Долгіх В.М. Математика для економістів - Математичний аналіз. Диференціальне числення

Подождите немного. Документ загружается.

Державний вищий навчальний заклад

“Українська академія банківської справи

Національного банку України”

Кафедра вищої математики та інформатики

В.М. Долгіх, К.А. Дахер

ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

Частина 2

Вступ до математичного аналізу.

Диференціальне числення

Навчальний посібник

У 4 частинах

Для студентів економічних спеціальностей

вищих навчальних закладів

Суми

ДВНЗ “УАБС НБУ”

2008

УДК 517:517.2](075.8)

Д64

Рекомендовано до видання методичною радою Державного вищого

навчального закладу “Українська академія банківської справи

Національного банку України”, протокол № 10 від 20.06.2008.

Розглянуто і схвалено на засіданні кафедри вищої математики

та інформатики, протокол № 9 від 20.05.2008.

Рецензенти:

кандидат технічних наук, доцент

В.В. Яценко;

кандидат технічних наук, доцент

С.В. Кунцев

Відповідальний за випуск

кандидат технічних наук, доцент

В.В. Яценко

Долгіх, В. М.

Вища математика для економістів. Ч. 2. Вступ до матема-

тичного аналізу. Диференціальне числення [Текст] : навч. посібник :

у 4 ч. / В. М. Долгіх, К. А. Дахер ; Державний вищий навчальний

заклад “Українська академія банківської справи Національного

банку України”. − Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2008. – 76 с.

Друга частина посібника містить теоретичні відомості з теорії границь і

диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних, приклади

розв’язування основних типів задач, питання для самоперевірки.

Призначений для студентів економічних спеціальностей вищих

навчальних закладів.

УДК 517:517.2](075.8)

Національного банку України”, 2008

Д64

ЗМІСТ

ВСТУП.....................................................................................................................6

1. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ..................................................7

1.1. Функція однієї змінної..............................................................................7

1.1.1. Поняття функції. Способи задання функцій ...............................7

1.1.2. Деякі типи функцій ........................................................................8

1.2. Послідовності ............................................................................................11

1.2.1. Числова послідовність. Основні означення.................................11

1.2.2. Границя послідовності...................................................................12

1.2.3. Теореми про границі послідовностей...........................................13

1.2.4. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності.............14

1.3. Границя функції ........................................................................................15

1.4. Нескінченно малі функції.........................................................................16

1.5. Нескінченно великі функції .....................................................................17

1.6. Основні теореми про

границі...................................................................18

1.7. Визначні границі .......................................................................................19

1.7.1. Перша визначна границя ...............................................................19

1.7.2. Друга визначна границя.................................................................20

1.8. Приклади обчислення границь функцій .................................................20

1.9. Неперервність функції..............................................................................23

1.9.1. Неперервність функції у точці.

Властивості неперервних функцій..............................................23

1.9.2. Точки розриву. Класифікація точок розриву ..............................25

1.9.3. Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій, непе-

рервних на відрізку.......................................................................26

2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ................28

2.1. Похідна функції та деякі

її інтерпретації................................................28

2.1.1. Означення похідної функції однієї змінної .................................28

2.1.2. Зміст похідної .................................................................................28

2.1.3. Задача про миттєву швидкість руху.

Механічний зміст похідної..........................................................29

2.1.4. Економічний зміст похідної..........................................................29

2.2. Диференційованість функції....................................................................30

2.2.1. Диференційованість функції та її диференціал...........................30

2.2.2. Геометричний зміст диференціала ...............................................31

2.3. Лінеаризація функції ................................................................................ 31

2.4. Правила диференціювання....................................................................... 32

2.5. Похідна складеної функції....................................................................... 33

2.6. Похідна оберненої функції....................................................................... 33

2.7. Інваріантність форми диференціала першого порядку......................... 33

2.8. Похідні основних елементарних функцій .............................................. 34

2.9. Логарифмічне диференціювання............................................................. 35

2.10. Диференціювання функцій, заданих параметрично ............................. 36

2.11. Похідні та диференціали вищих порядків ............................................. 36

2.11.1. Похідні вищих порядків, їх властивості .................................... 36

2.11.2. Диференціали вищих порядків, їх властивості ......................... 37

2.12. Точки екстремуму функції.

Основні теореми

диференціального числення...................................... 38

2.12.1. Точки екстремуму функції .......................................................... 38

2.12.2. Теорема Ферма ............................................................................. 39

2.12.3. Теорема Ролля .............................................................................. 39

2.12.4. Теорема Лагранжа........................................................................ 40

2.12.5. Теорема Коші................................................................................ 40

2.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.................................... 41

2.14. Формула Тейлора із залишковим членом у формах

Пеано та Лагранжа ................................................................................... 43

2.15. Розклад основних елементарних функцій за формулою

Тейлора, застосування її до наближених обчислень ............................ 46

2.16. Дослідження функції................................................................................ 48

2.16.1. Умови зростання та спадання ..................................................... 48

2.16.2. Необхідна та достатня умови екстремуму................................. 49

2.16.3. Найбільше та найменше значення функції................................ 51

2.16.4. Опуклість функції, точки перегину............................................ 52

2.16.5. Асимптоти..................................................................................... 53

2.16.6. Загальна схема дослідження функції

та побудови її графіка .................................................................. 54

2.17. Застосування похідної в економіці. Еластичність попиту ................... 56

3. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ ................................................................... 60

3.1. Поняття функції багатьох змінних.......................................................... 60

3.2. Границя і неперервність функції багатьох змінних ............................. 62

3.3. Частинні прирости та частинні

похідні .................................................. 62

3.4. Похідна за даним напрямом.

Градієнт функції декількох змінних....................................................... 63

3.5. Частинні похідні вищих порядків............................................................65

3.6. Повний приріст. Повний диференціал функції багатьох

незалежних змінних і його застосування ...............................................66

3.7. Диференціювання складених функцій....................................................67

3.8. Неявні функції та їх диференціювання...................................................68

3.9. Екстремуми функцій двох змінних .........................................................69

3.10. Найбільше і найменше значення функції, неперервної

у замкненій обмеженій області. Умовний екстремум

функції двох змінних. Метод множників Лагранжа.............................70

3.11. Маргінальна продуктивність

виробництва.

Попит на конкурентні товари..................................................................73

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ........................................................................................76

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

ВСТУП

Посібник у 4-х частинах написано відповідно до програми з ви-

щої математики для студентів економічних спеціальностей вищих на-

вчальних закладів. Автори під час складання посібника мали на меті

забезпечити ґрунтовне засвоєння теоретичного курсу з вищої матема-

тики, сприяти формуванню навичок у застосуванні методів вищої ма-

тематики з підсиленням її прикладної економічної

спрямованості.

Друга частина посібника складається з трьох розділів:

1. Вступ до математичного аналізу.

2. Диференціальне числення функції однієї змінної.

3. Диференціальне числення функції багатьох змінних.

У першому розділі дано означення функції однієї змінної, наве-

дені основні типи функцій, означення числової послідовності та гра-

ниці послідовності, означення границі функції в точці

та на нескін-

ченності, основні теореми про границі, приклади обчислення границь,

дані поняття неперервної в точці та на відрізку функції та їх властиво-

стей, класифікація точок розриву.

У другому розділі вивчаються методи диференціального чис-

лення функції однієї змінної, дані поняття похідної та диференціалу,

схема дослідження функції, наведені приклади використання похідної

економіці (еластичність та її застосування).

Третій розділ присвячений методам диференціального числення

функцій багатьох змінних. У цьому розділі дані поняття частинних

похідних, повного диференціалу, наведені приклади використання ча-

стинних похідних в економіці (маргінальна продуктивність, попит на

конкурентні товари).

Усі розділи мають однакову структуру. Насамперед, викладено

основний теоретичний матеріал (означення, твердження, теореми

то-

що), пропонуються приклади розв’язування типових задач теоретич-

ного й економічного характеру. Наприкінці теми наведені питання для

самоперевірки засвоєння матеріалу.

Знаками ► і  позначається початок і кінець розв’язання при-

кладу, а знаками Z і  − початок і кінець доведення теореми або тве-

рдження.

Поєднання у посібнику належної

повноти, обґрунтованості, логіч-

ної довершеності й доступності подання матеріалу дає можливість ре-

комендувати це видання для студентів усіх економічних спеціальностей

вищих навчальних закладів як денної, так і заочної форм навчання.

Розділ 1 написаний доц. В.М. Долгіх, розділи 2, 3 − старшим ви-

кладачем К.А. Дахер.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

1. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

1.1. ФУНКЦІЯ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

1.1.1. Поняття функції. Способи задання функцій

Нехай Х і Y – дві числові множини. Якщо кожному значенню х∈Х

відповідає єдиний елемент у∈Y, то кажуть, що задана функція f, яка

відображає множину Х на множину Y, і записують це так: y = f(x).

Множину Х називають областю визначення (існування) функції і

позначають D(f) = X, а Y −

множиною значень функції і позначають

E(f) = Y.

Якщо множина Х спеціально не визначена, то під областю визна-

чення мають на увазі область допустимих значень (ОДЗ) змінної х,

тобто множину значень х, при яких функція має сенс.

Приклад 1.1. y = πx

. Область визначення функції (ОДЗ): Х = (−∞, ∞),

множина значень: Y = [0, ∞). Іноді область визначення доводиться об-

межувати з урахуванням фізичного або геометричного змісту задачі.

Наприклад, якщо y – площа кола, а х – радіус, то область визначення

Х = [0, ∞).

Способи задання функції

Функція може бути задана аналітично, графічно, таблицею й

ал-

горитмом.

1. Аналітичний спосіб. Функція задається формулою (формулами) або

рівнянням, що зв’язує аргумент x та залежну змінну y. Під областю

визначення мають на увазі сукупність значень аргументу, для яких

аналітичний вираз має зміст і набуває дійсних значень (ОДЗ).

Наприклад,

1) y = x

+ 2;

⎩

⎨

⎧

≥+

<−

;1якщо,3

,1якщо,12

2x − 3y + 1 = 0.

Графічний спосіб. Задається графік функції, тобто множина точок

площини з координатами (х, f(x)).

Табличний спосіб. Задається таблиця певних значень аргументу та

відповідних їм значень функції.

Алгоритмічний спосіб. Задається алгоритм − сукупність арифмети-

чних і логічних операцій, які потрібно здійснити над аргументом,

щоб одержати значення функції.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

1.1.2. Деякі типи функцій

Монотонні функції

Нехай на множині Х задана функція y = f(x). Якщо для всіх x

, x

∈ X

з умови x

< x

випливає нерівність f(x

) < f(x

) (більшому значенню

аргументу відповідає більше значення функції), то функція називаєть-

ся монотонно зростаючою (рис. 1.1 а), якщо ж виконується нерівність

f(x

) > f(x

), то функція називається монотонно спадною (рис. 1.1 б).

Рис. 1.1. Монотонні функції

Якщо з умови x

< x

випливає нерівність f(x

) ≤ f(x

), то f(x) нази-

вається неспадною (рис. 1.1 в), а при f(x

) ≥ f(x

) − незростаючою

(рис. 1.1 г).

Функція називається кусково-монотонною, якщо область визна-

чення можна розбити на інтервали, у межах яких вона змінюється мо-

нотонно.

Наприклад, функція

y sin

є монотонно зростаючою на інтер-

валах x∈(−

/2 + 2

n) і монотонно спадною на інтервалах

x∈(

/2 +2

n; 3

/2 + 2

n) (n∈Z).

f(x

) f(x

)

f(x

) f(x

)

в) неспадна г) незростаюча

f(x

)

f(x

)

f(x

)

f(x

)

а) зростаюча б) спадна

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Парні та непарні функції

Множина Х називається симетричною множиною, якщо ∀x∈X

існує (−x)∈X.

Функцію f(x), визначену на симетричній множині Х, називають

парною, якщо для всіх x∈X виконується рівність f(−x) = f(x), і непар-

ною, якщо f(−x)= − f(x). Графік парної функції симетричний віднос-

но осі

Oу, а графік непарної функції симетричний відносно початку

координат.

Приклад 1.2. y = sinx – непарна, y = cosx – парна функція.

Властивості парних і непарних функцій

• добуток двох парних або двох непарних функцій є функцією

парною;

•

добуток непарної функції на парну є функцією непарною;

•

кожну функцію, задану на симетричній множині, можна подати

у вигляді суми парної та непарної функцій:

[][]

.)()(

)()(

)( xfxfxfxfxfy −−+−+==

Сума в перших дужках є парною функцією, а в других –

непарною.

Періодичні функції

Функція f(x) називається періодичною, якщо існує таке число

T ≠ 0, що f(x ± T) = f(x) для всіх x∈X. Найменше число Т, що має таку

властивість, називається основним періодом функції.

Приклад 1.3. .ctg,tg;2cos,sin

⇒

Обмежені та необмежені функції

Нехай функція y = f(x) задана на множині Х.

Якщо існує таке число М, що f(x) ≤ M для всіх x∈X, то кажуть,

що f(x) обмежена зверху (рис. 1.2 а). Якщо число M не існує, то ка-

жуть, що f(x) необмежена зверху.

Якщо існує таке число m,

що f(x) ≥ m для всіх x∈X, то кажуть,

що f(x) обмежена знизу (рис. 1.2 б). Якщо число m не існує, то ка-

жуть, що f(x) необмежена знизу.

Якщо існує таке число c > 0, що | f(x)| ≤ c для всіх x∈X, то ка-

жуть, що f(x

) обмежена (рис. 1.2 в). Обмеженість функції означає її

обмеженість зверху і знизу.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Рис. 1.2

Приклад 1.4.

y = lnx – необмежена функція.

Приклад 1.5. y = x

– необмежена зверху, обмежена знизу (m = 0).

Приклад 1.6. y = cosx – обмежена функція, оскільки

).1(1cos =≤ cx

Складна функція

Нехай Х – область визначення функції

(x), U – область визна-

чення функції f(u). Якщо множина значень функції

(x) укладається в

область визначення функції f(u), то функція

[

]

)(xfy

називається

складною функцією від x (композицією, суперпозицією функцій, або

функцією від функції).

Приклад 1.7. Функцію

1 xy −= можна подати у вигляді

,uy =

де

.1:.,1

≤

=−= xXxvvu

Обернена функція

Нехай на множині Х задана функція y = f(x) із множиною значень Y.

Якщо кожному y∈Y відповідає єдине значення x∈X, які зв’язані фор-

мулою

(y) = x, то кажуть, що на Y задана функція x =

(y) = f

−1

(y),

обернена до функції y = f(x). При цьому функції y = f(x) і x =

(y) нази-

вають взаємно оберненими і кажуть, що y = f(x) здійснює взаємно од-

нозначне відображення X ↔ Y.

Для знаходження оберненої функції досить розв’язати рівняння

y = f(x) відносно x (якщо це можливо).

Приклад 1.8. Для функції у = lnx оберненою є функція x = e

Не кожна функція має обернену.

Достатня ознака існування оберненої функції.

Для того щоб

існувала функція, обернена до функції y = f(x), досить, щоб f(x) моно-

тонно зростала (спадала). У цьому випадку обернена функція також

монотонно зростає (спадає).

а) обмежена зверху

y = M

б) обмежена знизу

y = m

в) обмежена

y = –c

y = c