Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
Ответы, указания, решения
Глава 1. Преобразование
алгебраических выражений
§ 1. Упрощение иррациональных выражений
1. –2y. 2. 1. 3. 2ab. 4. . 5. 2( + ). 6. .
7. a(a + 1). 8. . 9. . 10. . 11. –. 12. 4p –
–. 13. x Ý [– ; – 1) Ÿ (1; ] ^ – , x Ý (–1; 1) ^
^ . 14. 1. 15. 1. 16. –.
§ 2. Преобразование выражений,
содержащих знак модуля
1. y Ý (–×; 1] ^ –(y
2
+ y + ); y Ý [1; +×) ^ .
2. x Ý (–×; 0) Ÿ (3; +×) ^ ; x Ý (0; 3) ^ – . 3. x Ý
Ý –×; – Ÿ –; 0 Ÿ (0; 3) ^ ; x Ý (3; +×) ^ .
4. y Ý (–×; –5) ^ – ; y Ý (–5; 0) Ÿ 0; Ÿ ; +×^
^ . 5. x Ý (0; 1) ^ ; x Ý (1; +×) ^ .
6. z Ý (–×; 0) ^ ; z Ý [0; 1) Ÿ (1; +×) ^ . 7. x Ý
Ý (–×; 1) Ÿ (1; 3) ^ –(x
2
+ x + 1); x Ý (3; +×) ^ x
2
+ x + 1.
8. 1. 9. . 10. –. 11. .
4
xy+
----------------------
a b
1
a
1 m/
a
1 n/
–
------------------------------
1
ab
------
t 1+
t
------------ -
6x 20x
3
4p
2
1– 2 2 2
6
2
6
1
b 2+
-----------------
2
3
4
3
y
3
y 2
3
–
------------------
1
x 2+
------------- -
1
x 2+
------------- -
3
2
---
3
2
---
3
x 2x 3+()
-------------------------- -
1
x
---
1
y
---
5
3
---
5
3
---
y 5+
y 3y 5–()
--------------------------
1
xx
2
–
----------------
1
x
2
x–
----------------
z
2
z–
z
2
1+
----------------
z
z 1–
------------ -
1 x
2
– ab+()
3
ab–()
3
1
x
2
1–
4
---------------------
Ответы, указания, решения
Глава 1. Преобразование
алгебраических выражений
§ 1. Упрощение иррациональных выражений
1. –2y. 2. 1. 3. 2ab. 4. . 5. 2( + ). 6. .
7. a(a + 1). 8. . 9. . 10. . 11. –. 12. 4p –
–. 13. x Ý [– ; – 1) Ÿ (1; ] ^ – , x Ý (–1; 1) ^
^ . 14. 1. 15. 1. 16. –.
§ 2. Преобразование выражений,
содержащих знак модуля
1. y Ý (–×; 1] ^ –(y
2
+ y + ); y Ý [1; +×) ^ .
2. x Ý (–×; 0) Ÿ (3; +×) ^ ; x Ý (0; 3) ^ – . 3. x Ý
Ý –×; – Ÿ –; 0 Ÿ (0; 3) ^ ; x Ý (3; +×) ^ .
4. y Ý (–×; –5) ^ – ; y Ý (–5; 0) Ÿ 0; Ÿ ; +×^
^ . 5. x Ý (0; 1) ^ ; x Ý (1; +×) ^ .
6. z Ý (–×; 0) ^ ; z Ý [0; 1) Ÿ (1; +×) ^ . 7. x Ý
Ý (–×; 1) Ÿ (1; 3) ^ –(x
2
+ x + 1); x Ý (3; +×) ^ x
2
+ x + 1.
8. 1. 9. . 10. –. 11. .
4
xy+
----------------------
a b
1
a
1 m/
a
1 n/
–
------------------------------
1
ab
------
t 1+
t
------------ -
6x 20x
3
4p
2
1– 2 2 2
6
2
6
1
b 2+
-----------------
2
3
4
3
y
3
y 2
3
–
------------------
1
x 2+
------------- -
1
x 2+
------------- -
3
2
---
3
2
---
3
x 2x 3+()
-------------------------- -
1
x
---
1
y
---
5
3
---
5
3
---
y 5+
y 3y 5–()
--------------------------
1
xx
2
–
----------------
1
x
2
x–
----------------
z
2
z–
z
2
1+
----------------
z
z 1–
------------ -
1 x
2
– ab+()
3
ab–()
3
1
x
2
1–
4
---------------------
548 Ответы, указания, решения
12. x Ý [0; 9) ^ 3 – 2 ; x Ý (9; +×) ^ –3. 13. x Ý (–×; 0) ^ –;
x Ý (0; +×) ^ . 14. x Ý [11; +×) ^ 2 ; x Ý [2; 11) ^ 6.
15. x Ý [1; 2) ^ 2 ; x Ý [2; +×) ^ 2. 16. x Ý (–×; 0) ^ 6;
x Ý [0; 6) ^ 6 – 2x; x Ý [6; +×) ^ –6. 17. x Ý [2; 4) ^ ;
x Ý (4; +×) ^ . 18. . 19. . 20. a Ý (0; 1) ^ ;
a Ý (1; +×) ^ . 21. . 22. 0. 23. 0,64. 24. .
25. 1. 26. 1. 27. 2. 28. 1. 29. 2.
§ 3. Доказательство тождеств
14.
Приведите выражение, записанное в левой части тож-
дества, общему знаменателю и рассмотрите числитель дроби
а мноочлен второй степени относительно a. 16.
См. уаза-
ние упр. 14.
§ 4. Условные тождества
7.
Найдите единственное решение системы. 9. Разделите
аждое из заданных в условии тождеств на ео правую часть.
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
1. 1. 2. ab(a – b)
2
. 3. a
2
+ a + 1. 4. . Используя формулу
(4), запишите все лоарифмы по неоторому общему основа-
нию. 5. (log
2
x + 1)
3
. 6. . 7. 6. 8. 3. 9. a(b + 3). 10. .
11. abc + 1. 12. log
8
a = . 13. . Пе-
рейдите лоарифмам по основанию x. 18.
Перейдите в левой
части выражения лоарифмам по основанию N. 19.
При уп-
рощении учтите, что орень четной степени понимается в ариф-
метичесом смысле. 20.
См. уазание упр. 18. 21. См.
x
1
2
---
1
2
---
x 2–
x 1–
22
4 x–
-------------
2 x 2–
x 4–
---------------------
2
3
3
-------
1 a–
a
-------------
a 1–
a
-------------
ab+
ab–
-------------
qp+
qp–
-------------
n
2
m
2
------- -
3mn–
1
3
---
1
log
a
b 1–
------------------------- -
ab+
1 b–
-------------
1
1log
8
c–
-------------------------
1
α
1–
β
1–
γ
1–
δ
1–
+++
---------------------------------------------------------
Г л а в а 2. Уравнения 549
уазание упр. 18. 22. Сравните левую и правую части нера-
венства с единицей. 23.
См. уазание упр. 22. 25. См. ре-
шение примера 6 на с. 27.
Глава 2. Уравнения
§ 6. Нахождение корней многочленов
1. –4; 2. 2. –2; 1. 3. ¾.
Введите обозначение z = x
2
– 5x + 6.
4. ; .
Положите z = x
2
+ 5x. 5. –; 0; .
Положите z = 2x
2
+ 3x. 6. ä3; ä2. 7. ä . 8. (+1);
(– + 1). 9. ¾.
Разделите обе части уравнения на x
4
.
10. 0; 5. 11. –; ; . 12. –1. 13. –; 1. 14. –; –; 3.
15. 1; a ä . 16. –5; 2; 3; 4. 17. .
18. –1; 12. 19. . 20. –3; 4. 21. –3; 2. 22. –5 ä ;
–5 ä . 23. –1; 0.
Введите обозначение y = x
2
+ x.
24. . 25. –2; ä1; . 26. –; –; 1. 27. –2; ; .
28. ; . 29. 2. 30.–2; 1.
31. –1; 5. 32. ¾. 33. ¾. 34. 0; ä ; 3. 35. ; .
36. –1; 3; ä .
§ 7. Рациональные уравнения
1. . 2. –3; 5. 3. 2. 4. 5. 5. –. 6. ; 5. 7. a + b; 0; ;
.
Введите вспомоательное неизвестное z = – x.
5 ä 85–
2
-------------------------
5 ä 5–
2
--------------------- -
3
2
---
3 ä 65–
4
-------------------------
5
2
---
4
1
2
---
2
3
1
2
---
5
3
1
2
---
3
4
---
1 ä 5–
2
---------------------
5
2
---
2
3
---
1
2
---
a
2a ä 26a
2
ä 225a
4
4b
4
+
2
------------------------------------------------------------------------------
5 ä 21–
6
------------------------ -
89
3
5 ä 21–
2
------------------------ -
1
2
---
5
3
---
3
5
---
2
3
---
3
2
---
4–6ä 18 8 6–+
2
-----------------------------------------------------------
4–6– ä 18 8 6+
2
------------------------------------------------------- -
3
1 ä 21–
2
------------------------ -
3 ä 17–
2
------------------------ -
3
1
2
---
1
3
---
1
4
---
2ab
ab+
-------------
a
2
b
2
+
ab+
-------------------
ab+
2
-------------
548 Ответы, указания, решения
12. x Ý [0; 9) ^ 3 – 2 ; x Ý (9; +×) ^ –3. 13. x Ý (–×; 0) ^ –;
x Ý (0; +×) ^ . 14. x Ý [11; +×) ^ 2 ; x Ý [2; 11) ^ 6.
15. x Ý [1; 2) ^ 2 ; x Ý [2; +×) ^ 2. 16. x Ý (–×; 0) ^ 6;
x Ý [0; 6) ^ 6 – 2x; x Ý [6; +×) ^ –6. 17. x Ý [2; 4) ^ ;
x Ý (4; +×) ^ . 18. . 19. . 20. a Ý (0; 1) ^ ;
a Ý (1; +×) ^ . 21. . 22. 0. 23. 0,64. 24. .
25. 1. 26. 1. 27. 2. 28. 1. 29. 2.
§ 3. Доказательство тождеств
14.
Приведите выражение, записанное в левой части тож-
дества, общему знаменателю и рассмотрите числитель дроби
а мноочлен второй степени относительно a. 16.
См. уаза-
ние упр. 14.
§ 4. Условные тождества
7.
Найдите единственное решение системы. 9. Разделите
аждое из заданных в условии тождеств на ео правую часть.
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
1. 1. 2. ab(a – b)
2
. 3. a
2
+ a + 1. 4. . Используя формулу
(4), запишите все лоарифмы по неоторому общему основа-
нию. 5. (log
2
x + 1)
3
. 6. . 7. 6. 8. 3. 9. a(b + 3). 10. .
11. abc + 1. 12. log
8
a = . 13. . Пе-
рейдите лоарифмам по основанию x. 18.
Перейдите в левой
части выражения лоарифмам по основанию N. 19.
При уп-
рощении учтите, что орень четной степени понимается в ариф-
метичесом смысле. 20.
См. уазание упр. 18. 21. См.
x
1
2
---
1
2
---
x 2–
x 1–
22
4 x–
-------------
2 x 2–
x 4–
---------------------
2
3
3
-------
1 a–
a
-------------
a 1–
a
-------------
ab+
ab–
-------------
qp+
qp–
-------------
n
2
m
2
------- -
3mn–
1
3
---
1
log
a
b 1–
------------------------- -
ab+
1 b–
-------------
1
1log
8
c–
-------------------------
1
α
1–
β
1–
γ
1–
δ
1–
+++
---------------------------------------------------------
Г л а в а 2. Уравнения 549
уазание упр. 18. 22. Сравните левую и правую части нера-
венства с единицей. 23.
См. уазание упр. 22. 25. См. ре-
шение примера 6 на с. 27.
Глава 2. Уравнения
§ 6. Нахождение корней многочленов
1. –4; 2. 2. –2; 1. 3. ¾.
Введите обозначение z = x
2
– 5x + 6.
4. ; .
Положите z = x
2
+ 5x. 5. –; 0; .
Положите z = 2x
2
+ 3x. 6. ä3; ä2. 7. ä . 8. (+1);
(– + 1). 9. ¾.
Разделите обе части уравнения на x
4
.
10. 0; 5. 11. –; ; . 12. –1. 13. –; 1. 14. –; –; 3.
15. 1; a ä . 16. –5; 2; 3; 4. 17. .
18. –1; 12. 19. . 20. –3; 4. 21. –3; 2. 22. –5 ä ;
–5 ä . 23. –1; 0.
Введите обозначение y = x
2
+ x.
24. . 25. –2; ä1; . 26. –; –; 1. 27. –2; ; .
28. ; . 29. 2. 30.–2; 1.
31. –1; 5. 32. ¾. 33. ¾. 34. 0; ä ; 3. 35. ; .
36. –1; 3; ä .
§ 7. Рациональные уравнения
1. . 2. –3; 5. 3. 2. 4. 5. 5. –. 6. ; 5. 7. a + b; 0; ;
.
Введите вспомоательное неизвестное z = – x.
5 ä 85–
2
-------------------------
5 ä 5–
2
--------------------- -
3
2
---
3 ä 65–
4
-------------------------
5
2
---
4
1
2
---
2
3
1
2
---
5
3
1
2
---
3
4
---
1 ä 5–
2
---------------------
5
2
---
2
3
---
1
2
---
a
2a ä 26a
2
ä 225a
4
4b
4
+
2
------------------------------------------------------------------------------
5 ä 21–
6
------------------------ -
89
3
5 ä 21–
2
------------------------ -
1
2
---
5
3
---
3
5
---
2
3
---
3
2
---
4–6ä 18 8 6–+
2
-----------------------------------------------------------
4–6– ä 18 8 6+
2
------------------------------------------------------- -
3
1 ä 21–
2
------------------------ -
3 ä 17–
2
------------------------ -
3
1
2
---
1
3
---
1
4
---
2ab
ab+
-------------
a
2
b
2
+
ab+
-------------------
ab+
2
-------------
550 Ответы, указания, решения
8. 1. 9. 1; 3. 10. 0. 11. 3 ä . 12. –2; 0; . 13. 2; .
14. –2; 0. 15. ; 3. 16. ; 3. 17. 5; 0,5. 18. ; 2. 19. .
20. –; 2; .
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком модуля
1. –1. 2. . 3. [1; 2]. 4. –4; –2; 0; 2; 4. 5. 0. 6. 0; ä1.
7. (–×; 2] Ÿ [3; +×). 8. –8; 2. 9. 1; 2; 3.
§ 9. Иррациональные уравнения
1. 8. 2. 5. 3. 8. 4. –1; 3. 5. ¾. 6. . 7. 2. 8. ¾. 9. –1; 2.
10. 3. 11. ¾. 12. –5; 4. 13. . 14. ¾. 15. . 16. –61; 30.
17. 2. 18. 8; 8 ä 4 . 19. –6; –5; – . 20. –1. 21. –2.
22. 0. 23. 4; 3. 24. 0. 25. 9. 26. –;1. 27. ä4. 28. –1.
29. . 30. ä21.
Освободи-
тесь от иррациональности в знаменателе. 31. ; 5. 32. 3.
Воспользуйтесь тем, что · = .
33. –17; 23. 34. –7; 2. 35. –; 2. 36. ä7. 37. 5.
Положите
y =. 38. 1.
Используйте неравенство + a l 2,
справедливое при a > 0. 39. 1024. 40. 3; 5. 41. ä2. 42. –5; 2.
43. –2; 0. 44. .
Воспользуйтесь тем, что произведение сла-
20
2 ä 66–
2
------------------------ -
1
2
---
2
3
---
4
5
---
3
4
---
5 ä 21–
2
------------------------ -
1
6
---
19 ä 1333
54
-------------------------------
1
3
---
3
4
---
1
2
---
1
4
---
7 ä 153
16
------------------------
17
16
------
741+
2
---------------------
3
11
2
------
1
3
---
Bp– ä B
2
p
2
Ap
2
CC
1
–+()
2
4p
2
C–[]+
2Ap
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
7
---
x 2– 4 x– 6xx
2
–8–
1
511
----------
x 4+ x 4–+
2
-------------------------------------------
1
a
---
2
66
119
----------
Г л а в а 2. Уравнения 551
аемых левой части уравнения равно 66. 45. 0; ; .
46. 15. 47. –3; 6.
Положите y = x
2
– 3x + 7. 48. . 49. [–1; 0].
50. [0; 3]. 51. 2. 52. ä . 53. ¾. 54. 5. 55. [1; 2,5]; 13.
56. [5; 10]. 57. 4. 58. ä2. 59. 0. 60. ; 5. 61. –1. 62. –6; 1.
Введите вспомоательные неизвестные u = , v = .
63. ä1.
Вынесите за соби . 64. ¾. 65. 0. 66. 1. 67. 0;
. 68. ; . 69. 1. 70. 7; 26; 7. 71. –6; 1.
§ 10. Показательные уравнения
1. 4. 2. 2. 3. . 4. –3. 5. –. 6. –; 4. 7. log
3
2. 8. (2k + 1);
+ πk, k Ý Z. 9. –5; . 10. . 11. 81. 12. . 13. –; 3.
14. πn, n Ý Z. 15. –2 + . 16. ä ; ä1. 17. ä2.
18. log
3
(2 + ); log
3
. 19. 3; log
6
8. 20. 9; 81. 21. –; 1.
22. 0; ä1. 23. . 24. 0. 25. ä1. 26. 1; log
4
3. 27. ; .
28. 0. 29. ä2. 30. ä2. 31. log
3/4
. 32. 1. 33. 1; 3. 34. –.
35. 2; 4; 11. 36. ; 2; 4. 37. 1; a
1/π
. 38. ; 25. 39. 10; 10
–4
.
40. 100. 41. 10; 0,1. 42. 10; . 43. 2.
Разделите обе час-
ти уравнения на и воспользуйтесь свойством монотонности
поазательной фунции. 44. 3.
См. уазание упр. 43. 45. 1.
Сравните наибольшее значение фунции в левой части урав-
нения с наименьшим значением фунции в правой части.
46. 1.
Найдите y
1
и y
2
— орни вадратноо уравнения отно-
сительно переменной y = ; решите уравнения y
1
(x) = и
3
2
---
3 ä 73
4
-------------------- -
3
4
---
5
2
-------
1
2
---
x 2– x 7+
x 1+
63a
65
----------
23+()
n
1+
23+()
n
1–
-------------------------------------
23–()
n
1+
23–()
n
1–
------------------------------------
3
5
---
1
2
---
3
2
---
π
2
---
π
4
---
93
11
------
7
5
---
5
3
---
5
2
---
42log
3
5– 2
5
51–
2
-----------------
1
3
---
1
2
---
4
3
---
3log+
2
3
3
---------------------------
51–
2
-----------------
1
2
---
1
3
---
1
5
---
10
log
2
3
2
x
2
x
2
x
550 Ответы, указания, решения
8. 1. 9. 1; 3. 10. 0. 11. 3 ä . 12. –2; 0; . 13. 2; .
14. –2; 0. 15. ; 3. 16. ; 3. 17. 5; 0,5. 18. ; 2. 19. .
20. –; 2; .
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком модуля
1. –1. 2. . 3. [1; 2]. 4. –4; –2; 0; 2; 4. 5. 0. 6. 0; ä1.
7. (–×; 2] Ÿ [3; +×). 8. –8; 2. 9. 1; 2; 3.
§ 9. Иррациональные уравнения
1. 8. 2. 5. 3. 8. 4. –1; 3. 5. ¾. 6. . 7. 2. 8. ¾. 9. –1; 2.
10. 3. 11. ¾. 12. –5; 4. 13. . 14. ¾. 15. . 16. –61; 30.
17. 2. 18. 8; 8 ä 4 . 19. –6; –5; – . 20. –1. 21. –2.
22. 0. 23. 4; 3. 24. 0. 25. 9. 26. –;1. 27. ä4. 28. –1.
29. . 30. ä21.
Освободи-
тесь от иррациональности в знаменателе. 31. ; 5. 32. 3.
Воспользуйтесь тем, что · = .
33. –17; 23. 34. –7; 2. 35. –; 2. 36. ä7. 37. 5.
Положите
y =. 38. 1.
Используйте неравенство + a l 2,
справедливое при a > 0. 39. 1024. 40. 3; 5. 41. ä2. 42. –5; 2.
43. –2; 0. 44. .
Воспользуйтесь тем, что произведение сла-
20
2 ä 66–
2
------------------------ -
1
2
---
2
3
---
4
5
---
3
4
---
5 ä 21–
2
------------------------ -
1
6
---
19 ä 1333
54
-------------------------------
1
3
---
3
4
---
1
2
---
1
4
---
7 ä 153
16
------------------------
17
16
------
741+
2
---------------------
3
11
2
------
1
3
---
Bp– ä B
2
p
2
Ap
2
CC
1
–+()
2
4p
2
C–[]+
2Ap
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
7
---
x 2– 4 x– 6xx
2
–8–
1
511
----------
x 4+ x 4–+
2
-------------------------------------------
1
a
---
2
66
119
----------
Г л а в а 2. Уравнения 551
аемых левой части уравнения равно 66. 45. 0; ; .
46. 15. 47. –3; 6.
Положите y = x
2
– 3x + 7. 48. . 49. [–1; 0].
50. [0; 3]. 51. 2. 52. ä . 53. ¾. 54. 5. 55. [1; 2,5]; 13.
56. [5; 10]. 57. 4. 58. ä2. 59. 0. 60. ; 5. 61. –1. 62. –6; 1.
Введите вспомоательные неизвестные u = , v = .
63. ä1.
Вынесите за соби . 64. ¾. 65. 0. 66. 1. 67. 0;
. 68. ; . 69. 1. 70. 7; 26; 7. 71. –6; 1.
§ 10. Показательные уравнения
1. 4. 2. 2. 3. . 4. –3. 5. –. 6. –; 4. 7. log
3
2. 8. (2k + 1);
+ πk, k Ý Z. 9. –5; . 10. . 11. 81. 12. . 13. –; 3.
14. πn, n Ý Z. 15. –2 + . 16. ä ; ä1. 17. ä2.
18. log
3
(2 + ); log
3
. 19. 3; log
6
8. 20. 9; 81. 21. –; 1.
22. 0; ä1. 23. . 24. 0. 25. ä1. 26. 1; log
4
3. 27. ; .
28. 0. 29. ä2. 30. ä2. 31. log
3/4
. 32. 1. 33. 1; 3. 34. –.
35. 2; 4; 11. 36. ; 2; 4. 37. 1; a
1/π
. 38. ; 25. 39. 10; 10
–4
.
40. 100. 41. 10; 0,1. 42. 10; . 43. 2.
Разделите обе час-
ти уравнения на и воспользуйтесь свойством монотонности
поазательной фунции. 44. 3.
См. уазание упр. 43. 45. 1.
Сравните наибольшее значение фунции в левой части урав-
нения с наименьшим значением фунции в правой части.
46. 1.
Найдите y
1
и y
2
— орни вадратноо уравнения отно-
сительно переменной y = ; решите уравнения y
1
(x) = и
3
2
---
3 ä 73
4
-------------------- -
3
4
---
5
2
-------
1
2
---
x 2– x 7+
x 1+
63a
65
----------
23+()
n
1+
23+()
n
1–
-------------------------------------
23–()
n
1+
23–()
n
1–
------------------------------------
3
5
---
1
2
---
3
2
---
π
2
---
π
4
---
93
11
------
7
5
---
5
3
---
5
2
---
42log
3
5– 2
5
51–
2
-----------------
1
3
---
1
2
---
4
3
---
3log+
2
3
3
---------------------------
51–
2
-----------------
1
2
---
1
3
---
1
5
---
10
log
2
3
2
x
2
x
2
x
552 Ответы, указания, решения
y
2
(x) = , используя свойство монотонности входящих в них
фунций. 47. 3.
См. уазание упр. 46. 48. 1. Положите
y = и воспользуйтесь уазанием упр. 46. 49. 4.
50. ä . 51. ¾.
§ 11. Логарифмические уравнения
1. –. 2. 2; 3. 3. 2. 4. 2. 5. –1; 7. 6. 3; 3 + . 7. 3. 8. 7. 9. 1;
3. 10. –10. 11. 2. 12. 2; 3. 13. 1. 14. 1. 15. 3. 16. 3. 17. 1.
18. ä . 19. 1; 3. 20. 4; . 21. 1; 4; . 22. 8; . 23. b
2
+ 1;
b > 0 и b − 1. 24. ; . 25. 1; 10
–3
; 10
–2
. 26. 2
–8
; 2
27
. 27. ;
. 28. ; 81. 29. . 30. 10. 31. 10; 10
4
. 32. –10; –1. Ис-
пользуйте тождество = –x, справедливое при x < 0.
33. log
3
10; log
3
28 – 3. 34. 8. 35. 0,1; 10. 36. 0,01; 0,1; 1.
37. 10
–1
; ; . 38. ; . 39. ; .
40. 2
–3/4
; 1; 2. 41. ; . 42. . 43. ; 3. 44. 1. 45. 2.
46. ; 2.
§ 12. Разные задачи
1. 4. 2. 3. 3. 2. 4. 2. 5. 1 ä . 6. 1; 4.
7. –; 2.
Разделив обе части уравнения на 2
2
· 5
2
, по-
лучим
5
x – 2
· = 1 _ 5 · = 1 _
_ 5 · = 1 или x – 2 = 0 _ x = – или x = 2.
2
x
2
x 1–
2
8
3
---
2
1
2
---
4
3
2
--------
1
48
5
------------
1
4
3
--------
1
8
---
1
2
---
3
9
3
3
34
1
9
---
1
9
---
x
2
10
13+
2
------------------
10
13–
2
-----------------
1
3
---
1
15
------
10
ä lg
13
3
------
10
ä lg
7
3
---
3
ä
3
2
---
3
ä
1
2
-------
2
ä
1
2
---
1
81
------
1
4
---
1lg2+
1
lg 5
----------
2
3x
x 1+
------------- -
2–
2
1
1 x+
------------- -
x 2–
2
1
x 1+
--------- -----
1
lg 5
----------
Г л а в а 3. Системы уравнений 553
8. 1; 8. 9. . 10. –1 ä . Воспользуйтесь тем,
что числа ; ; — последовательные
члены еометричесой прорессии. 11. (log
2
3 – 2)
–1
; (1 – log
3
4)
–1
.
12. (5; 0,5). 13. 10; 10
1/9
. 14. ; +× . 15. 2; . 16. 1. 17. 5.
18. 2. 19. (2k + 1); – (4k + 1). 20. äarccos ( 2 + πk).
21. 0.
Глава 3. Системы уравнений
§ 13. Системы линейных уравнений
1. (1; 2; 3). 2. (8; 4; 2). 3. (1; –2; –1). 4. (1; –3; –2).
5. (abc; ab + ac + bc; a + b + c). 6. ; ;
. 7. При a − 0, a − –3 система определенна, при
a = –3 система неопределенна, при a = 0 система несовместна.
8. При a − 0 система определенна, при a = 0 система неопреде-
ленна. 9. При a = 0 система неопределенна, при a = 2 система
несовместна, при остальных a— определенна. 10. При a = 0,
a = 1 система несовместна, при a = –1, a = 2 система неопреде-
ленна, при остальных a— определенна. 11. При a + b − 0 сис-
тема определенна, при a + b = 0 неопределенна. 12. При a = 0,
b − 0; a = 0, b = 0; a − 0, b = 0 система неопределенна, при ос-
тальных значениях пар (a; b) система определенна. 13. Система
неопределенна при p = , m = . 14. Совместны.
15. a = 1, b = –1. 16. a = 1, b = –1; a = 1, b = –2; a = –1, b = –1;
a = –1, b = –2. 17. a = 1. 18. a = 0, b = 0, c = 2,25; a = 2, b = –1,
c = 1. 19. a = –4. 20. a = 3.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
1. (1; 4); (4; 1). 2. (0,6; 0,3); (0,4; 0,5). 3. (3; 2); (2, 3).
4. (14; –11); (11; –14). 5. (4; 2); (2; 4). 6. (1; 4); (–1; 6).
7. (1; 2). 8. (4; 1); (1; 4). 9. (2; 1); (–2; –1). 10. (3; 2); (–3; –2);
2
3
---
1
2
---
lg 1 11+()
10
3x
2
7x+
10
x
2
3x+
10
xx
2
+()–
1
6
---
7
3
---
π
2
---
π
4
---
log
23+
ab
a 1–()b 1–()
-------------------------------------
b
a 1–()ba–()
------------------------------------
a
b 1–()ba–()
------------------------------------
3b 14a+
16
------------------------ -
5b 2 a+
64
---------------------
552 Ответы, указания, решения
y
2
(x) = , используя свойство монотонности входящих в них
фунций. 47. 3.
См. уазание упр. 46. 48. 1. Положите
y = и воспользуйтесь уазанием упр. 46. 49. 4.
50. ä . 51. ¾.
§ 11. Логарифмические уравнения
1. –. 2. 2; 3. 3. 2. 4. 2. 5. –1; 7. 6. 3; 3 + . 7. 3. 8. 7. 9. 1;
3. 10. –10. 11. 2. 12. 2; 3. 13. 1. 14. 1. 15. 3. 16. 3. 17. 1.
18. ä . 19. 1; 3. 20. 4; . 21. 1; 4; . 22. 8; . 23. b
2
+ 1;
b > 0 и b − 1. 24. ; . 25. 1; 10
–3
; 10
–2
. 26. 2
–8
; 2
27
. 27. ;
. 28. ; 81. 29. . 30. 10. 31. 10; 10
4
. 32. –10; –1. Ис-
пользуйте тождество = –x, справедливое при x < 0.
33. log
3
10; log
3
28 – 3. 34. 8. 35. 0,1; 10. 36. 0,01; 0,1; 1.
37. 10
–1
; ; . 38. ; . 39. ; .
40. 2
–3/4
; 1; 2. 41. ; . 42. . 43. ; 3. 44. 1. 45. 2.
46. ; 2.
§ 12. Разные задачи
1. 4. 2. 3. 3. 2. 4. 2. 5. 1 ä . 6. 1; 4.
7. –; 2.
Разделив обе части уравнения на 2
2
· 5
2
, по-
лучим
5
x – 2
· = 1 _ 5 · = 1 _
_ 5 · = 1 или x – 2 = 0 _ x = – или x = 2.
2
x
2
x 1–
2
8
3
---
2
1
2
---
4
3
2
--------
1
48
5
------------
1
4
3
--------
1
8
---
1
2
---
3
9
3
3
34
1
9
---
1
9
---
x
2
10
13+
2
------------------
10
13–
2
-----------------
1
3
---
1
15
------
10
ä lg
13
3
------
10
ä lg
7
3
---
3
ä
3
2
---
3
ä
1
2
-------
2
ä
1
2
---
1
81
------
1
4
---
1lg2+
1
lg 5
----------
2
3x
x 1+
------------- -
2–
2
1
1 x+
------------- -
x 2–
2
1
x 1+
--------- -----
1
lg 5
----------
Г л а в а 3. Системы уравнений 553
8. 1; 8. 9. . 10. –1 ä . Воспользуйтесь тем,
что числа ; ; — последовательные
члены еометричесой прорессии. 11. (log
2
3 – 2)
–1
; (1 – log
3
4)
–1
.
12. (5; 0,5). 13. 10; 10
1/9
. 14. ; +× . 15. 2; . 16. 1. 17. 5.
18. 2. 19. (2k + 1); – (4k + 1). 20. äarccos ( 2 + πk).
21. 0.
Глава 3. Системы уравнений
§ 13. Системы линейных уравнений
1. (1; 2; 3). 2. (8; 4; 2). 3. (1; –2; –1). 4. (1; –3; –2).
5. (abc; ab + ac + bc; a + b + c). 6. ; ;
. 7. При a − 0, a − –3 система определенна, при
a = –3 система неопределенна, при a = 0 система несовместна.
8. При a − 0 система определенна, при a = 0 система неопреде-
ленна. 9. При a = 0 система неопределенна, при a = 2 система
несовместна, при остальных a— определенна. 10. При a = 0,
a = 1 система несовместна, при a = –1, a = 2 система неопреде-
ленна, при остальных a— определенна. 11. При a + b − 0 сис-
тема определенна, при a + b = 0 неопределенна. 12. При a = 0,
b − 0; a = 0, b = 0; a − 0, b = 0 система неопределенна, при ос-
тальных значениях пар (a; b) система определенна. 13. Система
неопределенна при p = , m = . 14. Совместны.
15. a = 1, b = –1. 16. a = 1, b = –1; a = 1, b = –2; a = –1, b = –1;
a = –1, b = –2. 17. a = 1. 18. a = 0, b = 0, c = 2,25; a = 2, b = –1,
c = 1. 19. a = –4. 20. a = 3.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
1. (1; 4); (4; 1). 2. (0,6; 0,3); (0,4; 0,5). 3. (3; 2); (2, 3).
4. (14; –11); (11; –14). 5. (4; 2); (2; 4). 6. (1; 4); (–1; 6).
7. (1; 2). 8. (4; 1); (1; 4). 9. (2; 1); (–2; –1). 10. (3; 2); (–3; –2);
2
3
---
1
2
---
lg 1 11+()
10
3x
2
7x+
10
x
2
3x+
10
xx
2
+()–
1
6
---
7
3
---
π
2
---
π
4
---
log
23+
ab
a 1–()b 1–()
-------------------------------------
b
a 1–()ba–()
------------------------------------
a
b 1–()ba–()
------------------------------------
3b 14a+
16
------------------------ -
5b 2 a+
64
---------------------
554 Ответы, указания, решения
; ; – ; – 11. (4; 1); (1; 4); ;
, де берутся либо оба верхних, либо оба нижних
знаа. 12. ä ; ä , де перед
внешними радиалами берется любое сочетание знаов, а пе-
ред внутренними — либо оба верхних, либо оба нижних знаа.
13. (3; 1); (1; 3). 14. (1; 2); (2; 1). 15. (1; 1). 16. (3; 2); (2; 3);
(–3; –2); (–2; –3). 17. (3; 1); (1; 3); (–3; –1); (–1; –3). 18. (3; 2);
(2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 19. (2; 1); (1; 2).
Перейдите неиз-
вестным u = x + 1, v = y + 1. 20. (2; 1); (2; –1); (–2; 1); (–2; –1).
Представьте первое уравнение в виде вадратноо относи-
тельно переменной z = . 21. (2; 3); – ; –4 .
Разделите
первое уравнение на второе. 22. (–5; 1); (–1; 5); (6; 1); (–1; –6).
23. (2; 1); (–1; –2); (1 + ; –1 + ); (1 – ; –1 – ).
24. (–2; –4); ; . 25. (1; 4); (–5; 4); (5; –4); (–1; –4).
26. (3; 5); (5; 3); (–3; –5); (–5; –3).
Во второе уравнение, пред-
ставленное в виде x
4
+ y
4
+ 2x
2
y
2
= 931 + x
2
y
2
, подставьте
x
2
+ y
2
, выраженное из первоо уравнения. 27. (2; 1); (1; 2);
(–3; 0); (0; –3); (1; –2); (2; –1).
Представьте первое уравне-
ние в виде (x + y)
2
+ (xy – 1)
2
= 10. 28. (5; 2); (–2; –5). Раз-
ложите x
5
– y
5
на множители. 29. (2; –1; –1); (–1; –1; 2);
(–1; 2; –1). 30. (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1). 31. (3; 1; 0).
32. (1; 1; 1). 33. 2; – ; 4 ; –2; ; –4 ; – ; 2 ;
; ; –2 ; – .
Введите новые переменные
u = xy, v = xz, w = yz. 34. (0; 0; 0). 35. x = ;
3
3
-------
53
3
-----------
3
3
-------
53
3
-----------
5 ä 41–
2
------------------------ -
5 å 41–
2
------------------------ -
ab ä a
2
b
2
4ab–
2b
------------------------------------------------
ab å a
2
b
2
4ab–
2a
------------------------------------------------
xy+
xy–
------------- -
3
2
---
2
2 2 2
5
3
---
10
3
------
1
2
---
1
2
---
15
2
------
15
2
------
2
5
---
2
15
------
15
2
------
15
2
------
2
5
---
2
15
------
ab
2
c
2
+()
2bc
---------------------------
Г л а в а 3. Системы уравнений 555
y = ; z = . 36. ä ;
ä ; ä , де
берутся либо верхние, либо нижние знаи. 37. (1;3;9);
(9; 3; 1). 38. (1; 2; 3); (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2);
(3; 2; 1). 39. (0; 1; –1); (–1; 2; –1); (–1; 1; 0). 40. (3; –1; –1);
(0; 2; –1); (0; –1; 2). 41. (3; 6; 10); (6; 3; 10). 42. ;
; ; – ; – ; – .
43. (0; 0; 0) и ä ; ä ;
ä , де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 44. (0;0;0);
(1; 1; 1); (–1; –1; –1); (0; ; ); (0; – ; – ); ( ; 0; );
(– ; 0; – ); ( ; ; 0); (– ; – ; 0). 45. 1; 0; – ;
–1; 0; . 46. (ä1; ä2; ä5), де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 47. (0; 0; 0);
– ; –1; 2 . 48. (–5; –3; 0); (3; 1; –2). 49. (2; –1). 50. (2; 3);
; – . 51. ; . 52. (4; 4). 53. (2; 3); (–2; –3); (2; –3);
(–2; 3). 54. (1; 1). 55. (25; 9); ; . 56. (5; 4). 57. (1; 2);
(–1; –2); ; – ; – ; . 58. (0; 0); (3; 2); (–2; –3).
ba
2
c
2
+()
2ac
---------------------------
ca
2
b
2
+()
2ab
---------------------------
2abc ab bc– ca+()
ab bc ca–+()ab– bc ca++()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab bc ca–+()
ab bc– ca+()ab– bc ca++()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab– bc ca++()
ab bc– ca+()ab b c ca–+()
----------------------------------------------------------------------------- -
a
abc++
---------------------------
b
abc++
---------------------------
c
abc++
---------------------------
a
abc++
---------------------------
b
abc++
---------------------------
c
abc++
---------------------------
2
a– bc++()abc–+()
------------------------------------------------------------------
2
ab– c+()a– bc++()
------------------------------------------------------------------
2
ab– c+()abc–+()
------------------------------------------------------------
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2
---
1
2
---
1
2
---
13
3
------
5
3
---
25
3
------
16
3
------
49
4
------
81
4
------
4
3
-------
5
3
-------
4
3
-------
5
3
-------
554 Ответы, указания, решения
; ; – ; – 11. (4; 1); (1; 4); ;
, де берутся либо оба верхних, либо оба нижних
знаа. 12. ä ; ä , де перед
внешними радиалами берется любое сочетание знаов, а пе-
ред внутренними — либо оба верхних, либо оба нижних знаа.
13. (3; 1); (1; 3). 14. (1; 2); (2; 1). 15. (1; 1). 16. (3; 2); (2; 3);
(–3; –2); (–2; –3). 17. (3; 1); (1; 3); (–3; –1); (–1; –3). 18. (3; 2);
(2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 19. (2; 1); (1; 2).
Перейдите неиз-
вестным u = x + 1, v = y + 1. 20. (2; 1); (2; –1); (–2; 1); (–2; –1).
Представьте первое уравнение в виде вадратноо относи-
тельно переменной z = . 21. (2; 3); – ; –4 .
Разделите
первое уравнение на второе. 22. (–5; 1); (–1; 5); (6; 1); (–1; –6).
23. (2; 1); (–1; –2); (1 + ; –1 + ); (1 – ; –1 – ).
24. (–2; –4); ; . 25. (1; 4); (–5; 4); (5; –4); (–1; –4).
26. (3; 5); (5; 3); (–3; –5); (–5; –3).
Во второе уравнение, пред-
ставленное в виде x
4
+ y
4
+ 2x
2
y
2
= 931 + x
2
y
2
, подставьте
x
2
+ y
2
, выраженное из первоо уравнения. 27. (2; 1); (1; 2);
(–3; 0); (0; –3); (1; –2); (2; –1).
Представьте первое уравне-
ние в виде (x + y)
2
+ (xy – 1)
2
= 10. 28. (5; 2); (–2; –5). Раз-
ложите x
5
– y
5
на множители. 29. (2; –1; –1); (–1; –1; 2);
(–1; 2; –1). 30. (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1). 31. (3; 1; 0).
32. (1; 1; 1). 33. 2; – ; 4 ; –2; ; –4 ; – ; 2 ;
; ; –2 ; – .
Введите новые переменные
u = xy, v = xz, w = yz. 34. (0; 0; 0). 35. x = ;
3
3
-------
53
3
-----------
3
3
-------
53
3
-----------
5 ä 41–
2
------------------------ -
5 å 41–
2
------------------------ -
ab ä a
2
b
2
4ab–
2b
------------------------------------------------
ab å a
2
b
2
4ab–
2a
------------------------------------------------
xy+
xy–
------------- -
3
2
---
2
2 2 2
5
3
---
10
3
------
1
2
---
1
2
---
15
2
------
15
2
------
2
5
---
2
15
------
15
2
------
15
2
------
2
5
---
2
15
------
ab
2
c
2
+()
2bc
---------------------------
Г л а в а 3. Системы уравнений 555
y = ; z = . 36. ä ;
ä ; ä , де
берутся либо верхние, либо нижние знаи. 37. (1;3;9);
(9; 3; 1). 38. (1; 2; 3); (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2);
(3; 2; 1). 39. (0; 1; –1); (–1; 2; –1); (–1; 1; 0). 40. (3; –1; –1);
(0; 2; –1); (0; –1; 2). 41. (3; 6; 10); (6; 3; 10). 42. ;
; ; – ; – ; – .
43. (0; 0; 0) и ä ; ä ;
ä , де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 44. (0;0;0);
(1; 1; 1); (–1; –1; –1); (0; ; ); (0; – ; – ); ( ; 0; );
(– ; 0; – ); ( ; ; 0); (– ; – ; 0). 45. 1; 0; – ;
–1; 0; . 46. (ä1; ä2; ä5), де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 47. (0; 0; 0);
– ; –1; 2 . 48. (–5; –3; 0); (3; 1; –2). 49. (2; –1). 50. (2; 3);
; – . 51. ; . 52. (4; 4). 53. (2; 3); (–2; –3); (2; –3);
(–2; 3). 54. (1; 1). 55. (25; 9); ; . 56. (5; 4). 57. (1; 2);
(–1; –2); ; – ; – ; . 58. (0; 0); (3; 2); (–2; –3).
ba
2
c
2
+()
2ac
---------------------------
ca
2
b
2
+()
2ab
---------------------------
2abc ab bc– ca+()
ab bc ca–+()ab– bc ca++()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab bc ca–+()
ab bc– ca+()ab– bc ca++()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab– bc ca++()
ab bc– ca+()ab b c ca–+()
----------------------------------------------------------------------------- -
a
abc++
---------------------------
b
abc++
---------------------------
c
abc++
---------------------------
a
abc++
---------------------------
b
abc++
---------------------------
c
abc++
---------------------------
2
a– bc++()abc–+()
------------------------------------------------------------------
2
ab– c+()a– bc++()
------------------------------------------------------------------
2
ab– c+()abc–+()
------------------------------------------------------------
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2
---
1
2
---
1
2
---
13
3
------
5
3
---
25
3
------
16
3
------
49
4
------
81
4
------
4
3
-------
5
3
-------
4
3
-------
5
3
-------