Долгіх В.М. Математика для економістів - Математичний аналіз. Диференціальне числення
Подождите немного. Документ загружается.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
21
Границя відношення многочленів при x → ∞
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>∞
=
>
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
∞
=
++++
++++
−
−
−
−
∞→
.,
,,
,,0
...
...
lim
00
1
1
10
1
1
10
mn
nmba
nm
bxbxbxb
axaxaxa
mm
mm
nn
nn
x
Приклад 1.16
►
.
2
1
002
0001
35
2
131
1
lim
352
13
lim
32
32
3
23
=
++
−+−
=
++
−+−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
∞
=
++
−+−
∞→∞→
x
x
xx
x
xx
xxx
xx
Границя відношення многочленів при x →
x
0
.
...
...
lim
1
1
10
1
1
10
0
mm
mm
nn
nn
хx
bxbxbxb
axaxaxa
++++
++++
−
−
−
−
→
Якщо при x → x
0
чисельник і знаменник прямують до 0, то ми ма-
ємо невизначеність виду
0
0
. Для її розкриття необхідно чисельник і
знаменник поділити на (x – x
0
) і потім перейти до границі при x → x
0
.
Якщо при цьому знову утвориться невизначеність виду
0
0
, то треба
повторити ділення чисельника й знаменника на (x – x
0
) доти, поки хо-
ча б один із них перестане обертатися в нуль при х = х
0
.
Приклад 1.17
►
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+−
+−−
→
0
0
23
1
lim
3
23
1
xx
xxx
x
. Поділимо чисельник і знаменник на х – 1
_ х
3
– х
2
– х + 1 х – 1 _х
3
– 3х + 2 х – 1
х
3
– х
2
х
2
– 1 х
3
– х
2
х
2
+ х – 2
–х + 1 _х
2
– 3х
–х + 1
х
2
– х
0 _–2х + 2
–2х + 2
0
(
)
(
)
()( )
.
3
2
2
1
lim
21
11
lim
0
0
2
1
lim
0
0
23
1
lim
11
2
2
1
3
23
1
=
+
+
=
+−
+−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+−
+−−
→→→→
x
x
xx
xx
xx
x
xx
xxx
xxxx
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
22
Границі функцій, що містять ірраціональність
Приклад 1.18
► .
0
0
43
53
lim
2
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−−
+−
→
xx
x
x
Помножимо чисельник і знаменник на
вираз
,53 x++ спряжений до чисельника:
()()
()
()
(
)
()
()
=
++−−
+−
=
++−−
+++−
→→
xxx
x
xxx
xx
xx
5343
53
lim
5343
5353
lim
2
2
2
4
2
4
()()
()
()
()
.
30
1
531
1
lim
5314
4
lim
44
−=
+++
−
=
+++−
−
=
→→
xxxxx
x
xx
Приклад 1.19
►
(
)
()
(
)
(
)
=
++
++−+
=⋅∞=−+
∞→∞→
xx
xxxxx
xxx
xx
4
44
lim04lim
2
22
2
(
)
.2
2
4
141
4
lim
4
4
lim
4
4
lim
222
22
==
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
∞
=
++
=
++
−+
=
→∞→∞→∞
xxx
x
xx
xxx
xxx
Застосування першої визначної границі
Приклад 1.20
►
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
→→→
2
0
2
2
0
2
0
3sin
lim2
3sin2
lim
0
06cos1
lim
x
x
x
x
x
x
xxx
.18118
3
3sin
lim189
3
3sin
lim2
2
2
0
2
0
=⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→→
x
x
x
x
xx
Приклад 1.21
►
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
→→=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
3/)(sin
0при0;3arcsin
0
03arcsin
lim
0
tx
хttx
x
x
x
.3
sin
lim3
0
==
→
t
t
t
Застосування другої визначної границі
Приклад 1.22
►
()
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
∞→
∞
+
∞→
1515
1
23
43
1lim1
23
43
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+=
+
∞→
15
23
2
1lim
x
x
x
(
)
.
23
2
1lim
3
10
)/2(3
)/1(5
lim2
23
152
2/)23(
ee
x
x
x
x
x
x
x
x
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
+
∞→
∞→
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
23
Зауваження. Друга визначна границя застосовується для розкрит-
тя невизначеностей 1
∞
, одержуваних при обчисленні границь виду:
()
,)(lim
)(
0
xg
x
xx
xf
∞→
→
де ,1)( →
x
f
.)(
∞
→
x
g
Якщо ;1)( ≠→ a
x
f
0,
а ,)( ∞→
x
g
то
()
⎩
⎨
⎧
>∞
<<
==
∞
∞→
→
.1при,
,10при,0
)()(lim
)(
0
a
a
axf
xg
x
xx
Приклад 1.23
► .0
3
2
)/4(3
)/1(2
lim
43
12
lim
15
15
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
∞
−
∞→
−
∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
Застосування еквівалентних нескінченно малих функцій
Приклад 1.24
►
.
3
2
3
2
lim
3~3sin
2~2arctg0при
3sin
2arctg
lim
00
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
→
=
→→
x
x
xx
xxх
x
x
xx
Питання для самоперевірки
1. Сформулюйте означення границі функції при x → х
0
і x → ∞.
2.
Сформулюйте означення лівосторонньої та правосторонньої гра-
ниць функції у точці х
0
.
3.
Сформулюйте основні теореми про границі функції.
4.
Яка функція називається нескінченно малою? Перелічіть її власти-
вості.
5.
Яка функція називається нескінченно великою? Перелічіть її влас-
тивості.
6.
Як зв’язані нескінченно малі та нескінченно великі функції?
7.
Як порівняти дві нескінченно малі функції?
8.
Запишіть першу та другу визначні границі.
1.9. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ
1.9.1. Неперервність функції у точці.
Властивості неперервних функцій
Дамо декілька означень неперервної у точці x
0
функції.
Нехай функція f(x) визначена в точці x
0
й у деякому її околі.
1.
Функція f(x) називається неперервною в точці x
0
, якщо границя
функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
).()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
24
2.
Функція f(x) називається неперервною у точці x
0
, якщо для будь-
якого
ε
> 0 можна визначити такий
δ
-окіл точки x
0
(обумовлений
нерівністю ⏐х – x
0
⏐<
δ
), для всіх точок якого виконуватиметься не-
рівність: ⏐f(x) – f(x
0
)⏐<
ε
.
Приростом незалежної змінної х у точці x
0
називається різни-
ця ∆х = x – x
0
.
Приростом функції y = f(x) у точці x
0
, що відповідає приросту
аргументу ∆х, називається різниця: ∆у = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
).
3.
Функція у = f(x) називається неперервною у точці x
0
, якщо нескін-
ченно малому приросту аргументу ∆х відповідає нескінченно ма-
лий приріст функції ∆у, тобто
,0lim
0
=
Δ
→Δ
y
x
або ∆y → 0 при ∆х → 0.
4.
Функція f(x) називається неперервною в точці x
0
, якщо лівосторон-
ня границя f(x
0
– 0) дорівнює правосторонній границі f(x
0
+ 0)
і дорівнює значенню функції в точці f(x
0
), тобто:
=
−
)0(
0
xf ).()0(
00
xfxf
=
+
=
Це означення неперервності використовується при розв’язанні
задач.
Властивості функцій, неперервних у точці
1. Якщо f(x) і φ(х) неперервні в точці x
0
, то в цій точці неперервна їх-
ня сума (різниця) f(x) ± φ(x), добуток f(x) ⋅ φ(х) і частка f(x) / φ(х) (за
умови φ(x
0
) ≠ 0).
2.
Якщо функція f(x) неперервна в точці x
0
і f(x
0
) > 0 (f(x
0
) < 0), то іс-
нує такий окіл точки x
0
, в якому f(x) > 0 (f(x) < 0).
3.
Якщо функція y = f(u) неперервна в точці u
0
, а функція u = φ(x) не-
перервна в точці x
0
(u
0
= φ(x
0
)), то складна функція u = f [φ(x)] непе-
рервна в точці x
0
. Ця властивість може бути записана у вигляді:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
→→
)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx
ϕϕ
, тобто знак границі можна вносити під
знак неперервної функції.
4.
Елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона ви-
значена.
Одностороння неперервність
Нехай функція f(x) визначена в точці x
0
та у її лівосторонньому
(правосторонньому) околі. Тоді якщо f(x
0
– 0) = f(x
0
) (f(x
0
+ 0) = f(x
0
)),
то функція f(x) неперервна в точці x
0
зліва (справа).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
25
1.9.2. Точки розриву. Класифікація точок розриву
Якщо в точці x
0
функція f(x) не є неперервною, то точка x
0
нази-
вається точкою розриву функції.
Якщо в точці x
0
існують скінченні лівостороння f(x
0
– 0) і право-
стороння f(x
0
+ 0) границі, але рівність f(x
0
– 0) = f(x
0
+ 0) = f(x
0
) не ви-
конується, то точка x
0
називається точкою розриву 1-го роду.
Якщо в точці x
0
хоча б одна з односторонніх границь дорівнює
нескінченності або не існує, то точка x
0
називається точкою розриву
2-го роду.
Наведемо приклади функції, що мають у точці x
0
= 0 розрив
2-го роду.
Приклад 1.25. f(x) = sin(1/x).
► Границя
)/1sin(lim
0
x
x→
не існує, x
0
= 0 − точка розриву 2-го роду.
Приклад 1.26. f(x) = 1/x.
►
±∞=
±
=
±→
)0/1(/1lim
0
x
x
− точка x
0
= 0 − точка розриву 2-го роду.
Приклад 1.27. Дослідити на неперервність і побудувати графік
функції
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥−
<≤−
<−
=
.2якщо,4
,20якщо,1
,0якщо,1
)(
2
xx
xx
xx
xf
► Оскільки кожна з функцій х – 1, х
2
– 1, 4 – х визначена й непе-
рервна на всій числовій осі, то для визначення точок розриву функції
необхідно дослідити точки зміни одного аналітичного виразу іншим,
тобто точки 0
1
=х ,.2
2
=х Дослідження проводимо за допомогою
4-го означення неперервності. Обчислимо лівосторонню й правосто-
ронню границі й значення функції у точках
1
х , :
2
х
()
;11lim)00(
00
−=−=−
−→
xf
x
(
)
;11lim)00(
2
00
−
=
−
=
+
+→
xf
x
.110)0(
2
−=−
=
f
Оскільки f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0), то у точці
0
1
=
х функція f(x)
неперервна.
У точці 2
2
=х маємо:
(
)
;31lim)02(
2
02
=
−
=
−
−→
xf
x
(
)
;24lim)02(
02
=
−
=
+
+→
хf
x
.224)2(
=
−
=
f
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
26
Рис. 1.5
Оскільки f(2 – 0) ≠ f(2 + 0)
=
= f(2), то при х = 2 функція ма
є
розрив 1-го роду (функція непе
-
рервна справа і розривна зліва).
Побудуємо графік (рис. 1.5).
Приклад 1.28. Дослідити на неперервність функцію .2
)1(1 x
y
−
=
► При х ≠ 1 функція 1 / (1 – x) неперервна, отже, неперервна і
функція
.2
)1(1 x−
При х = 1 функція 1 / (1 – x) невизначена, отже, неви-
значена і функція
.2
)1(1 x−
Обчислимо лівосторонню й правосторонню границі функції у то-
чці х = 1.
()
()
,2222lim)01(
0
1
011
1
1
1
01
+∞==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==−
∞+
+
−−
−
−→
х
x
f
()
()
.0
1
2
1
2222lim)01(
0
1
011
1
1
1
01
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==+
∞+
∞−
−
+−
−
+→
х
x
f
Рис. 1.6
Оскільки )01(
−
f
= +∞, то у точці
х = 1 функція має розрив 2-го роду.
Для побудови графіка з’ясуємо
поведінку функції при х → ±∞.
()
.12222lim
0
1
1
1
1
1
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∞∞
−
±∞→
∓
∓∓
x
x
Отже, при х → ±∞ графік функції
має горизонтальну асимптоту у = 1
(рис. 1.6).
1.9.3. Неперервність функції на відрізку.
Властивості функцій, неперервних на відрізку
Функція f(x) називається неперервною на відрізку [a, b], якщо во-
на неперервна в усіх точках інтервалу (a, b), неперервна справа в точ-
ці а і зліва в точці b.
Нехай f(x) задана на множині Х. Якщо існує така точка ,
0
Xx ∈ що
для будь-якого X
x
∈ виконується нерівність f(x) ≤ f(x
0
), то кажуть, що
в точці х
0
досягається найбільше значення функції sup f(x) = f(x
0
) = M.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
27
Якщо f(x) ≥ f(x
0
), то кажуть, що в точці х
0
досягається найменше зна-
чення функції inf f(x) = f(x
0
) = m.
1.
Теорема Вейєрштрасса. Якщо функція f(x) неперервна на від-
різку [a, b], то вона досягає на ньому свого найбільшого М і най-
меншого m значень.
Найбільше і найменше значення можуть досягатися як у внутрі-
шніх точках відрізка, так і на його кінцях. Якщо умови теореми не ви-
конуються, наприклад, функція має розрив, або функція задана не на
відрізку, а на інтервалі, то функція може і не досягати найбільшого М
і найменшого m значень. Наприклад, функція f(x) = 1 / (x − 2) на відрі-
зку [2, 4] має розрив другого роду в точці х = 2. Найбільшого значення
на цьому відрізку немає, найменше значення m = 2 досягається в точ-
ці х = 4.
2.
Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона обме-
жена на ньому, тобто m ≤ f(x) ≤ М.
3.
Теорема Коші. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b]
і приймає на його кінцях значення протилежних знаків, тобто f(a) f(b) < 0,
то існує принаймні одна точка a < с < b, у якій функція дорівнює ну-
лю, тобто f(с) = 0.
Теорема Коші використовується для знаходження коренів алгеб-
раїчних і трансцендентних рівнянь, наприклад, рівняння 2
х
= 4х.
Питання для самоперевірки
1. Сформулюйте декілька означень неперервності функції у точці.
2.
Перелічіть властивості неперервних у точці функцій.
3.
Сформулюйте означення односторонньої неперервності функції
у точці.
4.
Сформулюйте означення точок розриву функції та наведіть їх кла-
сифікацію.
5.
Сформулюйте означення неперервної на відрізку функції.
6.
Перелічіть основні властивості неперервних на відрізку функцій.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
28
2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
2.1. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ ТА ДЕЯКІ ЇЇ ІНТЕРПРЕТАЦІЇ
2.1.1. Означення похідної функції однієї змінної
Розглянемо функцію y = f(x), що задана в околі точки х
0
.
Якщо існує скінченна границя ,
)()(
lim
0
0
0
xx
xfxf
xx
−
−
→
то вона назива-
ється похідною функції f у точці х
0
:
=
′
)(
0
xf .
)()(
lim
0
0
0
xx
xfxf
xx
−
−
→
Різниця
0
xxx −=Δ називається приростом аргументу, а
)()(
0
xfxfy −=Δ – приростом функції.
Таким чином, можна дати означення похідної як границі відно-
шення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує
до нуля:
.lim
0
x
y
y
x
Δ
Δ
=
′
→Δ
(2.1)
2.1.2. Задача про дотичну до кривої.
Геометричний зміст похідної
Розглянемо функцію у = f(x), яка має похідну )(
0
xf
′
в точці х
0
.
Рівняння січної
,
0
MM
що проходить через точки
))(,(
000
xfxM
та
))(,(
00
xxfxxM Δ+Δ+ графіка функції у = f(x) (рис. 2.1), має вигляд:
Рис. 2.1
),(
)()(
)(
0
00
0
xx
x
xfxxf
xfy −⋅
Δ
−
Δ
+
+=
де x і y – змінні координати точки січної.
При 0→
Δ
x
кутовий коефіцієнт січної
x
xfxxf
Δ
Δ
)()(
00
−
+
→
).(
0
xf
′
А тому граничне положення січної ви-
значається рівнянням:
).)(()(
000
xxxfxfy −
′
+
=
(2.2)
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
29
Пряма, яка задається цим рівнянням, називається дотичною до
графіка функції у = f(x) у точці .
0
x Кутовий коефіцієнт дотичної
.tg)(
0
α
=
′
xf
Остання формула приводить до геометричного змісту похідної:
похідна )(
0
xf
′
функції у = f(x) у точці
0
x дорівнює кутовому коефіцієн-
ту дотичної до графіка функції у = f(x), проведеної в точці
)).(,(
00
xfx
Геометричне тлумачення похідної як кутового коефіцієнта доти-
чної до графіка функції поширюється і на випадок нескінченної похі-
дної. У цьому випадку дотична паралельна осі Oy.
2.1.3. Задача про миттєву швидкість руху.
Механічний зміст похідної
Розглянемо прямолінійний рух тіла, для якого пройдена відстань
є функцією від часу: s = f(t). Середня швидкість руху за час Δt визна-
чається за формулою:
.
t
s
v
cep
Δ
Δ
=
Для визначення миттєвої швидкості тіла в даний момент часу
спрямуємо Δt до нуля. Отримаємо:
).(
)()(
limlim
0
00
0
0
ts
t
tstts
t
s
v
ttt
′
=
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
=
→→Δ
Механічний зміст похідної: похідна від відстані за часом дорів-
нює миттєвій швидкості руху в цей момент.
Відповідно похідна будь-якої функції при даному значенні аргу-
менту дорівнює швидкості зміни цієї функції при х, що розглядається.
2.1.4. Економічний зміст похідної
Маргінальними витратами називають гранично можливі витрати
за умов хоча б постійного відтворення виробництва відповідної про-
дукції. Аналогічно визначають маргінальні доходи та прибуток.
Позначимо через )(),(
x
D
x
V
та )(
x
P
– витрати, дохід і прибуток
виробництва x одиниць продукції. Кожна з цих величин є певною фу-
нкцією кількості одиниць x виробленої та проданої продукції.
Якщо підприємство збільшує випуск продукції на
x
Δ
одиниць, то
ці функції набудуть приросту:
);()()(
x
V
x
x
V
x
V
−Δ+=Δ );()()(
x
D
x
x
D
x
D
−
Δ
+
=
Δ
).()()(
x
P
x
x
P
x
P
−
Δ
+
=Δ
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
30
Відношення приросту функції до приросту аргументу
x
Δ харак-
теризує приріст відповідної функції на одиницю приросту продукції, а
границя цього відношення при 0→
Δ
x
стає маргінальною.
Економічний зміст похідної: похідні
)(),(),( xPxDxV
′
′
′
дорівню-
ють маргінальній вартості, доходу та прибутку відповідно:
•
маргінальна вартість
=
′
)(xV
;
)()(
lim
)(
lim
0
x
xVxxV
x
xV
xox
Δ
−Δ
+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
•
маргінальний дохід
=
′
)(xD ;
)()(
lim
)(
lim
0
x
xDxxD
x
xD
xox
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
•
маргінальний прибуток
=
′
)(xP .
)()(
lim
)(
lim
0
x
xPxxP
x
xP
xox
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
2.2. ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІСТЬ ФУНКЦІЇ
2.2.1. Диференційованість функції та її диференціал
Якщо приріст функції y = f(x) при х = х
0
можна подати у вигляді
),(
x
o
x
A
y
Δ
+
Δ
=
Δ
(2.3)
де A = const, то функція y = f(x) називається диференційованою при
х = х
0
, а АΔх називається головною лінійною частиною приросту або
диференціалом функції і позначається:
dy = АΔх.
Зауваження. Оскільки при у = х отримаємо dx = Δx, можна по-
значати Δх = dx.
Теорема 1. Функція диференційована в деякій точці тоді й
тільки тоді, коли вона має в цій точці похідну
Z 1) якщо для )(
x
f
y = існує
x
y
xf
x
Δ
Δ
=
′
→Δ 0
0
lim)(, то
+
′
=
Δ
Δ
)(
0
xf
x
y
),(
x
Δ+
β
де β(Δх) – нескінченно мала при Δх → 0.
Тоді
).()()()(
00
xoxxfxxxxfy
Δ
+
Δ
′
=
Δ
Δ
+Δ
′
=
Δ
β
Отже, функція y = f(x) диференційована при х = х
0
, причому
);(
0
xfA
′
=
2) припустимо, що y = f(x) диференційована при х = х
0
, тобто її
приріст має вигляд (2.3). Тоді
).()
)(
(limlim
0
00
xfA
x
xo
A
x
y
xx
′
==
Δ
Δ
+=
Δ
Δ
→Δ→Δ
Та-
ким чином, f(x) має похідну в точці х
0
, що дорівнює А.