизне и

сильной вариации

—

по пяти точкам.

При выравнивании по трем точкам вместо величины Yt рас-

сматривается среднее арифметическое основного значения Yt,

предыдущего значения Уг-i и последующего значения У,:

+ь

а при выравнивании по пяти точкам

—

среднее арифметическое

основного значения, двух предыдущих и двух последующих зна-

чений.

Значению Y

можно придавать больший вес, чем остальным

значениям, например:

Рис.

56. Эмпирическая 1 и теоретиче-

ская 2 линия регрессии урожая у ози-

мой пшеницы на нормы посева X.

Уг

(^-i+2K

|+I

Пример расчета простых скользящих средних по трем точкам для данных,

характеризующих зависимость урожая картофеля У (т с 1 га) от уровня пита-

ния X (в дозах NPK), показан в таблице 102.

102.

Урожаи картофеля^ выравненные методом скользящей средней

yi=(Yi-i+Yi+Y

i+i

) :3

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

yt 11.7 13,7 17,0 20,7 24,3 29,3 32,7 33,7 32,3 27,0 23,7

294

Для сглаживания крайних значений берется удвоенная их величина, 2 У,

к которой прибавляется последующее (или предшествующее) однократное

значение У; полученную сумму делят на три:

1/^0= (2ХЮ + 15) :3= 11,7; ^

= (2x20 + 31) :3 =23,7.

В качестве показателя правильности выравнивания исполь-

зуется коэффициент корреляции между эмпирическими и вырав-

ненными значениями признака:

/s(y--y)»-Sfo--y)»

-\f

Z(¥i-W

V 2(У-г/)

V 2 (У-у)

Если г>0,95, то выравнивание считается удовлетворитель-

ным, а при г<0,95 совпадение между опытными и выравненны-

ми данными недостаточно, и тогда сглаженные значения подвер-

гают повторному сглаживанию.

Для нашего примера вычисления дают:

2(У—

г/)

—

(27)

/г

7168—(266)

=735,64;

2&-П

= (11,7-10)

+(13,7-15)

+ •••-}-(23,7—20)

59,81;

У 2

(У —

у)*

V 735,64

Коэффициент корреляции г=0,96 указывает, что линия для выравнивания

подобрана правильно и результаты выравнивания получились вполне удов-

летворительные (рис. 57).

При изучении корреляции трех переменных исходные данные

табулируют и для нескольких фиксированных градаций аргу-

мента X и Z определяют наиболее вероятное значение функ-

ции У. Полученные результаты изображают графически в виде

Рис.

57. Эмпирическая 1 и выравнен- р

ис

. 58. Зависимость урожайно-

ная методом скользящей средней 2 сти соломы льна-долгунца от сов-

линии регрессии

по X. местного действия осадков и тем-

пературы воздуха в июне.

295

поверхности регрессни

по X и Z, которая дает наглядное пред-

ставление о форме зависимости результативного признака от

совмещенного действия двух переменных.

Для примера на рисунке 58 дано графическое изображение

множественной корреляционной зависимости урожая льна-дол-

гунца от комбинированного влияния осадков и температуры воз-

духа в июне. На этой диаграмме количество осадков в милли-

метрах, т. е. значения аргумента X, читается на правой стороне

основания куба, среднемесячная температура воздуха в граду-

сах

Z —

вдоль левого края, а значение функции (урожая соломы

льна

У) — по

вертикальному ребру.

Не анализируя детально изображенную на рисунке 58 по-

верхность регрессии У по X и Z, ясно, что существует криволи-

нейная зависимость урожая льна от совмещенного действия

осадков и температуры воздуха в июне. В центральных районах

Нечерноземной зоны в этот период лен находится обычно в фазе

быстрого роста и характеризуется сильной реакцией на измене-

ние метеорологических факторов.

Легко убедиться, что совместное влияние температуры и

осадков по-разному отражается на урожае: при достаточном

увлажнении, например, отрицательное действие высоких темпе-

ратур проявляется в меньшей степени, чем при недостатке осад-

ков.

С другой стороны, видно, что в условиях достаточного ув-

лажнения осадки июня используются наиболее эффективно в

диапазоне среднемесячных температур

15—19

°С.

При изучении криволинейных корреляционных связей и про-

верке #

:г] = 0 вычисления выборочных статистических показа-

телей проводят по формулам таблицы 103.

103,

Формулы для вычисления

Показатель

Малая выборка (яесгруппирован-

ные данные, жЗО)

Большая выборка

(сгруппированные дан-

ные,

л>30)

Корреляционное от-

ношение %

;

Ошибка и критерий

существенности

Доверительный ин-

тервал и степени

свободы

-V

S(F_j

)2_

(F-^)2

ЩУ-У)

St]

-V4

-г их

п - Т /

!х(Ух—1)

Гц =

Sr]

г\

Ух

±^5ц; v=n— 2

Пример 4. По небольшой выборке (п=12) определить корреляционное от-

ношение

Х[

ух

и построить линию регрессии, характеризующую потери аммиака

от испарения в зависимости от концентрации его в поливной воде (табл. 104).

Нулевая гипотеза Н

:г\

ух

=0.

Решение. 1. Значения независимой переменной X располагают последо-

вательно от меньшей величины к большей, как это сделано в таблице 104, и

разбивают весь ряд «а 4—7 групп так, чтобы в каждой группе независимого

296

лГ

признака X было не менее двух

наблюдений. При этом интерва-

лы групп могут быть различны по

величине. Данные таблицы 104

целесообразно разбить на пять

групп (последняя колонка табл.

104).

Составляют вспомогатель-

ную таблицу 105 и вычисляют не-

обходимые суммы квадратов от-

клонений и средние. Подставляя

итоговые данные таблицы 105 в

формулы, определяют корреляци-

онное отношение, ошибку, крите-

рий существенности, доверитель-

ный интервал корреляционного

отношения и проверяют Я

Точки с координатами, со-

ответствующими групповым сред-

ним х

и у

(3,50 и 24,0; 5,50 и 14,50 и т.д.), наносят на график и соединяют

их плавной линией (на рис. 59 эти точки обозначены крестиками). Это и бу-

дет линия регрессии У по X. Она показывает, что потери аммиака из полив-

ной воды особенно резко возрастают, когда концентрация его в поливной

воде составляет меньше 15 кг на 100 м

воды. На график последовательно

переносят, отмечая кружочками, все фактические наблюдения и указывают

значение корреляционного отношения (рис. 59).

104.

Потери аммиака от испарения (ряд У) в зависимости

от концентрации его в поливной воде (ряд X)

/О 20 JO W

Концентрация аммиака

на

WOM

ВаЗш

Рис.

59. Потери аммиака из аммиачных

солей У в зависимости от концентрации

его в поливной воде X.

Номер

пары

X, кг на 100 м

воды

У, %

25 \

23 /

14 /

)

Группа

§ 4.

КОРРЕЛЯЦИЯ

КАЧЕСТВЕННЫХ

ПРИЗНАКОВ

Коэффициент корреляции при альтернативной изменчи-

вости вычисляют по формуле Юла:

щ — n.

VNtNiNiNt '

где tii и

пц

— частоты с одинаковыми знаками клеток (+ + или ); Пч и

«s — частоты с разными знаками клеток (+ — или — +); N\ и N

— суммы

частот по строкам; JV

и N

— суммы частот по столбцам.

297

1ч

о._ 1

В 5.

о я

КС

СОЮ СОЮ COCO Ю СО СО СОСОСО

о о о_ю ю о о о о о о ю

СОО ООО г-н о" СО-"*

-"*

СО О* СО

ОЮ г-н г-н СО -н г-н СОСОС-^

СМ

г-н

•*СМ чС СО -н О 1Л СО СО 1ЛГ--00

»—i

>-н

ОО ОО

•"-1

О О (МО'

г-ч-ч ОО ОО

О О

»-н

О '

й1

'ф

см

тИ

_<"

со

lONN Ю COOJ

ю"

COTt

Ю СО 0000 Г^СООО ЮГ^Ю

г-н г-н-ч СМСМ -*

-НСМ СО <* ЮСО t^OOOl Or-cC>J

II I

1 H

CM"

I©

S> ^-ч.

..-Э

"Н

298

В качестве примера расчета коэффициента корреляции воспользуемся дан*

ными, полученными при изучении действия борных удобрений на заболеваем

мюсть сахарной свеклы сухой гнилью сердечка. Первичные материалы о числе

непораженных (+) и пораженных (—) растений сахарной свеклы из числа

получавших

(

)

и не получавших (—) борные удобрения представлены в ви-

де четырехпольной таблицы 2X2 (табл. 106).

106.

Действие бора на пораженность сахарной свеклы сухой гнилью

сердечка

Растения

бором

(+)

Без

бора

(—)

Сумма

по

строкам

Непораженные (•+-)

Пораженные (—)

Суммы по столбцам

122(tti)

28 (п

)

150(iV

)

58 (п

)

102 {n

)

160

(tf*)

122X102—58X28

VNiNiNaNt 1/180X130X150X160

0,67

—0,67

~- =0,042

0,04

310

6,75;

*ОБ=1,96;

180(#i)

130(tf

)

310(n)

= 0,67;

« 0,04;

= 2,58.

Итак, связь между удобрением сахарной свеклы бором и пораженностыо

корней сухой гнилью сердечка (г=0,67±0,05) существенна на

1%-ном

уровне

значимости [t

>U\)\ растения, получавшие бор, в общем менее поражены, чем

растения без бора.

В практике нередко возникает необходимость исследовать

сопряженность двух признаков у одних и тех же единиц наблю-

107.

Урожай картофеля (кг с куста) и пораженность стеблей фитофторой

Урожай

Число кустов

непора-

женных,

поражен-

ных, fz

всего

fox

fX%

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

3,6

8,0

11,2

11,4

5,0

3,2

0,0

3,6

9,6

14,0

17,4

8,0

5,2

1,8

0,81

0,64

0,49

0,36

0,26

0,16

0,09

Суммы 67= 33= 100= 42,4 =

= п

= «

= п = 2ДХ

[7.2= 59,6 =

= 2/

Х =2/Х

3,24

7,68

9,80

10,44

4,00

2,08

0,54

37,78 =

= 2/Х*

дения, когда один можно измерить (количественный признак),

а в отношении другого только отметить его наличие или отсут-

ствие (качественный признак)- Коэффициент корреляции между

299

качественными и количественными признаками вычисляют

по

формуле:

п — п

где

— общее среднее

для

количественного признака;

— среднее значение

количественного признака

наличием качественного; п

—

общее число всех

наблюдений; n

—число случаев

наличием качественного признака;

— об-

щее стандартное отклонение для количественного признака.

Пример расчета коэффициента корреляции между качественным

количе-

ственным признаками показан

таблице

107.

Вычисляют общее среднее (х) и средние урожаи для непора-

женных (х\) и пораженных фитофторой (#2) кустов картофеля,

определяют s, r и t

2/Х 59,6

ос

- 2/

Х 42,4

~о

-_——__!-_ =

0,596

х,

_ii_

~_i_.

0,633;

100 '

п, 67

-——

= —of-==0,521 кг

1 куста;

s/X2

Vo-

:100

*L—~*

l/ ~ 0,633-0,596

Г 67

А QC

г==

—_—у .___

_ |/

100

-.,_•_•,

_____ /•

0 35

*«У TZ^T- У юо-2-

s=0

- ' 0.35

^"" 5

0,10

—°>°>

v = n—2 = 100—2 =

98;

;

*oi

= 2,58.

Таким образом между пораженностью фитофторой

уро-

жайностью картофеля существует прямая связь (г=0,35±0,10),

значимая на

1%-ном

уровне (^>*oi).

Для установления сопряженности между качественными при-

знаками, имеющими несколько градаций—-порядковых номеров

или рангов (баллов), например первый, второй и т. д., в биоло-

гии

психологии иногда применяется коэффициент ран-

говой корреляции Спирмана:

6Sd

г.= 1

п(п*—

где d

—

разность между рангами сопряженных рядов

и У, т. е.

d=X—У;

—

число парных наблюдений.

Коэффициент ранговой корреляции целесообразно вычислять

в тех случаях, когда совокупность двух переменных

не

имеет

нормального распределения. Для выборок, взятых из нормаль-

ных совокупностей

особенно при необходимости установить

зависимость более точно, следует рассчитывать обычный коэф-

фициент корреляции.

300

§ 5. КОВАРИАЦИЯ

Ко

вариационный анализ

—

одновременный

анализ сумм квадратов и сумм произведений

отклонений двух или более переменных от их

средних. Он используется при планировании и статистической

обработке результатов опыта как способ уменьшения ошибки

эксперимента, не поддающейся непосредственному контролю

(выравниванию). Ковариационный анализ позволяет установить

соотношение между вариацией зависимой переменной, напри-

мер урожаев У, и вариацией, сопутствующей эксперименту пере-

менной X, например исходным состоянием многолетних деревь-

ев,

густотой стояния растений, содержанием в почве питатель-

ных веществ и т. д. На основе соотношения проводится стати-

стическое выравнивание условий эксперимента. Статистический

контроль над сопутствующей опыту переменной при условии,

что ее вариация не связана с изучаемым фактором, дает воз-

можность получить такой конечный результат, который был бы

получен при сохранении величины X на постоянном уровне.

Это заметно уточняет результаты опыта, снижает его

ошибку.

В узком смысле под ковар нацией, обозначаемой сои

или

в математической статистике понимается среднее произ-

ведение отклонений двух переменных от их средних:

cov= —-

-\ —

п —

Ковариация может быть как положительной, так и отрица-

тельной.

В более широком смысле ковариацией называется совокуп-

ность трех статистических показателей: средних арифметических

х и у, сумм квадратов отклонений 2(Х—х)

я 2

(У—у)

и суммы

произведений отклонений 2(Х—х)

(У—у).

Параллельное разло-

жение этих величин по факторам варьирования и составляет

суть ковариационного анализа.

Ковариационный анализ включает три основных этапа:

1) дисперсионный анализ ряда X,

и 'произведений XY;

2) разложение остаточной дисперсии С

по гряду У (оста-

ток I) на сумму квадратов отклонений, обусловленную регресси-

ей

по X, обозначаемую Сь, и сумму квадратов отклонений от

регрессии Са

(остаток II); С

(остаток l)=C.

-bCd

(оста-

ток II);

3) приведение фактических средних по ряду У к полной вы-

равненное™ условий эксперимента по ряду сопутствующей пере-

менной X.

Таким образом,

ковариационный анализ — это

распростране-

ние

методов дисперсионного

анализа на случай

нескольких

пере-

менных,

также корреляционного

регрессионного

анализов на

301

общие схемы полевых, вегетационных и лабораторных экспери-

ментов.

Когда между переменной У, подлежащей изучению, и сопут-

ствующей переменной X можно .предполагать линейную связь, то

целесообразно запланировать измерение величины X. Это дает

возможность получить дополнительную информацию об изучае-

мом явлении и использовать регрессию в целях уточнения экс-

перимента.

Сумму квадратов отклонений, обусловленную регрессией Y

по X, определяют по формуле:

С - &(

--'*)1<У_--'У№

2(Х — xf

Сумму квадратов случайного варьирования, т. е. сумму квад-

ратов отклонений от регрессии, находят по разности как оста-

ток:

(остаток II) =С

(остаток

I)—

Коэффициент регрессии У по X определяют по формуле:

ух

2(Х— xf

Результативный признак У выравнивают по соотношению:

Y^Y+b^Cx-X),

где У\ — корректированное значение даты;

— фактическое значение даты;

Ъу

— коэффициент регрессии Y по X;

х—X—

разность между средним значе-

нием независимой переменкой по опыту х и фактическим ее значением X.

Выравнивают обычно только итоговые данные, т. е. средние,

поэтому в уравнении регрессии У и X будут соответствовать

средним по вариантам опыта.

В агрономических исследованиях ковариационный анализ це-

лесообразно использовать для уточнения опыта в двух основных

случаях:

1) если на результативный признак может оказать заметное

влияние разное исходное состояние условий эксперимента —

плодородие почвы, .мощность многолетних растений и т. п., кото-

рые могут быть измерены в начале опыта;

2) если на изучаемый признак в процессе эксперимента ока-

зывают влияние не зависящие от вариантов опыта причины

—

выпадение растений и повреждение их болезнями, вредителями,

птицами и т. д.

Подчеркнем, что правильное применение ковариационного

анализа предполагает независимое от вариантов опыта распре-

деление случайной величины X. Если сопутствующая X имеет

отношение к изучаемым вариантам, то исключение ее эффекта

неправомерно, так как это «ведет'к исключению части эффекта

варианта. Например, при сортоиспытании отдельные сорта могут

поражаться в большей степени, и исключение этого влияния не-

302