Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
566 Ответы, указания, решения
– + πn. 95. ä arccos ( – 1) + πk. 96. ; + . 97. +
+, n − 3l. 98. + 2πn. 99. – + πk; – + 2πk; – + 2πk.
100. + πk. 101. + ; (–1)
k
+ . 102. ; .
103. + ; – + πk. 104. – + πk; + . 105. +
+. 106. – + πk; + . 107. – + 2πk; + πk.
108. + πk; + πk. 109. – + ; + πk. 110. – + πk;
πk. 111. + ; πk. 112. (–1 + ) + πn; – (1 + ) + πn.
113. + . 114. – ; –; –; ; . 115. ; π; 2π; .
116. –; ; , k = 0; ä1; ä2; ä3. 117. ,
k = –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...
Возможные значения k найдите из усло-
вия существования действительных орней вадратноо уравнения.
118. ; ,
n — любое целое число, m — любое целое число, роме ä1 и 0.
См. уазание упр. 117. 119. ,
k— любое целое неотрицательное число.
См. уазание
упр. 117.
120.
Исходное уравнение можно записать в виде
cos + cos + = 0.
Решая уравнение cos + = 0 методом введения
дополнительноо ула, имеем sin + x = (4k + 1).
Далее, оценивая левую и правую части последнео уравне-
π
4
---
1
2
---
3
πk
2
------ -
π
8
---
πk
4
------ -
π
2
---
2πn
3
-----------
4π
3
------ -
π
4
---
π
3
---
π
6
---
π
4
---
π
4
---
πk
2
------ -
π
30
------
πk
5
------ -
πk
8
------ -
2πk
9
---------- -
3π
8
------ -
πk
2
------ -
π
4
---
π
4
---
(1)
n
–
π
12
------
πk
2
------ -
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
3π
8
------ -
πk
2
------ -
π
2
---
(1)
k
–
π
6
---
(1)
k
–
π
6
---
π
2
---
π
12
------
πk
2
------ -
π
6
---
π
4
---
π
4
---
πk
2
------ -
π
4
---
(1)
n
–
π
4
---
(1)
n
–
1
2
---
7π
4
------ -
3π
4
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
5π
2
------ -
π
2
---
π
2
---
2πk
11
---------- -
5 ä 25 2π 2k 1+()+–
2
-------------------------------------------------------------- -
4m 1+()πä 4m 1+()
2
π
2
240–
12
------------------------------------------------------------------------------------------
4n 1+()– π ä 4n 1+()
2
π
2
240+
12
------------------------------------------------------------------------------------------
14k 1+()πä 124k 1+()π++
2
---------------------------------------------------------------------------------------- -
π
4
---
cos x sin x+
2
----------------------------------
π
4
---
cos x sin x–
2
---------------------------------
π
4
---
cos x sin x+
2
----------------------------------
2
π
4
---
π
2
---
Г л а в а 5. Тригонометрия 567
ния, залючаем, что для всех k Ý Z оно не имеет решений.
Аналоично получаем, что не имеет решений и уравнение
cos + = 0.
121. 2πk ä ϕ; (4k ä 1) å ϕ; ϕ = arcsin , де берутся ли-
бо оба верхних, либо оба нижних знаа.
См. решение упр. 120.
122. arcctg k + + πn; arcsin + πn, l − –1, l − 0.
См. решение упр. 120. 123. – + ; –π + 1; – + ; – +
+; 1; + . 124. – + 2πn. 125. а) 0; ; π; б) πn; + 2πn.
126. arctg + πn.
127. + 2πn.
Данное уравнение эвивалентно уравне-
нию sin x = , орни отороо x = + 2πn и x = + 2πn;
та а 2π — наименьшее общее ратное периодов уравнения
и неравенства, то провере подлежат значения и . Под-
ставляя в заданное неравенство, получаем числовое неравен-
ство 2 > . Но = 1, cos > 0, cos3+
+ sin 3 = cos – 3 < 0, т. е. полученное числовое нера-
венство неверно. Аналоично убеждаемся, что значение
удовлетворяет заданному неравенству.
128. + πk.
См. решение упр. 127. 129. + πk. . См.
решение упр. 127. 130. – + 2πk.
См. решение упр. 127.
π
4
---
cos x sin x–
2
---------------------------------
π
2
---
1
2
---
9
16
------
1
2
---
1
4
---
(1)
n
–
2
---------------
4
4l 1+
----------------
5π
4
------ -
3
2
---
3π
4
------ -
3
2
---
π
4
---
3
2
---
π
4
---
3
2
---
π
6
---
π
6
---
π
6
---
7
2
---
3π
4
------ -
2
2
-------
π
4
---
3π
4
------ -
π
4
---
3π
4
------ -
π
4
---
cos
7π
4
------ -
cos 3 sin 3+
--------------------------------- -
2
cos
π
2
---
2
cos
π
2
---
7π
4
------ -
2
π
4
---
3π
4
------ -
3π
8
------ -
5π
8
------ -
3π
4
------ -
566 Ответы, указания, решения
– + πn. 95. ä arccos ( – 1) + πk. 96. ; + . 97. +
+, n − 3l. 98. + 2πn. 99. – + πk; – + 2πk; – + 2πk.
100. + πk. 101. + ; (–1)
k
+ . 102. ; .
103. + ; – + πk. 104. – + πk; + . 105. +
+. 106. – + πk; + . 107. – + 2πk; + πk.
108. + πk; + πk. 109. – + ; + πk. 110. – + πk;
πk. 111. + ; πk. 112. (–1 + ) + πn; – (1 + ) + πn.
113. + . 114. – ; –; –; ; . 115. ; π; 2π; .
116. –; ; , k = 0; ä1; ä2; ä3. 117. ,
k = –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...
Возможные значения k найдите из усло-
вия существования действительных орней вадратноо уравнения.
118. ; ,
n — любое целое число, m — любое целое число, роме ä1 и 0.
См. уазание упр. 117. 119. ,
k— любое целое неотрицательное число.
См. уазание
упр. 117.
120.
Исходное уравнение можно записать в виде
cos + cos + = 0.
Решая уравнение cos + = 0 методом введения
дополнительноо ула, имеем sin + x = (4k + 1).
Далее, оценивая левую и правую части последнео уравне-
π
4
---
1
2
---
3
πk
2
------ -
π
8
---
πk
4
------ -
π
2
---
2πn
3
-----------
4π
3
------ -
π
4
---
π
3
---
π
6
---
π
4
---
π
4
---
πk
2
------ -
π
30
------
πk
5
------ -
πk
8
------ -
2πk
9
---------- -
3π
8
------ -
πk
2
------ -
π
4
---
π
4
---
(1)
n
–
π
12
------
πk
2
------ -
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
3π
8
------ -
πk
2
------ -
π
2
---
(1)
k
–
π
6
---
(1)
k
–
π
6
---
π
2
---
π
12
------
πk
2
------ -
π
6
---
π
4
---
π
4
---
πk
2
------ -
π
4
---
(1)
n
–
π
4
---
(1)
n
–
1
2
---
7π
4
------ -
3π
4
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
5π
2
------ -
π
2
---
π
2
---
2πk
11
---------- -
5 ä 25 2π 2k 1+()+–
2
-------------------------------------------------------------- -
4m 1+()πä 4m 1+()
2
π
2
240–
12
------------------------------------------------------------------------------------------
4n 1+()– π ä 4n 1+()
2
π
2
240+
12
------------------------------------------------------------------------------------------
14k 1+()πä 124k 1+()π++
2
---------------------------------------------------------------------------------------- -
π
4
---
cos x sin x+
2
----------------------------------
π
4
---
cos x sin x–
2
---------------------------------
π
4
---
cos x sin x+
2
----------------------------------
2
π
4
---
π
2
---
Г л а в а 5. Тригонометрия 567
ния, залючаем, что для всех k Ý Z оно не имеет решений.
Аналоично получаем, что не имеет решений и уравнение
cos + = 0.
121. 2πk ä ϕ; (4k ä 1) å ϕ; ϕ = arcsin , де берутся ли-
бо оба верхних, либо оба нижних знаа.
См. решение упр. 120.
122. arcctg k + + πn; arcsin + πn, l − –1, l − 0.
См. решение упр. 120. 123. – + ; –π + 1; – + ; – +
+; 1; + . 124. – + 2πn. 125. а) 0; ; π; б) πn; + 2πn.
126. arctg + πn.
127. + 2πn.
Данное уравнение эвивалентно уравне-
нию sin x = , орни отороо x = + 2πn и x = + 2πn;
та а 2π — наименьшее общее ратное периодов уравнения
и неравенства, то провере подлежат значения и . Под-
ставляя в заданное неравенство, получаем числовое неравен-
ство 2 > . Но = 1, cos > 0, cos3+
+ sin 3 = cos – 3 < 0, т. е. полученное числовое нера-
венство неверно. Аналоично убеждаемся, что значение
удовлетворяет заданному неравенству.
128. + πk.
См. решение упр. 127. 129. + πk. . См.
решение упр. 127. 130. – + 2πk.
См. решение упр. 127.
π
4
---
cos x sin x–
2
---------------------------------
π
2
---
1
2
---
9
16
------
1
2
---
1
4
---
(1)
n
–
2
---------------
4
4l 1+
----------------
5π
4
------ -
3
2
---
3π
4
------ -
3
2
---
π
4
---
3
2
---
π
4
---
3
2
---
π
6
---
π
6
---
π
6
---
7
2
---
3π
4
------ -
2
2
-------
π
4
---
3π
4
------ -
π
4
---
3π
4
------ -
π
4
---
cos
7π
4
------ -
cos 3 sin 3+
--------------------------------- -
2
cos
π
2
---
2
cos
π
2
---
7π
4
------ -
2
π
4
---
3π
4
------ -
3π
8
------ -
5π
8
------ -
3π
4
------ -
568 Ответы, указания, решения
131. (4k + 1). 132. (4k + 1); (4n + 1) ; (4k – 1);
(4n – 1) . 133. (4k + 1).
134. (6m + 1); (6k + 1) ; (6m – 1); (6k – 1) .
Введем переменные u = tg и v = tg . Тода данное уравне-
ние примет вид
+ – + =
или, после упрощений, u
2
+ v
2
– 8uv + 9u
2
v
2
+ 1 = 0; последнее
равносильно уравнению (u – v)
2
+ (3uv – 1)
2
= 0. Возвращаясь
исходным переменным, имеем
или
отуда находим решения заданноо уравнения.
135. (4k + 1); (4l + 1) . 136. (4k – 1); (4l – 1);
(4m – 1) . 137. (8k + 1). 138. + πm; + πl . 139. (–1; 2);
(–1; –2). 140. + πn; – – πn; n = 0, 1, 2, ... . 141.
См.
решение примера 10 на с. 139, 140. 142. – ; –3; –1; 1; 3; .
143. x Ý R\ – ; –1; 1; ; (20 m n m 33);
(24 m n m 39) .
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
4
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
x
2
---
y
2
---
1 u
2
–
1 u
2
+
---------------- -
1 v
2
–
1 v
2
+
----------------
1 u
2
–()1 v
2
–()
1 u
2
+()1 v
2
+()
------------------------------------------- -
4uv
1 u
2
+()1 v
2
+()
------------------------------------------- -
3
2
---
tg = ,
tg =
x
2
---
3
3
-------
y
2
---
3
3
-------
tg = – ,
tg = – ,
x
2
---
3
3
-------
y
2
---
3
3
-------
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
5π
4
------ -
π
4
---
7
2
---
7
2
---
3
4
3
4
1–121n+–
21
---------------------------------------- -
1–121n++
21
-----------------------------------------
Г л а в а 5. Тригонометрия 569
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
1. – πk – ; + πk + . 2. πm ä ; πn ä ;
πm + ä ; πn + ä , де ϕ = arcsin0,535, ψ =
= arcsin 0,185 и в аждом из решений берутся либо оба верх-
них, либо оба нижних знаа. 3. πk + πn + ; – πn + ;
πk + πn – ; πk – πn – . 4. + πk + πn; + πk – πn ;
+ πk + πn; + πk – πn ; – + πk + πn; – + πk – πn ;
– + πk – πn; – + πk + πn . 5. + 2πl; + 2πp ;
– + 2πl; – + 2πp . 6. (2πm; 2πn); (3m ä 1); (3n å 1) ;
ä ϕ + πm; å ϕ + πn ; – ä ϕ + πm; – å ϕ + πn , де
ϕ = arccos и берутся либо оба верхних, либо оба нижних
знаа. 7. 2πk + ; + ; – + 2πk; – ; – + 2πk;
– ; + 2πk; – . 8. (2πk ä ϕ; 2πl ä ψ); (2πk +
+ π ä ϕ; 2πl + π å ψ), де ϕ = arctg , ψ = arcsin и берут-
ся либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 9. (2πn; 2πk + π).
10. (πk; 2πn); arccos + 2πk; – + 2πn ; –arccos + 2πk;
+ 2πn . 11. π + 2πk; + πn ; – + 2πk; – + πn ;
arctg 2 + + 2πk; arctg 2 + πn ; arctg + πk; arctg + πn .
πn
2
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
ϕψ+
2
--------------
ϕψ–
2
--------------
π
2
---
ϕψ–
2
--------------
π
2
---
ϕψ+
2
--------------
π
3
---
πk
2
------ -
π
3
---
π
3
---
π
3
---
7π
24
------ -
π
24
------
π
24
------
7π
24
------ -
π
24
------
7π
24
------ -
7π
24
------ -
π
24
------
π
2
---
π
6
---
π
6
---
π
2
---
2π
3
------ -
2π
3
------ -
π
6
---
π
6
---
π
6
---
π
6
---
311–
4
-------------------------
π
4
---
4πl
3
---------
π
6
---
π
4
---
4πl
3
---------
π
2
---
3π
4
------ -
4πl
3
---------
π
6
---
3π
4
------ -
4πl
3
---------
π
6
---
500
4
5
---------------
500
4
5
---------------
1
7
---
2π
3
------ -
1
7
---
2π
3
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
1
2
---
1
2
---
568 Ответы, указания, решения
131. (4k + 1). 132. (4k + 1); (4n + 1) ; (4k – 1);
(4n – 1) . 133. (4k + 1).
134. (6m + 1); (6k + 1) ; (6m – 1); (6k – 1) .
Введем переменные u = tg и v = tg . Тода данное уравне-
ние примет вид
+ – + =
или, после упрощений, u
2
+ v
2
– 8uv + 9u
2
v
2
+ 1 = 0; последнее
равносильно уравнению (u – v)
2
+ (3uv – 1)
2
= 0. Возвращаясь
исходным переменным, имеем
или
отуда находим решения заданноо уравнения.
135. (4k + 1); (4l + 1) . 136. (4k – 1); (4l – 1);
(4m – 1) . 137. (8k + 1). 138. + πm; + πl . 139. (–1; 2);
(–1; –2). 140. + πn; – – πn; n = 0, 1, 2, ... . 141.
См.
решение примера 10 на с. 139, 140. 142. – ; –3; –1; 1; 3; .
143. x Ý R\ – ; –1; 1; ; (20 m n m 33);
(24 m n m 39) .
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
4
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
x
2
---
y
2
---
1 u
2
–
1 u
2
+
---------------- -
1 v
2
–
1 v
2
+
----------------
1 u
2
–()1 v
2
–()
1 u
2
+()1 v
2
+()
------------------------------------------- -
4uv
1 u
2
+()1 v
2
+()
------------------------------------------- -
3
2
---
tg = ,
tg =
x
2
---
3
3
-------
y
2
---
3
3
-------
tg = – ,
tg = – ,
x
2
---
3
3
-------
y
2
---
3
3
-------
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
5π
4
------ -
π
4
---
7
2
---
7
2
---
3
4
3
4
1–121n+–
21
---------------------------------------- -
1–121n++
21
-----------------------------------------
Г л а в а 5. Тригонометрия 569
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
1. – πk – ; + πk + . 2. πm ä ; πn ä ;
πm + ä ; πn + ä , де ϕ = arcsin0,535, ψ =
= arcsin 0,185 и в аждом из решений берутся либо оба верх-
них, либо оба нижних знаа. 3. πk + πn + ; – πn + ;
πk + πn – ; πk – πn – . 4. + πk + πn; + πk – πn ;
+ πk + πn; + πk – πn ; – + πk + πn; – + πk – πn ;
– + πk – πn; – + πk + πn . 5. + 2πl; + 2πp ;
– + 2πl; – + 2πp . 6. (2πm; 2πn); (3m ä 1); (3n å 1) ;
ä ϕ + πm; å ϕ + πn ; – ä ϕ + πm; – å ϕ + πn , де
ϕ = arccos и берутся либо оба верхних, либо оба нижних
знаа. 7. 2πk + ; + ; – + 2πk; – ; – + 2πk;
– ; + 2πk; – . 8. (2πk ä ϕ; 2πl ä ψ); (2πk +
+ π ä ϕ; 2πl + π å ψ), де ϕ = arctg , ψ = arcsin и берут-
ся либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 9. (2πn; 2πk + π).
10. (πk; 2πn); arccos + 2πk; – + 2πn ; –arccos + 2πk;
+ 2πn . 11. π + 2πk; + πn ; – + 2πk; – + πn ;
arctg 2 + + 2πk; arctg 2 + πn ; arctg + πk; arctg + πn .
πn
2
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
ϕψ+
2
--------------
ϕψ–
2
--------------
π
2
---
ϕψ–
2
--------------
π
2
---
ϕψ+
2
--------------
π
3
---
πk
2
------ -
π
3
---
π
3
---
π
3
---
7π
24
------ -
π
24
------
π
24
------
7π
24
------ -
π
24
------
7π
24
------ -
7π
24
------ -
π
24
------
π
2
---
π
6
---
π
6
---
π
2
---
2π
3
------ -
2π
3
------ -
π
6
---
π
6
---
π
6
---
π
6
---
311–
4
-------------------------
π
4
---
4πl
3
---------
π
6
---
π
4
---
4πl
3
---------
π
2
---
3π
4
------ -
4πl
3
---------
π
6
---
3π
4
------ -
4πl
3
---------
π
6
---
500
4
5
---------------
500
4
5
---------------
1
7
---
2π
3
------ -
1
7
---
2π
3
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
1
2
---
1
2
---
570 Ответы, указания, решения
12. + πk; πn ; + 2πk +πn; – + πn ; – arctg 2 +
+2πk + πn; –arctg 2 + πn . 13. – ; – arctg +
+. 14. (–1)
k
+ ; – arctg + . 15. ä + 2πn;
+ πm . 16. + πn; ä + 2πn . 17. ä + 2πn;
+ πk . 18. + πk; . 19. ä + 2πk; + .
20. (2n + 1); π(2p + 1) . 21. arcsin + arcsin +
+(k + n) ; arcsin – arcsin + (k – n). 22. ×
× (2k + 1); + πl; + πm . 23. ϕ + πn; – ϕ – πn , де ϕ =
= arctg . 24. (6k + (–1)
k
); (6l ä 1) . 25. + πk;
arctg 2 + πl; arctg 3 + πm ; πk + arctg 2; + πl; πm + arctg 3 ,
де k + l + m = 0.
Вычислив значение таненса от обеих час-
тей первоо уравнения, сведите систему рациональной отно-
сительно tg x, tg y, tg z. 26. arctg 2 ä πk; arctg ä πl;
arctg ä πm , де k + l + m = 0, если берутся верхние знаи,
и k + l + m = 2, если берутся нижние знаи.
См. уазание
упр. 25. 27. ; ; ; ; ; ; ; .
28. + πk; + πk ; πn – ; πn – . 29. – ;
π
2
---
3π
4
------ -
π
4
---
π
2
---
(1)
n 1+
–
π
8
---
nπ
2
-------
1
5
---
2
2
-------
πk
5
------ -
π
9
---
πk
3
------ -
1
7
---
3
2
-------
πn
7
-------
3π
4
------ -
(1)
m
–
π
6
---
(1)
n
–
π
3
---
π
4
---
π
6
---
(1)
k
–
π
6
---
π
3
---
2
π
6
---
π
18
------
πn
3
-------
π
4
---
1–()
k
2
-------------- -
2
5
---
(1)
n
–
2
---------------
4
5
---
π
2
---
1–()
k
2
-------------- -
2
5
---
(1)
n
–
2
---------------
4
5
---
π
2
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
π
3
---
7 ä 193–
83
----------------------------
π
6
---
π
3
---
π
4
---
π
4
---
5
5
5
3
-------
5π
6
------ -
7π
6
------ -
π
6
---
11π
6
----------
7π
6
------ -
7π
6
------ -
11π
6
----------
11π
6
----------
7π
36
------ -
5π
36
------ -
11π
36
----------
13π
36
----------
5π
24
------ -
πk
2
------ -
Г л а в а 5. Тригонометрия 571
– . 30. – + arcsin + ; + ×
× arcsin + . 31. ; – ; – ; ; (1; 0); (–1; 0);
(0; 1); (0; –1). 32. Если a = 2πl, то ä + πk + πl; å – πk + πl ;
если a = π(2l + 1), то ä + + πk; – πk å ;
если a − πm, то решений нет.
§ 27. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
1. –3 tg 1. 2. –. 3. –; . 4. . 5. Если a Ý [0; π], то x =
=cosa; если a Ý [–2π; 0), то x = cos ; если a Ý (–×; 2π) Ÿ
Ÿ (π; +×), то решений нет.
При решении вадратноо уравне-
ния относительно z = arccos x учтите, что 0 m arccos x m π.
6. . 7. –. 8. . 9. 1. 10. 0; 1. 11. ¾. 12. –2. 13. 0; ä .
14. 0; ä1. 15. . 16. . 17. 0; ä . 18. 0; ä . 19. ; 1. 20. [0; 1].
21. [–1; 0]. 22. (0; 1]. 23. ; 1 . 24. [0; 1]. 25. [–1; 1].
26. [0; +×). 27. (–1; 1). 28. (0; 1). 29. Если a Ý – ; , то
x = 2a , при остальных значениях a решений нет.
Об-
ласть допустимых значений a найдите из условия |2 arcsin a| m
m . 30. Если a Ý 0; , то x = , при остальных зна-
чениях a решений нет.
См. уазание упр. 29.
π
24
------
πk
2
------ -
π
6
---
1–()
k
2
-------------- -
233–
6
---------------------
πk
2
------ -
π
6
---
1–()
k
2
-------------- -
233–
6
---------------------
πk
2
------ -
1
2
---
1
2
---
1
2
---
1
2
---
π
3
---
π
3
---
π
6
---
π 2l 1+()
2
------------------------ -
π 2l 1+()
2
------------------------ -
π
6
---
3
2
---
1
2
---
3
2
-------
3
a
2
---
2
3
5
---
1
2
---
2
2
-------
1
2
---
3
2
-------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
1 a
2
–
π
2
---
1
2
---
14a
2
–
570 Ответы, указания, решения
12. + πk; πn ; + 2πk +πn; – + πn ; – arctg 2 +
+2πk + πn; –arctg 2 + πn . 13. – ; – arctg +
+. 14. (–1)
k
+ ; – arctg + . 15. ä + 2πn;
+ πm . 16. + πn; ä + 2πn . 17. ä + 2πn;
+ πk . 18. + πk; . 19. ä + 2πk; + .
20. (2n + 1); π(2p + 1) . 21. arcsin + arcsin +
+(k + n) ; arcsin – arcsin + (k – n). 22. ×
× (2k + 1); + πl; + πm . 23. ϕ + πn; – ϕ – πn , де ϕ =
= arctg . 24. (6k + (–1)
k
); (6l ä 1) . 25. + πk;
arctg 2 + πl; arctg 3 + πm ; πk + arctg 2; + πl; πm + arctg 3 ,
де k + l + m = 0.
Вычислив значение таненса от обеих час-
тей первоо уравнения, сведите систему рациональной отно-
сительно tg x, tg y, tg z. 26. arctg 2 ä πk; arctg ä πl;
arctg ä πm , де k + l + m = 0, если берутся верхние знаи,
и k + l + m = 2, если берутся нижние знаи.
См. уазание
упр. 25. 27. ; ; ; ; ; ; ; .
28. + πk; + πk ; πn – ; πn – . 29. – ;
π
2
---
3π
4
------ -
π
4
---
π
2
---
(1)
n 1+
–
π
8
---
nπ
2
-------
1
5
---
2
2
-------
πk
5
------ -
π
9
---
πk
3
------ -
1
7
---
3
2
-------
πn
7
-------
3π
4
------ -
(1)
m
–
π
6
---
(1)
n
–
π
3
---
π
4
---
π
6
---
(1)
k
–
π
6
---
π
3
---
2
π
6
---
π
18
------
πn
3
-------
π
4
---
1–()
k
2
-------------- -
2
5
---
(1)
n
–
2
---------------
4
5
---
π
2
---
1–()
k
2
-------------- -
2
5
---
(1)
n
–
2
---------------
4
5
---
π
2
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
π
3
---
7 ä 193–
83
----------------------------
π
6
---
π
3
---
π
4
---
π
4
---
5
5
5
3
-------
5π
6
------ -
7π
6
------ -
π
6
---
11π
6
----------
7π
6
------ -
7π
6
------ -
11π
6
----------
11π
6
----------
7π
36
------ -
5π
36
------ -
11π
36
----------
13π
36
----------
5π
24
------ -
πk
2
------ -
Г л а в а 5. Тригонометрия 571
– . 30. – + arcsin + ; + ×
× arcsin + . 31. ; – ; – ; ; (1; 0); (–1; 0);
(0; 1); (0; –1). 32. Если a = 2πl, то ä + πk + πl; å – πk + πl ;
если a = π(2l + 1), то ä + + πk; – πk å ;
если a − πm, то решений нет.
§ 27. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
1. –3 tg 1. 2. –. 3. –; . 4. . 5. Если a Ý [0; π], то x =
=cosa; если a Ý [–2π; 0), то x = cos ; если a Ý (–×; 2π) Ÿ
Ÿ (π; +×), то решений нет.
При решении вадратноо уравне-
ния относительно z = arccos x учтите, что 0 m arccos x m π.
6. . 7. –. 8. . 9. 1. 10. 0; 1. 11. ¾. 12. –2. 13. 0; ä .
14. 0; ä1. 15. . 16. . 17. 0; ä . 18. 0; ä . 19. ; 1. 20. [0; 1].
21. [–1; 0]. 22. (0; 1]. 23. ; 1 . 24. [0; 1]. 25. [–1; 1].
26. [0; +×). 27. (–1; 1). 28. (0; 1). 29. Если a Ý – ; , то
x = 2a , при остальных значениях a решений нет.
Об-
ласть допустимых значений a найдите из условия |2 arcsin a| m
m . 30. Если a Ý 0; , то x = , при остальных зна-
чениях a решений нет.
См. уазание упр. 29.
π
24
------
πk
2
------ -
π
6
---
1–()
k
2
-------------- -
233–
6
---------------------
πk
2
------ -
π
6
---
1–()
k
2
-------------- -
233–
6
---------------------
πk
2
------ -
1
2
---
1
2
---
1
2
---
1
2
---
π
3
---
π
3
---
π
6
---
π 2l 1+()
2
------------------------ -
π 2l 1+()
2
------------------------ -
π
6
---
3
2
---
1
2
---
3
2
-------
3
a
2
---
2
3
5
---
1
2
---
2
2
-------
1
2
---
3
2
-------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
1 a
2
–
π
2
---
1
2
---
14a
2
–
572 Ответы, указания, решения
§ 28. Тригонометрические неравенства
1. – + 2πn; + 2πn . 2. arctg 2 + πn; + πn .
3. (πn; arcctg (–3) + πn). 4. 1 – + 2πn; 1 – + 2πn .
5. – ; – Ÿ –; 0 Ÿ 0; Ÿ
Ÿ ; , k = 0, 1, 2, ... . 6. ; + 2πn .
7. ¾.
Воспользуйтесь неравенством | sin x | m 1. 8. – + 2πn;
+ 2πn . 9. + πn; + πn Ÿ + πn; π(n + 1) .
10. – + πn; –arctg 2 + πn Ÿ – + πn; + πn .
11. – arcsin + πn; πn Ÿ + πn; + arcsin .
12. (12k + 1); (12k + 3) Ÿ (4k + 2); (4k + 3) .
13. + 2πk; + 2πk . 14. + 2πk; + 2πk .
15. (π + 2πk; π + ϕ + 2πk] Ÿ [2πk – ϕ; 2πk), де ϕ = arcsin .
16. + 2πk; + 2πk Ÿ + 2πk; + 2πk . 17. + πk;
+ πk . 18. – + 2πk; – + 2πk и + 2πk. 19. + ;
+ Ÿ + ; + . 20. πn; + πn Ÿ
Ÿ + πn; + πn . 21. + ; + Ÿ + ;
π
6
---
7π
6
------ -
π
2
---
2π
3
------ -
π
3
---
13π
6
----------
2πk+
7π
6
------ -
2πk+
π
6
---
π
6
---
7π
6
------ -
2πk+
13π
6
----------
2πk+
5π
4
------ -
5π
4
------ -
π
2
---
π
2
---
π
4
---
3π
4
------ -
3π
4
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
1
2
---
2
3
---
π
2
---
π
2
---
1
2
---
2
3
---
π
6
---
π
6
---
π
2
---
π
2
---
2π
3
------ -
5π
3
------ -
7π
6
------ -
11π
6
----------
1
3
---
π
6
---
π
2
---
π
2
---
5π
6
------ -
π
6
---
π
3
---
5π
6
------ -
π
6
---
π
2
---
π
6
---
2πk
3
---------- -
7π
18
------ -
2πn
3
-----------
π
2
---
2πn
3
-----------
11π
18
----------
2πn
3
-----------
π
6
---
π
2
---
5π
6
------ -
πn
2
-------
π
8
---
πn
2
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
Г л а в а 5. Тригонометрия 573
+ . 22. + ; (n + 1) + . 23. + 2πk;
+ 2πk и – + 2πk. 24. – + πn; πn Ÿ + πn; + πn .
25. + 2πn; + 2πn Ÿ (–π + 2πn; 2πn).
§ 29. Неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции
1. [–1; 1]. 2. [–1; 1]. 3. ; 1 . 4. –1; . 5. –; +× .
6. (–×; ctg 2). 7. (–×; tg 1). 8. ¾. 9. (–×; +×). 10. –1; cos .
11. [–1; 0). 12. (1; +×). 13. 0; . 14. –1; – Ÿ ; 1.
§ 30. Доказательство
тригонометрических неравенств
8.
Введите вспомоательный уол и используйте неравен-
ство |sin x| m 1.
9.
Представьте выражение, подлежащее оцене, в виде
(1 – cos 2x) + sin 2x + (1 + cos 2x) _
_ + [(c – a)cos2x + b sin 2x].
Далее используйте неравенство, доазанное в упр. 8.
10.
Представьте левую часть в виде фунций половинноо
арумента. 11.
Примените способ, использованный при реше-
нии примера 2 на с. 156, 157. 12.
См. уазание упр. 11.
14.
Исходное неравенство эвивалентно следующему:
m .
πn
2
-------
3π
8
------ -
πn
2
-------
5π
24
------ -
π
2
---
π
24
------
π
6
---
5π
6
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
3π
4
------ -
9π
4
------ -
1
4
---
3
2
-------
3
3
-------
1
2
---
1
2
---
2
2
-------
2
2
-------
a
2
---
b
2
---
c
2
---
ac+
2
-------------
1
2
---
cos α cos β cos γ++
2
------------------------------------------------------
3
4
---
572 Ответы, указания, решения
§ 28. Тригонометрические неравенства
1. – + 2πn; + 2πn . 2. arctg 2 + πn; + πn .
3. (πn; arcctg (–3) + πn). 4. 1 – + 2πn; 1 – + 2πn .
5. – ; – Ÿ –; 0 Ÿ 0; Ÿ
Ÿ ; , k = 0, 1, 2, ... . 6. ; + 2πn .
7. ¾.
Воспользуйтесь неравенством | sin x | m 1. 8. – + 2πn;
+ 2πn . 9. + πn; + πn Ÿ + πn; π(n + 1) .
10. – + πn; –arctg 2 + πn Ÿ – + πn; + πn .
11. – arcsin + πn; πn Ÿ + πn; + arcsin .
12. (12k + 1); (12k + 3) Ÿ (4k + 2); (4k + 3) .
13. + 2πk; + 2πk . 14. + 2πk; + 2πk .
15. (π + 2πk; π + ϕ + 2πk] Ÿ [2πk – ϕ; 2πk), де ϕ = arcsin .
16. + 2πk; + 2πk Ÿ + 2πk; + 2πk . 17. + πk;
+ πk . 18. – + 2πk; – + 2πk и + 2πk. 19. + ;
+ Ÿ + ; + . 20. πn; + πn Ÿ
Ÿ + πn; + πn . 21. + ; + Ÿ + ;
π
6
---
7π
6
------ -
π
2
---
2π
3
------ -
π
3
---
13π
6
----------
2πk+
7π
6
------ -
2πk+
π
6
---
π
6
---
7π
6
------ -
2πk+
13π
6
----------
2πk+
5π
4
------ -
5π
4
------ -
π
2
---
π
2
---
π
4
---
3π
4
------ -
3π
4
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
1
2
---
2
3
---
π
2
---
π
2
---
1
2
---
2
3
---
π
6
---
π
6
---
π
2
---
π
2
---
2π
3
------ -
5π
3
------ -
7π
6
------ -
11π
6
----------
1
3
---
π
6
---
π
2
---
π
2
---
5π
6
------ -
π
6
---
π
3
---
5π
6
------ -
π
6
---
π
2
---
π
6
---
2πk
3
---------- -
7π
18
------ -
2πn
3
-----------
π
2
---
2πn
3
-----------
11π
18
----------
2πn
3
-----------
π
6
---
π
2
---
5π
6
------ -
πn
2
-------
π
8
---
πn
2
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
Г л а в а 5. Тригонометрия 573
+ . 22. + ; (n + 1) + . 23. + 2πk;
+ 2πk и – + 2πk. 24. – + πn; πn Ÿ + πn; + πn .
25. + 2πn; + 2πn Ÿ (–π + 2πn; 2πn).
§ 29. Неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции
1. [–1; 1]. 2. [–1; 1]. 3. ; 1 . 4. –1; . 5. –; +× .
6. (–×; ctg 2). 7. (–×; tg 1). 8. ¾. 9. (–×; +×). 10. –1; cos .
11. [–1; 0). 12. (1; +×). 13. 0; . 14. –1; – Ÿ ; 1.
§ 30. Доказательство
тригонометрических неравенств
8.
Введите вспомоательный уол и используйте неравен-
ство |sin x| m 1.
9.
Представьте выражение, подлежащее оцене, в виде
(1 – cos 2x) + sin 2x + (1 + cos 2x) _
_ + [(c – a)cos2x + b sin 2x].
Далее используйте неравенство, доазанное в упр. 8.
10.
Представьте левую часть в виде фунций половинноо
арумента. 11.
Примените способ, использованный при реше-
нии примера 2 на с. 156, 157. 12.
См. уазание упр. 11.
14.
Исходное неравенство эвивалентно следующему:
m .
πn
2
-------
3π
8
------ -
πn
2
-------
5π
24
------ -
π
2
---
π
24
------
π
6
---
5π
6
------ -
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
3π
4
------ -
9π
4
------ -
1
4
---
3
2
-------
3
3
-------
1
2
---
1
2
---
2
2
-------
2
2
-------
a
2
---
b
2
---
c
2
---
ac+
2
-------------
1
2
---
cos α cos β cos γ++
2
------------------------------------------------------
3
4
---
574 Ответы, указания, решения
Учитывая, что cos β + cosγ = 2cos cos , а затем ис-
пользуя условие и формулы приведения, получаем
cos α + cos β + cos γ m cos α + 2 sin .
Та а cos α = 1 – 2 sin
2
, то задача сводится отысанию
наибольшео значения фунции 1 – 2 sin
2
+ 2sin . Выде-
ляя полный вадрат, имеем 1 + – 2 sin – m . Ита,
cos α + cos β + cos γ m , отуда следует справедливость исход-
ноо неравенства.
20.
Оцените разность cos x – 1 – , используя форму-
лу 1 – cos x = 2 sin
2
. 21. Используйте результат примера 3
на с. 158, 159. 22.
См. уазание упр. 20.
Глава 6. Комплексные числа
§ 31. Действия с комплексными числами
1. cos 0 + i sin 0. 2. 3(cos π + i sin π). 3. cos + i sin . 4. ×
× cos + i sin . 5. cos + i sin . 6.2cos +
+ i sin . 7. 5 cos –arccos + i sin –arccos . 8. 5cosπ +
+ arccos + i sin π + arccos . 9. cos + i sin .
10. cos + α + i sin + α . 11. –. 12. ä(1 + i).
βγ+
2
------------
βγ–
2
------------
α
2
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1
2
---
α
2
---
1
2
---
2
3
2
---
3
2
---
x
2
2
------
x
2
---
π
2
---
π
2
---
2
π
4
---
π
4
---
2
3π
4
------ -
3π
4
------ -
π
3
---
π
3
---
3
5
---
3
5
---
3
5
---
3
5
---
2π
3
------ -
2π
3
------ -
3π
2
------ -
3π
2
------ -
1
2
50
-------- -
Г л а в а 6. Комплексные числа 575
13. ä2(1 – i). 14. cos πk + + i sin πk +
+, k = 0, 1. 15. ä . 16. ä [ + 1 – ( – 1)i],
ä [ – 1 + ( + 1)i]. 17. cos + i sin , cos + i sin ,
cos + i sin , cos + i sin . 18. cos +
+ i sin , k = 0, 1, ..., 6. 19. cos + i sin ,
k =0, 1, 2.
§ 32. Геометрическое изображение
множеств комплексных чисел,
удовлетворяющих заданным условиям
1. Оружность единичноо радиуса с центром в начале о-
ординат. 2. Положительная полуось Ox, влючающая точу O.
3. Луч, выходящий из начала оординат (без точи O), состав-
ляющий с осью Ox уол . 4. Внутренняя часть ольца, ора-
ниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4
с центром в начале оординат. 5. Множество всех точе, лежа-
щих вне оружности единичноо радиуса с центром в точе
; 0 . 6. Множество всех точе, лежащих внутри оруж-
ности радиуса с центром в начале оординат. 7. Ось Oy.
8. Прямая y = 2x + . 9. Полуплосость, лежащая выше пря-
мой y = – . 10. Множество всех точе, лежащих внутри оль-
ца, ораниченноо онцентричесими оружностями радиу-
сов 1 и 4 (влючая оружности) с центром в точе (0; –1).
11. Прямая y = –x. 12. Множество всех точе прямоуольниа
5
arcsin 0,8–()
2
------------------------------------
arcsin 0,8–()
2
------------------------------------
1 ä i
2
------------
1
2
---
3 3
1
2
---
3 3
π
8
---
π
8
---
5π
8
------ -
5π
8
------ -
9π
8
------ -
9π
8
------ -
13π
8
----------
13π
8
----------
5
7
2πk arccos
3
5
---
+
7
----------------------------------------
2πk arccos
3
5
---
+
7
----------------------------------------
2πk
3
---------- -
2πk
3
---------- -
π
3
---
1
2
---
99
3
2
---
1
2
---
574 Ответы, указания, решения
Учитывая, что cos β + cosγ = 2cos cos , а затем ис-
пользуя условие и формулы приведения, получаем
cos α + cos β + cos γ m cos α + 2 sin .
Та а cos α = 1 – 2 sin
2
, то задача сводится отысанию
наибольшео значения фунции 1 – 2 sin
2
+ 2sin . Выде-
ляя полный вадрат, имеем 1 + – 2 sin – m . Ита,
cos α + cos β + cos γ m , отуда следует справедливость исход-
ноо неравенства.
20.
Оцените разность cos x – 1 – , используя форму-
лу 1 – cos x = 2 sin
2
. 21. Используйте результат примера 3
на с. 158, 159. 22.
См. уазание упр. 20.
Глава 6. Комплексные числа
§ 31. Действия с комплексными числами
1. cos 0 + i sin 0. 2. 3(cos π + i sin π). 3. cos + i sin . 4. ×
× cos + i sin . 5. cos + i sin . 6.2cos +
+ i sin . 7. 5 cos –arccos + i sin –arccos . 8. 5cosπ +
+ arccos + i sin π + arccos . 9. cos + i sin .
10. cos + α + i sin + α . 11. –. 12. ä(1 + i).
βγ+
2
------------
βγ–
2
------------
α
2
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1
2
---
α
2
---
1
2
---
2
3
2
---
3
2
---
x
2
2
------
x
2
---
π
2
---
π
2
---
2
π
4
---
π
4
---
2
3π
4
------ -
3π
4
------ -
π
3
---
π
3
---
3
5
---
3
5
---
3
5
---
3
5
---
2π
3
------ -
2π
3
------ -
3π
2
------ -
3π
2
------ -
1
2
50
-------- -
Г л а в а 6. Комплексные числа 575
13. ä2(1 – i). 14. cos πk + + i sin πk +
+, k = 0, 1. 15. ä . 16. ä [ + 1 – ( – 1)i],
ä [ – 1 + ( + 1)i]. 17. cos + i sin , cos + i sin ,
cos + i sin , cos + i sin . 18. cos +
+ i sin , k = 0, 1, ..., 6. 19. cos + i sin ,
k =0, 1, 2.
§ 32. Геометрическое изображение
множеств комплексных чисел,
удовлетворяющих заданным условиям
1. Оружность единичноо радиуса с центром в начале о-
ординат. 2. Положительная полуось Ox, влючающая точу O.
3. Луч, выходящий из начала оординат (без точи O), состав-
ляющий с осью Ox уол . 4. Внутренняя часть ольца, ора-
ниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4
с центром в начале оординат. 5. Множество всех точе, лежа-
щих вне оружности единичноо радиуса с центром в точе
; 0 . 6. Множество всех точе, лежащих внутри оруж-
ности радиуса с центром в начале оординат. 7. Ось Oy.
8. Прямая y = 2x + . 9. Полуплосость, лежащая выше пря-
мой y = – . 10. Множество всех точе, лежащих внутри оль-
ца, ораниченноо онцентричесими оружностями радиу-
сов 1 и 4 (влючая оружности) с центром в точе (0; –1).
11. Прямая y = –x. 12. Множество всех точе прямоуольниа
5
arcsin 0,8–()
2
------------------------------------
arcsin 0,8–()
2
------------------------------------
1 ä i
2
------------
1
2
---
3 3
1
2
---
3 3
π
8
---
π
8
---
5π
8
------ -
5π
8
------ -
9π
8
------ -
9π
8
------ -
13π
8
----------
13π
8
----------
5
7
2πk arccos
3
5
---
+
7
----------------------------------------
2πk arccos
3
5
---
+
7
----------------------------------------
2πk
3
---------- -
2πk
3
---------- -
π
3
---
1
2
---
99
3
2
---
1
2
---