Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
596 Ответы, указания, решения
Отделившись от раеты в момент t
1
, предмет движется
равномерно со соростью, оторой достила раета в уазанный
момент. Затем в неоторый момент t предмет мновенно увели-
чивает свою сорость до величины v и снова движется равно-
мерно до встречи с раетой в момент t
2
, причем в этот момент
их сорости одинаовы. Следовательно, заон движения предме-
та вне раеты представляет собой ломаную линию, звеньями о-
торой являются асательные параболе s(t) = v
0
t + в точ-
ах t
1
и t
2
. Абсцисса t точи пересечения этих асательных —
исомый момент времени. Сорость предмета в момент t совпа-
дает со соростью в момент t
2
и равна производной фунции
s(t) в момент t
2
. Та а s′(t) = v
0
+ at, то уравнения асатель-
ных параболе s(t) в точах t
1
и t
2
имеют вид
s(t) = s(t
1
) + (v
0
+ at
1
)(t – t
1
), (*)
s(t) = s(t
2
) + (v
0
+ at
2
)(t – t
2
).
Рассматривая (*) а систему уравнений относительно двух не-
известных s и t, находим, что t = , и значит, заон дви-
жения предмета записывается в виде, уазанном в ответе.
12. t
0
= t
1
– . Заон движения раеты после от-
лючения двиателей можно записать в виде уравнения аса-
тельной ривой, являющейся рафиом заона движения.
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
1. arcsin – ln(x + ) + C.
Разделите почленно
числитель на знаменатель и воспользуйтесь формулами (17)
и (18). 2. x
5/3
– x
7/6
+ C. 3. –(1 – x)
3/2
+ (1 – x)
5/2
+ C.
Преобразуйте фунцию виду f(x) = – (1 – x).
Для представления f(x) в таом виде удобно ввести переменную
t = 1 – x; тода f(x) = g(t(x)), де g(t) = (1 – t) = – t .
at
2
2
-------- -
t
1
t
2
+
2
-----------------
t
1
2
2s
1
–
x
2
-------
x
2
2+
3
5
---
12
7
------
2
3
---
2
5
---
1 x– 1 x–
t t t
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 597
4. –8 1 – + 1 – . См. уазание упр. 3.
5. –(2x – 1)
–1
+ (2x – 1)
–2
+ C. См. уазание упр. 3.
6. – + C.
Представьте фунцию в виде
f(x) = – . 7. – x + C. 8. t + ln|t| + C.
9. + C. 10. – x
3/2
+ 4x
–1/2
+ C. 11. 2x
1/2
– x
3/2
+ C.
12. –x + C. 13. x – + C. 14. x + x
2
+ C. 15. mx
1/m
+ 3nx
1/n
+ C.
16. x
2
– x + C. 17. + C. 18. 2x – 8 ln | x | + C. 19. x +
+2ln|x – 2| + C. 20. + C. 21. –cos12x – cos 10x –
–cos9x – cos11x + C.
Преобразуйте подынтеральное
выражение виду sin 12x + sin 10x + sin 9x + sin 11x и восполь-
зуйтесь правилами интерирования (4) и (5) и формулой (9)
таблицы первообразных. 22. –cos4x + cos 5x + cos 6x –
– cos 7x + C. 23. sin α – cosα + sin3α – cos3α + C.
24. x + sin8x + C. 25. – x + cos4x + C. 26. – ×
× cos + C. 27. –cos2x + C. 28. –2 cos x + C. 29. –cos8x + C.
30. –cos4x + C. 31. x – sin x + C. 32. sin 2α – α + C.
33. tg x – x + C. 34. –ctg x – x + C.
§ 53. Задачи, решаемые с использованием
свойств первообразных
1. y = x
3
+ 1. 2. y = x
2
. 3. y = 5x – 1. 4. y = – . 5. y =
= + и y = + 1. 6. y = 3 ln x + 1. 7. s(t) = 2 – 0,25 cos 2t.
8. p l 2; тольо один раз пешеходы поравняются при p = 2.
x
2
---
1/2
8
3
---
x
2
---
3/2
1
4
---
1
8
---
1 x+()
5/2
5
--------------------------
1 x+()
3/2
3
--------------------------
1 x+()
3
2
------------------------- -
1 x+
2
------------------
x
2
2
------
12x
5/6
5
------------------
2
3
---
2
3
---
x
3
3
------
21 x+()
3/2
3
------------------------------
2x
6
1
12
------
1
10
------
1
9
---
1
11
------
1
4
---
1
5
---
1
6
---
1
7
---
1
3
---
1
3
---
1
4
---
1
32
------
1
π
---
2
x
2
---
1
2
---
1
8
---
1
8
---
1
2
---
1
2
---
1
4
---
1
2
---
x
2
2
------
1
2
---
x
3
3
------
7
3
---
x
3
3
------
596 Ответы, указания, решения
Отделившись от раеты в момент t
1
, предмет движется
равномерно со соростью, оторой достила раета в уазанный
момент. Затем в неоторый момент t предмет мновенно увели-
чивает свою сорость до величины v и снова движется равно-
мерно до встречи с раетой в момент t
2
, причем в этот момент
их сорости одинаовы. Следовательно, заон движения предме-
та вне раеты представляет собой ломаную линию, звеньями о-
торой являются асательные параболе s(t) = v
0
t + в точ-
ах t
1
и t
2
. Абсцисса t точи пересечения этих асательных —
исомый момент времени. Сорость предмета в момент t совпа-
дает со соростью в момент t
2
и равна производной фунции
s(t) в момент t
2
. Та а s′(t) = v
0
+ at, то уравнения асатель-
ных параболе s(t) в точах t
1
и t
2
имеют вид
s(t) = s(t
1
) + (v
0
+ at
1
)(t – t
1
), (*)
s(t) = s(t
2
) + (v
0
+ at
2
)(t – t
2
).
Рассматривая (*) а систему уравнений относительно двух не-
известных s и t, находим, что t = , и значит, заон дви-
жения предмета записывается в виде, уазанном в ответе.
12. t
0
= t
1
– . Заон движения раеты после от-
лючения двиателей можно записать в виде уравнения аса-
тельной ривой, являющейся рафиом заона движения.
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
1. arcsin – ln(x + ) + C.
Разделите почленно
числитель на знаменатель и воспользуйтесь формулами (17)
и (18). 2. x
5/3
– x
7/6
+ C. 3. –(1 – x)
3/2
+ (1 – x)
5/2
+ C.
Преобразуйте фунцию виду f(x) = – (1 – x).
Для представления f(x) в таом виде удобно ввести переменную
t = 1 – x; тода f(x) = g(t(x)), де g(t) = (1 – t) = – t .
at
2
2
-------- -
t
1
t
2
+
2
-----------------
t
1
2
2s
1
–
x
2
-------
x
2
2+
3
5
---
12
7
------
2
3
---
2
5
---
1 x– 1 x–
t t t
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 597
4. –8 1 – + 1 – . См. уазание упр. 3.
5. –(2x – 1)
–1
+ (2x – 1)
–2
+ C. См. уазание упр. 3.
6. – + C.
Представьте фунцию в виде
f(x) = – . 7. – x + C. 8. t + ln|t| + C.
9. + C. 10. – x
3/2
+ 4x
–1/2
+ C. 11. 2x
1/2
– x
3/2
+ C.
12. –x + C. 13. x – + C. 14. x + x
2
+ C. 15. mx
1/m
+ 3nx
1/n
+ C.
16. x
2
– x + C. 17. + C. 18. 2x – 8 ln | x | + C. 19. x +
+2ln|x – 2| + C. 20. + C. 21. –cos12x – cos 10x –
–cos9x – cos11x + C.
Преобразуйте подынтеральное
выражение виду sin 12x + sin 10x + sin 9x + sin 11x и восполь-
зуйтесь правилами интерирования (4) и (5) и формулой (9)
таблицы первообразных. 22. –cos4x + cos 5x + cos 6x –
– cos 7x + C. 23. sin α – cosα + sin3α – cos3α + C.
24. x + sin8x + C. 25. – x + cos4x + C. 26. – ×
× cos + C. 27. –cos2x + C. 28. –2 cos x + C. 29. –cos8x + C.
30. –cos4x + C. 31. x – sin x + C. 32. sin 2α – α + C.
33. tg x – x + C. 34. –ctg x – x + C.
§ 53. Задачи, решаемые с использованием
свойств первообразных
1. y = x
3
+ 1. 2. y = x
2
. 3. y = 5x – 1. 4. y = – . 5. y =
= + и y = + 1. 6. y = 3 ln x + 1. 7. s(t) = 2 – 0,25 cos 2t.
8. p l 2; тольо один раз пешеходы поравняются при p = 2.
x
2
---
1/2
8
3
---
x
2
---
3/2
1
4
---
1
8
---
1 x+()
5/2
5
--------------------------
1 x+()
3/2
3
--------------------------
1 x+()
3
2
------------------------- -
1 x+
2
------------------
x
2
2
------
12x
5/6
5
------------------
2
3
---
2
3
---
x
3
3
------
21 x+()
3/2
3
------------------------------
2x
6
1
12
------
1
10
------
1
9
---
1
11
------
1
4
---
1
5
---
1
6
---
1
7
---
1
3
---
1
3
---
1
4
---
1
32
------
1
π
---
2
x
2
---
1
2
---
1
8
---
1
8
---
1
2
---
1
2
---
1
4
---
1
2
---
x
2
2
------
1
2
---
x
3
3
------
7
3
---
x
3
3
------
598 Ответы, указания, решения
§ 54. Определенный интеграл
1. 8. 2. 1,5 – 0,5 ln 2. 3. . 4. 0. 5. 8. 6. –2 .
Сделайте
замену t = 2 – . 7. –1 .
См. уазание упр. 6.
8. .
Избавьтесь от иррациональности в знаменате-
ле. 9. . 10. . 11. . 12. ln 2 – 0,5. 13. . 14. . 15. .
16. 2. 17. 1. 18. 2– . 19. 2. 20. 2+(3
3/2
–2
3/2
).
21. 2,5 + ln 2,5. 22. 4ln . 23. 2. 24. 3 – 1.
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
1. F(x) = F = 1, F(x) = F(0) = 0.
2. F(x) = F(–1) = 6, F(x) = F(2,5) = –6,25.
3. F(x) = F(4) = , F(x) = F(0) = 0.
4. F(x) = F = – , F(x) = F –=
=– . 5. y = 2 – x; y = x – 3. 6. Кривые совпадают, x Ý R.
7. ; . 8. – + 6x. 9. y = x – ; y = x + . 10. s(t) =
=. 11. A(x) = 25x
2
+ 100x. Заон изменения силы F а
фунции расстояния x имеет вид F(x) = ax + b, де парамет-
ры a и b найдите из условий задачи. Работа переменной силы
представляет собой ту ее первообразную, оторая обращается
в нуль при x = 0. 12. s(t) = t
2
– t. 13. s(t) = t
2
+ t.
1
2
---
2
3
---
x
2
---
73
135
----------
3
3/2
2
3/2
–1–
3
-------------------------------------- -
45
4
------
46
15
------
π 2–
4
-------------
1
8
---
3
3
-------
2
2
2
-------
2 2
4
3
---
4
3
---
2 2
max
x Ý [0; π/2]
π
2
---
min
x Ý [0; π/2]
max
x Ý [–1; 3]
min
x Ý [–1; 3]
max
x Ý [0; 4]
16
3
------
min
x Ý [0; 4]
max
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2
---
3
8
---
min
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2
---
5
8
---
6
5
---
36
25
------
x
3
3
------
5x
2
2
----------
1
4
---
1
4
---
2t
3
3
-------- -
5
4
---
2
3
---
10
3
------
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 599
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением
свойств интегралов
1. (–×; –2) Ÿ ; 3. 2. (2; 3). 3. [4; +×). 4. A = – ; B = 2.
5. a = 1. 6. ; . 7. Через 6 с. 10. Да. 11. A = 7;
B = –6; C = 3. 12. ; ; ; . 13. ; 2. 14. –π; – ; 0.
§ 57. Вычисление площадей фигур
1. . 2. 9. 3. . 4. + ln2. 5. 31 – . 6. .
7. 12 – 5 ln 5. 8. – ln2. 9. . 10. 1. 11. 4 – . 12. 7ln3.
13. . 14. – . 15. ln 2. 16. . 17. ln 2. 18. .
19. 15 – 16 ln 2. 20. . 21. – . 22. 9 – 8 ln 2. 23. .
Вос-
пользуйтесь формулой (3). 24. πr
2
. Область интерирования
разбейте на две области, оординаты точи деления найдите
а решение системы
25. 1 – .
Воспользуйтесь тем, что max{x; y} = 1 — точи,
составляющие две смежные стороны единичноо вадрата,
вписанноо в уол первой оординатной четверти. 26. .
27. – 1. 28. 1. 29. πab.
Выразите y через x при y > 0 и x > 0,
для вычисления определенноо интерала 4 b dx =
1
2
---
2
π
---
2π
1–8π 1++
2
-------------------------------------
π
2
---
7π
6
------ -
3π
2
------ -
11π
6
----------
1
2
---
π
3
---
4
3
---
343
3
----------
1
3
---
1
4ln2
---------------
9
2
---
15
4
------
8
3
---
3
ln 2
----------
9
2
---
19
3
------
3
4ln2
---------------
19
24
------
1
2
---
8
3
---
53
15
------
π
2
---
1
3
---
8
9
---
3
8
---
x
2
+ y
2
= r
2
,
x – y = 0,
y l 0.
π
4
---
1
3
---
π
2
---
0
a
∫
1
x
2
a
2
------
–
598 Ответы, указания, решения
§ 54. Определенный интеграл
1. 8. 2. 1,5 – 0,5 ln 2. 3. . 4. 0. 5. 8. 6. –2 .
Сделайте
замену t = 2 – . 7. –1 .
См. уазание упр. 6.
8. .
Избавьтесь от иррациональности в знаменате-
ле. 9. . 10. . 11. . 12. ln 2 – 0,5. 13. . 14. . 15. .
16. 2. 17. 1. 18. 2– . 19. 2. 20. 2+(3
3/2
–2
3/2
).
21. 2,5 + ln 2,5. 22. 4ln . 23. 2. 24. 3 – 1.
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
1. F(x) = F = 1, F(x) = F(0) = 0.
2. F(x) = F(–1) = 6, F(x) = F(2,5) = –6,25.
3. F(x) = F(4) = , F(x) = F(0) = 0.
4. F(x) = F = – , F(x) = F –=
=– . 5. y = 2 – x; y = x – 3. 6. Кривые совпадают, x Ý R.
7. ; . 8. – + 6x. 9. y = x – ; y = x + . 10. s(t) =
=. 11. A(x) = 25x
2
+ 100x. Заон изменения силы F а
фунции расстояния x имеет вид F(x) = ax + b, де парамет-
ры a и b найдите из условий задачи. Работа переменной силы
представляет собой ту ее первообразную, оторая обращается
в нуль при x = 0. 12. s(t) = t
2
– t. 13. s(t) = t
2
+ t.
1
2
---
2
3
---
x
2
---
73
135
----------
3
3/2
2
3/2
–1–
3
-------------------------------------- -
45
4
------
46
15
------
π 2–
4
-------------
1
8
---
3
3
-------
2
2
2
-------
2 2
4
3
---
4
3
---
2 2
max
x Ý [0; π/2]
π
2
---
min
x Ý [0; π/2]
max
x Ý [–1; 3]
min
x Ý [–1; 3]
max
x Ý [0; 4]
16
3
------
min
x Ý [0; 4]
max
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2
---
3
8
---
min
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2
---
5
8
---
6
5
---
36
25
------
x
3
3
------
5x
2
2
----------
1
4
---
1
4
---
2t
3
3
-------- -
5
4
---
2
3
---
10
3
------
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 599
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением
свойств интегралов
1. (–×; –2) Ÿ ; 3. 2. (2; 3). 3. [4; +×). 4. A = – ; B = 2.
5. a = 1. 6. ; . 7. Через 6 с. 10. Да. 11. A = 7;
B = –6; C = 3. 12. ; ; ; . 13. ; 2. 14. –π; – ; 0.
§ 57. Вычисление площадей фигур
1. . 2. 9. 3. . 4. + ln2. 5. 31 – . 6. .
7. 12 – 5 ln 5. 8. – ln2. 9. . 10. 1. 11. 4 – . 12. 7ln3.
13. . 14. – . 15. ln 2. 16. . 17. ln 2. 18. .
19. 15 – 16 ln 2. 20. . 21. – . 22. 9 – 8 ln 2. 23. .
Вос-
пользуйтесь формулой (3). 24. πr
2
. Область интерирования
разбейте на две области, оординаты точи деления найдите
а решение системы
25. 1 – .
Воспользуйтесь тем, что max{x; y} = 1 — точи,
составляющие две смежные стороны единичноо вадрата,
вписанноо в уол первой оординатной четверти. 26. .
27. – 1. 28. 1. 29. πab.
Выразите y через x при y > 0 и x > 0,
для вычисления определенноо интерала 4 b dx =
1
2
---
2
π
---
2π
1–8π 1++
2
-------------------------------------
π
2
---
7π
6
------ -
3π
2
------ -
11π
6
----------
1
2
---
π
3
---
4
3
---
343
3
----------
1
3
---
1
4ln2
---------------
9
2
---
15
4
------
8
3
---
3
ln 2
----------
9
2
---
19
3
------
3
4ln2
---------------
19
24
------
1
2
---
8
3
---
53
15
------
π
2
---
1
3
---
8
9
---
3
8
---
x
2
+ y
2
= r
2
,
x – y = 0,
y l 0.
π
4
---
1
3
---
π
2
---
0
a
∫
1
x
2
a
2
------
–
600 Ответы, указания, решения
=dx воспользуйтесь тем, что dx есть
четверть площади руа с радиусом a. 30. π.
Выделите пол-
ный вадрат по переменной x.
31. .
Уравнение асательной ривой y = 2x
2
в точе
с абсциссой 2 имеет вид y – 8 = 8(x – 2), та а y(2) = 8,
y′(2) = 8. Точу пересечения асательной и оси абсцисс найдем
из уравнения 8x – 8 = 0 _ x = 1. Область интерирования
разобьем на два промежута: [0; 1] и [1; 2], причем промежут-
у [0; 1] соответствует площадь фиуры, залюченной между
линиями y = 2x
2
и y = 0 (осью абсцисс), а промежуту [1; 2] —
между линиями y = 2x
2
и y = 8x – 8. Таим образом,
S = 2x
2
dx + (2x
2
– 8x + 8) dx =
= + – 4x
2
+ 8x =
= + – 16 + 16 – + 4 – 8 = .
32. 9. 33. ln 2 – . 34. .
Разбейте фиуру на две риво-
линейные трапеции; абсциссой точи деления является абс-
цисса точи пересечения асательных. 35. .
36. Парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1:2.
Выберем систему оординат та, что-
бы вершина параболы совпала с точой (0; 0) и ось Oy являлась
осью симметрии. Тода уравнение параболы примет вид y =
= ax
2
. Обозначим длину стороны вадрата, середина основания
отороо совпадает с началом оординат, через l; тода точа
; l — правая верхняя вершина вадрата, лежащая на пара-
боле, т. е. l = a . Из этоо уравнения получаем a = . Пло-
4b
a
------
0
a
∫
a
2
x
2
–
0
a
∫
a
2
x
2
–
4
3
---
0
1
∫
1
2
∫
2x
3
3
----------
0
1
2x
3
3
----------
1
2
2
3
---
16
3
------
2
3
---
4
3
---
5
8
---
9
4
---
45
4
------
l
2
---
l
2
---
2
4
l
---
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 601
щадь вадрата S равна l
2
, а площадь, отсеаемая параболой,
определяется формулой
S
п
= 2 x
2
dx = · = .
Ита, парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1 : 2.
37. = , де S
п
— площадь, отсеаемая параболой
от полуруа.
Выберите систему оординат та, чтобы вер-
шина параболы совпала с началом оординат, а ось Oy была
осью симметрии параболы. Тода уравнение параболы примет
вид y = ax
2
, а уравнение оружности — вид (y – R)
2
+ x
2
= R
2
.
Связь между a и R установите из условий задачи (см. решение
упр. 36). 38. .
Параметр a в уравнении параболы найдите из
условия = tg (π – arctg 20). 39. a = 8; a = (6 – ).
Рассмотрите два случая: a > 2 и a < 2. Во втором случае учти-
те, что при переходе через точу x = 1 зна разности –
меняется. 40. a = 1 – . 41. S = b при a = ; зада-
ча имеет решение при b Ý 0; .
Чтобы выразить a а
фунцию от b, разрешите относительно a уравнение, правая
часть отороо равна b, а левая представляет собой площадь
уазанной в условии фиуры. Значение b, при отором за-
дача имеет решение, найдите из условия a(b) > 0, де a(b)—
исомая фунция. 42. a = – ; a = .
Учтите, что исомое
значение a может быть а больше, та и меньше ; во вто-
ром случае площадь вычисляется по формуле S = |sin 2x|dx.
0
l/2
∫
4
l
---
8
l
---
x
3
3
------
0
l/2
l
2
3
----
S
п
S
------
3π 8–
3π
-----------------
2
3
---
f
′
(–5)
2
5
---
21
1
x
---
1
2x 1–
-----------------
9
4
---
1
4
3
--------
8
3b
------
1–
8
3
---
π
6
---
π
3
---
π
6
---
a
π/6
∫
600 Ответы, указания, решения
=dx воспользуйтесь тем, что dx есть
четверть площади руа с радиусом a. 30. π.
Выделите пол-
ный вадрат по переменной x.
31. .
Уравнение асательной ривой y = 2x
2
в точе
с абсциссой 2 имеет вид y – 8 = 8(x – 2), та а y(2) = 8,
y′(2) = 8. Точу пересечения асательной и оси абсцисс найдем
из уравнения 8x – 8 = 0 _ x = 1. Область интерирования
разобьем на два промежута: [0; 1] и [1; 2], причем промежут-
у [0; 1] соответствует площадь фиуры, залюченной между
линиями y = 2x
2
и y = 0 (осью абсцисс), а промежуту [1; 2] —
между линиями y = 2x
2
и y = 8x – 8. Таим образом,
S = 2x
2
dx + (2x
2
– 8x + 8) dx =
= + – 4x
2
+ 8x =
= + – 16 + 16 – + 4 – 8 = .
32. 9. 33. ln 2 – . 34. .
Разбейте фиуру на две риво-
линейные трапеции; абсциссой точи деления является абс-
цисса точи пересечения асательных. 35. .
36. Парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1:2.
Выберем систему оординат та, что-
бы вершина параболы совпала с точой (0; 0) и ось Oy являлась
осью симметрии. Тода уравнение параболы примет вид y =
= ax
2
. Обозначим длину стороны вадрата, середина основания
отороо совпадает с началом оординат, через l; тода точа
; l — правая верхняя вершина вадрата, лежащая на пара-
боле, т. е. l = a . Из этоо уравнения получаем a = . Пло-
4b
a
------
0
a
∫
a
2
x
2
–
0
a
∫
a
2
x
2
–
4
3
---
0
1
∫
1
2
∫
2x
3
3
----------
0
1
2x
3
3
----------
1
2
2
3
---
16
3
------
2
3
---
4
3
---
5
8
---
9
4
---
45
4
------
l
2
---
l
2
---
2
4
l
---
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 601
щадь вадрата S равна l
2
, а площадь, отсеаемая параболой,
определяется формулой
S
п
= 2 x
2
dx = · = .
Ита, парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1 : 2.
37. = , де S
п
— площадь, отсеаемая параболой
от полуруа.
Выберите систему оординат та, чтобы вер-
шина параболы совпала с началом оординат, а ось Oy была
осью симметрии параболы. Тода уравнение параболы примет
вид y = ax
2
, а уравнение оружности — вид (y – R)
2
+ x
2
= R
2
.
Связь между a и R установите из условий задачи (см. решение
упр. 36). 38. .
Параметр a в уравнении параболы найдите из
условия = tg (π – arctg 20). 39. a = 8; a = (6 – ).
Рассмотрите два случая: a > 2 и a < 2. Во втором случае учти-
те, что при переходе через точу x = 1 зна разности –
меняется. 40. a = 1 – . 41. S = b при a = ; зада-
ча имеет решение при b Ý 0; .
Чтобы выразить a а
фунцию от b, разрешите относительно a уравнение, правая
часть отороо равна b, а левая представляет собой площадь
уазанной в условии фиуры. Значение b, при отором за-
дача имеет решение, найдите из условия a(b) > 0, де a(b)—
исомая фунция. 42. a = – ; a = .
Учтите, что исомое
значение a может быть а больше, та и меньше ; во вто-
ром случае площадь вычисляется по формуле S = |sin 2x|dx.
0
l/2
∫
4
l
---
8
l
---
x
3
3
------
0
l/2
l
2
3
----
S
п
S
------
3π 8–
3π
-----------------
2
3
---
f
′
(–5)
2
5
---
21
1
x
---
1
2x 1–
-----------------
9
4
---
1
4
3
--------
8
3b
------
1–
8
3
---
π
6
---
π
3
---
π
6
---
a
π/6
∫
602 Ответы, указания, решения
43. b = – 1; a Ý 0; . См. уазание упр. 37. 44. y =
= x – arcsin 1 –
+ .
Исполь-
зуйте формулу
= |cos x|.
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших)
площадей фигур
1. a = . 2. a = . 3. a = 1. 4. S(–1) = , S(k)=
= S(2) = .
Пределы интерирования найдите а орни x
1
(k)
и x
2
(k) уравнения x
2
+ 2x – 3 = kx + 1. Учтите, что на проме-
жуте [x
1
(k); x
2
(k)] вседа выполнено неравенство y
2
(x) m y
1
(x).
5. S(x
0
) = S = . 6. ; . Воспользуй-
тесь тем, что S = h , де h = 1, a = (1), b = (2),
(x) — уравнение асательной ривой y = x
2
+ 1 в точе
с абсциссой x
0
Ý [1; 2], 7. a = –1. Воспользуйтесь тем, что
между двумя последовательными эстремумами фунция f(x) =
= x
3
+ 3x
2
+ x + a монотонна. Дальнейшее решение задачи мо-
жет быть основано на следующем утверждении
.
Площадь фиуры, ораниченной прямыми x = c, x = b, b > c,
рафиом дифференцируемой монотонной фунции f(x) и пря-
мой y = f(a), де a Ý [c; d], достиает наименьшео значения
тода, ода y = f .
Для простоты доажем это утверждение в случае, ода c = 0,
b = 1 и f(b) = 1. При фисированном значении a площадь выра-
жается в виде следующей фунции:
S(a) = [f(a) – f(x)] dx + [f(x) – f(a)] dx =
= [f(a)x – F(x)] + F(x) – f(a)x =
= f(a)a – F(a) + F(0) + F(1) – F(a) – f(a) + f(a)a,(*)
16
9a
2
--------- -
4
3
---
2
4
-------
4
24 2–()
------------------------------
2
4
-------
82 2–
1cos2x+ 2
3
4
---
3
4
125
6
----------
min
k Ý R
32
3
------
min
x
0
Ý [1/2; 1]
4
5
---
5
4
---
3
48
25
------
3
2
---
13
4
------
ab+
2
-------------
f
x
0
f
x
0
f
x
0
bc+
2
------------ -
0
a
∫
a
1
∫
0
a
a
1
a
1
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 603
де F(x) — неоторая первообразная для f(x). Приведя в равен-
стве (*) подобные члены, имеем
S(a) = f(a)(2a – 1) – 2F(a) + F(0) + F(1).
Дифференцируя S(a) по a и учитывая, что = f(a), получа-
ем уравнение для нахождения ритичесих точе:
= (2a – 1) + 2f(a) – 2f(a) = 0. (**)
Та а по условию f(a) монотонна, то − 0 на промежуте
[0; 1], и, следовательно, уравнение (**) имеет единственный о-
рень a = . Если a > , то > 0 и S(a) возрастает, а если
a < , то < 0 и S(a) убывает. Ита, при a = фунция
S(a) достиает минимальноо значения.
8. При a = 1 площадь принимает наибольшее, а при a =
= — наименьшее значение.
Используйте утверждение в уа-
зании упр. 7. 9. a = .
Используйте утверждение в уаза-
нии упр. 7. 10. При a = площадь имеет наименьшее, а при
a = 0 — наибольшее значение.
См. утверждение в уазании
упр. 7. 11. a = 0.
См. утверждение в уазании упр. 7.
§ 59. Вычисление объемов тел
1. 2π. 2. .
Рассмотрите разность объемов тел, получен-
ных при вращении ривых y = и y = x
2
. 3. +
+ + 2(b – a). 4. .
Перейдите фунциям x
1
(y) =
= 1 + , x
2
(y) = 1 – и рассмотрите объем исомоо
тела а разность объемов двух тел, полученных вращением
F
′
(a)
S
′
(a) f
′
(a)
f
′
(a)
1
2
---
1
2
---
S
′
(a)
1
2
---
S
′
(a)
1
2
---
1
2
---
2
3
---
1
2
---
3π
10
------ -
x
π
4
---
e
2b
e
2a
–
2
-----------------------
e
2a–
e
2b–
–
2
-----------------------------
8π
3
------ -
1 y– 1 y–
602 Ответы, указания, решения
43. b = – 1; a Ý 0; . См. уазание упр. 37. 44. y =
= x – arcsin 1 –
+ .
Исполь-
зуйте формулу
= |cos x|.
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших)
площадей фигур
1. a = . 2. a = . 3. a = 1. 4. S(–1) = , S(k)=
= S(2) = .
Пределы интерирования найдите а орни x
1
(k)
и x
2
(k) уравнения x
2
+ 2x – 3 = kx + 1. Учтите, что на проме-
жуте [x
1
(k); x
2
(k)] вседа выполнено неравенство y
2
(x) m y
1
(x).
5. S(x
0
) = S = . 6. ; . Воспользуй-
тесь тем, что S = h , де h = 1, a = (1), b = (2),
(x) — уравнение асательной ривой y = x
2
+ 1 в точе
с абсциссой x
0
Ý [1; 2], 7. a = –1. Воспользуйтесь тем, что
между двумя последовательными эстремумами фунция f(x) =
= x
3
+ 3x
2
+ x + a монотонна. Дальнейшее решение задачи мо-
жет быть основано на следующем утверждении
.
Площадь фиуры, ораниченной прямыми x = c, x = b, b > c,
рафиом дифференцируемой монотонной фунции f(x) и пря-
мой y = f(a), де a Ý [c; d], достиает наименьшео значения
тода, ода y = f .
Для простоты доажем это утверждение в случае, ода c = 0,
b = 1 и f(b) = 1. При фисированном значении a площадь выра-
жается в виде следующей фунции:
S(a) = [f(a) – f(x)] dx + [f(x) – f(a)] dx =
= [f(a)x – F(x)] + F(x) – f(a)x =
= f(a)a – F(a) + F(0) + F(1) – F(a) – f(a) + f(a)a,(*)
16
9a
2
--------- -
4
3
---
2
4
-------
4
24 2–()
------------------------------
2
4
-------
82 2–
1cos2x+ 2
3
4
---
3
4
125
6
----------
min
k Ý R
32
3
------
min
x
0
Ý [1/2; 1]
4
5
---
5
4
---
3
48
25
------
3
2
---
13
4
------
ab+
2
-------------
f
x
0
f
x
0
f
x
0
bc+
2
------------ -
0
a
∫
a
1
∫
0
a
a
1
a
1
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл 603
де F(x) — неоторая первообразная для f(x). Приведя в равен-
стве (*) подобные члены, имеем
S(a) = f(a)(2a – 1) – 2F(a) + F(0) + F(1).
Дифференцируя S(a) по a и учитывая, что = f(a), получа-
ем уравнение для нахождения ритичесих точе:
= (2a – 1) + 2f(a) – 2f(a) = 0. (**)
Та а по условию f(a) монотонна, то − 0 на промежуте
[0; 1], и, следовательно, уравнение (**) имеет единственный о-
рень a = . Если a > , то > 0 и S(a) возрастает, а если
a < , то < 0 и S(a) убывает. Ита, при a = фунция
S(a) достиает минимальноо значения.
8. При a = 1 площадь принимает наибольшее, а при a =
= — наименьшее значение.
Используйте утверждение в уа-
зании упр. 7. 9. a = .
Используйте утверждение в уаза-
нии упр. 7. 10. При a = площадь имеет наименьшее, а при
a = 0 — наибольшее значение.
См. утверждение в уазании
упр. 7. 11. a = 0.
См. утверждение в уазании упр. 7.
§ 59. Вычисление объемов тел
1. 2π. 2. .
Рассмотрите разность объемов тел, получен-
ных при вращении ривых y = и y = x
2
. 3. +
+ + 2(b – a). 4. .
Перейдите фунциям x
1
(y) =
= 1 + , x
2
(y) = 1 – и рассмотрите объем исомоо
тела а разность объемов двух тел, полученных вращением
F
′
(a)
S
′
(a) f
′
(a)
f
′
(a)
1
2
---
1
2
---
S
′
(a)
1
2
---
S
′
(a)
1
2
---
1
2
---
2
3
---
1
2
---
3π
10
------ -
x
π
4
---
e
2b
e
2a
–
2
-----------------------
e
2a–
e
2b–
–
2
-----------------------------
8π
3
------ -
1 y– 1 y–
604 Ответы, указания, решения
вору оси Oy фиур, ораниченных ривыми x
1
(y) и x
2
(y).
5. .
Исомый объем равен объему тела, образованноо вра-
щением вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной
линиями y = sin x, y = 0, x = 0, x = . 6. .
См. уазание
упр. 5.
§ 60. Приложения определенного интеграла
к задачам физики
1. a = 18. 2. 288 м.
Воспользуйтесь тем, что в моменты
начала движения и останови сорость тела равна нулю.
3. 216 м. 4. s(t) = 5. Дж.
Исполь-
зуйте формулу F(x) = kx
2
, де k определите из условия задачи.
6. 33,75 Дж.
Используйте формулу F(x) = kx, де k определи-
те из условия задачи.
Г л а в а 11. Задачи
на составление уравнений
§ 61. Задачи на движение
1. 32,5 м/ч. 2. В раза. 3. 60 м/ч. 4. 8м/с. 5. 3 × 4м.
6. 12м/ч и 10,5м/ч. 7. 6ч и 2ч. 8. (3 – )м/ч и
( – 1) м/ч. 9. 30 м/ч. 10. 20 м/ч и 60 м/ч.
11. 56 м. 12. 1 м/ч. 13. м/ч. 14. В 14 ч.
15. 60 м/ч. 16. 48 м/ч. 17. 50 м и 150 м.
Введите неиз-
вестные ω
1
= и ω
2
= , де v
1
и v
2
— сорость мотоцилис-
та и велосипедиста соответственно. 18. 100 м/ч. 19. 100 м/ч.
20. 9 + м/ч. 21. Сорости пароходов — 15 м/ч, сорость
π
2
4
----- -
π
2
---
3π
2
------ -
t
2
,если 0 m t < 3,
6t + 9, если t l 3.
14
15
------
17
3
------
s
4t
------
5
s
4t
------
5
3sv–9s
2
2sv v
2
+++
2
--------------------------------------------------------------------
1
v
1
----- -
1
v
2
----- -
11
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений 605
течения — 3 м/ч. 22. 6 м/ч и 21 м/ч; 45 м. 23. 63 м/ч.
24. 20 м/ч и 80 м/ч. 25. Сорости пешехода, велосипедиста
и верховоо — 6 м/ч, 9 м/ч, 12 м/ч соответственно; рас-
стояние — 42 м. 26. 30 м/ч и 20 м/ч; 30 м. 27. 480 м.
28. 2 мин. 29. 15 м. 30. 3 м/ч и 45 м/ч. 31. 3м/ч и 45м/ч.
32. 6 м/ч. 33. . 34. 50 м/ч.
Учтите, что сорость
встречноо поезда относительно наблюдателя, находяще-
ося в одном из них, равна сумме соростей поездов отно-
сительно неподвижноо наблюдателя. 35. 108 м/ч. 36. 28 м;
20 м/ч. 37. 11 ч 55 мин. 38. 7 м/ч. 39. Пассажирсий —
21 ч, товарный — 28 ч. 40. 15 ч и 12 ч. 41. За 6 ч и 4 ч. 42. Со-
рость первоо автомобиля в раза больше, чем сорость вто-
роо. 43. 16 ч. 44. В 4 раза. 45. ч и ч. 46. Через 4 ч.
47. 1:2 и 1:3. 48. Не успеют. 49. Длина оружности передне-
о олеса — 2 м, заднео — 3 м. 50. 90 м/ч, 75 м/ч, 60 м/ч.
51. 117 м; 24 м/ч и 22,5 м/ч. 52. За ч и ч.
53. 4 m v m (м/ч). 54. Со соростью, большей чем
м/ч. 55. Хватит. 56. 2 m v < 6(м/ч).
57. 5 < v < 10 (м/ч). 58. Деревня от шоссе дальше, чем шо-
ла от реи. 59. 4с и 6с. 60. и . 61. 4 и 6. 62. ×
× ä 1 м/с. 63. · s (м). 64. 1часа
ночи.
Воспользуйтесь тем, что = 12, де ω
м
и ω
ч
— уло-
вая сорость движения минутной и часовой стрели соответ-
ственно. 65. На 0,5 мин. 66. d 11м. 67. 9м/ч. 68. За 3 мин.
69. За 15 мин. 70. 21 м. 71. Через 7 с после начала падения
первоо тела. 72. Через 16 с. 73. На 60°. 74. Через 10 с.
75. v
0
= 20 м/с. 76. Через 5 с; за 0,5 м до линии поля. 77. 20 м.
78. 20 м/ч. 79. Второй автомобиль остановился раньше;
3
3uv+
-----------------
9
8
---
20
3
------
10
3
------
13t
4
---------
11t
5
---------
861+
3
---------------------
svt svt–()
2
4tvl+++
2t
--------------------------------------------------------------------- -
1
80
------
1
90
------
πR
T
------- -
1
4T
t
------- -
+
a– a
2
240at++
120t
--------------------------------------------------
1
11
------
ω
м
ω
ч
-------
604 Ответы, указания, решения
вору оси Oy фиур, ораниченных ривыми x
1
(y) и x
2
(y).
5. .
Исомый объем равен объему тела, образованноо вра-
щением вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной
линиями y = sin x, y = 0, x = 0, x = . 6. .
См. уазание
упр. 5.
§ 60. Приложения определенного интеграла
к задачам физики
1. a = 18. 2. 288 м.
Воспользуйтесь тем, что в моменты
начала движения и останови сорость тела равна нулю.
3. 216 м. 4. s(t) = 5. Дж.
Исполь-
зуйте формулу F(x) = kx
2
, де k определите из условия задачи.
6. 33,75 Дж.
Используйте формулу F(x) = kx, де k определи-
те из условия задачи.
Г л а в а 11. Задачи
на составление уравнений
§ 61. Задачи на движение
1. 32,5 м/ч. 2. В раза. 3. 60 м/ч. 4. 8м/с. 5. 3 × 4м.
6. 12м/ч и 10,5м/ч. 7. 6ч и 2ч. 8. (3 – )м/ч и
( – 1) м/ч. 9. 30 м/ч. 10. 20 м/ч и 60 м/ч.
11. 56 м. 12. 1 м/ч. 13. м/ч. 14. В 14 ч.
15. 60 м/ч. 16. 48 м/ч. 17. 50 м и 150 м.
Введите неиз-
вестные ω
1
= и ω
2
= , де v
1
и v
2
— сорость мотоцилис-
та и велосипедиста соответственно. 18. 100 м/ч. 19. 100 м/ч.
20. 9 + м/ч. 21. Сорости пароходов — 15 м/ч, сорость
π
2
4
----- -
π
2
---
3π
2
------ -
t
2
,если 0 m t < 3,
6t + 9, если t l 3.
14
15
------
17
3
------
s
4t
------
5
s
4t
------
5
3sv–9s
2
2sv v
2
+++
2
--------------------------------------------------------------------
1
v
1
----- -
1
v
2
----- -
11
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений 605
течения — 3 м/ч. 22. 6 м/ч и 21 м/ч; 45 м. 23. 63 м/ч.
24. 20 м/ч и 80 м/ч. 25. Сорости пешехода, велосипедиста
и верховоо — 6 м/ч, 9 м/ч, 12 м/ч соответственно; рас-
стояние — 42 м. 26. 30 м/ч и 20 м/ч; 30 м. 27. 480 м.
28. 2 мин. 29. 15 м. 30. 3 м/ч и 45 м/ч. 31. 3м/ч и 45м/ч.
32. 6 м/ч. 33. . 34. 50 м/ч.
Учтите, что сорость
встречноо поезда относительно наблюдателя, находяще-
ося в одном из них, равна сумме соростей поездов отно-
сительно неподвижноо наблюдателя. 35. 108 м/ч. 36. 28 м;
20 м/ч. 37. 11 ч 55 мин. 38. 7 м/ч. 39. Пассажирсий —
21 ч, товарный — 28 ч. 40. 15 ч и 12 ч. 41. За 6 ч и 4 ч. 42. Со-
рость первоо автомобиля в раза больше, чем сорость вто-
роо. 43. 16 ч. 44. В 4 раза. 45. ч и ч. 46. Через 4 ч.
47. 1:2 и 1:3. 48. Не успеют. 49. Длина оружности передне-
о олеса — 2 м, заднео — 3 м. 50. 90 м/ч, 75 м/ч, 60 м/ч.
51. 117 м; 24 м/ч и 22,5 м/ч. 52. За ч и ч.
53. 4 m v m (м/ч). 54. Со соростью, большей чем
м/ч. 55. Хватит. 56. 2 m v < 6(м/ч).
57. 5 < v < 10 (м/ч). 58. Деревня от шоссе дальше, чем шо-
ла от реи. 59. 4с и 6с. 60. и . 61. 4 и 6. 62. ×
× ä 1 м/с. 63. · s (м). 64. 1часа
ночи.
Воспользуйтесь тем, что = 12, де ω
м
и ω
ч
— уло-
вая сорость движения минутной и часовой стрели соответ-
ственно. 65. На 0,5 мин. 66. d 11м. 67. 9м/ч. 68. За 3 мин.
69. За 15 мин. 70. 21 м. 71. Через 7 с после начала падения
первоо тела. 72. Через 16 с. 73. На 60°. 74. Через 10 с.
75. v
0
= 20 м/с. 76. Через 5 с; за 0,5 м до линии поля. 77. 20 м.
78. 20 м/ч. 79. Второй автомобиль остановился раньше;
3
3uv+
-----------------
9
8
---
20
3
------
10
3
------
13t
4
---------
11t
5
---------
861+
3
---------------------
svt svt–()
2
4tvl+++
2t
--------------------------------------------------------------------- -
1
80
------
1
90
------
πR
T
------- -
1
4T
t
------- -
+
a– a
2
240at++
120t
--------------------------------------------------
1
11
------
ω
м
ω
ч
-------