Долгіх В.М. Математика для економістів - Математичний аналіз. Диференціальне числення
Подождите немного. Документ загружается.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
11
Основні елементарні функції
Функції y = C (C = const), y = x
α
(
α
= const), y = a
x
(a > 0, a ≠ 1), y =
= log
a
x (a > 0, a ≠ 1), y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y = arcsinx, y =
= arccosx, y = arctgx, y = arcctgx називаються основними елементарними
функціями.
Функції, одержані з основних елементарних за допомогою скін-
ченної кількості суперпозицій і арифметичних операцій, називаються
елементарними.
Питання для самоперевірки
1. Сформулюйте означення функції.
2.
Сформулюйте означення області визначення функції.
3.
Які існують способи задання функції?
4.
Яка функція називається парною (непарною)? Які види симетрії
вони мають?
5.
Яка функція називається періодичною? Наведіть приклади.
6.
Яка функція називається монотонною?
7.
Яка функція називається обмеженою зверху (знизу), обмеженою?
8.
Яка функція називається складною?
9.
Назвіть основні елементарні функції.
1.2. ПОСЛІДОВНОСТІ
1.2.1. Числова послідовність. Основні означення
Функцію x
n
= f(n), задану на множині натуральних чисел N (n∈N),
називають числовою послідовністю і позначають
{
}
{
}
...,...,,,
21 nn
xxxx
=
.
Числа x
1
, x
2
, …, x
n
,… називають членами (елементами) послідовності,
x
n
– загальним (n-м) членом, а n – його номером. Кажуть ще, що змін-
на x пробігає значення послідовності
{
}
.
n
x
Загальний член послідовності є функцією від номера n: x
n
= f(n),
n∈N.
Приклад 1.9. ....,
3
1
,
2
1
,1
1
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
Приклад 1.10. {(–1)
n
n}={–1, 2, –3, 4, …}.
Обмежені та необмежені послідовності
Послідовність {x
n
} називається обмеженою зверху (знизу), якщо всі
її члени не більші (не менші) деякого числа M: x
n
≤ M, (x
n
≥ M) (n ∈ N).
Послідовність {x
n
} називається обмеженою, якщо всі її члени за
модулем не більші деякого додатного числа M: |x
n
| ≤ M, (n ∈ N, M > 0).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
12
Монотонні послідовності
Послідовність {x
n
} називається зростаючою (неспадною), якщо
для будь-якого n виконується нерівність x
n+1
> x
n
(x
n+1
≥ x
n
).
Послідовність {x
n
} називається спадною (незростаючою), якщо
для будь-якого n виконується нерівність x
n+1
< x
n
(x
n+1
≤ x
n
).
Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні послідовності назива-
ються монотонними.
1.2.2. Границя послідовності
Часто доводиться вивчати поведінку членів послідовності при
необмеженому зростанні номера n (при n → ∞). Так, усі члени послі-
довності {1 / n} відмінні від нуля, але чим більше n, тим менше x
n
від-
різняється від 0. Кажуть, що члени цієї послідовності прямують до 0
при n → ∞, а число 0 є границею цієї послідовності.
Число а називається границею послідовності {x
n
}, якщо ∀
ε
> 0,
існує таке натуральне число N = N(
ε
), що для всіх членів послідовнос-
ті
з номерами n > N виконується нерівність |x
n
– a| <
ε
. У цьому випад-
ку кажуть, що послідовність {x
n
} збігається до числа а, і записують це
так:
.lim ax
n
n
=
∞→
Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не
має границі – розбіжною.
Зауваження. Точне означення границі послідовності було дано
Коші (1789-1857 – французький математик) і привело до появи методу
границь, застосування якого зумовило створення диференціального й
інтегрального числення, математичного аналізу. Суть методу полягає
в тому, що для визначення невідомої величини знаходять необмежене
число її наближень. Сама невідома величина визначається як границя
цих наближень. На основі поняття
границі сформульовані поняття по-
хідної й визначеного інтеграла.
Приклад 1.11. Дана послідовність
{}
.
2
1
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
n
n
х Довести, що
.0lim =
∞→
n
n
x
► Виберемо довільне число ε > 0 і запишемо нерівність
ε
<− ax
n
⇒
ε
<
n
2
1
. Знайдемо таке натуральне
N = N(ε), що при n > N
ця нерівність виконуватиметься. Розв’яжемо нерівність:
⇒>
−1
2
ε
n
.2lg/lglg2lg
11 −−
>⇒>
ε
ε
nn Досить узяти
[
]
12lg/lg
1
+
=
−
ε
N , де [х] –
ціла частина х.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
13
Наприклад, якщо ε = 0,1, то
[
]
413,0/1)(
=
+
=
ε
N і x
n
= 1,02/1 <
n
при n ≥ 4, для ε = 0,01 маємо
[
]
713,0/2)(
=
+
=
ε
N і x
n
= 01,02/1 <
n
при
n ≥ 7.
Геометрична ілюстрація означення границі послідовності
Інтервал (а – ε, а + ε) називається ε-околом точки а.
З означення границі випливає, що якщо а – границя {x
n
}, то для
будь-якого ε-околу точки а завжди існує таке N, що члени послідовно-
сті з номерами, більшими за N, знаходитимуться усередині ε-околу
точки а. Лише скінченна кількість її членів може знаходитися поза
цим околом.
1.2.3. Теореми про границі послідовностей
Теорема 1. Якщо границя послідовності існує, то вона єдина
Z Припустимо, що послідовність має дві границі: а і b (а ≠ b). Це
означає, що ∀
ε
> 0 існує таке натуральне число N = N(
ε
), що для всіх
членів послідовності з номерами n > N виконуються нерівності: |x
n
– a| <
ε
,
|x
n
– b| <
ε
. Візьмемо
ε
= (b – a) / 2, тоді ε-околи точок a і b не перети-
натимуться. За означенням границі усі члени послідовності з номера-
ми
n > N(
ε
) повинні належати одночасно ε-околам точок a і b, що
неможливо. Отже, припущення, що a ≠ b неправильне.
Теореми 2-4. Якщо існують скінченні границі послідовностей
{x
n
} і {y
n
}:
,lim,lim byax
n
n
n
n
=
=
∞→∞→
то існують і границі їхньої
суми, різниці, добутку й частки:
1. bayxyx
n
n
n
n
nn
n
±
=
±
=
±
∞→∞→∞→
limlim)(lim
−
границя суми
(різниці) послідовностей дорівнює сумі (різниці) границь.
2.
bayxyx
n
n
n
n
nn
n
⋅
=
⋅
=
⋅
∞→∞→∞→
limlim)(lim
−
границя добутку
послідовностей дорівнює добутку границь.
3.
(
)
0/lim/lim)/(lim
≠
=
=
∞→∞→∞→
bbayxyx
n
n
n
n
nn
n
−
границя
частки послідовностей дорівнює частці границь
Теорема 5 (про границю проміжної послідовності).
Якщо для послідовностей {x
n
}, {y
n
} і {z
n
} виконуються
умови x
n
≤ y
n
≤ z
n
, ,lim ax
n
n
=
∞→
,lim az
n
n
=
∞→
то й ay
n
n
=
∞→
lim
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
14
Теорема 6. Кожна монотонна обмежена послідовність має
границю
Приклад 1.12. Відомо, що послідовність
n
n
n
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
1
монотонно
зростає й обмежена, тому вона є збіжною. Границя цієї послідовності
дорівнює числу e:
....718281828,2
1
1lim ==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
e
n
n
n
1.2.4. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності
Послідовність {x
n
} (змінна x
n
) називається нескінченно малою,
якщо
.0lim
=
∞→
n
n
x
Послідовність {x
n
} (змінна x
n
) називається нескінченно великою,
якщо для будь-якого M > 0 існує таке натуральне число N > 0, що для
всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність
.Mx
n
> У цьому випадку кажуть, що послідовність {x
n
} (змінна x
n
)
прямує до нескінченності, і записують це так:
,lim ∞
=
∞→
n
n
x
або x
n
→ ∞.
Якщо нескінченно велика змінна x
n
(послідовність {x
n
}), почина-
ючи з деякого номера n
0
приймає тільки додатні чи тільки від’ємні
значення, то записують це так:
+
∞
=
∞→
n
n
xlim
(x
n
→ +∞),
−
∞
=
∞→
n
n
xlim
(x
n
→ −∞).
Питання для самоперевірки
1. Сформулюйте означення числової послідовності.
2.
Яка послідовність називається обмеженою зверху (знизу), обме-
женою?
3.
Яка послідовність називається зростаючою, спадною, незростаю-
чою, неспадною?
4.
Сформулюйте означення границі послідовності.
5.
Яка послідовність називається збіжною (розбіжною)?
6.
Сформулюйте основні теореми про границі послідовностей.
7.
Яка послідовність називається нескінченно малою (нескінченно
великою)?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
15
1.3. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ
Границя функції на нескінченності
Число А називається границею функції f(x) при х → +∞ (х → −∞),
якщо для довільного малого числа
ε
> 0, знайдеться таке число
Μ
, що
для всіх х >
Μ
(х <
Μ
) виконуватиметься нерівність ⏐f(x) − A⏐<
ε
. Си-
мволічно це записують так:
;)(lim Axf
x
=
∞+→
.)(lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−∞→
Axf
x
Зауваження. Якщо f(x) → A при х → +∞ (х → −∞), то пряма y = A
є горизонтальною асимптотою графіка функції y = f(x) при х → +∞
(х → −∞).
Границя функції в точці
Нехай функція y = f(x) визначена в деякому околі точки х
0
(у са-
мій точці х
0
функція f(x) може не існувати).
Число А називається границею функції f(x) у точці х
0
(при х → х
0
),
якщо для довільного малого
ε
> 0 існує таке число
δ
(
ε
) > 0, що для
всіх x ∈ D(f), які задовольняють умову 0 <⏐х − х
0
⏐<
δ
, виконується не-
рівність ⏐f(x) − A⏐<
ε
. Записують це так: Axf
xx
=
→
)(lim
0
, або f(x) → A
при х → х
0
.
Односторонні границі
Означення границі функції в точці х
0
було дано незалежно від спо-
собу прямування змінної х до точки х
0
. Якщо х → х
0
зліва (х < х
0
), і при
цьому функція f(x) прямує до числа А¯, то число А¯ називають лівосто-
ронньою границею функції та позначають одним із таких способів:
Рис. 1.3
==
<
→
−
)(lim
0
0
xfA
xx
xx
)(lim
0
0
xf
xx −→
= ).0(
0
−xf
Аналогічно визначається правостороння
границя А
+
функції у точці х
0
:
)(lim
0
0
xfA
xx
xx
>
→
+
=
=)(lim
0
0
xf
xx +→
=).0(
0
+xf
Лівостороння й правостороння границі
називаються односторонніми границями.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
16
Приклад 1.13. Знайти односторонні границі функції
⎩
⎨
⎧
>
≤
≤
=
1при,2
,10при,
)(
х
хx
xf
у точці x
0
= 1.
► f(1 − 0) =
=
−→
)(lim
01
xf
x
,1lim
01
=
−→
x
x
f(1 + 0) =
=
+→
)(lim
01
xf
x
.22lim
01
=
−→x
Для існування границі функції в точці х
0
необхідно і достатньо,
щоб лівостороння границя в точці х
0
дорівнювала правосторонній гра-
ниці, тобто
f (x
0
− 0) = f(x
0
+ 0) =A ⇔ .)(lim
0
Axf
xx
=
→
1.4. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ФУНКЦІЇ
Функція f(x) називається нескінченно малою при х → x
0
(у точці x
0
),
якщо
.0)(lim
0
=
→
xf
xx
Аналогічно можна визначити нескінченно малі
функції при х → +∞, х → −∞, х → x
0
− 0, х → x
0
+ 0.
Властивості нескінченно малих функцій
Сума й добуток скінченного числа нескінченно малих функцій при
х → x
0
(х → ±∞, х → x
0
± 0), а також добуток і частка нескінченно малої
функції на обмежену функцію є нескінченно малими функціями.
Перераховані властивості легко запам’ятати, якщо використову-
вати символічний запис, зв’язав із нескінченно малою функцією сим-
вол “0”, а з обмеженою функцією – символ “с”:
1.
0 + 0 + … + 0 = 0.
2.
0 ⋅ 0 ⋅ … ⋅ 0 = 0.
3.
0 ⋅ с = 0.
4.
0 / с = 0 (с ≠ 0).
Порівняння нескінченно малих функцій.
Еквівалентні нескінченно малі функції
Нехай
α
(x) і
β
(х) – нескінченно малі функції при х → x
0
, тобто
.0)(lim,0)(lim
00
==
→→
xx
xxxx
βα
Для того щоб порівняти дві нескінченно малі функції за швидкіс-
тю прямування до нуля, необхідно обчислити границю їхнього відно-
шення.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
17
Нехай
,
)(
)(
lim
0
A
x
x
xx
=
→
β
α
тоді:
1.
Якщо 0=
A
, то функція
α
(х) називається нескінченно малою більш
високого порядку малості, ніж функція
β
(х). Символічно це запи-
сують так:
α
(х) = о(
β
(х)) (читається “о − мале”);
2.
Якщо число ,1,0 ≠
≠
АА то
α
(х) і
β
(х) – нескінченно малі одного
порядку малості. Записують це так:
α
(х) = О(
β
(х)) (читається “О –
велике”).
3.
Якщо
()
0
)(
)(
lim
0
≠=
→
A
x
x
n
xx
β
α
, то
α
(х) – нескінченно мала n-го порядку
малості щодо
β
(х).
4.
Якщо
1
)(
)(
lim
0
=
→
х
x
xx
β
α
, то
α
(х) і
β
(х) – еквівалентні нескінченно малі
функції. Еквівалентність позначається так:
α
(х) ∼
β
(х).
Має місце властивість: якщо при х → x
0
(х → ∞) f(x) ∼ f
1
(x) і g(x) ∼
∼ g
1
(x), то
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
1
1
)()(
00
xg
xf
xg
xf
x
xx
x
xx
∞→
→
∞→
→
=
Якщо
,0)(lim
)(
0
=
∞→
→
xf
x
xx
тобто f(x) нескінченно мала функція при
x → x
0
(x → ∞), то при обчисленні границь зручно користуватися та-
ким рядом еквівалентних нескінченно малих функцій: sinf(x) ∼ tgf(x) ∼
∼ arcsinf(x) ∼ arctgf(x) ∼ ln[1 + f(x)] ∼ e
f(x)
− 1 ∼
(
)
1)(1 −+
n
xfn
∼ f(x).
1.5. НЕСКІНЧЕННО ВЕЛИКІ ФУНКЦІЇ
Функція f(x) називається нескінченно великою при x → x
0
(у точці x
0
),
якщо для будь-якого великого числа М > 0 знайдеться такий
δ
-окіл
точки x
0
, обумовлений нерівністю 0<⏐x
−
x
0
⏐<
δ
, для всіх точок якого
виконуватиметься нерівність ⏐f(x)⏐ >
Μ
. Символічно записують це
так:
∞=
→
)(lim
0
xf
xx
і кажуть, що функція f(x) прямує до нескінченності
при х → x
0
.
Якщо замість нерівності ⏐f(x)⏐ >
Μ
виконується нерівність f(x) >
>
Μ
(f(x) < −M), то записують це так:
+
∞
=
→
)(lim
0
xf
xx
( −∞=
→
)(lim
0
xf
xx
).
Зауваження. Якщо
∞
=
→
)(lim
0
xf
xx
, то пряма х = x
0
є вертикальною
асимптотою графіка функції y = f(x) при х → x
0
.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
18
Властивості нескінченно великих функцій
1. Сума нескінченно великих функцій одного знака є нескінченно ве-
ликою функцією того ж знака.
2.
Сума нескінченно великої й обмеженої функцій є нескінченно ве-
ликою функцією.
3.
Добуток двох нескінченно великих функцій є функцією нескінчен-
но великою.
4.
Добуток нескінченно великої функції на функцію, що має відмінну
від нуля границю, є функцією нескінченно великою.
5.
Додатний степінь нескінченно великої функції є функцією нескін-
ченно великою.
6.
Частка від ділення обмеженої функції на нескінченно велику є не-
скінченно малою функцією.
Зв’яжемо з нескінченно великою функцією символ “∞”, із нескін-
ченно малою функцією − символ “0”, а з обмеженою функцією − сим-
вол “с”. Тоді властивості 1-6 можна записати так:
1.
∞ + ∞ = ∞.
2.
∞ + с = ∞.
3.
∞ ⋅ ∞ = ∞.
4.
∞ ⋅ с = ∞ (с ≠ 0).
5.
∞ ⋅ α = ∞ (α > 0).
6.
с / ∞ = 0.
З останньої властивості випливає зв’язок між нескінченно вели-
кими і нескінченно малими функціями: функція, обернена до нескін-
ченно великої, є функцією нескінченно малою, а функція, обернена до
нескінченно малої, є нескінченно великою функцією. Символічний
запис:
,0
1
=
∞
.
0
1
∞=
1.6. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІ
Теорема.
Для того щоб число А було границею функції f(x) при
х →
x
0
необхідно й достатньо, щоб в околі точки х
0
виконува-
лась рівність ),()(
x
A
x
f
α
+
=
де α(х) – нескінченно мала
функція при х →
x
0
Z Необхідність. Нехай
,)(lim
0
Axf
xx
=
→
тоді
⇒=−
→
0))((lim
0
Axf
xx
)()(
x
A
x
f
α
=−⇒ – нескінченно мала при х → x
0
.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
19
Достатність. Нехай ),()(
x
A
x
f
α
+
=
де α(х) – нескінченно мала
при х → x
0
. Тоді α(х) = f(x) – A, 0))((lim)(lim
00
=−
=
→→
Axfx
xxxx
α
⇒
⇒ Axf
xx
=
→
)(lim
0
.
Основні теореми про границі
Якщо існують границі
),...,,2,1()(lim
0
niAxf
ii
xx
==
→
то:
1)
)(lim)(lim
11
00
xfxf
i
n
i
n
i
xx
i
xx
∑∑
==
→→
= =;
1
∑
=
n
i
i
A
2)
;)(lim)(lim
111
00
∏∏∏
==
→
=
→
==
n
i
ii
n
i
xx
n
i
i
xx
Axfxf
3)
)(lim)(lim
00
xfCxCf
xxxx →→
= (С = const);
4)
2
1
2
1
)(
)(
lim
0
A
A
xf
xf
xx
=
→
(A
2
≠0).
Z Доведемо, наприклад, властивість 1. Нехай
ii
xx
Axf =
→
)(lim
0
),...,,2,1( ni =
тоді в околі точки х
0
можна подати функції у вигляді:
),()( xAxf
iii
α
+= де α
i
(x) – нескінченно малі функції при x → x
0
.
∑∑∑∑∑
=
→
==
→
==
→→
=+=+=
n
i
i
xx
n
i
n
i
i
xx
i
n
i
n
i
ii
xx
i
xx
xfxAxAxf
11111
)(lim)(lim))((lim)(lim
0000
αα
.
Аналогічно можна довести властивості 2-4;
5)
теорема (про границю проміжної функції). Якщо ),()()(
x
g
x
f
x
≤
≤
ϕ
,)(lim,)(lim
00
AxgAx
xxxx
==
→→
ϕ
то і .)(lim
0
Axf
xx
=
→
Зауваження. Властивості 1-5 виконуються і при x → ±∞, x → x
0
± 0.
1.7. ВИЗНАЧНІ ГРАНИЦІ
1.7.1. Перша визначна границя
Теорема. Границя відношення (sinx) / x при x → 0 дорівнює 1:
1
0
0sin
lim
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
x
x
x
Z У колі радіуса 1 побудуємо ΔOAC, ΔOBC, ∠AOC = x (рис. 1.4).
Запишемо нерівності:
OBCсектOACOAC
SSS
ΔΔ
<
<
⇒ <⋅ ADOC
2
1
⇒⋅<⋅< CBOCxOC
2
1
2
1
2
.tgsin
x
x
x
<
<
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
20
Рис. 1.4
Поділімо на sinx > 0, отримаємо
xx
x
cos
1
sin
1 <<
.1
sin
cos <<⇒
x
x
x
Оскільки
,11lim,1coslim
00
=
=
→→ xx
x
то за
теоремою про границю проміжної функції
одержимо:
.1
0
0sin
lim
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
x
x
x
1.7.2. Друга визначна границя
Теорема (без доведення). Границя функції
x
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
1
при x → ∞
дорівнює 1:
()
e
x
x
x
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞
∞→
1
1
1lim
, або
()
(
)
....718281828,211lim
/1
0
===+
∞
→
eu
u
u
1.8. ПРИКЛАДИ ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ ФУНКЦІЙ
При обчисленні границі необхідно, у першу чергу спробувати
підставити граничне значення х
0
у функцію під знаком границі. Якщо
при цьому одержимо число А, то це число і є границею.
Приклад 1.14
► .4
1
4
103
40sin
13
4sin
lim
22
0
=
−
−
=
−
⋅
−
=
−
−
→
x
x
x
При обчисленні границь часто використовуються співвідношення
між нескінченно малими і нескінченно великими функціями.
Приклад 1.15
► .
0
2
0tg
2030
tg
23
lim
22
0
∞=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅+
=
++
→
x
xx
x
При обчисленні границь можуть виникнути невизначеності
виду
,
0
0
,
∞
∞
,∞−
∞
,1
∞
,
0
∞ ,0
0
які розкриваються за допомогою алгеб-
раїчних перетворень.