Давнис В.В. Прогнозные модели экспертных предпочтений

Подождите немного. Документ загружается.

Расчеты, полученные по первой и второй моделям, отличаются

друг от друга незначительно. И все же между прогнозными тра-

екториями этих моделей есть различие, и есть объяснение этому

различию. Суть его сводится к тому, что в экспертных оценках II

учитывается возможное влияние факторов, а это равносильно

использованию дополнительной информации, способствующей

повышению их объективности.

У,

900

800

700

600

500

400

300

200

100

10 12 16

- Комбинированная траектория I

- Экспертная траектория

- Комбинированная траектория II

- Экстраполяционвая траектория

Рис. 4.2. Динамика ожидаемой чистой прибыли (А = 0,6)

900 >

800-

700

600 -

500 -

400

300-

200

100 -

2 4 6

- Комбинированная траектория I

- Экспертная траектория

10 12 14

Комбинированная траектория П

А Эксграполяционная траектория

Рис. 4.3. Динамика ожидаемой чистой прибыли (Я = 0,9)

Обобщая результаты проведенного вычислительного экспери-

мента, следует сделать ряд выводов относительно возможности

170

использования разработанных в этом параграфе моделей для по-

строения комбинированных прогнозных траекторий.

Во-первых, с помощью введенного в эти модели параметра Я,

регулирующего степень доверия, удается достаточно эффективно

управлять процессом комбинирования инерционных тенденций и

тенденций экспертных ожиданий. В то же время специфическая

роль этого параметра и отсутствие объективной информации,

позволяющей оптимизировать выбор Я, оставляет вопрос о его

определении в субъективной плоскости.

Во-вторых, несмотря на то, что обе разработанные модели

дают практически одни и те же прогнозные оценки, однако ус-

ловия их применения различны. Первая модель (4.72)—(4.74)

используется в тех ситуациях, когда удается получить экспертные

оценки непосредственно в количественном виде. В отличие от

первой, вторая модель (4.78)—(4.80) позволяет проводить расчеты

тогда, когда исследователь располагает не количественными оцен-

ками, а некой параметрической моделью рациональных ожиданий

относительно тенденций изменения прогнозируемого показателя.

Обычно эта модель представляет собой регрессионную зависи-

мость, отражающую отличные от ретроспективного периода зако-

номерности развития моделируемого процесса.

В-третьих, адаптивность разработанных моделей позволяет

эффективно реализовать процедуру получения прогнозных оценок

для тех перспективных периодов, в которых ожидается смена тен-

денций.

ГЛАВА 5

КОМБИНИРОВАННЫЕ ПРОГНОЗЫ

МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ

В практике принятия прогнозных решений, как пра-

вило,

приходится иметь дело с многомерными временными ряда-

ми.

Причем стандартной является ситуация, когда число наблю-

дений столь мало, что идея построения эконометрических моде-

лей многомерных временных рядов в виде систем одновременных

уравнений или векторной авторегрессии теряет всякий смысл. По-

этому возникает необходимость построения моделей, основанных

на несколько иных принципах, чем эконометрические.

Взамен предположений о характере динамики для рассматри-

ваемого случая выдвигается гипотеза о характере структурного вза-

имодействия экономических показателей, которое можно описы-

вать косвенными темпами приростов, представляющими собой от-

ношения приростов каждого из рассматриваемых показателей ко

всем остальным. Основная идея этой гипотезы в том, что на про-

тяжении достаточно длительного периода времени структура кос-

венных темпов приростов прогнозируемых показателей может ос-

таваться почти неизменной [14]. Неизменность — это как раз то

свойство структуры, которое переносится из настоящего в буду-

щее.

Модели, обеспечивающие такой перенос в различных усло-

виях принятия решений, описаны ниже. Причем описание начи-

нается с простейших вариантов этой модели, которые постепен-

но усложняются с целью повышения адекватности отражения

многомерной динамики.

5.1.

Модель с детерминированным

матричным предиктором

Детерминированный матричный предиктор имеет

смысл строить в тех ситуациях, когда возможность применения

статистических методов моделирования полностью исключена.

Примером может служить ситуация, в которой исследователь рас-

полагает всего двумя, тремя наблюдениями. Чтобы перейти к

172

формальному описанию модели с таким предиктором, введем

обозначения:

— величина /-го показателя в момент времени /;

— величина /-го показателя в момент времени

(—1;

— величина изменения (прироста) /-го показателя.

Далее естественно предположить, что любое изменение произ-

вольного /-го показателя зависит от величины остальных показа-

телей. Это может быть функциональная или регрессионная зави-

симость Ax

= F(x„, x

, ... , х

). Будем рассматривать случай,

когда малый объем ретроспективных данных не позволяет реали-

зовать известные методы идентификации этой зависимости. Един-

ственно доступной альтернативой идентификации в подобной

ситуации является подход, основанный на значительном упроще-

нии этой зависимости. В качестве такой упрощенной формы

удобно использовать линейное представление приростов. Сразу

заметим, что модель, построенная по двум наблюдениям, не

может претендовать на применение для расчетов, распространя-

емых за рамки, очерченные краткосрочными прогнозами. Поэто-

му при рассмотрении краткосрочных периодов такое упрощение не

приводит к значительному росту ошибки прогнозирования даже в

том случае, когда истинная зависимость явно нелинейная.

Модель этой простейшей (линейной) зависимости строится в

предположении, что прирост любого из показателей формируется

под воздействием всех остальных, являясь как бы суммарной ве-

личиной, причем каждый показатель в отдельности оказывает не-

значительное влияние, и среди них нет доминирующих. Для ре-

ализации этого предположения вводится в рассмотрение харак-

теристика, устанавливающая степень влияния j-ro показателя на

изменения, происходящие в /-м. В качестве такой характерис-

тики, как отмечалось выше, удобно использовать косвенный

темп прироста

Если условиться, что на формирование прироста все показате-

ли оказывают равномерное воздействие, то, разделив v

на (и—1),

получим ту долю в приросте /-го показателя, которая сформирована

под воздействием у-го. Использование введенной меры степени

влияния у'-го показателя на /-й позволяет выразить прирост Ax

через

сумму произведений

173

A*/*

П-1

j*i

(5.2)

Учитывая, что Ax

—

, можно величину любого /-го

показателя представить в виде суммы предшествующего значения

и прироста Ax

(5.2):

*«•

,-\, +

= 1, и. (5.3)

Для полученной системы уравнений (5.3), введя обозначения

Хц

*/2

V =

"21

"12

"1л

"2л

/1-1

«l

«2

можно использовать компактную матричную запись

x,_,+Vx,.

(5.4)

(5.5)

Считая, что неизвестным вектором в этой системе является х,,

запишем его следующим образом:

х, =(I-V)-'x,_

, (5.6)

где через I обозначена единичная матрица.

Обратную матрицу (I—V)""

будем называть матричным предик-

тором. Он определяет переход из состояния, описываемого век-

тором значений предшествующего момента времени, в состояние,

представленное вектором значений текущего момента времени.

Внедиагональные элементы обратной матрицы интерпретируются

как косвенные темпы роста равномерно распределенных частей

прогнозируемых показателей, а диагональные — как прямые тем-

пы роста оставшейся части.

В предположении, что матричный предиктор перспективно-

го периода почти не отличается от матричного мультипликатора

текущего периода, выражение (5.6) позволяет рассчитывать

прогнозные оценки. Основное преимущество данного подхода

заключается в том, что с его помощью можно проводить рас-

четы для многомерных рядов динамики даже в том случае,

когда исследователь располагает наблюдениями лишь за два

174

периода. Правда, статистическая надежность таких прогнозных

расчетов не проверяется и опирается, в основном, на то обсто-

ятельство, что даже при изменении характера динамики про-

гнозируемых процессов структура самого предиктора, как пра-

вило,

изменяется незначительно. Как показывает практика

прогнозных расчетов, применение этой модели предпочтитель-

нее обычных расчетов с использованием темпов роста, в кото-

рых совсем не учитывается взаимодействие между моделируемы-

ми показателями.

Рассмотренная модель является базовой, и ее прикладные воз-

можности весьма ограничены. Она предназначена, главным об-

разом, для того, чтобы продемонстрировать принципы построе-

ния матричного мультипликатора, которые ниже будут использо-

ваны для построения более сложных модификаций модели. Про-

иллюстрируем эти принципы условным числовым примером, ис-

ходные данные для которого представлены в табл. 5.1.

Т а б л и ц а 5.1

Динамика

основных

показателей,

характеризующих деятельность

ОА О

"Консультант ",

тыс.

р.

Период

Объем оказанных

услуг

3231,44

3755,52

4426,22

5362,63

6430,77

Фонд оплаты

труда

872,48

951,01

1036,61

1129,89

1171,58

Затраты на переобучение, повы-

шение квалификации персонала

242,35

271,02

298,62

331,45

347,93

Построение модели начинается с расчета приростов:

Ах

^524,08

78,53

28,67

которые используются для формирования матрицы косвенных тем-

пов прироста

0,2755

0,9669

0,0105

0 0,1449

0,0038

0,0151

175

На основе этой матрицы вычисляется предиктор

'1,0069 0,2928

1,0160

=(l-V

)~' = 0,0111

1,0054

0,1564

0,0040 0,0163

1,0062

помощью которого рассчитываются прогнозные оценки

^4335,36^

- А

- 1040,27

303,25

Проведенные расчеты не только иллюстрируют алгоритм по-

строения базовой модели, но и предназначены для того, чтобы

оценить ее точность, поскольку сами, по сути, являются пост-

прогнозными оценками. Кроме того, представляет интерес срав-

нение (см. табл. 5.2) этих результатов с оценками, полученны-

ми с помощью модификаций базовой модели, к описанию кото-

рых мы и переходим.

5.2.

Модель с настраиваемым параметром

матричного предиктора

Решающим фактором выбора модели с подобным пре-

диктором является не число наблюдений, а, скорее, ситуация,

когда за рамками системы показателей, для которых строится мат-

ричный предиктор, остались факторы, оказывающие заметное

влияние на их динамику. Природа этих факторов либо не изуче-

на, либо такова, что не поддается количественному измерению,

и поэтому факторы не могут быть включены в модель. Но их

влияние проявляется в динамике показателей, включенных в мо-

дель.

Уловить это влияние можно, если прирост каждого показа-

теля разделить на две части, одна из которых формируется меха-

низмом, явно учитываемым моделью, а вторая — "скрытыми"

факторами. В соответствии с этим делением представим прирост

в виде суммы двух составляющих

=Д'х,+Д*х„-. (5.7)

где Ых

— та часть прироста, которая формируется "скрытыми"

факторами";

A"x

—

та часть прироста, которая формируется про-

порционально факторам, включенным в модель.

176

Поскольку влияние "скрытых" факторов в соответствии с на-

шим предположением проявляется непосредственно в динамике

самих показателей, то и отразить это влияние можно через соб-

ственные темпы той части прироста, которая формируется "скры-

тыми" факторами, т.е.

/ А'*,,-

(5.8)

V;; = '

Коэффициенты косвенных темпов прироста в этом случае бу-

дем называть частными и вычислять по второй составляющей

прироста:

/г

U =

(5.9)

Сложение диагональной матрицы прямых темпов прироста

"22

(5.10)

пп

элементы которой вычислены по формуле (5.8), и матрицы кос-

венных темпов прироста V" с элементами (5.9)

V2I

V12

V„l V„

(5.11)

приводит к матрице темпов прироста

v'+-^-v',

л-1

с помощью которой можно записать

x,=(I-V)

-1,

»,-!'

(5.12)

(5.13)

где (I—V) '

—

матрица роста с элементами, представляющими со-

бой частные коэффициенты роста.

177

Существенным в формировании матрицы роста в рассматри-

ваемом подходе является вопрос о соотношении, в котором на-

ходятся две составляющие прироста. Дать абсолютно четкие ре-

комендации по этому поводу весьма трудно. Единственно пра-

вильный выход, на наш взгляд, заключается в том, чтобы вве-

сти в модель настраиваемый параметр, через который можно оп-

ределять величину этого соотношения. Такая возможность пре-

доставляется тогда, когда в наборе данных содержится более двух

наблюдений и часть из них (хотя бы одно наблюдение) можно

использовать в качестве контрольной выборки для настройки

параметра.

Введение такого параметра позволяет каждую из составляющих

прироста любого /-го показателя представить в виде

А'*,., = fihx

; A%

=(1-ц)Ах„,

(5.14)

где 0 < jU < 1.

Если в формулах (5.8) и (5.9) используются составляющие при-

роста (5.14), то матрица темпов приростов V зависит от настраи-

ваемого параметра /л, и модель (5.13) можно переписать в виде

x^d-VGu))-'*,.,. (5.15)

У этой модели полностью сохраняются свойства, касающиеся

точности аппроксимации, и одновременно повышается точность

экстраполяции.

Настройку параметра ц можно осуществлять таким образом,

чтобы минимизировать выражение

Х(ц) = max|x,

+1/

-x

t+u

\, (5.16)

представляющее собой максимальную величину разности между

компонентами контрольного наблюдения х,

и вектора прогноз-

ных оценок

1+1

=(1-Х(ц)Г

(5.17)

В тех случаях, когда прогнозируемые показатели сильно отли-

чаются масштабом измерения, критерий в виде разности (5.16)

теряет свою целесообразность. Его можно заменить относительной

величиной ошибки

Ъ\ц) = max

-—-—:—1.

(5 18)

' \

t+u\

178

Используя набор данных табл. 5.1 и некоторые результаты пре-

дыдущего примера, проиллюстрируем порядок построения вышеиз-

ложенной модели.

Для удобства расчетов, проводимых в матричной форме, вве-

дем в рассмотрение матрицу М, элементы которой определяют-

ся настраиваемым параметром ц, и матрицу весовых коэффици-

ентов W:

М*

0,1 0,9 0,9

0,9 ОД 0,9

0,9 0,9 0,1

W =

1 0,5 0,5

0,5 1 0,5

0,5 0,5 1

Затем рассчитаем комбинированную матрицу прямых и косвенных

темпов прироста:

'0,1395 0,5511

1,9337

V,=V

' + V'= 0,0209 0,0826 0,2898

0,0076 0,0301 0,1058

v )

Применяя операции блочного умножения (*) и обращения мат-

риц, получаем предиктор

(1,0200 0,2678 0,9323Л

(/i)=(l-M*W*V

)

0,0102

1,0128

0,1424

0,0037 0,0148

1,0159

с помощью которого рассчитываем постпрогнозные оценки и от-

носительные ошибки

=А, (/i)x

^ 4337,82^

1039,95

303,24

$х?

< 2,00 ^

-0,32

1,55

Настройка параметра по критерию минимизации максимальной

относительной ошибки позволила установить оптимальное значе-

ние параметра

/л*

= 0,9, при котором предиктор

(fi*)=k-M*

*W*\

У =

(1,1437 0,0342 0,1228

0,0013

1,0804

0,0174

0,0005 0,0018

1,1053

дает прогнозные оценки с соответствующими относительными

ошибками

179