Долгіх В.М. Математика для економістів - Математичний аналіз. Диференціальне числення
Подождите немного. Документ загружается.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
41
2.13. РОЗКРИТТЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ.
ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ
Якщо функції f(x) і g(x) задовольняють на деякому відрізку [a, b]
умовам теореми Коші і f(a) = g(a) = 0, то відношення f(x) / g(x) неви-
значено при х = а, але визначено при інших значеннях х. Тому можна
поставити завдання обчислити границю цього відношення при x → a.
Теорема 1 (правило Лопіталя). Припустимо, що функції f(x) і
g(x) задовольняють на відрізку [a, b] умовам теореми Коші
і f(a) = g(a) = 0. Тоді якщо існує
)(
)(
lim
xg
xf
ax
′
′
→
, то існує і
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
,
і вони співпадають
)(
)(
lim
0
0
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax
′
′
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→→
(2.23)
Z Візьмемо ].,( ba
x
∈ Із теореми Коші випливає, що
,:
x
a <<∃
ξ
ξ
таке, що
.
)(
)(
)()(
)()(
ξ
ξ
g
f
agxg
afxf
′
′
=
−
−
За умовою теореми
f(a) = g(a) = 0, тому
.
)(
)(
)(
)(
ξ
ξ
g
f
xg
xf
′
′
= При a
x
→ ,a→
ξ
тому, якщо існує
A
xg
xf
ax
=
′
′
→
)(
)(
lim
, то існує і
A
g
f
a
=
′
′
→
)(
)(
lim
ξ
ξ
ξ
. Отже,
=
→
)(
)(
lim
xg
xf
ax
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim A
xg
xf
g
f
g
f
axaax
=
′
′
=
′
′
=
′
′
=
→→→
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
Приклад 2.7. Знайдемо границю
a
x
xa
ax
ax
−
−
→
lim при a > 0.
►
).1(lnln
1
ln
lim
)(
)(
limlim
1
−=−=
−
=
′
−
′
−
=
−
−
−
→→→
aaaaa
axaa
ax
xa
ax
xa
aaa
ax
ax
ax
ax
ax
ax
Зауваження 1. Якщо f(x) або g(x) невизначені при х = а, то можна
довизначити їх у цій точці значеннями
f(a) = g(a) = 0. Тоді обидві фу-
нкції будуть неперервними в точці
а, і до цього випадку можна засто-
сувати теорему 1.
Зауваження 2. Якщо f ′(a) = g′(a) = 0 і f ′(x) і g′(x) задовольняють
умовам теореми 1 на
f(x) й g(x), то до відношення
)(
)(
xg
xf
′
′
можна засто-
сувати правило Лопіталя:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax
′′
′
′
=
′
′
→→
тощо.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
42
Приклад 2.8. Знайдемо границю .
sin
lim
3
0
x
xx
x
−
→
►
.
6
1
6
cos
lim
0
0
6
sin
lim
0
0
3
cos1
lim
0
0sin
lim
00
2
0
3
0
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
→→→→
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx
Зауваження. Правило Лопіталя можна застосовувати й для роз-
криття невизначеностей виду
,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∞
∞
тобто для обчислення границі
двох функцій, що прямують до нескінченності при .
a
x
→
Теорема 2. Припустимо, що функції f(x) і g(x) неперервні й
диференційовані при a
x
≠
в околі точки а, і 0)( ≠
′
xg у цьому
околі. Тоді якщо
∞
=
=
→→
)(lim)(lim xgxf
axax
й існує ,
)(
)(
lim A
xg
xf
ax
=
′
′
→
то існує і
,
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
і вони співпадають:
=
→
)(
)(
lim
xg
xf
ax
A
xg
xf
ax
=
′
′
→
)(
)(
lim
Z Візьмемо в околі точки а дві точки α і х так, щоб α < x < a (або
a < x < α). Тоді за теоремою Коші існує точка с (a < c < x) така, що
.
)(
)(
)()(
)()(
cg
cf
gxg
fxf
′
′
=
−
−
α
α
Оскільки
,
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
)()(
)()(
xg
g
xf
f
xg
xf
gxg
fxf
α
α
α
α
−
−
=
−
−
то ,
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
)(
)(
xg
g
xf
f
xg
xf
cg
cf
α
α
−
−
=
′
′
звідки маємо:
.
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
)(
)(
xf
f
xg
g
cg
cf
xg
xf
α
α
−
−
′
′
=
(2.24)
Оскільки
,
)(
)(
lim
A
xg
xf
ax
=
′
′
→
можна для будь-якого малого ε обрати α
настільки близьким до
а, що для будь-якого с виконується нерівність:
⇒<−
′
′
ε
A
cg
cf
)(
)(
.
)(
)(
εε
+<
′
′
<− A
cg
cf
A
(2.25)
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
43
Для цього ж значення
ε з умови теореми випливає, що
1
)(
)(
1
)(
)(
1
lim =
−
−
→
xf
f
xg
g
ax
α
α
(оскільки
),)(lim)(lim
∞
=
=
→→
xgxf
axax
тому
,1
)(
)(
1
)(
)(
1
ε
α
α
<−
−
−
xf
f
xg
g
або
.1
)(
)(
1
)(
)(
1
1
ε
α
α
ε
+<
−
−
<−
xf
f
xg
g
(2.26)
Перемножимо нерівності (2.25), (2.26) і застосуємо рівність (2.24):
⇒++<
−
−
′
′
<−− )1)((
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
)1)((
εε
α
α
εε
A
xf
f
xg
g
cg
cf
A
).1)((
)(
)(
)1)((
εεεε
++<<−−⇒ A
xg
xf
A
Оскільки
ε – довільне мале число, звідси випливає, що
A
xg
xf
ax
=
→
)(
)(
lim
.
)(
)(
lim
xg
xf
ax
′
′
=
→
Зауваження 1. Теорема 2 справедлива й при А = ∞. У цьому ви-
падку
.0
)(
)(
lim =
′
′
→
xf
xg
ax
Тоді й
0
)(
)(
lim =
→
xf
xg
ax
– як наслідок –
.
)(
)(
lim ∞=
→
xg
xf
ax
Зауваження 2. Теореми 1 і 2 можна довести й для випадку, коли
.
∞→
х
Приклад 2.9. Знайдемо границю
.lnlim
2
0
xx
x→
►
.0lim2
2
1
lim
)(
)(ln
lim
ln
limlnlim
2
0
3
0
2
0
2
0
2
0
=−=
−
=
′
′
==
→→
−
→
−
→→
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxxx
2.14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ІЗ ЗАЛИШКОВИМ ЧЛЕНОМ
У ФОРМАХ ПЕАНО ТА ЛАГРАНЖА
Розглянемо функцію y = f(x), що має в околі точки х = а усі похі-
дні до порядку (
n + 1) включно, і поставимо задачу: знайти поліном
y = P
n
(x) степеня не вище n, для якого його значення в точці а, а також
значення його похідних до
n-го порядку дорівнюють значенням при
x = a обраної функції та її похідних відповідного порядку:
).()(...,),()(),()(),()(
)()(
afaPafaPafaPafaP
nn
nnnn
=
′
′
=
′
′
′
=
′
= (2.27)
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
44
Припустимо, що шуканий поліном має вигляд:
P
n
(x) = C
0
+C
1
(x – a) + C
2
(x – a)²+…+C
n
(x – a)
n
. (2.28)
При цьому
...,,)()1(...)(2312)(
,)(...)(3)(2)(
2
32
12
321
−
−
−−++−⋅⋅+⋅⋅=
′′
−++−+−+=
′
n
nn
n
nn
axCnnaxCCxP
axnCaxCaxCCxP
.12)...1()(
)(
n
n
n
CnnxP
⋅
⋅
⋅
−
=
Тоді
).(123)...2)(1()(
),...,(23)(
),(2)(),()(),()(
)()(
3
210
afCnnnaP
afCaP
afCaPafCaPafCaP
n
n
n
n
n
nnn
=⋅⋅⋅⋅−−=
′′′
=⋅=
′′′
′′
=
=
′
′
′
=
=
′
==
(2.29)
Із формул (2.29) можна виразити коефіцієнти
С
i
через значення
похідних даної функції в точці
а.
Факторіалом числа n називається добуток послідовних натура-
льних чисел, починаючи з одиниці до
n включно 1 · 2 · 3 · …· (n – 1)n і
позначається
n
! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1)n. (2.30)
Зауваження. За домовленістю 0! = 1.
У термінах факторіалу маємо:
).(
!
1
...,),(
!2
1
),(),(
)(
210
af
n
CafCafCafC
n
n
=
′′
=
′
==
(2.31)
Таким чином, шуканий многочлен має вигляд:
.)(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
)(
2 n
n
n
ax
n
af
ax
af
ax
af
afxР
−++−
′
′
+−
′
+= (2.32)
Позначимо через
R
n
(x) різницю значень даної функції f(x) і побу-
дованого многочлена
P
n
(x): R
n
(x) = f(x) – P
n
(x), звідки f(x) = P
n
(x) +
+ R
n
(x), або
).()(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
)(
2
xRax
n
af
ax
af
ax
af
afxf
n
n
n
+−+
+−
′
′
+−
′
+=
(2.33)
Отримане представлення функції (2.33) називається
формулою
Тейлора
, а R
n
(x) називається залишковим членом формули Тейлора.
Для тих значень
х, для яких R
n
(x) мале, многочлен P
n
(x) дає на-
ближене представлення функції
f(x). Отже, формула (2.33) дає можли-
вість замінити функцію
y = f(x) многочленом y = P
n
(x) із ступенем то-
чності, що дорівнює значенню залишкового члена
R
n
(x).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
45
Форми залишкового члена у формулі Тейлора
Покажемо, що R
n
(x) = o(x – a)
n
. Із вибору многочлена P
n
(x) ви-
пливає, що .0)(...)()(
)(
=
==
′′
=
′
aRaRaR
n
nnn
Застосуємо для обчислення
границі
n
n
ax
ax
xR
)(
)(
lim
−
→
n разів правило Лопіталя, маємо:
.0
!
)(
)(!
)(
lim...
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)()1(
1
==
−
==
−
′
=
−
−
→
−
→→
n
aR
axn
xR
axn
xR
ax
xR
n
n
n
n
ax
n
n
ax
n
n
ax
Твердження доведено.
Представлення залишкового члена у вигляді
R
n
= o(x – a)
n
(2.34)
називається записом залишкового члена у формі Пеано.
Знайдемо ще один запис
R
n
(x). Подамо його у вигляді
).(
)!1(
)(
)(
1
xQ
n
ax
xR
n
n
+
−
=
+
(2.35)
й визначимо вигляд функції
Q(x). Із (2.33) випливає, що:
+−++−
′
′
+−
′
+=
n
n
ax
n
af
ax
af
ax
af
afxf
)(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
)(
2
).(
)!1(
)(
1
xQ
n
ax
n
+
−
+
+
(2.36)
При фіксованих значеннях
х і а: Q(x) = Q. Розглянемо допоміжну
функцію від
t (a < t < x):
.
)!1(
)(
)(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
1
)()()(
1
)(
2
Q
n
tx
tf
n
tx
tf
tx
tf
tx
tfxftF
n
n
n
+
−
−
−
−−
′′
−
−
′
−
−−=
+
Функція
F(t) диференційована в околі точки а, оскільки
,
!
)(
)(
!
)(
)!1(
))(1(
)(
!
)(
)(
!
)(
)(
)!1(
)(
...)(
!2
)(2
)(
1
)()()(
)1(
)1()(
1
)(
1
Q
n
tx
tf
n
tx
Q
n
txn
tf
n
tx
tf
n
txn
tf
n
tx
tf
tx
tf
tx
tftftF
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−
+
−
−=
=
+
−+
+
−
−
−
+
−
−
−
−
′′
−
+
′′
−
−
′
+
′
−=
′
+
+
−−
Із (2.36) випливає, що
F(x) = F(a) = 0, тому до функції F(t) можна
застосувати теорему Ролля: існує
t = ξ (a < ξ < x) таке, що F′(ξ) = 0.
Тоді
,0
!
)(
)(
!
)(
)1(
=
−
+
−
−
+
Q
n
x
f
n
x
n
n
n
ξ
ξ
ξ
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
46
звідки
Q = f
(n+1)
(ξ). Підставимо цей вираз у (2.35), отримаємо запис за-
лишкового члена у формі Лагранжа:
).(
)!1(
)(
)(
)1(
1
ξ
+
+
+
−
=
n
n
n
f
n
ax
xR (2.37)
Оскільки
a < ξ < x, можна представити ξ = а + θ(х – а), де 0 < θ < 1.
При цьому
)).((
)!1(
)(
)(
)1(
1
axaf
n
ax
xR
n
n
n
−+
+
−
=
+
+
θ
(2.38)
Зауваження. Якщо у формулі Тейлора прийняти а = 0, отримає-
мо
формулу Маклорена:
).(
)!1(!
)0(
...
!2
)0(
1
)0(
)0()(
)1(
1)(
2
xf
n
x
x
n
f
x
f
x
f
fxf
n
n
n
n
θ
+
+
+
+++
′
′
+
′
+= (2.39)
2.15. РОЗКЛАД ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ
ЗА ФОРМУЛОЮ ТЕЙЛОРА, ЗАСТОСУВАННЯ ЇЇ
ДО НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ
Знайдемо розклад за формулою Тейлора при а = 0 (точніше за
формулою Маклорена) функцій:
e
x
, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x)
m
.
1) f(x) = е
х
.
f(x) = f ′(x) = … = f
(n)
(x) = e
x
⇒ f(0) = f ′(0) = … = f
(n)
(0) = 1.
Підставляючи ці результати в формулу (2.39), отримаємо:
.10,
)!1(!
...
!3!21
1
132
<<
+
++++++=
+
θ
θ
x
nn
x
e
n
x
n
xxxx
e
(2.40)
Зауважимо, що для будь-якого
х: ;0)(lim
=
→∞
xR
n
n
2)
f(x) = sin x.
,1)0(),
2
sin(cos)( =
′
+==
′
fxxxf
π
,0)0(),
2
2sin(sin)( =
′′
+=−=
′′
fxxxf
π
,1)0(),
2
3sin(cos)( −=
′′′
+=−=
′′′
fxxxf
π
.......................................................................
,
2
sin)0(),
2
sin()(
)()(
n
fnxxf
nn
π
π
=+=
).
2
)1(sin()(),
2
)1(sin()(
)1()1(
π
ξξ
π
++=++=
++
nfnxxf
nn
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
47
Розклад за формулою Маклорена має вигляд:
).
2
)1(sin(
)!1(2
sin
!
...
!5!3
sin
153
π
ξ
π
++
+
++−+−=
+
n
n
xn
n
xxx
xx
nn
(2.41)
У цьому випадку, як і в попередньому, при усіх значеннях
х:
.0)(lim
=
∞→
xR
n
n
Можна запропонувати ще один варіант формули:
);(
)!12(
)1(...
!5!3
sin
22
1253
+
+
+
+
−+−+−=
n
n
n
xo
n
xxx
xx
3)
f(x) = cos x.
Таким чином, як і для синуса, можна отримати розклад за форму-
лою Тейлора для косинуса:
=++
+
++−+−=
+
)
2
)1(cos(
)!1(2
cos
!
...
!4!2
1cos
142
π
ξ
π
n
n
xn
n
xxx
x
nn
);(
)!2(
)1(...
!4!2
1
12
242
+
+−+−+−=
n
n
n
xo
n
xxx
(2.42)
4)
f(x) = ln(1 + x). Тоді
.0)0(,)!1()1()0(
,)1()!1()1()(...,,)1)(1()(,)1(
1
1
)(
1)(
1)(21
=−−=
+−−=+−=
′′
+=
+
=
′
+
−+−−
fnf
xnxfxxfx
x
xf
nn
nnn
Отже,
);()1(...
32
)1ln(
11
32
++
+−+−+−=+
n
n
n
xo
n
xxx
xx (2.43)
5)
f(x) = (1 + x)
m
. При цьому f
(n)
(x) = m(m – 1)…(m – n + 1)(1 + x)
m – n
,
f
(n)
(0) = m(m – 1)…(m – n +1). Тоді
).(
!
)1)...(1(
...
!2
)1(
1)1(
12 +
+
+
−
−
++
−
++=+
nnm
xox
n
nmmm
x
mm
mxx (2.44)
Застосування формули Тейлора для наближених обчислень
Замінюючи деяку функцію, для якої відомий розклад за форму-
лою Тейлора, многочленом Тейлора, степінь якого обирається так,
щоб величина залишкового члена не перевищувала обране значення
похибки, можна знаходити наближене значення функції із заданою
точністю.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
48
Наприклад, знайдемо наближене значення числа
е, обчисливши
значення многочлена Тейлора (2.40) при
n = 8:
.71828,2
!8
1
...
!3
1
!2
1
11 ≈+++++=e
При цьому, залишок
.103
!9
1
5
8
−
<⋅<R
2.16. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ
2.16.1. Умови зростання та спадання
Теорема 1. Якщо функція f(x) диференційована та зростає на
[a, b], то
0)( ≥
′
xf
на [a, b]. Якщо f(x) неперервна на [a, b],
диференційована на (a, b) і 0)( >
′
xf для a < x < b, то ця фун-
кція зростає на відрізку
Z 1. Припустимо, що f(x) зростає на [a, b]. Тоді при 0>Δ
x
),()(
x
f
x
x
f
>Δ+ тобто .0)()( >
−
Δ
+
x
f
x
x
f
Якщо ж ,0
<
Δ
x
),()(
x
f
x
x
f
<Δ+ тому .0)()(
<
−
Δ
+
x
f
x
x
f
Як наслідок, в обох випа-
дках
.0
)()(
>
Δ
−Δ+
x
xfxxf
Отже, ,0)(
)()(
lim ≥
′
=
Δ
−
Δ
+
→Δ
xf
x
xfxxf
ox
що й
треба було довести.
2. Припустимо, що ].,[0)(
ba
x
x
'
f
∈
∀
> Виберемо :],[,
21
baxx ∈
.
21
xx < За теоремою Лагранжа:
.),)(()()(
211212
xxxxfxfxf
<
<
−
′
=
−
ξ
ξ
Але за умовою
,0)( >
′
ξ
f
тому f(x
2
) > f(x
1
), f(x) – зростаюча функ-
ція.
Зауваження 1. Аналогічну теорему можна довести й для спадної
функції: якщо
f(x) спадає на [a, b], то 0)(
≤
′
xf на [a, b]. Якщо
0)( <
′
xf
на (a, b), то f(x) спадає на [a, b].
Зауваження 2. Геометричний зміст теореми: якщо функція зрос-
тає на відрізку [
a, b], то дотична до її графіка в усіх точках відрізка
утворює з віссю
Ох гострий кут (або горизонтальна). Якщо ж функція
спадає на відрізку, то дотична до її графіка утворює з віссю
Ох тупий
кут (або в деяких точках паралельна осі
Ох).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
49
2.16.2. Необхідна та достатня умови екстремуму
Теорема 2 (необхідна умова екстремуму). Припустимо, що
функція f(x) задана в деякому околі точки х
0
. Якщо х
0
є точ-
кою екстремуму функції, то 0)(
0
=
′
xf або не існує
Z Дійсно, похідна в х
0
або існує, або ні. Якщо вона існує, то за
теоремою Ферма вона дорівнює нулю.
Приклад 2.10. Функція y = x² має мінімум при х = 0, її похідна
(
х²)′ = 2x = 0 при х = 0.
Приклад 2.11. Функція y = |x| має мінімум при х = 0, похідна в цій
точці не існує.
Зауваження. Теорема 2 дає необхідну, але недостатню умову ек-
стремуму, тобто не в усіх точках, в яких
f ′(x) = 0 або не існує, функція
досягає екстремуму.
Приклад 2.12. Похідна функції y = x³ дорівнює нулю y′ = 3x
2
= 0
при
х = 0, однак функція монотонно зростає на всій області визначення.
Якщо функція визначена в деякому околі точки
х
0
та її похідна в
цій точці дорівнює нулю або не існує,
точка х
0
називається критич-
ною точкою 1-го роду.
Теорема 2 означає, що усі точки екстремуму функції 1-го роду
знаходяться в множині її критичних точок.
Достатня умова екстремуму
Теорема 3.
Припустимо, що функція f(x) неперервна в деякому
околі точки х
0
, диференційована в проколотому околі цієї то-
чки і з кожного боку від цієї точки f ′(x) зберігає знак. Тоді:
1) якщо f ′(x) > 0 при x < x
0
і f ′(x) < 0 при x > x
0
, точка х
0
є точ-
кою максимуму;
2) якщо f ′(x) < 0 при x < x
0
і f ′(x) > 0 при x > x
0
, точка х
0
є то-
чкою мінімуму;
3) якщо f ′(x) не змінює знак в точці х
0
, ця точка не є точкою
екстремуму
Z Справедливість твердження 3) випливає з теореми 1. Доведемо
твердження 1) і 2). За формулою Лагранжа
f(x) – f(x
0
) = f ′(ξ)(x – x
0
), де
х належить околу точки х
0
, а ξ лежить між х і х
0
. Якщо f ′(ξ) > 0 при
x < ξ < x
0
й f ′(ξ) < 0 при х
0
< ξ < x, приріст f(x) – f(x
0
) < 0 з обох боків
від
х
0
, тобто в точці x
0
досягається максимум. Якщо ж похідна при
х = х
0
змінює знак з “–” на “+”, то точка х
0
є точкою мінімуму. Отже,
зміна знака похідної в точці
х
0
є необхідною і достатньою умовою на-
явності екстремуму в цій точці.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
50
Теорема 4. Припустимо, що f ′(x
0
) = 0 і існує неперервна друга
похідна функції в деякому околі точки х
0
. Тоді х
0
є точкою мак-
симуму, якщо f ′′(x
0
) < 0, або точкою мінімуму, якщо f ′′(x
0
) > 0
Z Доведемо першу частину теореми. Припустимо, що f ′′(x
0
) < 0.
Оскільки за умовою
f ′′(x) неперервна, існує окіл точки х
0
, в якому
f ′′(x) < 0. Нагадаємо, що f′′(x) = (f ′(x))′, та із умови (f ′(x))′ < 0 випли-
ває, що
f ′(x) спадає в околі, що розглядається. Оскільки f ′(x
0
) = 0, то
f ′(x) > 0 при x < x
0
й f ′(x) < 0 при x > x
0
. Тоді за теоремою 3 точка х
0
є
точкою максимуму функції, що й треба було довести. Твердження 2
доводять аналогічно.
Теорема 5. Припустимо, що функція y = f(x) n разів диференці-
йована в точці х
0
й f
(k)
(x
0
) = 0 при k = 1, 2, …, n – 1, а f
(n)
(x
0
) ≠ 0.
Тоді, якщо n – парне (n = 2m), функція f(x) має в точці х
0
екст-
ремум, а саме – максимум при f
(2m)
(x
0
) < 0 і мінімум
при f
(2m)
(x
0
) > 0. Якщо ж n – непарне число (n = 2m – 1), то
точка х
0
не є точкою екстремуму
Z Із формули Тейлора (2.33) із залишковим членом у формі Пеа-
но (2.34) випливає, що
,)(0)(
!
)(
)()(
0
)(
0
0
nn
n
xxf
n
xx
xfxf −+
−
=−
ξ
де ξ лежить між
х і х
0
.
а) якщо
n = 2m – парне і f
(2m)
(x
0
) < 0, то знайдеться окіл точки х
0
, в
якому
f
(2m)
(x) < 0. Припустимо, що х належить цьому околу, тоді ξ
також належить йому, тобто
f
(2m)
(ξ) < 0. Але (x – x
0
)
2m
> 0 при х ≠ х
0
,
тому
f(x) – f(x
0
) < 0 у всьому околі, що розглядається, отже, точка х
0
є точкою максимуму;
б)
якщо n = 2m – парне і f
(2m)
(x
0
) > 0, то таким же чином доводиться,
що
х
0
– точка мінімуму;
в)
якщо n = 2m – 1 – непарне, то (x – x
0
)
2m–1
має різні знаки з різних бо-
ків від точки
х
0
. Тому в околі цієї точки, в якому похідна порядку
2
m – 1 зберігає знак, приріст функції змінює знак при х = х
0
. Отже,
екстремум у цій точці не досягається.
Таким чином, перевірити наявність екстремуму в критичній точці
x
0
можна одним з трьох способів:
1)
упевнитися, що f ′(x) змінює знак при переході через х = х
0
;
2)
визначити знак f ′′(x
0
);
3)
якщо f ′′(x
0
) = 0, дослідити порядок і знак похідної, що не оберта-
ється в нуль у точці
х
0
.