Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
606 Ответы, указания, решения
a
2
= –8 м/с
2
. 80. Через 2 с. 81. a
1
: a
2
= 7 : 9. Учтите, что про-
межути времени, в течение оторых поезда двиались рав-
ноусоренно, различны. 82. s
1
= , s
2
= . См. уазание
упр.81. 83. Пассажир A пришел быстрее, та а <
<.
§ 62. Задачи на работу и производительность труда
1. 24 м
3
. 2. За 45 ч. 3. За 132 мин и 110 мин. 4. 6 мин и 10 мин.
5. За 6 мин, 8 мин, 12 мин. 6. T + , T – t + ,
(T > t). 7. За 3 ч, 6 ч, 2 ч. 8. 400 деталей. 9. За
14 дней. 10. За 10 дней. 11. Тратор мари A— 12а, мари
B— 16 а. 12. В 4 раза.
Используйте условие в виде неравен-
ства для выбора единственноо из двух найденных значений
исомоо неизвестноо. 13. 50 ч. 14. 9дней. 15. За 10ч и 8 ч.
16. 9 м. 17. 6 ч и 5 ч. 18. 2,5 м
3
. 19. 3м
3
/ч. 20. 60 %.
21. За 14 дней и 11 дней. 22. 4ч и 6ч. 23. Первому — по
20 страниц в день, второму — по 35. 24. За 12 ч. 25. c = 9 .
26. 600 м
3
. 27. 20 м
3
. Проверьте полученное решение подста-
новой во все уравнения системы. 28. За 40 ч.
Используйте
формулу суммы членов арифметичесой прорессии. 29. 1,25V.
См. уазание упр. 28. 30. Пусть T
i
(i = 1, 2, 3) — время опо-
рожнения i-м насосом своео резервуара. Тода T
1
> T
3
> T
2
,
причем T
1
: T
3
: T
2
= :1: , если α > ;
T
1
: T
3
: T
2
= (α – 1) : α :, если 2 < α m . 31. t .
Используя условие, предварительно поажите, что все тру-
бы начали работать до тоо, а бассен был заполнен наполо-
вину. 32. .
2s
5
------
s
2
---
2s
ab+
-------------
s
2
---
ab+
ab
-------------
TT t–() TT t–()
TT t–()
2
3
---
1
3
---
11
16
------
1 α+
α
------------------
1 α+
αα
------------------
35+
2
------------------
1
α 1–
-------------
35+
2
------------------
n 1–
n
-------------
17
40
------
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений 607
§ 63. Задачи на процентный прирост
и вычисление «сложных процентов»
1. d через 69 мес. 2. d через 55 лет. 3. 80 р; 12 р. 4. 5%.
5. 10 %. 6. 10 %. 7. 2000 р. 8. На 42,3 %. 9. 726 ден. ед.
10. 50 %. 11. Через оличество лет, большее чем lg :
:lg 1 + . 12. Более чем через lg : lg 1 + ч.
§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными
1. 12 листов. 2. «Трое» — 2, «четверо» — 7. 3. Пятиэтаж-
ных — 9, девятиэтажных — 8. 4. «Мосвичей» — 10, «Вол» —
19. 5. 33 учениа. 6. 25 ящиов второо типа и 4 ящиа третье-
о типа.
Предварительно оцените стоимость перевози одной
детали в ящие аждоо типа. 7. Первый — 3 дня, второй —
2дня.
Оцените, аое оличество дней мо работать аждый
эсаватор. 8. 45 онфет и 20 онфет. 9. 13 мин. 10. 19 плотов.
11. 15 или 95. 12. 48. 13. 32. 14. 5.
Приписывание дан-
ному числу неоторой цифры справа означает переход ново-
му числу, в отором оличество единиц равно приписываемой
цифре, а оличество десятов — исходному числу. 15. 6464.
16. 285 714.
См. уазание упр. 14. 17. 32. 18. 45 или 54.
Для нахождения суммы всех четных двузначных чисел ис-
пользуйте формулу суммы членов арифметичесой прорес-
сии с разностью d = 2 и первым членом a
1
= 10. 20. 21 и 10.
21. 31 и 41. 22. A = 42, B = 35.
Используйте формулу n =
= mp + k, де n— делимое, m— делитель, p— частное, k—
остато. 23. N = 37.
См. уазание упр. 22. 24. , или ,
или .
Задача сводится решению системы вадратных не-
равенств на множестве натуральных чисел. 25. В 4 монеты.
§ 65. Задачи на концентрацию
и процентное содержание
1. 1,5 . 2. – 24 и 32 – ; m r m . 3. 7.
4.
60 .
5.
л; л.
6.
.
3Np 100M–
Np 100M–
------------------------------------
p
100
----------
2Np 100n–
Np 100n–
---------------------------------
p
100
----------
3
10
------
4
17
------
5
26
------
4r
5
------
4r
5
------
125
4
----------
135
4
----------
2nm– m
2
4n
2
++
2
---------------------------------------------------------
2nm m
2
4n
2
+++
2
---------------------------------------------------------
mn
mn+
--------------- -
606 Ответы, указания, решения
a
2
= –8 м/с
2
. 80. Через 2 с. 81. a
1
: a
2
= 7 : 9. Учтите, что про-
межути времени, в течение оторых поезда двиались рав-
ноусоренно, различны. 82. s
1
= , s
2
= . См. уазание
упр.81. 83. Пассажир A пришел быстрее, та а <
<.
§ 62. Задачи на работу и производительность труда
1. 24 м
3
. 2. За 45 ч. 3. За 132 мин и 110 мин. 4. 6 мин и 10 мин.
5. За 6 мин, 8 мин, 12 мин. 6. T + , T – t + ,
(T > t). 7. За 3 ч, 6 ч, 2 ч. 8. 400 деталей. 9. За
14 дней. 10. За 10 дней. 11. Тратор мари A— 12а, мари
B— 16 а. 12. В 4 раза.
Используйте условие в виде неравен-
ства для выбора единственноо из двух найденных значений
исомоо неизвестноо. 13. 50 ч. 14. 9дней. 15. За 10ч и 8 ч.
16. 9 м. 17. 6 ч и 5 ч. 18. 2,5 м
3
. 19. 3м
3
/ч. 20. 60 %.
21. За 14 дней и 11 дней. 22. 4ч и 6ч. 23. Первому — по
20 страниц в день, второму — по 35. 24. За 12 ч. 25. c = 9 .
26. 600 м
3
. 27. 20 м
3
. Проверьте полученное решение подста-
новой во все уравнения системы. 28. За 40 ч.
Используйте
формулу суммы членов арифметичесой прорессии. 29. 1,25V.
См. уазание упр. 28. 30. Пусть T
i
(i = 1, 2, 3) — время опо-
рожнения i-м насосом своео резервуара. Тода T
1
> T
3
> T
2
,
причем T
1
: T
3
: T
2
= :1: , если α > ;
T
1
: T
3
: T
2
= (α – 1) : α :, если 2 < α m . 31. t .
Используя условие, предварительно поажите, что все тру-
бы начали работать до тоо, а бассен был заполнен наполо-
вину. 32. .
2s
5
------
s
2
---
2s
ab+
-------------
s
2
---
ab+
ab
-------------
TT t–() TT t–()
TT t–()
2
3
---
1
3
---
11
16
------
1 α+
α
------------------
1 α+
αα
------------------
35+
2
------------------
1
α 1–
-------------
35+
2
------------------
n 1–
n
-------------
17
40
------
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений 607
§ 63. Задачи на процентный прирост
и вычисление «сложных процентов»
1. d через 69 мес. 2. d через 55 лет. 3. 80 р; 12 р. 4. 5%.
5. 10 %. 6. 10 %. 7. 2000 р. 8. На 42,3 %. 9. 726 ден. ед.
10. 50 %. 11. Через оличество лет, большее чем lg :
:lg 1 + . 12. Более чем через lg : lg 1 + ч.
§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными
1. 12 листов. 2. «Трое» — 2, «четверо» — 7. 3. Пятиэтаж-
ных — 9, девятиэтажных — 8. 4. «Мосвичей» — 10, «Вол» —
19. 5. 33 учениа. 6. 25 ящиов второо типа и 4 ящиа третье-
о типа.
Предварительно оцените стоимость перевози одной
детали в ящие аждоо типа. 7. Первый — 3 дня, второй —
2дня.
Оцените, аое оличество дней мо работать аждый
эсаватор. 8. 45 онфет и 20 онфет. 9. 13 мин. 10. 19 плотов.
11. 15 или 95. 12. 48. 13. 32. 14. 5.
Приписывание дан-
ному числу неоторой цифры справа означает переход ново-
му числу, в отором оличество единиц равно приписываемой
цифре, а оличество десятов — исходному числу. 15. 6464.
16. 285 714.
См. уазание упр. 14. 17. 32. 18. 45 или 54.
Для нахождения суммы всех четных двузначных чисел ис-
пользуйте формулу суммы членов арифметичесой прорес-
сии с разностью d = 2 и первым членом a
1
= 10. 20. 21 и 10.
21. 31 и 41. 22. A = 42, B = 35.
Используйте формулу n =
= mp + k, де n— делимое, m— делитель, p— частное, k—
остато. 23. N = 37.
См. уазание упр. 22. 24. , или ,
или .
Задача сводится решению системы вадратных не-
равенств на множестве натуральных чисел. 25. В 4 монеты.
§ 65. Задачи на концентрацию
и процентное содержание
1. 1,5 . 2. – 24 и 32 – ; m r m . 3. 7.
4.
60 .
5.
л; л.
6.
.
3Np 100M–
Np 100M–
------------------------------------
p
100
----------
2Np 100n–
Np 100n–
---------------------------------
p
100
----------
3
10
------
4
17
------
5
26
------
4r
5
------
4r
5
------
125
4
----------
135
4
----------
2nm– m
2
4n
2
++
2
---------------------------------------------------------
2nm m
2
4n
2
+++
2
---------------------------------------------------------
mn
mn+
--------------- -
608 Ответы, указания, решения
Введите в ачестве неизвестных: x— массу отрезанноо ус-
а; c
1
и c
2
— онцентрацию меди в первом и втором усе соот-
ветственно. 7. 5 % и 11 %. 8. В объеме 4 см
3
. Воспользуйтесь
формулой m = ρV, связывающей массу, плотность и объем.
9. 12 %; 24 %; 48 %. 10. 29 %.
В ачестве неизвестных вве-
дите онцентрации c
1
, c
2
, c
3
, c
4
. Условие задачи дает систему
трех уравнений для четырех неизвестных c
1
, c
2
, c
3
и c
4
. При ис-
следовании системы учтите, что следует исать омбинацию
неизвестных . 11. В раза. 12. 5 и 20. 13. 14 ;
7 ; 16 . 14. Первая труба подает жидость в 2 раза быстрее
второй. 15. 50 %. 16. 12,5 . 17. 170 . 18. 40 % и 43 %.
19. 2л. 20. 10 л и 90 л. 21. 10 л. 22. . 23. Если p = q, то при
любом числе промыво процент содержания золота сохраняется;
в этом случае задача имеет решение при r m k, причем число
промыво произвольно. Если q < p, то число промыво n опре-
деляется неравенством n l lg : lg . Если p < q,
то n m lg : lg .
§ 66. Разные задачи
1. 28 . 2. 60 деталей. 3. 280 р. портфель дороже авторучи.
4. За 1 ч. 5. 6400 л и 600 л. 6. 1,25 и 0,75 .
Г л а в а 12. Планиметрия
§ 67. Треугольники
1. 20 см. 2. . 3. 75. 4. m(m cos β ä )×
× sin β. 5. Нет. 6. sin 2α. 7. tg α (r cos α – c).
8. cr . 9. –2S cos
2
α cos 2α. 10. 288 см
2
. 11. – 1.
2c
2
c
4
+
3
----------------------
13
4
------
1
3
---
1
6
---
r 100 k–()
k 100 r–()
----------------------------
100 q–
100 p–
--------------------
r 100 k–()
k 100 r–()
----------------------------
100 q–
100 p–
--------------------
2bc cos
α
2
---
bc+
-------------------------
c
2
m
2
sin
2
β–
a
2
8
------
c
2
---
1
2
---
sin
2
α
cos α
----------------
3
Г л а в а 12. Планиметрия 609
12. . 13. 4. 14. .
15. . 16. . 17. см
2
. Убедитесь в том,
что треуольни прямоуольный. 18. . 19. tg α ctg β + .
20. . 21. . 22. 4. 23. 75. 24. . 25. . 26. 3;
5; 7. 27. 1 + . 28. + arccos , – arccos .
29. . 30. . 31. см
2
. 32. . 33. = . 34.
или 9. 35. arctg . 36. 4(1 – α). 37. 23 : 90. 38. . 39. .
40. . 41. . 42. .
43. 3:2. 44. или 3. 46. 6:5. 47. FA = , F B = arcsin ,
FC =arcsin .
§ 68. Четырехугольники
1. l = 8 см; S = 16 см
2
. 2. 256 см
2
. 3. м. 4. 2 см. 5. 6м.
6. 9,6 см
2
. 7. sin 2α. 8. . 9. . 10. .
11. l. 12. Сторону CD. 13. . 14. 1 + – .
15. (a – b)
2
sin α. 16. 4h
2
ctg α –2h . 17. 7:8.
18. 2. 19. AB = BC = 2, AD = , DC = 1, S = . 20. 4 : 5.
21. см
2
. 22. 2 см. 23. . 24. = . 25. .
a
2
sin α cos 2α
4cosα 12cosα+()
------------------------------------------------------
b
2
sin α 5sinβ 3cosβ tg α+()
16 sin αβ+()
---------------------------------------------------------------------------------- -
1
2
---
c
2
2
-----
cos
2
β sin 2α
cos αβ–()cos αβ+()
-----------------------------------------------------------
15
2
---------- -
3
4
-------
9
2
---
7
2
---
23+
6
------------------
3 3
2l
2
5
--------
a 17
12
-------------- -
2
π
4
---
122+
4
--------------------- -
π
4
---
122+
4
--------------------- -
bb c+()
32
4
-----------
2
3
---
23–
5
-----------------
NC
AC
---------
3
4
---
1
9
---
31–
2
-----------------
25
16
------
1
12
------
π
6
---
β 12ααβ++()
1 α+()1 β+()1 ααβ++()
-------------------------------------------------------------------------
S
1
S
3
S
2
S
1
+()S
2
S
3
+()
S
2
S
2
2
S
1
S
3
–()
------------------------------------------------------------------
1
3
---
π
2
---
4
5
---
3
5
---
3 3
a
2
2
------
4
31+()
2
------------------------- -
10
2
---------- -
1
2
---
ab
ab–()
2
4cos
2
α
---------------------
+
12
5
------
13tgα+()
2
2tgα
----------------------------------
7
8
---
a
2
16–
1
2
---
a
2
4h
2
–
3
33
2
-----------
15 3
2
-------------- -
2
a 13
6
-------------- -
AM
MD
-----------
2
3
---
m
2
n
2
+
2
------------------------- -
608 Ответы, указания, решения
Введите в ачестве неизвестных: x— массу отрезанноо ус-
а; c
1
и c
2
— онцентрацию меди в первом и втором усе соот-
ветственно. 7. 5 % и 11 %. 8. В объеме 4 см
3
. Воспользуйтесь
формулой m = ρV, связывающей массу, плотность и объем.
9. 12 %; 24 %; 48 %. 10. 29 %.
В ачестве неизвестных вве-
дите онцентрации c
1
, c
2
, c
3
, c
4
. Условие задачи дает систему
трех уравнений для четырех неизвестных c
1
, c
2
, c
3
и c
4
. При ис-
следовании системы учтите, что следует исать омбинацию
неизвестных . 11. В раза. 12. 5 и 20. 13. 14 ;
7 ; 16 . 14. Первая труба подает жидость в 2 раза быстрее
второй. 15. 50 %. 16. 12,5 . 17. 170 . 18. 40 % и 43 %.
19. 2л. 20. 10 л и 90 л. 21. 10 л. 22. . 23. Если p = q, то при
любом числе промыво процент содержания золота сохраняется;
в этом случае задача имеет решение при r m k, причем число
промыво произвольно. Если q < p, то число промыво n опре-
деляется неравенством n l lg : lg . Если p < q,
то n m lg : lg .
§ 66. Разные задачи
1. 28 . 2. 60 деталей. 3. 280 р. портфель дороже авторучи.
4. За 1 ч. 5. 6400 л и 600 л. 6. 1,25 и 0,75 .
Г л а в а 12. Планиметрия
§ 67. Треугольники
1. 20 см. 2. . 3. 75. 4. m(m cos β ä )×
× sin β. 5. Нет. 6. sin 2α. 7. tg α (r cos α – c).
8. cr . 9. –2S cos
2
α cos 2α. 10. 288 см
2
. 11. – 1.
2c
2
c
4
+
3
----------------------
13
4
------
1
3
---
1
6
---
r 100 k–()
k 100 r–()
----------------------------
100 q–
100 p–
--------------------
r 100 k–()
k 100 r–()
----------------------------
100 q–
100 p–
--------------------
2bc cos
α
2
---
bc+
-------------------------
c
2
m
2
sin
2
β–
a
2
8
------
c
2
---
1
2
---
sin
2
α
cos α
----------------
3
Г л а в а 12. Планиметрия 609
12. . 13. 4. 14. .
15. . 16. . 17. см
2
. Убедитесь в том,
что треуольни прямоуольный. 18. . 19. tg α ctg β + .
20. . 21. . 22. 4. 23. 75. 24. . 25. . 26. 3;
5; 7. 27. 1 + . 28. + arccos , – arccos .
29. . 30. . 31. см
2
. 32. . 33. = . 34.
или 9. 35. arctg . 36. 4(1 – α). 37. 23 : 90. 38. . 39. .
40. . 41. . 42. .
43. 3:2. 44. или 3. 46. 6:5. 47. FA = , F B = arcsin ,
FC =arcsin .
§ 68. Четырехугольники
1. l = 8 см; S = 16 см
2
. 2. 256 см
2
. 3. м. 4. 2 см. 5. 6м.
6. 9,6 см
2
. 7. sin 2α. 8. . 9. . 10. .
11. l. 12. Сторону CD. 13. . 14. 1 + – .
15. (a – b)
2
sin α. 16. 4h
2
ctg α –2h . 17. 7:8.
18. 2. 19. AB = BC = 2, AD = , DC = 1, S = . 20. 4 : 5.
21. см
2
. 22. 2 см. 23. . 24. = . 25. .
a
2
sin α cos 2α
4cosα 12cosα+()
------------------------------------------------------
b
2
sin α 5sinβ 3cosβ tg α+()
16 sin αβ+()
---------------------------------------------------------------------------------- -
1
2
---
c
2
2
-----
cos
2
β sin 2α
cos αβ–()cos αβ+()
-----------------------------------------------------------
15
2
---------- -
3
4
-------
9
2
---
7
2
---
23+
6
------------------
3 3
2l
2
5
--------
a 17
12
-------------- -
2
π
4
---
122+
4
--------------------- -
π
4
---
122+
4
--------------------- -
bb c+()
32
4
-----------
2
3
---
23–
5
-----------------
NC
AC
---------
3
4
---
1
9
---
31–
2
-----------------
25
16
------
1
12
------
π
6
---
β 12ααβ++()
1 α+()1 β+()1 ααβ++()
-------------------------------------------------------------------------
S
1
S
3
S
2
S
1
+()S
2
S
3
+()
S
2
S
2
2
S
1
S
3
–()
------------------------------------------------------------------
1
3
---
π
2
---
4
5
---
3
5
---
3 3
a
2
2
------
4
31+()
2
------------------------- -
10
2
---------- -
1
2
---
ab
ab–()
2
4cos
2
α
---------------------
+
12
5
------
13tgα+()
2
2tgα
----------------------------------
7
8
---
a
2
16–
1
2
---
a
2
4h
2
–
3
33
2
-----------
15 3
2
-------------- -
2
a 13
6
-------------- -
AM
MD
-----------
2
3
---
m
2
n
2
+
2
------------------------- -
610 Ответы, указания, решения
26. . 27. . 28. . 29. . 30. .
31. . 32. 37:72. 33. 1. 34. . 35. KM = 2 ,
LN =.
§ 69. Окружность и круг
1. . 2. 2. 3. 8. 4. (3 + π – 3 ). 5. 1 – + .
6. см
2
. 7. R
2
(2 + 5π). 8. R
2
ctg α – R
2
– α .
9. 8см. 10. 7. 11. . 12. . 13. 8см.
14. . 15. (3 – ) см. 16. h и h.
17. 3. 18. см
2
. 19. (arccos m – m ).
20. . 21. Площадь вадрата больше пло-
щади руа. 22. см.
§ 70. Треугольники и окружности
1. . 2. . 3. .
4. . 5. .
6. . 7. и 2 или 2 и . 8. .
3S
2
-------
ab+
4
-------------
ab+()3ba–()
4S
5
-------
35
5
12
------
11
12
------
1
2
---
17 1–
2
-------------------- -
Q 3
4
4 Q
3
4
------------
97
16
-----------
Rr
a
2
3
------
3 3
2π
3
------ -
150
7
----------
5
6
---
3
1
2
---
1
2
---
π
2
---
π 4R
2
l
2
–()
2
64R
2
--------------------------------- -
d
2
R
1
R
2
–()
2
–
4 R
1
R
2
+()
2
-----------------------------------------
a 3 r 4r
2
2ar 3+–+
3
-------------------------------------------------------------------
2
3
---
5
3
5
---
12
5
------
13
8
5
---
32
πm
4
-----------
1 m
2
–
2 sin
2
α
α 1sin2α sin
2
α++()
-------------------------------------------------------------
6
5
-------
πc
12+
------------------
b cos
3α
2
-------
2 sin α cos
α
2
---
--------------------------------- -
R sin
α
2
---
1sin
α
2
---
+
------------------------
abc
abc++()abc–+()acb–+()bca–+()
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
a
2
33 π–()
24
-------------------------------- -
bc2 bc cos α–+
2 sin
2
α
-------------------------------------------------
3 3 3 3
513
12
-------------- -
Г л а в а 12. Планиметрия 611
9. 2R
2
. 10. . 11. c .
12. . 13. a
2
. 14. ·tg.
15. a . 17. a
2
– . 18. .
19. 2. 20. . 21. r
1
= (14 – ), r
2
= (21 – ).
22. . 23. 4:3. 24. 150 + . 25. .
26. · . 27. . 28. (3 + ). 29. ×
× (6 – ). 30. 128(3 + 2 ) : 49. 31. . 32. AB = 3 см;
AC = см. 33. . 34. . 35. 22. 36. l(l –n) ×
× sin β 1+ sinβ tg . 37. . 38. R
1
= ×
× , R
2
=. 39. tg sin 2α.
40. ; отношение будет наименьшим при α = 45°.
41. . 42. arctg . 43. , де γ = FACB,
β = F ABC. 44. ( – 1) : . 45. 25π см
2
. 46. 5см. 47. arccos ,
– arccos или arccos , – arccos . 48. 14 см. 49. 3см,
4см, 5см. 50. 0,5 дм. 51. см. 52. 2.
Введите в а-
sin
3
αβ+()sin β
sin α
----------------------------------------------
15 6 3+
sin
α
2
---
cos
β
2
---
cos
α
2
---
β
2
---
+
---------------------------------
1
2
---
R
2
aR+()
3
aR–()a
2
R
2
+()
-------------------------------------------- -
5π 63–
72
-------------------------
a
2
---
1 sin
α
2
---
–
1 sin
α
2
---
+
------------------------
α
2
---
13 4 7–
2
------------------------ -
743–
4
---------------------
5π
6
------ -
3
ab sin α
ab+
--------------------- -
1 sin
α
2
---
–
1 sin
α
2
---
+
------------------------
11
10
------
6
6
-------
70
6
8
-------
105
R 375+()
7
----------------------------------- -
250
3
----------
315
2
-------------- -
1,25 cos β–
2 sin β
--------------------------------
b sin α
sin αβ+()
----------------------------
7
4
-------
125
4
----------
3
50
3
------
3 2
2
4 π–
-------------
2
10
4R
2
sin α cos
4
α
cos 3α
--------------------------------------------
a
2
3
26
--------------
1
2
---
l
2n
-------
β
2
---
33
5π 3–
-----------------
sin C
sin BC+()
----------------------------- -
322cosB–
4sinB
-------------------------------------
sin C
sin BC+()
----------------------------- -
322cosB+
4 sin B
------------------------------------- -
α
2
---
1
sin α cos α 1–+
--------------------------------------------
sin
α
2
---
sin 2α
sin
3α
4
-------
sin
7α
4
-------
-------------------------------------
1
cos α
-------------
cos
2
βγ–
2
------------
cos
2
βγ+
2
------------
------------------------- -
3 6
3
5
---
π
2
---
3
5
---
4
5
---
π
2
---
4
5
---
91 5
610 Ответы, указания, решения
26. . 27. . 28. . 29. . 30. .
31. . 32. 37:72. 33. 1. 34. . 35. KM = 2 ,
LN =.
§ 69. Окружность и круг
1. . 2. 2. 3. 8. 4. (3 + π – 3 ). 5. 1 – + .
6. см
2
. 7. R
2
(2 + 5π). 8. R
2
ctg α – R
2
– α .
9. 8см. 10. 7. 11. . 12. . 13. 8см.
14. . 15. (3 – ) см. 16. h и h.
17. 3. 18. см
2
. 19. (arccos m – m ).
20. . 21. Площадь вадрата больше пло-
щади руа. 22. см.
§ 70. Треугольники и окружности
1. . 2. . 3. .
4. . 5. .
6. . 7. и 2 или 2 и . 8. .
3S
2
-------
ab+
4
-------------
ab+()3ba–()
4S
5
-------
35
5
12
------
11
12
------
1
2
---
17 1–
2
-------------------- -
Q 3
4
4 Q
3
4
------------
97
16
-----------
Rr
a
2
3
------
3 3
2π
3
------ -
150
7
----------
5
6
---
3
1
2
---
1
2
---
π
2
---
π 4R
2
l
2
–()
2
64R
2
--------------------------------- -
d
2
R
1
R
2
–()
2
–
4 R
1
R
2
+()
2
-----------------------------------------
a 3 r 4r
2
2ar 3+–+
3
-------------------------------------------------------------------
2
3
---
5
3
5
---
12
5
------
13
8
5
---
32
πm
4
-----------
1 m
2
–
2 sin
2
α
α 1sin2α sin
2
α++()
-------------------------------------------------------------
6
5
-------
πc
12+
------------------
b cos
3α
2
-------
2 sin α cos
α
2
---
--------------------------------- -
R sin
α
2
---
1sin
α
2
---
+
------------------------
abc
abc++()abc–+()acb–+()bca–+()
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
a
2
33 π–()
24
-------------------------------- -
bc2 bc cos α–+
2 sin
2
α
-------------------------------------------------
3 3 3 3
513
12
-------------- -
Г л а в а 12. Планиметрия 611
9. 2R
2
. 10. . 11. c .
12. . 13. a
2
. 14. ·tg.
15. a . 17. a
2
– . 18. .
19. 2. 20. . 21. r
1
= (14 – ), r
2
= (21 – ).
22. . 23. 4:3. 24. 150 + . 25. .
26. · . 27. . 28. (3 + ). 29. ×
× (6 – ). 30. 128(3 + 2 ) : 49. 31. . 32. AB = 3 см;
AC = см. 33. . 34. . 35. 22. 36. l(l –n) ×
× sin β 1+ sinβ tg . 37. . 38. R
1
= ×
× , R
2
=. 39. tg sin 2α.
40. ; отношение будет наименьшим при α = 45°.
41. . 42. arctg . 43. , де γ = FACB,
β = F ABC. 44. ( – 1) : . 45. 25π см
2
. 46. 5см. 47. arccos ,
– arccos или arccos , – arccos . 48. 14 см. 49. 3см,
4см, 5см. 50. 0,5 дм. 51. см. 52. 2.
Введите в а-
sin
3
αβ+()sin β
sin α
----------------------------------------------
15 6 3+
sin
α
2
---
cos
β
2
---
cos
α
2
---
β
2
---
+
---------------------------------
1
2
---
R
2
aR+()
3
aR–()a
2
R
2
+()
-------------------------------------------- -
5π 63–
72
-------------------------
a
2
---
1 sin
α
2
---
–
1 sin
α
2
---
+
------------------------
α
2
---
13 4 7–
2
------------------------ -
743–
4
---------------------
5π
6
------ -
3
ab sin α
ab+
--------------------- -
1 sin
α
2
---
–
1 sin
α
2
---
+
------------------------
11
10
------
6
6
-------
70
6
8
-------
105
R 375+()
7
----------------------------------- -
250
3
----------
315
2
-------------- -
1,25 cos β–
2 sin β
--------------------------------
b sin α
sin αβ+()
----------------------------
7
4
-------
125
4
----------
3
50
3
------
3 2
2
4 π–
-------------
2
10
4R
2
sin α cos
4
α
cos 3α
--------------------------------------------
a
2
3
26
--------------
1
2
---
l
2n
-------
β
2
---
33
5π 3–
-----------------
sin C
sin BC+()
----------------------------- -
322cosB–
4sinB
-------------------------------------
sin C
sin BC+()
----------------------------- -
322cosB+
4 sin B
------------------------------------- -
α
2
---
1
sin α cos α 1–+
--------------------------------------------
sin
α
2
---
sin 2α
sin
3α
4
-------
sin
7α
4
-------
-------------------------------------
1
cos α
-------------
cos
2
βγ–
2
------------
cos
2
βγ+
2
------------
------------------------- -
3 6
3
5
---
π
2
---
3
5
---
4
5
---
π
2
---
4
5
---
91 5
612 Ответы, указания, решения
честве неизвестноо острый уол треуольниа α и составьте
уравнение для нахождения α с помощью теоремы о асатель-
ной и сеущей. 53. 240 см
2
. 54. и . 55. и . 56. .
57. – arccos – , + arccos – . 58. .
59. . 60. . 61. arccos .
62. a. 63. . 64. и .
Введите в ачестве
неизвестноо расстояние от точи D до точи асания оруж-
ности с прямой AC. 65. Треуольни правильный, длина сторо-
ны равна 8. 66. AB = 10, BC = 6, AC = 12.
§ 71. Многоугольники и окружности
1. h
2
. 2. . 3. . 4. r . 5. 37,5. 6. 2. 7. 0,6.
8. 12,5 см. 9. . 10. 2( – ). 11. . 12. .
13. – mr – tg . 14. –. 15. и .
16. . 17. r
2
. 18. 3 см и 8 см. 19. . 20. 8.
21. 12 см
2
. 22. 14,4. 23. 3 : 1. 24. 10 : 11. 25. Трапеция
равнобедренная; 75° и 105°. 26. 210. 27. 9 : 16. 28. = a +
+ l sin
2
ä . 29. ; .
30. . 31. 5 : π.
π
18
------
7π
18
------ -
π
12
------
7π
12
------ -
π
6
---
π
4
---
4
6
-------
1
2
-------
π
4
---
4
6
-------
1
2
-------
2
3
---
33 13 1–()
32π
------------------------------------- -
mk
2
2k cos A 1++
2 k 1+()cos
A
2
----
-------------------------------------------------------- -
21 S–()
3 ä 22sin
α
2
---
2cos
2
α
2
---
-------------------------------------
2
3
2
---
2
3
---
3
a
2cosβ
--------------------
93r
2
4
-----------------
7
2π
3
------ -
6 2
103 17
130
--------------------- -
433+
4
--------------------- -
2r
sin γ
----------- -
r
2
m
-----
γ
2
---
4sin
3
α cos α
π
------------------------------------
π
4
---
3π
4
------ -
2cosecα cosec β+()
π
------------------------------------------------------
9
2
---
4R
3
S
---------- -
15
MB
ND
α
2
---
a
2
2al sin
2
α
2
---
l
2
cos
2
α
2
---
sin
2
α
2
---
–+
7
85
---------- -
34
5
------
2
3
-------
Г л а в а 13. Стереометрия 613
Г л а в а 13. Стереометрия
§ 72. Многогранники
1. arccos . 2. 3d
3
. 3. 2a
3
sin .
4. . 5. arccos (sin α sin β). 6. 576 см
2
. 7. d
2
×
× sin 2ϕ cos (45° – α). 8. a
2
b sin α sin β. 10. l
3
cos
2
α sin α.
11. . 12. α = arcsin ; V = . 13. ×
× tg α. 14.
H
3
3tg
2
–
1. 15.
. 16.
a .
17. .18. .
19. l
3
sin . 20. 2arcsin . 21. π –
– 2 arcsin . 22. tg α. 23. a . 24. . 25. ×
× . 26. a
3
.
27. – l
3
. 28. . 29.h
3
. 30. ×
× . 31. 2 arcsin sin . 32. arcctg .
33. . 34. 6 – + 4. 35. V = ,
1
3
-------
3
α
2
---
sin
α
2
---
sin
3α
2
-------
b
3
cos 2α
sin α
----------------------------
2
3
12
-------
6 3 sin α 30°+()r
2
cos α
------------------------------------------------------
6
3
-------
a
3
6
------
a 4b
2
a
2
–
2 a 2b+()
------------------------------ -
3
4
-------
α
2
---
a
3
cos
2
α
2
---
ctg
α
2
---
3 3 4 sin
2
α
2
---
–
----------------------------------------- -
3ctg
2
ϕ–
c
2
sin α cos α
2cosβ
-----------------------------------
1
12
------
1
2
---
a
2
b
2
c
2
–+()a
2
c
2
b
2
–+()b
2
c
2
a
2
–+()
1
3
---
β
2
---
cos
2
β
2
---
cos
2
α–
13cos
2
α+
2
------------------------------------
1
2 sin
α
2
---
------------------
ba–
23
------------ -
21–
2
3
---
1
12 2
-------------- -
a
2
b
2
c
2
–+()a
2
c
2
b
2
–+()b
2
c
2
a
2
–+()
2
6
-------
ctg
2
α
2
---
1ctg
2
α
2
---
–
-------------------------- -
2
3
---
cos
β
2
---
cos β
sin
3
β
2
---
----------------------------
d
2
tg
α
2
---
2cosβ
------------------
4
3
---
sin
2
α
2
---
cos α
----------------
3V
H
----------- -
4H
3
3V+
2
α
2
---
tg
2
α 1–
2
----------------------- -
l
3
ctg α ctg β
3
1
sin
2
α
----------------
ctg
2
β+
3/2
---------------------------------------------------------- 2 6
d
2
3l
2
d
2
–
6
-------------------------------- -
612 Ответы, указания, решения
честве неизвестноо острый уол треуольниа α и составьте
уравнение для нахождения α с помощью теоремы о асатель-
ной и сеущей. 53. 240 см
2
. 54. и . 55. и . 56. .
57. – arccos – , + arccos – . 58. .
59. . 60. . 61. arccos .
62. a. 63. . 64. и .
Введите в ачестве
неизвестноо расстояние от точи D до точи асания оруж-
ности с прямой AC. 65. Треуольни правильный, длина сторо-
ны равна 8. 66. AB = 10, BC = 6, AC = 12.
§ 71. Многоугольники и окружности
1. h
2
. 2. . 3. . 4. r . 5. 37,5. 6. 2. 7. 0,6.
8. 12,5 см. 9. . 10. 2( – ). 11. . 12. .
13. – mr – tg . 14. –. 15. и .
16. . 17. r
2
. 18. 3 см и 8 см. 19. . 20. 8.
21. 12 см
2
. 22. 14,4. 23. 3 : 1. 24. 10 : 11. 25. Трапеция
равнобедренная; 75° и 105°. 26. 210. 27. 9 : 16. 28. = a +
+ l sin
2
ä . 29. ; .
30. . 31. 5 : π.
π
18
------
7π
18
------ -
π
12
------
7π
12
------ -
π
6
---
π
4
---
4
6
-------
1
2
-------
π
4
---
4
6
-------
1
2
-------
2
3
---
33 13 1–()
32π
------------------------------------- -
mk
2
2k cos A 1++
2 k 1+()cos
A
2
----
-------------------------------------------------------- -
21 S–()
3 ä 22sin
α
2
---
2cos
2
α
2
---
-------------------------------------
2
3
2
---
2
3
---
3
a
2cosβ
--------------------
93r
2
4
-----------------
7
2π
3
------ -
6 2
103 17
130
--------------------- -
433+
4
--------------------- -
2r
sin γ
----------- -
r
2
m
-----
γ
2
---
4sin
3
α cos α
π
------------------------------------
π
4
---
3π
4
------ -
2cosecα cosec β+()
π
------------------------------------------------------
9
2
---
4R
3
S
---------- -
15
MB
ND
α
2
---
a
2
2al sin
2
α
2
---
l
2
cos
2
α
2
---
sin
2
α
2
---
–+
7
85
---------- -
34
5
------
2
3
-------
Г л а в а 13. Стереометрия 613
Г л а в а 13. Стереометрия
§ 72. Многогранники
1. arccos . 2. 3d
3
. 3. 2a
3
sin .
4. . 5. arccos (sin α sin β). 6. 576 см
2
. 7. d
2
×
× sin 2ϕ cos (45° – α). 8. a
2
b sin α sin β. 10. l
3
cos
2
α sin α.
11. . 12. α = arcsin ; V = . 13. ×
× tg α. 14.
H
3
3tg
2
–
1. 15.
. 16.
a .
17. .18. .
19. l
3
sin . 20. 2arcsin . 21. π –
– 2 arcsin . 22. tg α. 23. a . 24. . 25. ×
× . 26. a
3
.
27. – l
3
. 28. . 29.h
3
. 30. ×
× . 31. 2 arcsin sin . 32. arcctg .
33. . 34. 6 – + 4. 35. V = ,
1
3
-------
3
α
2
---
sin
α
2
---
sin
3α
2
-------
b
3
cos 2α
sin α
----------------------------
2
3
12
-------
6 3 sin α 30°+()r
2
cos α
------------------------------------------------------
6
3
-------
a
3
6
------
a 4b
2
a
2
–
2 a 2b+()
------------------------------ -
3
4
-------
α
2
---
a
3
cos
2
α
2
---
ctg
α
2
---
3 3 4 sin
2
α
2
---
–
----------------------------------------- -
3ctg
2
ϕ–
c
2
sin α cos α
2cosβ
-----------------------------------
1
12
------
1
2
---
a
2
b
2
c
2
–+()a
2
c
2
b
2
–+()b
2
c
2
a
2
–+()
1
3
---
β
2
---
cos
2
β
2
---
cos
2
α–
13cos
2
α+
2
------------------------------------
1
2 sin
α
2
---
------------------
ba–
23
------------ -
21–
2
3
---
1
12 2
-------------- -
a
2
b
2
c
2
–+()a
2
c
2
b
2
–+()b
2
c
2
a
2
–+()
2
6
-------
ctg
2
α
2
---
1ctg
2
α
2
---
–
-------------------------- -
2
3
---
cos
β
2
---
cos β
sin
3
β
2
---
----------------------------
d
2
tg
α
2
---
2cosβ
------------------
4
3
---
sin
2
α
2
---
cos α
----------------
3V
H
----------- -
4H
3
3V+
2
α
2
---
tg
2
α 1–
2
----------------------- -
l
3
ctg α ctg β
3
1
sin
2
α
----------------
ctg
2
β+
3/2
---------------------------------------------------------- 2 6
d
2
3l
2
d
2
–
6
-------------------------------- -
614 Ответы, указания, решения
S
бо
= . 36. 2 arcsin . 37. 2 arccos .
38. . 39. arctg tg α cos . 40. 2 arcsin .
41. .
§ 73.Сечения многогранников
1. . 2. arctg . 3. . 4. . 5. Точа P совпа-
дает с точой C. 6. м
2
. 7. . 8. . 9. .
10. . 11. tg
2
α tg β. 12. arcctg cos α.
13. . 14. arccos tg . 15. . 16. . 17. м
2
.
18. . 19. S sin ϕ . 20. .
21. 3. 22. . 23. V
1
= и V
2
=;
S =. 24. . 25. (c + h)S. 26. 7:17. 27. ×
× . 28. arcsin . 29. ·cosα×
× . 30. .
31. a
2
sin
2
. 32. ab. 33. .
d
2
---
12l
2
d
2
–
31–
2
-----------------
3
2 sin
ϕ
2
---
------------------
a
3
55+()
24
------------------------------
π
n
---
cos
π
n
---
cos
α
2
---
------------- -
a
3
b
3
–()3
6
--------------------------------
3a
2
3
4
------------------
5
2
-------
6
a 3
3
-----------
33
4
-----------
1
3
---
1121
170
-------------
5
2
---
144 3
5
------------------
H
2
3ctgα
sin α
------------------------------- -
a
2
b
2
–()ab–()
8
----------------------------------------- -
SS 6
4
2
---------------------- -
α
2
---
a
3
2cosα
2 sin
α
2
---
-----------------------------
c
3
32
------
4
3
-------
a
2
sin 2α
2cosϕ
------------------------
S 3cosϕ
b
8
---
15b
2
4l
2
+
a
2
tg α
8 sin β tg β
----------------------------- -
3m 2n+()a
3
tg α
8n
-----------------------------------------------
a
3
tg α
8
------------------
a
2
3
4cosα
------------------
33
8
-----------
1
2
---
7
16
------
a
2
b
2
+()c
2
4a
2
b
2
+
1
3
---
a
2
3
16
--------------
421cos
2
α+
a
2
3 sin
2
α
2
---
2sin
α
2
---
4 sin
2
α
2
---
1–1++
4 sin
α
2
--- 4 sin
2
α
2
---
1–+
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
α
2
---
34sin
2
α
2
---
–
2
9
---
3l
2
24tg
2
α 1+()cos α
-----------------------------------------------------
Г л а в а 13. Стереометрия 615
34. a
2
. 35. 2a
2
cos
2
. 36. 4 m
2
. 37. .
38. a
2
. 39. . 40. sin . 41. 3:4. 42. 1:6.
43. . 44. 69 : 100. 45. На расстоянии от
точи S, не большем чем SD. 46. 8:37. 47. .
48. l
2
cos α. 49. 32 . 50. a
2
1+2 . 51. 3:5.
52. 1:1. 53. .
§ 74. Фигуры вращения
1. . 2. πS
2
; . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. ·. 8. :5. 9. (2π – 3 ) : (10π + 3 ).
10. . 11. . 12. .
13. . 14. (2S
1
+2S
2
+ πd
2
).
15. R или R. 16. r 1 ä 2tg
2
+
+tg . 17. r 1+ . 18. 4. 19. r
1
=;
r
2
= ; r
3
= . 20. .
211
49
-------------- -
α
2
---
2cos2α– 3
a
3
128
----------
32
4
-----------
3
V
2
ctg
2
α
3
cos α
-----------------------------
4ab
9
----------
α
2
---
6sin
α
2
---
1
4
3
---
sin
2
α
2
---
–
2 sin
α
2
---
1
4
3
---
sin
2
α
2
---
–+
3
-----------------------------------------------------------------------
2
3
---
52ab
16
------------------ -
1
2
---
3
1
1
2
-------
+
25S
16
-----------
d
3
cos
2
α sin α
4π
-------------------------------------- -
S
2
πS
1
2
--------------------- -
πr
3
15
3
-------------------- -
πS 15
3
-------------------
Sr
3
------ -
πSS
33
4
----------------
2
3
---
π
2
r
3
π
2
1–
----------------
5 3 3
2πh
3
3
------------- -
sin α
4π cos β cos
2
β
2
---
--------------------------------------- -
l
2
cos β
cos
2
α
------------------ -
sin βα+()sin βα–()
π b
2
a
2
– b
2
ctg
2
α a
2
ctg
2
β–()
24 ctg
2
α ctg
2
β–()
3/2
--------------------------------------------------------------------------------------
1
4
---
22 1–
22 1+
--------------------- -
22 1+
22 1–
--------------------- -
α
2
---
α
2
---
34tg
2
α
2
---
+
6
2
-------
c sin β
2 sin α
------------------
c sin α
2 sin β
----------------- -
c sin α sin β
2sin
2
αβ+()
------------------------------------
ρ
2
Rr–()
2
–
4 Rr+()
2
--------------------------------- -
614 Ответы, указания, решения
S
бо
= . 36. 2 arcsin . 37. 2 arccos .
38. . 39. arctg tg α cos . 40. 2 arcsin .
41. .
§ 73.Сечения многогранников
1. . 2. arctg . 3. . 4. . 5. Точа P совпа-
дает с точой C. 6. м
2
. 7. . 8. . 9. .
10. . 11. tg
2
α tg β. 12. arcctg cos α.
13. . 14. arccos tg . 15. . 16. . 17. м
2
.
18. . 19. S sin ϕ . 20. .
21. 3. 22. . 23. V
1
= и V
2
=;
S =. 24. . 25. (c + h)S. 26. 7:17. 27. ×
× . 28. arcsin . 29. ·cosα×
× . 30. .
31. a
2
sin
2
. 32. ab. 33. .
d
2
---
12l
2
d
2
–
31–
2
-----------------
3
2 sin
ϕ
2
---
------------------
a
3
55+()
24
------------------------------
π
n
---
cos
π
n
---
cos
α
2
---
------------- -
a
3
b
3
–()3
6
--------------------------------
3a
2
3
4
------------------
5
2
-------
6
a 3
3
-----------
33
4
-----------
1
3
---
1121
170
-------------
5
2
---
144 3
5
------------------
H
2
3ctgα
sin α
------------------------------- -
a
2
b
2
–()ab–()
8
----------------------------------------- -
SS 6
4
2
---------------------- -
α
2
---
a
3
2cosα
2 sin
α
2
---
-----------------------------
c
3
32
------
4
3
-------
a
2
sin 2α
2cosϕ
------------------------
S 3cosϕ
b
8
---
15b
2
4l
2
+
a
2
tg α
8 sin β tg β
----------------------------- -
3m 2n+()a
3
tg α
8n
-----------------------------------------------
a
3
tg α
8
------------------
a
2
3
4cosα
------------------
33
8
-----------
1
2
---
7
16
------
a
2
b
2
+()c
2
4a
2
b
2
+
1
3
---
a
2
3
16
--------------
421cos
2
α+
a
2
3 sin
2
α
2
---
2sin
α
2
---
4 sin
2
α
2
---
1–1++
4 sin
α
2
--- 4 sin
2
α
2
---
1–+
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
α
2
---
34sin
2
α
2
---
–
2
9
---
3l
2
24tg
2
α 1+()cos α
-----------------------------------------------------
Г л а в а 13. Стереометрия 615
34. a
2
. 35. 2a
2
cos
2
. 36. 4 m
2
. 37. .
38. a
2
. 39. . 40. sin . 41. 3:4. 42. 1:6.
43. . 44. 69 : 100. 45. На расстоянии от
точи S, не большем чем SD. 46. 8:37. 47. .
48. l
2
cos α. 49. 32 . 50. a
2
1+2 . 51. 3:5.
52. 1:1. 53. .
§ 74. Фигуры вращения
1. . 2. πS
2
; . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. ·. 8. :5. 9. (2π – 3 ) : (10π + 3 ).
10. . 11. . 12. .
13. . 14. (2S
1
+2S
2
+ πd
2
).
15. R или R. 16. r 1 ä 2tg
2
+
+tg . 17. r 1+ . 18. 4. 19. r
1
=;
r
2
= ; r
3
= . 20. .
211
49
-------------- -
α
2
---
2cos2α– 3
a
3
128
----------
32
4
-----------
3
V
2
ctg
2
α
3
cos α
-----------------------------
4ab
9
----------
α
2
---
6sin
α
2
---
1
4
3
---
sin
2
α
2
---
–
2 sin
α
2
---
1
4
3
---
sin
2
α
2
---
–+
3
-----------------------------------------------------------------------
2
3
---
52ab
16
------------------ -
1
2
---
3
1
1
2
-------
+
25S
16
-----------
d
3
cos
2
α sin α
4π
-------------------------------------- -
S
2
πS
1
2
--------------------- -
πr
3
15
3
-------------------- -
πS 15
3
-------------------
Sr
3
------ -
πSS
33
4
----------------
2
3
---
π
2
r
3
π
2
1–
----------------
5 3 3
2πh
3
3
------------- -
sin α
4π cos β cos
2
β
2
---
--------------------------------------- -
l
2
cos β
cos
2
α
------------------ -
sin βα+()sin βα–()
π b
2
a
2
– b
2
ctg
2
α a
2
ctg
2
β–()
24 ctg
2
α ctg
2
β–()
3/2
--------------------------------------------------------------------------------------
1
4
---
22 1–
22 1+
--------------------- -
22 1+
22 1–
--------------------- -
α
2
---
α
2
---
34tg
2
α
2
---
+
6
2
-------
c sin β
2 sin α
------------------
c sin α
2 sin β
----------------- -
c sin α sin β
2sin
2
αβ+()
------------------------------------
ρ
2
Rr–()
2
–
4 Rr+()
2
--------------------------------- -