Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
576 Ответы, указания, решения
|q| m 1, |p| m 2. 13. а) Прямые, заданные уравнением ay + bx = 0;
б) прямые, заданные уравнением y = –b. 14. Множество всех
точе, лежащих вне оружности с центром в точе (1; 0) и ра-
диусом 10. 15. Ось Ox и точи с оординатами, удовлетворяю-
щими условиям x = – , – < y < . 16. Прямая y = –x.
17. z = . 18. z = z
1
+ z
2
– z
3
, z = z
1
+ z
3
– z
2
, z = z
2
+
+ z
3
– z
1
. 19. Используйте оллинеарность веторов, соответст-
вующих разностям z
3
– z
1
и z
2
– z
1
. 20. Уол z
1
Oz
2
— прямой.
§ 33. Решение уравнений
на множестве комплексных чисел
1. 1 – i; . 2. 0; –1; ä i. 3. 2 – i. 4. 0; cos +
+ i sin (k = 0, 1, 2, 3, 4). 5. (2; 1); ; . 6. (6; 1). 8. –1.
9. 1; ä i. 10. а) (i; i); (–i; –i); б) (i; i); (–i; –i). 11. |a + bi| = 1,
a + bi − –1. 12. Все действительные и все чисто мнимые чис-
ла. 13. Если a = 1, то z = –1 –i; если 1 < a m , то z =
= – i; если a > , то уравнение не имеет реше-
ний. 14. a > 2.
Исследуйте взаимное расположение оруж-
ностей |z + | = a
2
– 3a + 2 и |z + i | = a
2
. 15. – < a < – .
16. z = 2 – + – 2 i.
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
1. α – + 2πk; α + + 2πn ; α + + 2πn; α – + 2πk .
2. α + π(k + n); + π(k – n); + π(k – n); α + π(k + n).
1
2
---
3
2
-------
3
2
-------
z
1
z
2
z
3
++
3
-------------------------------
42i–
5
--------------- -
1
2
---
3
2
-------
3
2
---
2πk
5
---------- -
2πk
5
---------- -
3
2
---
1
2
---
2
a
2
ä 2 a
2
––
a
2
1–
-------------------------------------
2
2 2
21
10
------
5
6
---
2
2
-------
2
2
-------
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
Г л а в а 7. Последовательности 577
3. 2πk; + 2πn ; + 2πn; 2πk . 4. α – + 2πk;
–α – + 2πn ; α + + 2πk; – α + 2πn . 5. (19; 178);
(179; 46). 6. (168; 244). 7. (1; 18). 8. sin 3x = 3 sin x cos
2
x – sin
3
x.
9. ; .
Пусть z = cos ϕ + i sin ϕ;
тода z
n
= cos nϕ + i sin nϕ. Воспользуйтесь формулой суммы чле-
нов еометричесой прорессии z + z
2
+ z
3
+ ... + z
n
. 11. Исполь-
зуйте утверждение упр. 10. 12. .
13. cos sin .
Рассмотрите бином , де z =
=cosx + i sin x. 14. tg 5α = .
Глава 7. Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
2. Последовательность монотонно возрастает. 3. Последо-
вательность монотонно возрастает, начиная со второо члена.
Сравните отношение с единицей. 4. c = 0, d − 0, > 0
или c − 0, > –1, ad > bc. 5. y
1
= 0 — наименьший член; наи-
большео члена не существует. 6. y
3
= 4 — наибольший член;
наименьшео члена не существует. 7. x
8
= 24— наименьший
член; наибольшео члена не существует.
Найдите эстремаль-
ные точи фунции f(x) = 2x + . 8. а) n l 31; б) n l 301.
9. Ни одноо.
Решите в целых положительных числах нера-
венство 2 < |x
2
– 5x + 6| < 6. 10. Начиная с n = 3. Рассмот-
рите промежути монотонности фунции f(x) = x
2
– 5x + 6.
2π
3
------ -
2π
3
------ -
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
sin
nϕ
2
-------
cos
n 1+
2
--------------
ϕ
sin
ϕ
2
---
----------------------------------------------- -
sin
nϕ
2
-------
sin
n 1+
2
--------------
ϕ
sin
ϕ
2
---
-----------------------------------------------
a
n 1+
sin nx a
n
sin n 1+()x sin x–+
a
2
2a cos x–1+
---------------------------------------------------------------------------------------------------- -
2
n
nx
2
-------
nx
2
-------
(1 z)
n
+
5tgα 10 tg
3
α–tg
5
α+
110tg
2
α–5tg
4
α+
------------------------------------------------------------------
y
n 1+
y
n
------------- -
a
d
---
d
c
---
512
x
2
----------
576 Ответы, указания, решения
|q| m 1, |p| m 2. 13. а) Прямые, заданные уравнением ay + bx = 0;
б) прямые, заданные уравнением y = –b. 14. Множество всех
точе, лежащих вне оружности с центром в точе (1; 0) и ра-
диусом 10. 15. Ось Ox и точи с оординатами, удовлетворяю-
щими условиям x = – , – < y < . 16. Прямая y = –x.
17. z = . 18. z = z
1
+ z
2
– z
3
, z = z
1
+ z
3
– z
2
, z = z
2
+
+ z
3
– z
1
. 19. Используйте оллинеарность веторов, соответст-
вующих разностям z
3
– z
1
и z
2
– z
1
. 20. Уол z
1
Oz
2
— прямой.
§ 33. Решение уравнений
на множестве комплексных чисел
1. 1 – i; . 2. 0; –1; ä i. 3. 2 – i. 4. 0; cos +
+ i sin (k = 0, 1, 2, 3, 4). 5. (2; 1); ; . 6. (6; 1). 8. –1.
9. 1; ä i. 10. а) (i; i); (–i; –i); б) (i; i); (–i; –i). 11. |a + bi| = 1,
a + bi − –1. 12. Все действительные и все чисто мнимые чис-
ла. 13. Если a = 1, то z = –1 –i; если 1 < a m , то z =
= – i; если a > , то уравнение не имеет реше-
ний. 14. a > 2.
Исследуйте взаимное расположение оруж-
ностей |z + | = a
2
– 3a + 2 и |z + i | = a
2
. 15. – < a < – .
16. z = 2 – + – 2 i.
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
1. α – + 2πk; α + + 2πn ; α + + 2πn; α – + 2πk .
2. α + π(k + n); + π(k – n); + π(k – n); α + π(k + n).
1
2
---
3
2
-------
3
2
-------
z
1
z
2
z
3
++
3
-------------------------------
42i–
5
--------------- -
1
2
---
3
2
-------
3
2
---
2πk
5
---------- -
2πk
5
---------- -
3
2
---
1
2
---
2
a
2
ä 2 a
2
––
a
2
1–
-------------------------------------
2
2 2
21
10
------
5
6
---
2
2
-------
2
2
-------
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
Г л а в а 7. Последовательности 577
3. 2πk; + 2πn ; + 2πn; 2πk . 4. α – + 2πk;
–α – + 2πn ; α + + 2πk; – α + 2πn . 5. (19; 178);
(179; 46). 6. (168; 244). 7. (1; 18). 8. sin 3x = 3 sin x cos
2
x – sin
3
x.
9. ; .
Пусть z = cos ϕ + i sin ϕ;
тода z
n
= cos nϕ + i sin nϕ. Воспользуйтесь формулой суммы чле-
нов еометричесой прорессии z + z
2
+ z
3
+ ... + z
n
. 11. Исполь-
зуйте утверждение упр. 10. 12. .
13. cos sin .
Рассмотрите бином , де z =
=cosx + i sin x. 14. tg 5α = .
Глава 7. Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
2. Последовательность монотонно возрастает. 3. Последо-
вательность монотонно возрастает, начиная со второо члена.
Сравните отношение с единицей. 4. c = 0, d − 0, > 0
или c − 0, > –1, ad > bc. 5. y
1
= 0 — наименьший член; наи-
большео члена не существует. 6. y
3
= 4 — наибольший член;
наименьшео члена не существует. 7. x
8
= 24— наименьший
член; наибольшео члена не существует.
Найдите эстремаль-
ные точи фунции f(x) = 2x + . 8. а) n l 31; б) n l 301.
9. Ни одноо.
Решите в целых положительных числах нера-
венство 2 < |x
2
– 5x + 6| < 6. 10. Начиная с n = 3. Рассмот-
рите промежути монотонности фунции f(x) = x
2
– 5x + 6.
2π
3
------ -
2π
3
------ -
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
sin
nϕ
2
-------
cos
n 1+
2
--------------
ϕ
sin
ϕ
2
---
----------------------------------------------- -
sin
nϕ
2
-------
sin
n 1+
2
--------------
ϕ
sin
ϕ
2
---
-----------------------------------------------
a
n 1+
sin nx a
n
sin n 1+()x sin x–+
a
2
2a cos x–1+
---------------------------------------------------------------------------------------------------- -
2
n
nx
2
-------
nx
2
-------
(1 z)
n
+
5tgα 10 tg
3
α–tg
5
α+
110tg
2
α–5tg
4
α+
------------------------------------------------------------------
y
n 1+
y
n
------------- -
a
d
---
d
c
---
512
x
2
----------
578 Ответы, указания, решения
11. Для целых чисел из промежута 1; – последова-
тельность монотонно возрастает, для целых чисел из проме-
жута – + 1; +× она монотонно убывает (внутренние
вадратные соби означают целую часть числа). Если – —
целое число, то последовательность монотонно убывает, начи-
ная с члена, имеющео номер – .
Рассмотрите промежути
монотонности фунции f(x) = xq
x
. 12. Ораничена; x
n
Ý ; 2.
13. Ораничена; x
n
Ý 1; . 14. Ораничена; x
n
Ý .
Убедитесь в том, что фунция f(x) = x
2
– 2x + 3 возрастает на
промежуте [1; +×). 15. Ораничена; x
n
Ý (0; 1]. Приведите
общему знаменателю выражение в собах.
§ 36. Предел последовательности
7.
Возьмите неоторый интервал числа a и сравните члены
последовательности, не попавшие в этот интервал, и онцы ин-
тервала. 8.
Рассмотрите таой интервал точи a, оторый не
содержит точу q. 9. Нет.
Рассмотрите непересеающиеся
интервалы точе p и q. 11. Не имеет.
Рассмотрите четные и
нечетные значения n. 12. x
n
= 0. Используйте неравен-
ство | sin x | m 1. 13. а) x
n
= 1; б)последовательность не
имеет предела.
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
1. –. 2. 1. 3. 0. 4. 0. 5. –1. 6.
Разделите числитель и
знаменатель на и воспользуйтесь формулой (4). 7. 0.
Убедитесь в том, что основание степени для любоо n мень-
1
ln q
--------- -
1
ln q
--------- -
1
ln q
--------- -
1
ln q
--------- -
1
2
---
4
3
---
0;
1
2
---
n º×
lim
n º×
lim
1
2
---
7
15
------
3
n 1+
Г л а в а 7. Последовательности 579
ше . 8. 0. См. уазание упр. 7. 9. 0. Воспользуйтесь не-
равенством |sin n!| m 1. 10. 0. 11. –. 12. . 13. 0.
Умножьте
и разделите данное выражение на n
2
– n + .
14. x
n
= 2. Доажем, что исходная последователь-
ность монотонна и ораничена. Ораниченность последователь-
ности доажем по индуции. Та а x
1
= , то x
1
< 2. Предпо-
ложим, что x
k
m 2; тода из уравнения = x
k
+ 2 следует,
что x
k + 1
m 2. Значит, x
n
m 2. Заметим таже, что x
n
> 1.
Рассмотрим неравенство
y
2
m 2 + y.(*)
Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (*),
то последовательность возрастает. Действительно, подставляя
y = в выражение (*), имеем
m 2 + ,
но 2 + = и, следовательно, m . Множество ре-
шений неравенства (*) представляет собой промежуто [1; 2].
Та а из доазанноо выше следует, что 1 m m 2 для всех
n Ý N, то эти значения удовлетворяют неравенству (*).
Таим образом, последовательность возрастает и ораниче-
на, а потому имеет предел. Значение предела, соласно равен-
ству (5), должно удовлетворять уравнению y
2
– y – 2 = 0, оту-
да y
1
= 1, y
2
= 2. Лео проверить, что число 1 не является пре-
делом последовательности. Ита, пределом является число 2.
15. x
n
= a. Преобразуйте реуррентное соотношение
виду = + ( – a)
2
и воспользуйтесь формулой (5).
16. x
n
= . 17. 1 + . 18. – 1. Рассмотри-
те последовательности, состоящие из четных и нечетных чле-
нов исходной последовательности.
3
4
---
5
2
---
1
2
---
1 n
3
–
3
1 n
3
–()
2
3
n º×
lim
2
x
k 1+
2
x
n
x
n
2
x
n
x
n
x
n 1+
2
x
n
2
x
n 1+
2
x
n
n º×
lim
x
n 1+
x
n
x
n
n º×
lim a 1 a– 1 a+
578 Ответы, указания, решения
11. Для целых чисел из промежута 1; – последова-
тельность монотонно возрастает, для целых чисел из проме-
жута – + 1; +× она монотонно убывает (внутренние
вадратные соби означают целую часть числа). Если – —
целое число, то последовательность монотонно убывает, начи-
ная с члена, имеющео номер – .
Рассмотрите промежути
монотонности фунции f(x) = xq
x
. 12. Ораничена; x
n
Ý ; 2.
13. Ораничена; x
n
Ý 1; . 14. Ораничена; x
n
Ý .
Убедитесь в том, что фунция f(x) = x
2
– 2x + 3 возрастает на
промежуте [1; +×). 15. Ораничена; x
n
Ý (0; 1]. Приведите
общему знаменателю выражение в собах.
§ 36. Предел последовательности
7.
Возьмите неоторый интервал числа a и сравните члены
последовательности, не попавшие в этот интервал, и онцы ин-
тервала. 8.
Рассмотрите таой интервал точи a, оторый не
содержит точу q. 9. Нет.
Рассмотрите непересеающиеся
интервалы точе p и q. 11. Не имеет.
Рассмотрите четные и
нечетные значения n. 12. x
n
= 0. Используйте неравен-
ство | sin x | m 1. 13. а) x
n
= 1; б)последовательность не
имеет предела.
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
1. –. 2. 1. 3. 0. 4. 0. 5. –1. 6.
Разделите числитель и
знаменатель на и воспользуйтесь формулой (4). 7. 0.
Убедитесь в том, что основание степени для любоо n мень-
1
ln q
--------- -
1
ln q
--------- -
1
ln q
--------- -
1
ln q
--------- -
1
2
---
4
3
---
0;
1
2
---
n º×
lim
n º×
lim
1
2
---
7
15
------
3
n 1+
Г л а в а 7. Последовательности 579
ше . 8. 0. См. уазание упр. 7. 9. 0. Воспользуйтесь не-
равенством |sin n!| m 1. 10. 0. 11. –. 12. . 13. 0.
Умножьте
и разделите данное выражение на n
2
– n + .
14. x
n
= 2. Доажем, что исходная последователь-
ность монотонна и ораничена. Ораниченность последователь-
ности доажем по индуции. Та а x
1
= , то x
1
< 2. Предпо-
ложим, что x
k
m 2; тода из уравнения = x
k
+ 2 следует,
что x
k + 1
m 2. Значит, x
n
m 2. Заметим таже, что x
n
> 1.
Рассмотрим неравенство
y
2
m 2 + y.(*)
Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (*),
то последовательность возрастает. Действительно, подставляя
y = в выражение (*), имеем
m 2 + ,
но 2 + = и, следовательно, m . Множество ре-
шений неравенства (*) представляет собой промежуто [1; 2].
Та а из доазанноо выше следует, что 1 m m 2 для всех
n Ý N, то эти значения удовлетворяют неравенству (*).
Таим образом, последовательность возрастает и ораниче-
на, а потому имеет предел. Значение предела, соласно равен-
ству (5), должно удовлетворять уравнению y
2
– y – 2 = 0, оту-
да y
1
= 1, y
2
= 2. Лео проверить, что число 1 не является пре-
делом последовательности. Ита, пределом является число 2.
15. x
n
= a. Преобразуйте реуррентное соотношение
виду = + ( – a)
2
и воспользуйтесь формулой (5).
16. x
n
= . 17. 1 + . 18. – 1. Рассмотри-
те последовательности, состоящие из четных и нечетных чле-
нов исходной последовательности.
3
4
---
5
2
---
1
2
---
1 n
3
–
3
1 n
3
–()
2
3
n º×
lim
2
x
k 1+
2
x
n
x
n
2
x
n
x
n
x
n 1+
2
x
n
2
x
n 1+
2
x
n
n º×
lim
x
n 1+
x
n
x
n
n º×
lim a 1 a– 1 a+
580 Ответы, указания, решения
§ 38. Арифметическая прогрессия
1. . 2. a
1
= 2, d = –3 или a
1
= –10, d = 3. 3. ; ; 1.
Воспользуйтесь формулой (5). 4. a
n
= p + q – n. 5. Восполь-
зуйтесь тем, что если числа u, v, w— три последовательных
члена арифметичесой прорессии, то v – u = w – v. 6. . 7. 20.
8. 167. 9. 102. 10. 29. 11. 9. 12. 7. 13.
Рассмотрите сумму
членов, равноотстоящих от онцов, среди чисел a
1
, ..., a
m + n
.
14. 82 350.
Четное число, оторое делится на 3, делится на 6.
15. d = 2a
1
, a
1
− 0 или d = 0, a
1
− 0. 16. 1275. Воспользуйтесь
формулой x
2
– y
2
= (x – y)(x + y). 17. 1064. Воспользуйтесь
уазанием упр. 13. 18. 98. 19. a
n
= 8n – 4. Воспользуйтесь
формулой (7). 20.
Выразите суммы a
1
+ a
3n
, a
1
+ a
2n
, a
1
+ a
n
через S
3n
, S
2n
, S
n
соответственно и используйте соотношение
a
3n
+ a
n
= 2a
2n
. 21. Из условия получите зависимость между
a
1
и d и используйте эту зависимость при доазательстве
утверждения. 22. a l 12.
Рассмотрите множество значений
фунции f(x) = + + + . 23. x = log
2
5.
25.
Доажите, что не является рациональным чис-
лом. 26. Нет.
См. уазание упр. 25. 27. Да. Воспользуй-
тесь тем, что если длины сторон равны соответственно a, b, c,
d, то необходимое и достаточное условие тоо, что в четырех-
уольни можно вписать оружность, залючается в выполне-
нии равенства a + c = b + d.
§ 39. Геометрическая прогрессия
2. b
1
= 5, b
5
= 405. 3. 7; –14; 28; –56. 4. 40. 5. 1; 3; 9.
6. 1; 3; 9. 7. 3; 6; 12 или (9 + ); –6; (9 – ). 8. 2;
4; 8; 16. 9. 2; 4; 8 или 8; 4; 2. 10. 1; 5; 25 или 25; 5; 1.
11. 2. 12. . 13. ;
;
; ... .
14. . 17. S
n
= + 2n. Возведите
119
3
----------
1
3
---
2
3
---
2
3
---
25
x
25
x–
5
1 x+
5
1 x–
53–
32–
--------------------- -
3
2
---
65
3
2
---
65
S
n
S
n
′
-------
n/2
1
23+()
m 1–
---------------------------------- -
1
23+()
m 2–
---------------------------------- -
1
23+()
m 3–
---------------------------------- -
u
1
2
q
2n
1–()
q
2
1–
------------------------------ -
x
2n 2+
x
4n 2+
– x
2n
–1+
1 x
2
+()x
2n
-------------------------------------------------------------------- -
Г л а в а 7. Последовательности 581
в вадрат выражения в собах и найдите сумму членов получен-
ных при этом еометричесих прорессий.
18.
S
n
= 4 – – .
Рассмотрите разность S
n
– . 19. S
n
= – .
Умножьте обе части равенства на x и от S
n
отнимите xS
n
.
20. 28. 21. b
4
= ; q = . 22. . Воспользуйтесь методом,
предложенным в примере 2 на с. 191. 23. 6; 3; 1,5; ... . 24. b
1
= 6,
q = – . 25. . 26. x > 0, x − äa, S = .
Для
нахождения знаменателя прорессии q разделите b
2
на b
1
и
решите неравенство вида |q(x)| < 1. 27. P = 4(2 + )a, S = 2a
2
.
28. a
p – m
b
m – k
c
k – p
= 1. 29. Не моут. 30. 5. 31. 1,5.
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
1. 4; 8; 16 или ; – ; . 2. 3; 6; 12 или 27; 18; 12.
3. 931.
Воспользуйтесь представлением числа в десятичной
записи, т. е. в виде a · 10
2
+ b · 10 + c, де a— цифра сотен, b—
десятов, c— единиц. 4. 32; 16; 8; 0 или 2; 6; 18; 30. 5. 2; 10;
18 или 2; 6; 18. 6. 27. 7. 24; 27; 30; ..., 54 или 24; 24; 24; ..., 24.
8. q = или q = 1. 11. x = q
1/d
.
§ 41. Разные задачи
1. Да; x
n
Ý 0; . 2. Нет. 3. Да; x
n
Ý [–8; 11]. См. решение
примера 3 § 35 на с. 175, 176. 4. Девять членов.
Воспользуйтесь
формулой суммы членов еометричесой прорессии. 7.
Вос-
пользуйтесь свойством сторон треуольниа. 8. S
n
= .
9. . 10. 0. 11. 630 или 135 или 765.
Пусть x— цифра сотен,
y— цифра десятов и z— цифра единиц. Тода первое условие
приводит уравнению x · 100 + y · 10 + z = 45p, де p— целое
число. Та а x, y, z— последовательные члены арифметиче-
1
2
n 2–
------------- -
n
2
n 1–
------------- -
S
n
2
------ -
nx
n 1+
x 1–
------------------
x
n 1+
x–
x 1–()
2
------------------------ -
3
16
------
1
4
---
3
5
---
1
2
---
S
2
2S 1–
----------------- -
ax+()
3
4 ax–()ax
------------------------------
2
4
25
------
16
25
------
64
25
------
3
2
---
3
2
---
n º×
lim
a
2
2
------
1
3
---
580 Ответы, указания, решения
§ 38. Арифметическая прогрессия
1. . 2. a
1
= 2, d = –3 или a
1
= –10, d = 3. 3. ; ; 1.
Воспользуйтесь формулой (5). 4. a
n
= p + q – n. 5. Восполь-
зуйтесь тем, что если числа u, v, w— три последовательных
члена арифметичесой прорессии, то v – u = w – v. 6. . 7. 20.
8. 167. 9. 102. 10. 29. 11. 9. 12. 7. 13.
Рассмотрите сумму
членов, равноотстоящих от онцов, среди чисел a
1
, ..., a
m + n
.
14. 82 350.
Четное число, оторое делится на 3, делится на 6.
15. d = 2a
1
, a
1
− 0 или d = 0, a
1
− 0. 16. 1275. Воспользуйтесь
формулой x
2
– y
2
= (x – y)(x + y). 17. 1064. Воспользуйтесь
уазанием упр. 13. 18. 98. 19. a
n
= 8n – 4. Воспользуйтесь
формулой (7). 20.
Выразите суммы a
1
+ a
3n
, a
1
+ a
2n
, a
1
+ a
n
через S
3n
, S
2n
, S
n
соответственно и используйте соотношение
a
3n
+ a
n
= 2a
2n
. 21. Из условия получите зависимость между
a
1
и d и используйте эту зависимость при доазательстве
утверждения. 22. a l 12.
Рассмотрите множество значений
фунции f(x) = + + + . 23. x = log
2
5.
25.
Доажите, что не является рациональным чис-
лом. 26. Нет.
См. уазание упр. 25. 27. Да. Воспользуй-
тесь тем, что если длины сторон равны соответственно a, b, c,
d, то необходимое и достаточное условие тоо, что в четырех-
уольни можно вписать оружность, залючается в выполне-
нии равенства a + c = b + d.
§ 39. Геометрическая прогрессия
2. b
1
= 5, b
5
= 405. 3. 7; –14; 28; –56. 4. 40. 5. 1; 3; 9.
6. 1; 3; 9. 7. 3; 6; 12 или (9 + ); –6; (9 – ). 8. 2;
4; 8; 16. 9. 2; 4; 8 или 8; 4; 2. 10. 1; 5; 25 или 25; 5; 1.
11. 2. 12. . 13. ;
;
; ... .
14. . 17. S
n
= + 2n. Возведите
119
3
----------
1
3
---
2
3
---
2
3
---
25
x
25
x–
5
1 x+
5
1 x–
53–
32–
--------------------- -
3
2
---
65
3
2
---
65
S
n
S
n
′
-------
n/2
1
23+()
m 1–
---------------------------------- -
1
23+()
m 2–
---------------------------------- -
1
23+()
m 3–
---------------------------------- -
u
1
2
q
2n
1–()
q
2
1–
------------------------------ -
x
2n 2+
x
4n 2+
– x
2n
–1+
1 x
2
+()x
2n
-------------------------------------------------------------------- -
Г л а в а 7. Последовательности 581
в вадрат выражения в собах и найдите сумму членов получен-
ных при этом еометричесих прорессий.
18.
S
n
= 4 – – .
Рассмотрите разность S
n
– . 19. S
n
= – .
Умножьте обе части равенства на x и от S
n
отнимите xS
n
.
20. 28. 21. b
4
= ; q = . 22. . Воспользуйтесь методом,
предложенным в примере 2 на с. 191. 23. 6; 3; 1,5; ... . 24. b
1
= 6,
q = – . 25. . 26. x > 0, x − äa, S = .
Для
нахождения знаменателя прорессии q разделите b
2
на b
1
и
решите неравенство вида |q(x)| < 1. 27. P = 4(2 + )a, S = 2a
2
.
28. a
p – m
b
m – k
c
k – p
= 1. 29. Не моут. 30. 5. 31. 1,5.
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
1. 4; 8; 16 или ; – ; . 2. 3; 6; 12 или 27; 18; 12.
3. 931.
Воспользуйтесь представлением числа в десятичной
записи, т. е. в виде a · 10
2
+ b · 10 + c, де a— цифра сотен, b—
десятов, c— единиц. 4. 32; 16; 8; 0 или 2; 6; 18; 30. 5. 2; 10;
18 или 2; 6; 18. 6. 27. 7. 24; 27; 30; ..., 54 или 24; 24; 24; ..., 24.
8. q = или q = 1. 11. x = q
1/d
.
§ 41. Разные задачи
1. Да; x
n
Ý 0; . 2. Нет. 3. Да; x
n
Ý [–8; 11]. См. решение
примера 3 § 35 на с. 175, 176. 4. Девять членов.
Воспользуйтесь
формулой суммы членов еометричесой прорессии. 7.
Вос-
пользуйтесь свойством сторон треуольниа. 8. S
n
= .
9. . 10. 0. 11. 630 или 135 или 765.
Пусть x— цифра сотен,
y— цифра десятов и z— цифра единиц. Тода первое условие
приводит уравнению x · 100 + y · 10 + z = 45p, де p— целое
число. Та а x, y, z— последовательные члены арифметиче-
1
2
n 2–
------------- -
n
2
n 1–
------------- -
S
n
2
------ -
nx
n 1+
x 1–
------------------
x
n 1+
x–
x 1–()
2
------------------------ -
3
16
------
1
4
---
3
5
---
1
2
---
S
2
2S 1–
----------------- -
ax+()
3
4 ax–()ax
------------------------------
2
4
25
------
16
25
------
64
25
------
3
2
---
3
2
---
n º×
lim
a
2
2
------
1
3
---
582 Ответы, указания, решения
сой прорессии, то 2y = x + z. Следовательно, можно соста-
вить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными:
x · 100 + y · 10 + z = 45p, 2y = x + z,
оторую необходимо решить на множестве целых неотрица-
тельных чисел.
12.
Соласно формуле (3) из § 38, используя условия зада-
чи, имеем
= np, = kp.
Ислючив из этой системы a
1
, получаем = p(n – k). В си-
лу формулы (2) из § 38 имеем d(n – k) = 2p(n – k), и, следова-
тельно, d = 2p, a
1
= p. Наонец, применяя формулу (4) из § 38,
получаем исомое выражение:
S
p
= p = p
3
.
13.
Умножьте и разделите аждое слааемое на выраже-
ние, сопряженное знаменателю. 15. (8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25).
Из
первых четырех уравнений следует, что числа x, y, z, u, s и t об-
разуют еометричесую прорессию. 16.
Представьте аждое
число, входящее в доазываемое равенство, а сумму членов
соответствующей еометричесой прорессии. 17. A = 2, B = 32.
Используйте теорему Виета. 19. Воспользуйтесь равенством
= · – + · . 20.
См. уазание
упр. 19. 22. 10 · – n . 23. а) – , если n — четное;
, если n— нечетное; б)– , если n— четное,
, если n— нечетное; в) . 24. 0.
25. 0,5. 26. .
Воспользуйтесь тем, что под знаом предела
записана сумма n членов еометричесой прорессии со знаме-
нателем q = . 27. 1,5. 28. . 29. 1,25. 30. 1.
Используйте со-
a
1
a
n
+
2
-------------------
a
1
a
k
+
2
-------------------
a
n
a
k
–
2
-------------------
2p 2pp 1–()+
2
--------------------------------------- -
1
kk 1+()k 2+()
------------------------------------------
1
2
---
1
k
---
1
k 1–
-------------
1
2
---
1
k 2+
--------------
1
9
---
10
n 1–
9
-----------------
n
2
---
n 1+
2
------------- -
nn 1+()
2
-----------------------
nn 1+()
2
-----------------------
nn 1+()3n
2
7n 2++()
12
----------------------------------------------------------------
33
2
-----------
1
3
---
1
3
---
Г л а в а 7. Последовательности 583
отношение = – . 31. . См. уазание
упр. 30. 32. .
33. .
Заметим, что = . Далее имеем
= = = = ;
аналоично
= .
Таим образом, a
n
= · ... . Умножив и разде-
лив a
n
на 2 sin , получим
a
n
= =
= = ... .
Теперь умножим и разделим последнее выражение на ; тода,
используя равенство = 1 и полаая x = , находим
a
n
= = .
1
kk 1+()
----------------------
1
k
---
1
k 1+
--------------
1
da
1
--------- -
1
4
---
π
2
---
2
2
-------
1
cos
π
4
---
-------------
2
22+
----------------------
2
21
2
2
-------
+
-------------------------------- -
2
21 cos
π
4
---
+
-------------------------------------- -
2
4cos
2
π
8
---
-------------------------
1
cos
π
8
---
-------------
2
2 2 ... 2 2+++
-----------------------------------------------------------
n радиалов
1
cos
π
2
n 1+
--------------
------------------------
1
cos
π
4
---
-------------
1
cos
π
8
---
-------------
1
cos
π
2
n 1+
--------------
------------------------
π
2
n 1+
--------------
2 sin
π
2
n 1+
--------------
cos
π
4
---
cos
π
8
---
... 2 cos
π
2
n 1+
--------------
sin
π
2
n 1+
--------------
----------------------------------------------------------------------------------------------
2sin
π
2
n 1+
--------------
cos
π
4
---
cos
π
8
---
... cos
π
2
n
------
sin
π
2
n
------
-------------------------------------------------------------------------
2
n
sin
π
2
n 1+
--------------
sin
π
2
---
------------------------------- -
π
2
---
x º 0
lim
sin x
x
-------------
π
2
n 1+
--------------
n º×
lim
n º×
lim
π ·
2
n 1+
π
--------------
sin
π
2
n 1+
--------------
⋅
2
----------------------------------------------------
π
2
---
582 Ответы, указания, решения
сой прорессии, то 2y = x + z. Следовательно, можно соста-
вить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными:
x · 100 + y · 10 + z = 45p, 2y = x + z,
оторую необходимо решить на множестве целых неотрица-
тельных чисел.
12.
Соласно формуле (3) из § 38, используя условия зада-
чи, имеем
= np, = kp.
Ислючив из этой системы a
1
, получаем = p(n – k). В си-
лу формулы (2) из § 38 имеем d(n – k) = 2p(n – k), и, следова-
тельно, d = 2p, a
1
= p. Наонец, применяя формулу (4) из § 38,
получаем исомое выражение:
S
p
= p = p
3
.
13.
Умножьте и разделите аждое слааемое на выраже-
ние, сопряженное знаменателю. 15. (8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25).
Из
первых четырех уравнений следует, что числа x, y, z, u, s и t об-
разуют еометричесую прорессию. 16.
Представьте аждое
число, входящее в доазываемое равенство, а сумму членов
соответствующей еометричесой прорессии. 17. A = 2, B = 32.
Используйте теорему Виета. 19. Воспользуйтесь равенством
= · – + · . 20.
См. уазание
упр. 19. 22. 10 · – n . 23. а) – , если n — четное;
, если n— нечетное; б)– , если n— четное,
, если n— нечетное; в) . 24. 0.
25. 0,5. 26. .
Воспользуйтесь тем, что под знаом предела
записана сумма n членов еометричесой прорессии со знаме-
нателем q = . 27. 1,5. 28. . 29. 1,25. 30. 1.
Используйте со-
a
1
a
n
+
2
-------------------
a
1
a
k
+
2
-------------------
a
n
a
k
–
2
-------------------
2p 2pp 1–()+
2
--------------------------------------- -
1
kk 1+()k 2+()
------------------------------------------
1
2
---
1
k
---
1
k 1–
-------------
1
2
---
1
k 2+
--------------
1
9
---
10
n 1–
9
-----------------
n
2
---
n 1+
2
------------- -
nn 1+()
2
-----------------------
nn 1+()
2
-----------------------
nn 1+()3n
2
7n 2++()
12
----------------------------------------------------------------
33
2
-----------
1
3
---
1
3
---
Г л а в а 7. Последовательности 583
отношение = – . 31. . См. уазание
упр. 30. 32. .
33. .
Заметим, что = . Далее имеем
= = = = ;
аналоично
= .
Таим образом, a
n
= · ... . Умножив и разде-
лив a
n
на 2 sin , получим
a
n
= =
= = ... .
Теперь умножим и разделим последнее выражение на ; тода,
используя равенство = 1 и полаая x = , находим
a
n
= = .
1
kk 1+()
----------------------
1
k
---
1
k 1+
--------------
1
da
1
--------- -
1
4
---
π
2
---
2
2
-------
1
cos
π
4
---
-------------
2
22+
----------------------
2
21
2
2
-------
+
-------------------------------- -
2
21 cos
π
4
---
+
-------------------------------------- -
2
4cos
2
π
8
---
-------------------------
1
cos
π
8
---
-------------
2
2 2 ... 2 2+++
-----------------------------------------------------------
n радиалов
1
cos
π
2
n 1+
--------------
------------------------
1
cos
π
4
---
-------------
1
cos
π
8
---
-------------
1
cos
π
2
n 1+
--------------
------------------------
π
2
n 1+
--------------
2 sin
π
2
n 1+
--------------
cos
π
4
---
cos
π
8
---
... 2 cos
π
2
n 1+
--------------
sin
π
2
n 1+
--------------
----------------------------------------------------------------------------------------------
2sin
π
2
n 1+
--------------
cos
π
4
---
cos
π
8
---
... cos
π
2
n
------
sin
π
2
n
------
-------------------------------------------------------------------------
2
n
sin
π
2
n 1+
--------------
sin
π
2
---
------------------------------- -
π
2
---
x º 0
lim
sin x
x
-------------
π
2
n 1+
--------------
n º×
lim
n º×
lim
π ·
2
n 1+
π
--------------
sin
π
2
n 1+
--------------
⋅
2
----------------------------------------------------
π
2
---
584 Ответы, указания, решения
34. . 35. . Воспользуйтесь равенствами =
= cos ; = cos и формулами 2 cos
2
x = 1 + cos 2x, 2 sin
2
x =
= 1 – cos 2x.
Глава 8. Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
9.
Рассмотрите последовательности
= , = .
§ 43. Вычисление пределов функций
1. 1. 2. 0. 3. 1. 4. 2. 5. 0. 6. 0. 7. 6. 8. 3x
2
. 9. ×. 10. –.
Выделите в числителе и знаменателе множитель (x – 1)
2
. 11.
при a − 0, при a = 0 предел не существует. 12. а) – ;
б) . 13. а) – ; б) 1. 14. . 15. . 16. . 17. 0. 18. .
19. 4. 20. –. 21. . 22. . 23. –.
Перейдите перемен-
ной y = –x. 24. 2. 25. 8. 26. . 27. . 28. cos a. Используйте
формулу sin x – sin a = 2 sin cos . 29. π.
Положите
= x. 30. π. Положите x + 2 = y и используйте формулу
tg π(y + 2) = tg πy. 31. –. 32. –24.
Преобразуйте выраже-
ние в числителе виду и воспользуй-
114a++
2
--------------------------------
3
2
---
2
2
-------
π
4
---
3
2
-------
π
6
---
x
n
1()
2
π 14n+()
--------------------------
x
n
2()
2
π 34n+()
--------------------------
3
2
---
1
a
---
3
2
---
2
5
3
---
6
1
3
---
4
3
---
3
2
---
2
2
-------
3
2
---
2
3
---
3
2
---
3
2
---
7
4
---
3
4
---
n
m
---- -
xa–
2
-------------
xa+
2
------------- -
π
n
---
1
2
-------
tg x sin x
π
3
---
–
sin x
π
3
---
+
cos
2
x cos
2
π
3
---
---------------------------------------------------------------------------
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции 585
тесь соотношением cos x + = sin – x . 33. . Пре-
образуйте выражение в знаменателе виду 4 sin sin .
34. 0.
§ 44. Непрерывность функции
9.
Используйте формулу cos (x + ∆x) – cos x = –2 sin ×
× sin x + . 10.
Воспользуйтесь неравенством ln (1 + x) m x.
11.
Используйте результат упр. 10. 13. Фунция y = tg x имеет
разрыв в точах x = + πn, n Ý Z. 14. (0) = 1. 15. (0) = 2.
16. (0) = 1. 17. (81) = . 18. A = 1. 19. A = 0. 20. A = .
21. A = . 22. A = . 23. A = .
При вычислении предела
f(x) введите обозначение z = 1 – x. 24. = . 25. a = 1.
26. 2a – b = 0. 27. 3a – b = 0. 28. a + b + 1 = 0. 29. b = 4.
30. a = + 2n, n Ý Z. 31. a = .
§ 45. Разные задачи
1. –1. 2. . 3. . 4. . 5. ×. 6. ×. 7. . 8. –ctg a.
9. cos
3
a. 10. . 11. . 12. . 13. . 14. 2. 15. ×. 16. .
17. ×. 18. . 19. 2. 20. 0. 21. 2. 22. 2. 23. sin 2a. 24. .
25. 1. 26. . 27. . 28. –2 sin 2a. 29. 3. 30. 3. 31. 0.
32. . 33. . 34. 2. 35. . 36. a. 37. . 38. 1. 39. –.
π
6
---
π
3
---
3
3
-------
π
3
---
x–
2
--------------
π
3
---
x+
2
--------------
∆x
2
-------
∆x
2
-------
π
2
---
f
f
f
f
f
f
f
f
1
6
---
3
2
---
1
2
---
2
m
2
------- -
2
π
---
x º 1
lim
b
a
---
π
2
---
3
2
---
3
4
---
3
4
---
3
7
---
2
3
---
1
cos
2
a
----------------
2
4
-------
2
2
-------
1
2
---
1
2
---
2
1
2
---
3
3
-------
1
2
---
1
2
---
sin 2a
cos
4
a
---------------- -
2
2a
π
-------
a
π
---
1
2
---
3
2
---
2
584 Ответы, указания, решения
34. . 35. . Воспользуйтесь равенствами =
= cos ; = cos и формулами 2 cos
2
x = 1 + cos 2x, 2 sin
2
x =
= 1 – cos 2x.
Глава 8. Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
9.
Рассмотрите последовательности
= , = .
§ 43. Вычисление пределов функций
1. 1. 2. 0. 3. 1. 4. 2. 5. 0. 6. 0. 7. 6. 8. 3x
2
. 9. ×. 10. –.
Выделите в числителе и знаменателе множитель (x – 1)
2
. 11.
при a − 0, при a = 0 предел не существует. 12. а) – ;
б) . 13. а) – ; б) 1. 14. . 15. . 16. . 17. 0. 18. .
19. 4. 20. –. 21. . 22. . 23. –.
Перейдите перемен-
ной y = –x. 24. 2. 25. 8. 26. . 27. . 28. cos a. Используйте
формулу sin x – sin a = 2 sin cos . 29. π.
Положите
= x. 30. π. Положите x + 2 = y и используйте формулу
tg π(y + 2) = tg πy. 31. –. 32. –24.
Преобразуйте выраже-
ние в числителе виду и воспользуй-
114a++
2
--------------------------------
3
2
---
2
2
-------
π
4
---
3
2
-------
π
6
---
x
n
1()
2
π 14n+()
--------------------------
x
n
2()
2
π 34n+()
--------------------------
3
2
---
1
a
---
3
2
---
2
5
3
---
6
1
3
---
4
3
---
3
2
---
2
2
-------
3
2
---
2
3
---
3
2
---
3
2
---
7
4
---
3
4
---
n
m
---- -
xa–
2
-------------
xa+
2
------------- -
π
n
---
1
2
-------
tg x sin x
π
3
---
–
sin x
π
3
---
+
cos
2
x cos
2
π
3
---
---------------------------------------------------------------------------
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции 585
тесь соотношением cos x + = sin – x . 33. . Пре-
образуйте выражение в знаменателе виду 4 sin sin .
34. 0.
§ 44. Непрерывность функции
9.
Используйте формулу cos (x + ∆x) – cos x = –2 sin ×
× sin x + . 10.
Воспользуйтесь неравенством ln (1 + x) m x.
11.
Используйте результат упр. 10. 13. Фунция y = tg x имеет
разрыв в точах x = + πn, n Ý Z. 14. (0) = 1. 15. (0) = 2.
16. (0) = 1. 17. (81) = . 18. A = 1. 19. A = 0. 20. A = .
21. A = . 22. A = . 23. A = .
При вычислении предела
f(x) введите обозначение z = 1 – x. 24. = . 25. a = 1.
26. 2a – b = 0. 27. 3a – b = 0. 28. a + b + 1 = 0. 29. b = 4.
30. a = + 2n, n Ý Z. 31. a = .
§ 45. Разные задачи
1. –1. 2. . 3. . 4. . 5. ×. 6. ×. 7. . 8. –ctg a.
9. cos
3
a. 10. . 11. . 12. . 13. . 14. 2. 15. ×. 16. .
17. ×. 18. . 19. 2. 20. 0. 21. 2. 22. 2. 23. sin 2a. 24. .
25. 1. 26. . 27. . 28. –2 sin 2a. 29. 3. 30. 3. 31. 0.
32. . 33. . 34. 2. 35. . 36. a. 37. . 38. 1. 39. –.
π
6
---
π
3
---
3
3
-------
π
3
---
x–
2
--------------
π
3
---
x+
2
--------------
∆x
2
-------
∆x
2
-------
π
2
---
f
f
f
f
f
f
f
f
1
6
---
3
2
---
1
2
---
2
m
2
------- -
2
π
---
x º 1
lim
b
a
---
π
2
---
3
2
---
3
4
---
3
4
---
3
7
---
2
3
---
1
cos
2
a
----------------
2
4
-------
2
2
-------
1
2
---
1
2
---
2
1
2
---
3
3
-------
1
2
---
1
2
---
sin 2a
cos
4
a
---------------- -
2
2a
π
-------
a
π
---
1
2
---
3
2
---
2