Давнис В.В. Прогнозные модели экспертных предпочтений

Подождите немного. Документ загружается.

+ fiY

a'-

Mt-2)-2x

]

Mt-l)

B{t)f}

(429)

7=1

Первое слагаемое такого комбинированного критерия ориенти-

рует на получение оценок В(//) (здесь для упрощения записи по-

ложили, что В(/, а, у, Р)= В(?))> обеспечивающих максимально

возможную точность аппроксимации. Второе слагаемое выполняет

роль стабилизирующего члена, минимизация которого приводит к

текущим оценкам B(t), мало отличающимся от предыдущих

B(f-l)-

Последнее слагаемое, как и второе, выполняет роль ста-

билизирующего члена, обеспечивающего сглаживание чрезмерных

скачков реакций адаптивной модели в случае появления выброс-

ных наблюдений.

Возможные значения параметра а в этом выражении остают-

ся в прежних границах 0 < а

1, а значения параметров у и Р,

определяющих долю участия каждого слагаемого в комбинирован-

ном критерии, удовлетворяют следующим неравенствам: у > О,

Р> О, у + р< 1.

Решение оптимизационной задачи (4.28) с использованием

РМНК позволяет записать прогнозную модель с настраиваемой

структурой адаптивного механизма в виде соотношений

5>,

/+T

B(f-l), r=0,1,2,...; (4.30)

6(0 = B(t -1) + /3[6(f -1) - B(t - 2)] +

-^Нг—а-/"/*)!?,-?,];

(4.31)

£-1 _ ^t-l

t^t-l

х,сДх^+а

(4.32)

Структура рекуррентной формулы (4.31), с помощью которой

осуществляется пересчет текущих значений коэффициентов адап-

тивной регрессии, зависит от граничных значений параметров у

и р. Если ввести обозначения

*»>«*>= Л"

*',

;

(4-33)

150

-x

B(.t-l,a,Y),

(4.34)

то возможные варианты этой рекуррентной формулы удобно пред-

ставить

виде табл. 4.10.

Таблица 4.10

Варианты структуры адаптивного механизма

Параметр

,3 = 0

0 <

/К 1

/*=0

у=0

в,=в,

+ АВ,(а)е,

в,=в,_,+

+ 0[В,_,-6,_

]

+ (l-(3)AB

(a)e

в,=в,_,+

+ [В

-В_

]

<у < 1

в,=в,_,+

+ (1-у)ДВ,(а)

в,=в,_,+

+ /3[В,-1-В,_

]

(1-у-)8)дВ,(аК

—

В,

=В,_!

—

Приведенная таблица убедительно демонстрирует расширение

возможностей моделей

настраиваемой структурой адаптивного

механизма по сравнению

обычными адаптивными

статическими

моделями прогнозирования. Если данные таковы, что более точ-

ная экстраполяция получается

помощью статической модели,

то

в процессе настройки параметров получаем

у = 1 и

= 0, т.е.

адаптивная модель вырождается

обычную регрессионную (мы

имеем дело

"нулевой адаптацией"). Если же результаты настрой-

ки приведут

значениям у

= 0 и

= 0, то

рекуррентная форму-

ла (4.31) принимает вид обычной адаптивной регрессии (4.24).

Рассмотренные выше адаптивные многофакторные модели рег-

рессии принято называть одношаговыми, поскольку

этих моде-

лях корректировка текущих коэффициентов осуществляется толь-

ко

по

одному новому наблюдению. Для ситуаций,

которых

появляются отдельные наблюдения

высокой долей случайной

составляющей, эти модели подвержены "вибрации", когда слиш-

ком часто происходят разнонаправленные корректировки коэффи-

циентов модели, что естественным образом снижает надежность

получаемых

с ее

помощью прогнозных оценок. Хотя эта пробле-

ма частично решается

за

счет применения моделей

настраива-

емой структурой адаптивного механизма, однако

случаях частого

151

появления новых наблюдений с высоким уровнем ошибок необ-

ходимо использовать другой класс моделей — многошаговых адап-

тивных.

В этих моделях используется идея корректировки текущих ко-

эффициентов не по одному, а по нескольким наблюдениям одно-

временно. Принципы построения таких алгоритмов рассматрива-

лись в работах [1, 24, 42, 46], в которых основное внимание

было уделено изучению отдельных статистических свойств и уско-

рению сходимости оценок, получаемых с помощью многошаговых

алгоритмов. Вопросы применения многошаговых алгоритмов не-

посредственно для создания адаптивных моделей социально-эко-

номических процессов с расширенным диапазоном упреждающих

расчетов обсуждались в работе [13].

Ключевой формулой в схеме многошагового рекуррентного оце-

нивания является формула Шермана — Моррисона — Вудбери [41]

(С + Х'Х)"

=С~

-С'

Х'(ХС"

Х'+1)~'ХС-'. (4.35)

Для случая, когда вектор поправок адаптивной модели опре-

деляется по группе из п наблюдений, экстремальная задача вычис-

ления оценок коэффициентов с использованием экспоненциаль-

но взвешенного квадратичного критерия записывается следующим

образом:

t-n . п

B(t,a,n) = Argmin £

a'~"~

ЕЬу+jfc -Х/

*В(7,а,л)] (4 36)

j=o к=\

Использование рекуррентной формулы (4.35) позволяет запи-

сать многофакторную адаптивную модель в виде

У„,=Х

пг

В(/-1,а,л); (4.37)

B(t,

а,

п)

В(г

-1,

а,

п)

с;1ХЛХшС7-Х,

+«i

[Y„,

-*„,];

(4-38)

с,"

=^[сг_

-c;!XAX,

c;-X,r

c;l

], (4.39)

где 1

—

единичная матрица порядка п; Y

= (у,_

п+{

,..., у)' — «-мер-

ный вектор-столбец с последней компонентой, равной значению

временного ряда в момент времени t, Х

—

(« х

т)

— матрица, пос-

ледняя строка которой содержит значения независимых переменных

в момент /, т.е.

152

у-я+l

2,t-n+l •••

mJ-n+l

l,t-n+2

2,t-n+2 •••

m,t-n+2

\,t

2,t •••

m,t

В этой модели в обозначении текущего коэффициента регрессии

B(t,a,n) используется параметр я, чтобы подчеркнуть зависимость

его значения от количества одновременно обрабатываемых на каж-

дом шаге наблюдений.

Вариант модели с настраиваемой структурой многошагового

адаптивного механизма выглядит следующим образом:

Y,„ =Х„,Й(г-1); (4.40)

В(0 - 6(г -1) +

Р[В(г

-1) - В(/ -

2)]

+ (l-y-

8)C7_

x;,(X

II/

C,-J

,+aIJ"

,-t

,]; (4.41)

с;

=-[c,-'

-c,-'

x;,(x„

;

x;,

ai„)-

x,„c,-i

.42)

Прогнозные расчеты с помощью описываемой модели требуют

знания начальных значений B(-l), B(0),

И оптимальных па-

раметров а = а*, у = у", /? = /?*,« = «*.

Изложенное позволяет сделать вывод о том, что адаптивные

регрессионные модели являются гибким и достаточно эффектив-

ным аппаратом прогнозных расчетов. Однако этот аппарат в ос-

новном применим только для решения задач краткосрочного про-

гнозирования. Для нас интерес представляют не прогностические

возможности этих моделей, а возможности их адаптивного меха-

низма перенастраивать модель с одной прогнозной траектории на

другую. Именно это свойство потребуется при построении ком-

бинированной модели.

4.4.

Имитационное моделирование на основе

адаптивной схемы прогнозных расчетов

Имитационные

модели.

Построение комбинированных

моделей предполагает предварительное получение экспертных ва-

риантов развития прогнозируемого процесса. Естественно, в этих

вариантах отражена субъективная точка зрения, и механизм ее

/ -

153

формирования не всегда понятен. И все же что бы ни отражали

эти варианты, они должны иметь количественное выражение.

Зная, что эксперты в числовых шкалах не работают, и руковод-

ствуясь намерением повысить надежность экспертных оценок,

будем формировать для экспертного опроса альтернативные вари-

анты. В качестве инструмента для формирования этих вариантов

будем использовать адаптивно-имитационную модель, которая, по

сути, является также комбинированной. Описание данного инст-

румента начнем с имитационного моделирования.

В основу имитационного моделирования положена понятная

на интуитивном уровне и доступная для практической реализации

идея подражания поведению моделируемого объекта, что делает

его универсальным с позиций применения в различных областях

человеческой деятельности. Эта универсальность, как показало

изучение литературы [3, 4, 44, 56, 69], в которой исследуются

вопросы имитационного моделирования, дает право на существо-

вание различных точек зрения на понятие "имитация". С позиции

моделирования социально-экономических процессов наиболее точ-

ное,

на наш взгляд, определение имитации как метода модели-

рования можно найти в [38, с. 232]. Там под имитационным

моделированием понимается "процесс создания модели и ее экс-

периментальное применение для определения изменений реальной

ситуации".

Однако все авторы едины в одном — они рекомендуют исполь-

зовать аппарат имитационного моделирования при решении наи-

более сложных слабоструктурированных задач. Особо же эффек-

тивным, а в некоторых случаях, возможно, и единственным ме-

тодом исследований имитационное моделирование становится при

изучении социально-экономических процессов. Прежде всего это

связано с высоким уровнем сложности таких процессов и неопре-

деленностью условий, в которых они протекают, в силу чего для

них, как правило, не удается получить удовлетворительное пред-

ставление с помощью моделей классического типа. Более того,

проведение экспериментов на реальных объектах социально-эконо-

мической природы с целью получения необходимой информации,

очевидно, невозможно ввиду существования потенциальной опас-

ности проявления негативных последствий. По этому поводу в [3]

отмечается, что методы имитационного моделирования предостав-

ляют возможность широкомасштабного использования математи-

ческого аппарата и вычислительной техники для эксперименталь-

ного исследования динамики процессов в сложных системах, где

154

или затруднительно, или невозможно осуществлять прямой "на-

турный" эксперимент.

Сама по себе имитация может осуществляться с разной степе-

нью детализации и с разным уровнем понимания характера ими-

тируемых процессов. Удачная, с нашей точки зрения, классифи-

кация имитационных моделей в зависимости от требования к

урввню точности воспроизведения реальных процессов предложена

в [11]. Там все математические модели, с помощью которых до-

стигается подражание в области законов, определяющих функци-

онирование реального объекта, отнесены к имитационным систе-

мам первого ранга. Модели, обеспечивающие подражание не

только в области законов, но и случайных величин, считаются

имитационными системами второго ранга. И, наконец, имита-

ционные системы третьего ранга позволяют осуществлять подра-

жание реальным объектам как в области поведения, так в обла-

сти законов и случайных величин.

Наибольший интерес для нас представляют модели второго и

третьего рангов, с помощью которых удается получать наиболее

правдоподобные варианты траекторий поведения изучаемых соци-

ально-экономических процессов. В них предусматривается при-

менение метода Монте-Карло, авторами которого являются

Дж. Нейман и С. Улам. Подробное изложение этого метода

можно найти в работах [20, 50]. Точность подражания реальным

процессам в значительной степени зависит от правильности вы-

бора используемых в имитационных моделях законов распределе-

ния случайных величин. Правильность выбора, в свою очередь,

обусловлена точностью идентификации этих законов и соответ-

ствующих параметров. Идентификацию, как правило, проводят

на основе статистического материала с помощью критерия согла-

сия.

Таким образом, правдоподобность имитации зависит от двух

составляющих: адекватности, с которой моделируются законы,

характеризующие взаимосвязь процессов, и точности воспроизве-

дения случайных величин.

Проблемы, возникающие в процессе имитации, как прави-

ло,

напрямую связаны с модельным представлением этих со-

ставляющих. Если говорить о первой составляющей, то коротко

суть проблемы в следующем. Обычно в имитационных моделях

закономерности отражаются в виде формализованных соотноше-

ний и уравнений с неизменной во времени структурой, и все

расчеты ведутся в предположении, что эта структура сохранится

в будущем. На самом деле динамичность современных процес-

155

сов не подтверждает правильность таких предположений. Ско-

рость изменений так высока, что даже в краткосрочных прогно-

зах возникает необходимость в отражении структурной неста-

бильности.

Аналогичные проблемы касаются и второй составляющей.

Параметры распределений, используемых для получения псевдо-

случайных величин, как правило, находятся в постоянном дрей-

фе.

Это обычное явление для процессов, не удовлетворяющих

свойствам стационарности. Становится очевидным, что если эти

проблемы оставить незамеченными при построении имитационной

модели, то уровень подражания естественным образом снизится,

сделав модель неправдоподобной, а следовательно, и не пригод-

ной для получения достоверных прогнозных оценок. В работах

[13,

28] было предложено использовать в подобных ситуациях

комбинирование адаптивного и имитационного подходов, один из

вариантов которого описан ниже.

Адаптивно-имитационные

модели.

Схема имитационных расче-

тов с использованием адаптивных моделей зависит от свойств

самой адаптивной модели и специфики решаемой задачи. Поэто-

му каждый раз при построении адаптивно-имитационной моде-

ли возникает необходимость в ее уточнении применительно к

конкретной ситуации. Обычно уточненную схему, обладающую,

в отличие от общей, более детальным описанием, реализуют в

виде программы для ПК и, таким образом, переходят от мате-

матической формы к машинному аналогу модели, с помощью

которой и осуществляются имитационные эксперименты. В ка-

честве специфических особенностей, применительно к которым

уточняется общая схема имитации прогнозных вариантов с помо-

щью адаптивной модели, выступают ее многошаговость и настраи-

ваемая структура.

Имитационная модель, построенная на базе многофакторной с

настраиваемой структурой многошагового адаптивного механизма,

в [13] описывается с помощью приведенного ниже набора парамет-

ров,

переменных и рекуррентных формул вычислительной схемы.

Оцениваемые

параметры:

В'(0 = (b

,...,b ) — усредненное текущее значение вектора

коэффициентов многофакторной адаптивной модели;

В;(г) =

Ф[,,Ь'

,,...,Ь'

)

— текущее значение вектора коэффициен-

тов,

используемых для расчета отклика адаптивной модели в /-м

эксперименте;

156

— математическое ожидание и среднеквадратическое от-

клонение ошибки предсказания;

— математическое ожидание и среднеквадратическое от-

клонение ошибки аппроксимации.

Настраиваемые

параметры:

а, у, р — параметры адаптивного механизма многофакторной

модели (0< а< 1; 0 < у,

< 1; у+j8< 1);

п — параметр, определяющий порядок многошаговости адап-

тивного механизма (п — целое).

Случайные

величины:

^н-1/

(

/-л+2'

1-я+з>

• • •

t) — вектор ошибки аппроксима-

ции, характеризующий уровень рассогласованности модели с ре-

ально протекающим процессом на отрезке из (я—1) наблюдения;

— случайная величина с известным законом распределения,

имитирующая в i-u эксперименте ошибку предсказания адаптив-

ной модели в момент г,

— случайная величина с известным законом распределения,

имитирующая в /-м эксперименте ошибку аппроксимации адаптив-

ной модели в момент /.

Процедуры моделирования случайных

величин:

F — процедура моделирования псевдослучайных чисел, имити-

рующих ошибку предсказания;

Y — процедура моделирования псевдослучайных чисел, имити-

рующих ошибку аппроксимации;

Экзогенные

переменные:

х,

(х

,х

(,...,х

т1

)— вектор-строка значений независимых пе-

ременных в момент

Г;

Х-ш

~ (

/-л+1>

/-л+2>---.х,)'— матрица из вектор-строк независи-

мых переменных;

Эндогенные переменные

и величины:

Ч'п-и

(Уг-п+2>Уг-п+э>—>

yt) — вектор-столбец из (п~ 1) фак-

тического значения зависимой переменной;

Х,-и

(&-„+2'.У/-

п+

з'---'й) ~ вектор-столбец из (я-1) рас-

четного значения зависимой переменной;

S't+u

— вариант прогнозного значения зависимой переменной,

полученный как результат /-го имитационного эксперимента;

{

— прогнозное значение зависимой переменной, усреднен-

ное по серии из N имитационных экспериментов;

157

л'+Т'^г'+Г

соответственно нижняя

верхняя границы вариа-

ции прогнозных вариантов

момент

t + 1;

Л,

—

размах возможной вариации прогнозных вариантов

момент

/ + 1;

Прочие

обозначения:

Р,

—

обратная матрица размера {пхп), используемая

вычис-

лительной схеме адаптивного механизма;

С"

—

матрица, обратная матрице соответствующей системы

нормальных уравнений.

Вычислительная

схема:

=Х„_

,В(Г); (4.43)

=Y„_

-%_

;

(4.44)

Ъ+и = F(m

); (4.45)

i=(K-u

-e,

uY->

(4-46)

P,=(X

CrX

i+air'; (4.47)

B,.(r + l) = B(0 + )8[B(0-B(?-l)] +

+ a-y-P)C;

nt+l

;

(4.48)

е,+и

=хр

(Щ>Зе); (4.49)

^=x

l+l

l+u

;

(4.50)

y™"=miny

l+u

(451)

У?+\

max

Уг+и;

(4.52)

max min. /A C-J\

У,

- y,

i .

(4-53)

+i~

EU+i<;

(4.54)

158

B(t + l) = N-

'ZB

(t + l).

(

4.5

C/+i =

—

[С,

-С, X„,

/rf+1

]. (4.56)

Такая имитационная модель, построенная на основе много-

шаговой адаптивной с настраиваемой структурой, отличается,

прежде всего, от обычной адаптивной принципом, в соответ-

ствии с которым рассчитываются коэффициенты модели и про-

гнозные значения. Здесь оценки коэффициентов модели вычис-

ляются для упреждающих, а не для текущих моментов времени.

Это удается достичь за счет использования в вычислительной

схеме имитируемой ошибки предсказания, что фактически пре-

вращает адаптивную модель с запаздывающей реакцией на про-

исходящие в моделируемом процессе изменения в модель с мгно-

венной реакцией.

Кроме того, в модели частично сохранена обратная связь, что

отражено в комбинированной структуре вектора рассогласованно-

сти Е , в котором ошибки аппроксимации являются величинами

реального уровня рассогласования, а ошибка предсказания харак-

теризует имитируемую величину рассогласования.

В целом, модель ориентирована на применение в задачах уп-

равления экономическими объектами, когда для разработки про-

гнозных решений необходимо выяснить допустимо возможные

варианты развития изучаемых объектов.

Из множества допустимо возможных формируются варианты

для экспертного опроса. Это обеспечивает реальность эксперт-

ной траектории. Строгих предписаний относительно способа

формирования нет. Смысл простейшего в том, чтобы в каче-

стве вариантов взять значения, равномерно распределенные

между минимально и максимально возможными вариантами,

полученными с помощью адаптивно-имитационной модели.

Способ универсальный, однако в каждом конкретном случае в

силу, как правило, имеющей место специфики могут потребо-

ваться особые приемы формирования экспертного варианта

прогнозной траектории. Это и недостаток, и преимущество

рассматриваемого нами подхода. Нельзя сохранить строгую

формализацию, когда эксперты, по сути, являются элементом

моделируемой системы.

159