Доспехов Б.А. Методика полевого опыта

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 22

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

И УЧЕТОВ В ПОЛЕВОМ ОПЫТЕ

Многие количественные показатели, характеризующие расте-

ния и почву, подчиняются закону нормального распределения,,

и их статистическую обработку проводят по схеме дисперсион-

ного анализа с учетом структуры эксперимента (пример 1).

Однако результаты подсчета таких переменных, как коли-

чество вредителей или сорняков на учетной площадке, оценка

состояния посевов в баллах, дегустационная оценка качества про-

дукции, часто не подчиняются нормальному закону, и исходные

даты необходимо преобразовать. Наиболее подходяще для таких

случаев преобразование Х\ = ^Х «ли

Xx^l+X,

если некоторые

наблюдения дают нулевые или очень небольшие значения варьи-

рующей переменной. Обработку преобразованных дат ведут ме-

тодом дисперсионного анализа. После оценки существенности

частных различий делают обратный переход к исходному пока-

зателю (примеры 2—3).

Если наблюдаемую величину выражают в относительных"

числах (в процентах или долях), исходные даты преобразуют

через угол, синус которого является квадратным корнем из

доли или процента: Ji=у го л-арксинус Упроцеит. Для этого

пользуются таблицей 5 приложений (пример 4).

В таблице данных для дисперсионного анализа проставля-

ют обычно не индивидуальные наблюдения (анализы), а усред-

ненные по каждой делянке значения варьирующего признака.

Учет размаха внутриделяиочной изменчивости и варьирования

параллельных анализов смешанного растительного «ли почвен-

ного образца увеличивает объем вычислительных операций и не

приводит к заметному изменению критерия существенности. По-

этому учет этого варьирования имеет смысл лишь в специаль-

ных методических исследованиях.

Пример 1. В опыте, поставленном методом рендомизированных повторе-

ний, обнаружено следующее содержание белка в зерне пшеницы (табл. 84).

84.

Варианты

(сорта)

Содержание белка в зерне пшеницы (г на 100 г)

Повторения, X

• | I,

III

Суммы V

Средние

l(st)

Суммы Р

14,8

13,8

15,6

44,2

17,2

15,8

18,2

51,2

13,4

12,2

14,4

40,0

45,4

41,8

48,2

135,4=2Х

15,1

13,9

16,1

15,0=^с

Решение. Дисперсионный анализ проводят по схеме для рендомизиро-

ванных повторений; определяют суммы квадратов, отклонений, составляют

263

таблицу дисперсионного анализа (табл. 85) и дают оценку существенности

частных различий: i

N=/n=3.3=9;

С=(2Х)

:ЛГ=(135,4)

:9 = 2037,02;

= 2Х

—С = (14,8

-4-

17,2

(- 14,4

)

—

2037,02 = 28,30;

Ср=2Р

:/—С=(44,2

+ 51,2

+ 40,0

):3—2037,02 = 21,34;

Cj/

= S]/

:n—С= (45,4

-1-41,8

+48,2

):3—2037,02 = 6,86;

= C

—Cp—C

= 28,30

—

21,34—6,86= 0,10.

85.

Результаты дисперсионного анализа

Дисперсия

Сумма квад-

ратов

Степени

свободы

Средний

квадрат

^Ф ^05

Общая 28.30 8 — — —

Повторений 21,34 2 — —

—

Вариантов 6,86 2 3,430 137,20 6,94

Остаток (ошибки) 0,10 4 0,025 — —

В опыте есть варианты (сорта), существенно различающиеся по содержа-

нию белка в зерне

(F<b>F

s).

Для оценки частных различий вычисляют:

-j/1

Г 0,025

^Ут-У -~г~=°'

09г

1 f~W. 1 / 2-0,025

НСР

об

== Wrf= 2,78-0,13 =0,36 и 0,4 г.

Результаты исследования и статистической обработки записывают в таб-

лицу 86.

86.

Содержание белка в зерне пшеницы (г на 100 г)

Варианты; (сорта)

Содержание белка

Отклонение от

стандарта

Группа

l(st) 15,1 — st

2 13,9 -1,2 III

3 16,1 1,0 I

HCPos — 0,4 —

Вывод. Разности между стандартом и вариантами опыта существенны

на 5%-ном уровне значимости; вариант 2 существенно уступает (III группа),

а вариант 3 превышает стандарт по содержанию белка в зерне (I группа).

Пример 2. В опыте с гербицидами; поставленном в четырех рендомизи-

рованных повторениях, подсчитано количество сорняков (верхняя часть

табл. 87). Провести дисперсионный анализ данных.

Решение. Большой размах варьирования (R=280—28=252) указывает

на возможную неоднородность дисперсий по вариантам. Целесообразно преоб-

разовать исходные даты по соотношению

Xi=iX.

После преобразования

(нижняя часть табл. 87) проводится дисперсионный анализ, результаты кото-

рого записывают в таблицу 88.

264

87.

Количество сорняков

Варианты

Hsi)

l(st)

Суммы \Р

169

210

160

13,0

14,5

12,6

6,5

46,6

Повторения

II III IV

Суммы V

Средние

н ы

е д а т ы, X (на 1 м

)

132 280 105

172 358 125

83 103 65

40 84 28

686 172

865 216

411 103

194 48

реобразованные даты Xi=*iX

11,5 16,7 10,2

13,1 18,9 11,2

9,1 10,1 8,1

6,3 9,1 5,3

40,0 54,8 34,8

51,4 12,8

57,7 14,4

39,9 10,0*

27,2 6,8**

176,2=2^ 11,0=**

Средняя за-

соренность

на 1 м

164

207

100*

46**

129=х

Л/=/п=4-4 = 16;

С= (SX

)2;iV= (176,2)

:16= 1940,40;

Cy«2V —С=(13,0"+11,бН f- 5,З

) —1940,40^210,321

2Р

— С

= (46,б

+ 40,0

+54,8

):4—-1940,40=56,01;

6V=2V

:/x

—

С= (51,4

+ 57,7

+ 39,9

+ 27,2

):4

—

1940,40=135,38;

=Су

—Ср—С>= 210,32— 56,01—135,38=

18,93.

Результаты дисперсионного анализа

Дисперсия

Сумма

квадратов

Степени

свободы

Средний

квадрат

Fob

Общая

Повторений

Вариантов

Остаток (ошибки)

210,32

56,01

135,38

18,93

—

45,12

2,10

21,48

3,86

2,10

= 0,72;

2-2,10

= 1,02;

HCP

=Wd= 2,26-1,02= 2,3;

UCPoi

3,25-1,02= 3,3.

Сравнивая разности между средними с НСР, приходят к выводу: в вари-

антах 3 и 4 засоренность посевов существенно снизилась, а вариант 2 на

-ном

уровне не отличается по засоренности от стандарта. Этот вывод,

сделанный на основе обработки преобразованных дат, переносится на исход-

ные наблюдения.

После оценки существенности частных различий по вариантам делают об-

ратный переход от преобразованных дат к исходным по соотношению

Х<=

=Х\

. Средняй засоренность посевов, вычисленная обратным переходом, не

совпадает со средней из исходных дат, но это различие обычно невелико, и

265

более правильными средними будут показатели, полученные после преобразо-

вания (последняя колонка табл. 87). Поэтому они и приводятся в качестве

окончательного результата исследования. Одна звездочка* в таблице 87 озна-

чает, что различия со стандартом существенны на 5%-ном и две звездочки** —

на

1 %

-ном уровне значимости.

Пример 3. В опыте, поставленном методом рендомизироваиных повторе-

ний, сделана оценка плодоношения деревьев в баллах (верхняя часть табл. 89).

Провести дисперсионный анализ данных.

Решение. Так как исходные числа включают нулевые значения, то их

следует преобразовать по соотношению Xi=~]/l+X (нижняя часть табл. 89),

89.

Степень плодоношения деревьев

Варианты

(сорта)

3[st)

3{st)

Суммы Р

0,2

2,7

3,4

4,1

4,2

1,09

1,92

2,10

2,26

2,28

9,65

Повторения

II Ш

Суммы V

Средние

Исходные даты, X (в баллах)

1,0 0,8 0,0

3,2 2,7 1,2

3,1 4,0 3,2

4,0 3,7 3,2

2,0 0,5

9,8 2,4

13,7 3,4

15,0 3,8

5,0 5,0 4,3 18,5

реобразованные даты Ii

1,41 1,34 1,00

2,05 1,92 1,48

2,02 2,23 2,05

2,23 2,17 2,05

2,45 2,45 2,30

10,16

10,11

8,88

4,6

=yi+jr

4,84 1,21

7,37 1,84*

8,40 2,10

8,71 2,18

9,48 2,37*

38,80=2^

1,94=^

Средний балл

плодоноше-

ния

X=-Xi

—I

—

.—

—

0,5

2,4*

3,4(s*)

3,8

4,6*

2,8=х

а затем провести дисперсионный анализ, результаты которого записывают

в таблицу 90:

W=/n = 5-4=20;

С=

(SXrf-.N^

(38,8)2:20= 75,2720;

Су=2Х

—

С = (1,092 4-1,414 |-2,30

) —75,2720=3,6166;

Cp=2P*:t— С =(9,652 4-10,16

-f Ю,Н

Ч-

8,88

):5

—

75,2720=0,2109;

Су=2У2:/г-С=(4,84

4-7,37

9,48

):4

—

75,2720= 3,2372;

= Cy — Cp— C

= 3,6166—0,2109—3,2372= 0,1685;

90.

Результаты дисперсионного анализа

Дисперсия

Сумма

квадратов

Степень

свободы

Средний

квадрат

^06

Общая

Повторений

Вариантов

Остаток (ошибки)

3,6166

0,2109

3,2372

0,1685

—

0,8093

0,0140

-i/ 0,104

57,81

3,26

26S

91. Процент пораженности колосьев проса пыльной головней

-i/

-\f 2-0,014

= у — = у -\ = 0,084;

HCP

2,18-0,084= 0,18.

Разности между средними, превышающие 0,18 единицы X

статистически

доказаны на 5%-ном уровне значимости. В заключение делают обратный пе-

реход от среднего преобразованного показателя к среднему исходному пока-

зателю (баллу) по степени плодоношения (последняя колонка табл. 89).

Пример 4 (по В. Н. Перегудову, 1968). Провести дисперсионный анализ

результатов наблюдений за пораженностью пыльной головней колосьев проса

(левая часть табл. 91) в опыте, проведенном методом обычных повторений.

Решение. По исходным данным — процентам по таблице 5 приложе-

ний определяют углы-арксинусы У проценты (правая часть табл. 91), которые

подвергают обработке по обычной схеме дисперсионного анализа (табл. 92):

#=/п=8-3=24;

C=(2A:

)

:W = (743,4)

:24 = 23026,82;

Су = ЪХ^—С =

(53,5

+54,8

46,б

) -23026,82 = 11457,22;

= ХР

— С

= (251,6

243.3

-f- 248,5

):8 —23026,82 = 4,40;

Су = 2У

:п

— С

= (164,7

+163,74 Ь ИЗ,О

) :3 —23026,82= 11434,89;

= C

—Cp—C

= 11457,22— 4,40 — 11434,89=

17,93.

l/"W i/ 2-1,28

Sd=Y — = J/ —з— = 0,93;

HCP

= Wd= 2,15-0,93= 2,0.

Разности между средними, превышающими 2,0 единицы Х

доказаны на

5%-ном уровне значимости. Сорта 3—8 существенно превышают стандарт по

устойчивости к пыльной головне (<2>НСР

5), а сорт 2 равноценен стандарту

(сКНСРов). После оценки существенности частных различий и группировки

сортов делают обратный переход по таблице 5 приложений от арксинусов к

среднему исходному показателю — проценту поражения (предпоследняя ко-

лонка в табл. 91).

Глава 23

КОРРЕЛЯЦИЯ, РЕГРЕССИЯ И ИОВАРИАЦИЯ

В агрономических исследованиях редко приходится иметь

дело с точными и определенными функциональными связями,

когда каждому значению одной величины соответствует строго

определенное значение другой величины. Здесь чаще встречают-

ся такие соотношения между переменными, когда каждому зна-

чению признака X соответствует не одно, а множество возмож-

ных значений признака Y, т. е. их распределение. Такие связи,

обнаруживаемые лишь при массовом изучении признаков, в от-

личие от функциональных называются стохастическими

(вероятностными) или корреляционными.

При изучении корреляционных связей возникают два основ-

яых воцроса

— о

тесноте связи и о форме связи. Для измерения

268

тесноты и формы связи используют специальные статистические

методы, называемые корреляцией и регрессией.

По форме корреляция может быть линейной и криво-

линейной, по направлению прямой и обратной. Кор-

реляцию и регрессию называют простой, если исследуется связь

между двумя признаками, и множественной, когда изуча-

ется зависимость между тремя и более признаками.

Регрессионный и ковариационный анализы приобретают все

большее значение в современных исследованиях по биологии и

агрономии. Под регрессией понимается изменение результатив-

ного признака У (функции) при определенном изменении одно-

го или нескольких факториальных (аргументов).

Связь между функцией и аргументом выражается уравне-

нием регрессии или корреляционным у, равней и-

е м. При простой регрессии уравнение кратко обозначается У=

=f{x) и при 'множественной

Y=f(X,

Z, V ...). Если степень 'свя-

зи 'между признаками велика, то по уравнению регрессии мож-

но иредсказать значение результативного признака для опре-

деленных значений факториальных признаков. Для оценки тес-

ноты (силы) связи используют коэффициенты корреля-

ции и корреляционное отношение.

Совместное применение методов корреляции, регрессии и дис-

персионного анализа для уточнения эксперимента получило на-

звание ковариационного анализа. Слово ковариация составлено

из начальных букв слова корреляция и из слова вариация.

Суть ковариационного анализа сводится к следующему. Если

между результативным 'Признаком У w сопутствующим экспери-

менту "иеизучаемым признаком X имеет место значимая линей-

ная связь, то методом ковариации мюжио статистически выров-

нять условия проведения опыта в отношении признака X и тем

заметно снизить ошибку эксперимента и получить больше ин-

формации об изучаемом явлении.

§ 1. ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ

Под линейной (прямолинейной) корреляционной зависи-

мостью между

двумя признаками X и Y

понимают такую

зави-

симость,

которая носит

линейный

характер

выражается

урав-

нением

прямой линии

Y—a+bX.

Это уравнение называется

урав-

нением регрессии Y на X, а

соответствующая

ему прямая ли-

ния

— выборочной

линией регрессии Y на X. Црямая линия, по-

казанная на рисунке 48, проходит_через точку Р,' которая соот-

ветствует значениям средних х и у -и имеет наклон, определяе-

мый в единицах Уна одну единицу X. Здесь

— выборочный ко,-

эффициент регрессии. Рисунок 48 показывает, что линейная ре-"

грессия —это такая зависимость, когда при любом значении ар-

гумента X одинаковые приращения его вызывают одинаковые

изменения функции У. Когда при

одинаковых приращениях

аргу-

мента

функция

имеет

неодинаковые

изменения,

регрессия назы-

вается

криволинейной.

269

0,28

Масса,

Рис.

48. Зависимость между массой и

диаметром стеблей льна-долгуица.

Линейная регрессия Y на

X показывает, как изменя-

ется в среднем величина Y

при изменении величины X.

• Если при увеличении X ве-

личина Y в среднем увели-

чивается, то корреляция и

регрессия называется

о-

ложительной или пр я-

о й,

а если с увеличением

X значение Y в среднем

уменьшается — отрица-

тельной или обратной.

Для анализа линейной

корреляции между X и Y

проводят п независимых парных наблюдений, исходом каждого

из которых является пара чисел {Х\\

Y\),(X

;

), ..., {Х

; Y

По этим значениям определяют выборочные эмпирические ко-

эффициенты 'корреляции и регрессии, рассчитывают уравнение

регрессии, строят теоретическую линию регрессии и оценивают

значимость полученных результатов.

В качестве числового показателя простой линейной корреля-

ции, указывающего на тесноту (силу) .и направление связи X

с Y, используют коэффициент корреляции, обозначае-

мый буквой г. Он является безразмерной величиной, изменяю-

щейся в области—1<г< +

Коэффициент корреляции рассчи-

тывают по формуле:

г==

2(Х-7) (Y-J)

или, минуя вычисления отклонений и квадратов отклонений, по

формуле:

2XY—

(2Х2У):п

"~ /(2Х

— (SX)

:л) (2Г

—

(2F)

:я) '

Если каждой величине X соответствует только определенная

величина У, то корреляционная связь переходит в функцио-

нальную, которую можно считать частным случаем корреля-

ционной. При полных связях, когда корреляционная связь пре-

вращается в функциональную, значение коэффициента корреля-

ции равно для положительных, или прямых, связей +1,0, для

отрицательных, или обратных, связей —1,0. Чем ближе г к +1

или

—1,

тем теснее прямолинейная корреляционная связь; она

ослабевает с приближением г к 0. Когда г=0, между X и Y нет

линейной связи, но криволинейная зависимость может сущест-

вовать,

Может показаться, что величина коэффициента корреляции,

•близкая к 0,5, уже достаточно высока и совпадение вариации

270

двух признаков при этом должно быть у половины всех случаев.

Однако теория корреляции показывает, что степень сопряженно-

сти в вариации двух величин более точно измеряется квадратом

коэффициента корреляции (г

). Например, при г=0,5 не 50%, а

только 25% изменчивости одного признака объясняется измен-

чивостью другого (0,5

=0,25, или 25%), остальная же часть со-

пряженности (1—0,25=0,75, или 75%) обусловлена другими

факторами. .При г=0,6 не 60%, а около 36.%, при г=0,8 около

64%,

а при г=0,95 уже около 90% изменчивости зависимой пе-

ременной У (результативного признака) связано с изменчи-

востью независимой переменной X (факториального признака).

Квадрат коэффициента

корреляции (г

)

называется

коэффи-

циентом детерминации

обозначается

. Он показывает долю

(%) тех изменений, которые в данном явлении зависят от изу-

чаемого фактора. Коэффициент детерминации является более не-

посредственным и прямым способом выражения зависимости од-

ной величины от другой, и в этом отношении он предпочтитель-

нее коэффициента корреляции. В случаях, где известно, что за-

висимая переменная У находится в причинной связи с независи-

мой переменной X, значение г

показывает ту долю элементов

в вариации У, которая определена влиянием X. Поэтому, когда

употребляют, например, выражение «50% колебаний в урожае

вызывается колебаниями в выпадении осадков», то здесь 50% —

коэффициент детерминации.

Считается, что при г<0,3 корреляционная зависимость меж-

ду признаками слабая, г=0,3—0,7— средняя, а при г>0,7

—

-сильная.

Для оценки надежности выборочного коэффициента корреля-

ции вычисляют его ошибку и критерий существенности.

Стандартную ошибку коэффициента корреляции определяют

по формуле;

тде s

— ошибка коэффициента корреляции; г—коэффициент корреляции; п —

численность выборки, т. е. число пар значений, по которым вычислен выбороч-

ный коэффициент корреляции.

Из формулы следует, что коэффициенты корреляции, близкие

к единице, оказываются всегда точнее коэффициентов корреля-

ции, близких к нулю. С увеличением числа объектов исследова-

ния s

также будет всегда уменьшаться, а точность в определе-

нии

г —

возрастать.

Критерий существенности коэффициента корреляции рассчи-

тывают по формуле:

= r/s

Если /гф

>Ueop,

то корреляционная связь существенна,

а когда

^г

к*<^теор

—

несущественна. Теоретическое значение

критерия t находят по таблице Стъюдента, принимая 5%-ный,

271

а при более строгом подходе.

%-ный уровень значимости. Чис-

ло степеней свободы принимают равным я—2.

При малых выборках и значениях г, близких к единице, рас-

пределение выборочных коэффициентов корреляции заведомо

отличается от нормального. Поэтому для оценки значимости ко-

эффициента корреляции в генеральной совокупности и сравне-

ния коэффициентов корреляции критерий t Стъюдента становит-

ся ненадежным. Чтобы обойти это затруднение, Р. Фишер пред-

ложил преобразовать г в величину z (зет), которая распределе-

на нормально. Для перехода от г к г я обратно используется

таблица приложений 8. Стандартная ошибка величины z равна:

s^= 1/Уп—3,

где п

—

объем выборки.

Критерий значимости для z .и разности

Z\—z

а также дове-

рительные границы величины z определяют по обычным соотно-

шениям:

г ± ts

После определения доверительных границ обратным преоб-

разованием ло таблице приложений 9 находят соответствующие

2макс И

МИН

ВеЛИЧИНЫ /*

ма

кс И Гшщ.

Проверить нулевую гипотезу #

:г=0 можно и без расчетов

критерия U непосредственно

по

таблице 10 приложений. В таб-

лице даны граничные значения коэффициентов корреляции на

5%-ном

1%-ном

уровне значимости. Между J и У имеется

существенная связь, и Я

отвергается, если Гф^г

. Нуль-гипоте-

за не отвергается, когда г

<у

. Рассматривая эту таблицу, легко

заметить, какое влияние оказывает на размер выборки величи-

на г. Так, для доказательства значимости слабых связей необ-

ходимо 40—100, средних—12—40 и сильных

—6—12

пар на-

блюдений.

Коэффициент корреляции указывает на направление и сте-

пень сопряженности в изменчивости признаков, но не позволяет

судить о том, как количественно меняется результативный при-

знак при изменении факториального на единицу измерения, что

важно в познавательных и практических целях. В подобных

случаях на помощь приходит регрессионный анализ. Его

основная задача

—

определить формулу корреляционной зависи-

мости, т. е. уравнение прямой линии.

Уравнение линейной регрессии

по X имеет вид:

Y~~y—b

{X—x),

где х и у —средние арифметические для ряда X и Y; Ь

ух

—

коэффициент ре-

грессии У по X.

272