Давнис В.В. Прогнозные модели экспертных предпочтений

Подождите немного. Документ загружается.

многомерного прогнозирования. Поэтому логичным продолжением

развития идеи комбинированного прогнозирования является созда-

ние комбинированных моделей для многомерных процессов. Ос-

новой построения таких моделей может служить адаптивный мат-

ричный предиктор, различные варианты которого разработаны в

предыдущих параграфах настоящей главы. Ниже приводится до-

статочно подробное алгоритмическое описание построения одно-

го из вариантов подобной модели.

I. Набор данных,

имеющихся

на момент

построения

модели

Динамика показателей:

••• х

1п

-^22 ' ' '

2п'

l2 '"

нГ

Ожидаемые

темпы роста показателей:

вариант 1: q

••• q

;

вариант 2: q\ q]

••• q]

вариант m: q'

" q"

••• q'"

II.

Обозначения

Константы:

N — число имитационных экспериментов;

п — число моделируемых переменных;

М — число экспертов;

т — число альтернативных вариантов;

—

число прогнозных периодов;

в — число наблюдений для построения начального значения

предиктора;

—

число наблюдений, используемых для построения прогноз-

ной модели.

Оцениваемые параметры

и величины:

Q* — диагональная матрица, диагональными элементами ко-

торой являются ожидаемые темпы роста показателей по k-му ва-

рианту (к =

т);

190

—

математическое ожидание и среднеквадратическая

ошибка случайной величины, характеризующей изменения абсо-

лютных приростов /-го показателя

(г

/г);

d, s — математическое ожидание и среднеквадратическая

ошибка случайной величины, характеризующей ожидаемые значе-

ния элементов весовой матрицы W;

W — матрица весовых коэффициентов w., характеризующих

вклад j-ro показателя в прирост

/'-го,

имеющая вид

W =

XV-

л 2

Пп

В некоторых случаях, когда число прогнозируемых переменных

невелико, элементы матрицы W могут быть настраиваемыми.

В имитационных экспериментах элементы матрицы W форми-

руются случайным образом.

Настраиваемые параметры:

а — параметр адаптации, регулирующий в предикторе соотно-

шение старых и новых тенденций;

а* — оптимальное значение параметра а;

ц — параметр, регулирующий комбинирование прямых и кос-

венных темпов прироста. В предикторе используется матрица М,

элементы которой зависят от ц:

М =

1-/л

1-И

1-/л \-ц

1-М

М* — матрица М с оптимальным значением параметра

/и*;

к — параметр, регулирующий вклад в прогнозную траекторию

экстраполяционных тенденций и экспертных ожиданий. В блоч-

ном предикторе используется диагональная матрица с элементами,

зависящими от X:

Л,

191

[Л 0 •

0 Л •

,0 0 •

•• 0"

• 0

• к

; А

лт

^ 0

0 •

•

0 •

•• 0

• я

Случайные

величины:

й/у — элемент /-й строки y'-го столбца матрицы w

, форми-

руемый датчиком случайных чисел в

V-M

имитационном экспери-

менте;

W" — матрица весовых коэффициентов, сформированная из

имитируемых датчиком случайных чисел элементов wjj;

—

прогнозная ошибка /-го показателя в периоде t+l, ими-

тируемая датчиком случайных чисел в

V-M

эксперименте;

v,+/,y — элемент /-й строки y'-го столбца матрицы V

, рассчи-

тываемый по имитируемой случайной ошибке 8^

+и

V-M

экспе-

рименте для периода t+l;

V" — комбинированная матрица прямых и косвенных темпов

прироста, сформированная по имитируемым прогнозным ошиб-

кам в v-м эксперименте;

— корректирующая матрица в v-ом имитационном экспе-

рименте;

А^

. — блочный предиктор для расчета вектора прогнозных

оценок по всем упреждающим периодам в

V-M

имитационном экс-

перименте;

Х)'

— вектор прогнозных оценок для всех упреждающих пе-

риодов, полученных в v-ом имитационном эксперименте.

Процедура моделирования

случайной величины:

F — процедура моделирования псевдослучайных чисел, имити-

рующих элементы весовой матрицы;

Т — процедура моделирования псевдослучайных чисел, имити-

рующих прогнозные ошибки.

Процедура экспертного

оценивания:

Е — процедура интерактивного экспертного оценивания веро-

ятности реализации того или иного прогнозного варианта.

Результаты экспертного

оценивания:

~Рн-и

~ вероятностная оценка, полученная от r-го эксперта,

относительно реальности А:-го варианта /-го показателя для момен-

та времени / + /;

"p,

+li

— групповая экспертная оценка относительно реальности

k-ro варианта /-го показателя для момента времени t+l;

192

t+n

~ усредненное по групповым экспертным оценкам значе-

ние /-го показателя для момента времени / + /;

~х,+и

— наиболее вероятное значение /-го показателя для мо-

мента времени по результатам экспертного опроса.

Моделируемые переменные

и величины:

x,i

— значение /-го показателя в момент времени /;

н — расчетное значение /-го показателя в момент времени /;

t+u ~ расчетное значение /-го показателя по к-му варианту

в момент времени / + / (с целью упрощения алгоритма для каж-

дого / задается фиктивный вариант х,'"!

, принимающий макси-

мально возможное значение);

X, =(х

, х,

, •••,

х,„)

— вектор-столбец из значений моделиру-

емых показателей в момент времени t,

х, — вектор расчетных значений моделируемых показателей для

момента времени t,

X, =(х,,х,,...,х,) — вектор-столбец с компонентами из одина-

ковых вектор-столбцов х

;

X =(х

, x,

,,...,x,

) ~~ вектор-столбец с компонентами из

вектор-столбцов прогнозных значений моделируемых показателей;

Х^

. =(х^

|,х^

,...,х^

+г

) — вектор-столбец значений комбини-

рованной прогнозной траектории для моментов времени / + 1, / + 2,

•••'

т;

Mt+u — индикаторная переменная, принимающая значение О

или 1 в зависимости от результата сравнения полученной величи-

ны /-го показателя в v-м эксперименте для периода / +

с соот-

ветствующим к-м вариантом;

— начальное значение предиктора;

—

начальное значение комбинированной матрицы прямых и

косвенных темпов прироста;

. — корректирующая матрица прямых и косвенных темпов

прироста для моментов времени t + \, t + 2, , t + г,

Vt+uj ~ элемент /-й строки у'-го столбца матрицы V,+., опре-

деляемый по отклонениям постпрогнозных расчетов от фактичес-

ких значений для периода / + 1;

Z(a,

/л)

— критерий настройки параметров адаптации а и fi.

А^

. _ скорректированное на прогнозные ошибки значение

предиктора для моментов времени в + 1, в + 2, ..., в + г,

193

. — корректирующая матрица для моментов времени t + 1,

Г +2,..., t + г,

А,

. — предиктор для моментов времени /+ 1, /+ 2, ..., t+ г,

— вероятность реальности значения /-го показателя по

к-му варианту в момент времени t + 1;

А?

— предиктор комбинированной модели для моментов вре-

мени t + 1, t + 2, ..., t + т .

III. Вычислительная схема

Расчет альтернативных вариантов:

(

S-J

(глк

Q, о

О Q*Q*

V Л

О 0 ••• Q

Построение начального значения предиктора:

l,m. (5.41)

Д*/ =

ч>;

0-1

/ =

п;

(5.42)

y , i, j = l,n;

(5.43)

-l

(5.44)

(5.45)

=(l-M*W*V

)

Настройка параметров предиктора по постпрогнозным расче

там:

fх \ (к

О А

О О

О Vx, >

Ag j

;

(5.46)

194

)+/;/

е+« -*•'

е+к

%+/i

, /, j =

п, I =

т;

(5.47)

e+lij\

. =(l-M*W*V

.)-

;

A-£

.=a*A

.+(l-a%

e+.

- A

Z(a, fi)

max

. - A

0+#

;

/ =

n, / =

т;

-%+//

-^fl+Zi

e+«

v^ ,

= Argmin Z(a, /i);

'f+fty

. = a*A

. + (l - a* )&,

Имитационные

расчеты:

если

w-j

/ w\,

если

i *

ГУ

-V

(5.48)

(5.49)

(5.50)

(5.51)

(5.52)

(5.53)

(5.54)

(5.55)

(5.56)

(5.57)

(5.58)

(5.59)

(5.60)

(5.61)

(5.62)

(5.63)

195

't+li

t+lij

i, j

l,n, I

т;

/+///•

=&-M**W

;

Al.=a*A„.+(l-a*)k

. = A,

.X,,

J0,

если х^

t+l

• к „ -v ^ k+\ k = l,m',

[l, если x,

< x,

< *,

i ,

#,;

ЛГ

£й#

v = \

Экспертное оценивание

E(X, P);

1 M

~k 1 v ~kr

Pt+u = 77 L, Л+

~ _ Д ~* .*

-*?+// 2-iPr+u

t+ii;

6. Расчет значений комбинированной прогнозной траектории

г+

. = А,

.Х,,

t+li

i+li

(5.64)

(5.65)

(5.66)

(5.67)

(5.68)

(5.69)

(5.70)

(5.71)

(5.72)

"/+///

*/ +//

' i, j = l,n, l =

т;

(5.73)

(5.74)

(5.75)

(5.76)

-f+/

. = ЛА

Г+

. + (I - Л)А,

.А,

;

(5.77)

(5.78)

(5.79)

196

.=А,

.Х

(5.80)

IV.

Описание вычислительной

схемы модели

Вычислительная схема модели представляет собой систему ин-

формационно связанных между собой расчетных блоков. В пер-

вом из них осуществляется расчет альтернативных вариантов мо-

делируемых показателей в соответствии с ожидаемыми темпами

роста этих показателей, задаваемых матрицей со специально уст-

роенной блочной структурой диагонали. В следующем блоке оп-

ределяется начальное значение предиктора по средним темпам

прироста каждого показателя. Для этого используется известная

схема построения комбинированной матрицы прямых и косвенных

темпов прироста. Для удобства в расчетную формулу предиктора

введена операция блочного умножения.

Далее с помощью полученного начального значения строится

блочный предиктор, позволяющий осуществлять прогнозные рас-

четы сразу на несколько периодов. Путем последовательных кор-

ректировок и одновременного соответствующего подбора парамет-

ров адаптации он трансформируется в текущий предиктор с оп-

тимальными параметрами.

Текущий предиктор используется в блоке имитационных расче-

тов,

в котором с помощью датчика случайных чисел получают

матрицу весовых коэффициентов и комбинированную матрицу

прямых и косвенных темпов прироста. Полученные матрицы ис-

пользуются для построения корректирующей матрицы, которая,

в свою очередь, применяется для корректировки текущего предик-

тора. Скорректированный предиктор, по сути, является случай-

ным оператором, имитирующим одну из возможных многомерных

траекторий развития моделируемых процессов. Многократное об-

ращение к датчикам случайных чисел позволяет воссоздать доста-

точно полную картину будущего. Сравнение имитируемых вари-

антов с альтернативными обеспечивает построение вероятностного

распределения, характеризующего степень реальности альтернатив-

ных вариантов. Именно это вероятностное распределение и явля-

ется основным результатом комплекса расчетов этого блока, ко-

торый затем подлежит экспертному оцениванию.

В целом, блок экспертного оценивания предназначен для

формирования оценок, отражающих экспертное представление о

будущей динамике моделируемых показателей. Ориентиром экс-

пертных ожиданий является эмпирическое вероятностное распре-

197

деление, полученное в четвертом блоке. Строгих формальных

правил получения экспертных ожиданий моделью не предусматри-

вается. Возможен, например, интерактивный режим формирова-

ния экспертных оценок.

Последний блок вычислительной схемы реализует главный за-

мысел модели — комбинирование на принципах адаптации экст-

раполяционных оценок и экспертных ожиданий.

Ниже приводятся результаты вычислительного эксперимента,

иллюстрирующие весь комплекс расчетов, предусмотренных этой

моделью. В расчетах использовались фактические данные, харак-

теризующие экономическое развитие Воронежской области. С

целью упрощения для более легкого восприятия логики расчетов

в соответствии с вычислительной схемой комбинированной моде-

ли прогнозирования многомерных процессов из всех макроэконо-

мических показателей были выбраны только три — валовой регио-

нальный продукт (ВРП), продукция промышленности и продук-

ция сельского хозяйства, динамика которых приведена в табл. 5.3.

Для проведения расчетов были сформированы три альтернатив-

ных варианта возможного развития Воронежской области в бли-

жайшие два года (2003—2004 гг.). Учитывая, что исходные дан-

ные содержат инфляционную составляющую (вариант I — 14 %,

вариант II — 15 %, вариант III — 16 %), в эти варианты были

внесены поправки на ожидаемые уровни инфляции. При разра-

ботке вариантов для упрощения расчетов принято допущение, что

темпы роста и темпы инфляции остаются неизменными на про-

тяжении 2003—2004 гг. В табл. 5.4 представлены данные о трех

вариантах возможной динамики макроэкономических показателей.

Т а б л и ц а 5.3

Основные макроэкономические показатели

экономического развития Воронежской области

(1995-1997

гг.

млрд

р., 1998-2002

гг.

- млн р.)

Годы

1995

1996

1997

1998

1999

Валовой региональный

продукт

547,90

20 158,30

23393,10

24075,00

40 710,10

Продукция

промышленности

9598,00

12 909,00

384,70

653,30

237,10

сельского хозяйства

4118,80

5731,00

6902,70

6783,80

500,00

198

Окончание табл. 5.3

2000

2001

2002

52 100,40

866,90

75284,00

33151,50

41 623,90

51 573,10

18 247,20

22 300,20

25443,70

Таблица 5.4

Альтернативные варианты экономического развития

Воронежской области

Годы

2003

2004

№

варианта

III

Валовой регио-

нальный продукт

Значение,

млн р.

88 827,59

90 997,28

89 909,29

104

807,68

109 990,23

107 375,81

Темп

роста, %

118,0

119,4

120,9

139,2

142,6

146,1

Продукция

промышленности

Значение,

млн р.

60 439,55

62 277,61

61 354,02

70 830,31

75203,95

72 989,90

Темп

роста, %

117.2

119,0

120,8

137,3

141,5

145,8

сельского хозяйства

Значение,

млн р.

29 875,99

30 400,13

30 138,06

35080,39

36 322,08

35698,54

Темп

роста, %

117,4

118,5

119,5

137,9

140,3

142,8

Динамические ряды исходных данных были разделены на две

части: первые пять наблюдений были использованы для построе-

ния начального значения адаптивного матричного предиктора, а

три последних — для его обучения (настройки параметра адапта-

ции) по постпрогнозным расчетам. В рамках процедуры постро-

ения начального значения рассчитывались средние приросты (5.42)

показателей за 1995—1999 гг., которые использовались при фор-

мировании комбинированной матрицы прямых и косвенных тем-

пов прироста (5.43)—(5.44)

'0,1607 0,2699 0,4220^

0,0899 0,1510 0,2361

0,0699 0,1174 0,1836

'0,15 0,85 0,85^

0,85 0,15 0,85

0,85 0,85 0,15

W =

1 0,3 0,7

0,7 1 0,3

0,7 0,3 1

С помощью этих матриц было получено начальное значение

предиктора (5.45)

199