Цитович И.Г. Теоретические основы стабилизации процесса вязания

Подождите немного. Документ загружается.

4.9. Полный цикл изгива шли при

огаба-

4.10. Огибание упругой на яэшб икшо

НИИ контура ннтенапрввителя контура нитенаяравителя

Рассмотрим равновесие набегающего участка АВ нити. В сечении

Q(x, у) участка шии дшствует сила 2j', причем Т}». Ji,а также момент

(4.18)

который зависит от кривизны оси нити,

т.е.

л/(1/р).

Эта зависимость определяется упругопластическими свойствами ниш и

может быть найдена экспериментально. Введя обратную функцию Л,

получим кривизну в явном виде

l/p=/i(JO. (4.19)

Подставляя в уравнение (4.19) выражение для кривизны упругой

линии нити с учетом фо1»мулы (4.18), получим дифференциальное урав-

нение ра№0веа1я нити

(4.20)

Для левой части уравнения (4.20) сделаем замену

du du Л du

dx ' dx'

dx dy dx dy

тогда

Проингег^шруем обе-части уравнения для участка АВ нити.

При этомд» меняется ону^ лоув, и-охОцоид:

(4.21)

dx dx

Интех^ирование левой части уравнения (4.21) дает

" г

J 1

о + I 0^ = 1- COST,,

где 7, - угол между касательной к нейтральной оси нити в точке В и осью абсцисс,

на который уменьшается угол охвата набегающей ветви нити из-за ее жесТкости

на изгиб.

При интегрировании правой части уравнения (4.21) заметим, что

(уА

У) =М, dM

= -T^dy, dy

М=0;

при у =rys

М=

{УА-УВ)=

Miff

= Vd/'-).

Таким образом, интегрирование уравнения (4.21) приводит к соот-

ношению

1 "В

COS7, = 1 / fimdM. (4.22)

Тго

Квадратуры правой части уравнения (4.22) представляют площадь

Si, ограниченную кривой (1/р) и осью М (см. рис. 4.9), т.е. выраже-

ние (4.22) принимает вид

C0S7, =1--^. (4.23)

Тх

Перейдем к рассмотрению равновесия участка .SC нити, контактирую-

щего с поверхностью цилиндра (см. рис. 4.10).

В сечении, проходящем через точку В, действует момент Л/д, а также

сила Ti, которую можно разложить на составляюпще

T-i^^riCosTi.ri^-Tislnr,. (4.24)

_ В сечении, проходящем через точку С, действуют момент Мс и сила

Тг, раскладываемая на тангенщ1альную и нормальную составляющие

T2t=T2Cosy2, Т2п = Тг^тъ, (4.25)

где 72 - угол уменьшения угла охвата ведущей ветви, обусловленный сопротив-

лением нити изгибу.

Со стороны цилиндра на нить действовать следующие силы.

В точке В - сосредоточенная сила Pg, направленная по нормали, при-

чем Рд = Тщ и сила трения Fg. Если принять, что сила трения подчи-

няется закону Амонтона, то F^ = Pgfi, где ц - коэффициент трения.

Аналогично в точке С действуют нормальная сила Рс - Tin и сила тре-

ния Fc =Pc^^• На участке ВС на нить действуют распределенная нормаль-

ная нагрузка qQp) =

T{\p)lr,

где Т{ф) натяжение нити, и распределенная

сила трения t

=1Щ.Т\о

формуле Эйлера с учетом геометрических размеров

нити [100] .

гч>

Следовательно j

' - fxe

Дня сил, действующих на контактируемьш с цилиндром участок нити

ВС, составим сумму моментов относительно точки О.

rip

rdifi

T2t(r + 8)=Titir + S)

+1лТ2пГ

+ цтщг + г f-^ --^це

о ^

^Мв-Мс.

Учитывая выражения (4.24^ и (4.25), получаем

(COSTI + jUSinyz) е

— + sinyi ^ _ jij^- (4.26)

T2=Ti + —

cos7i - MSinya

r + 6

r +5

Для определения угла У2 рассмотрим равновесие участка CD нити

(см. рис. 4.10). _

В сечениях с нулевой кривизной кроме силы Tj действует изгибающий

момент Мц, обусловленный наличием в нити остаточных деформащ1Й

(см. рис. 4.10).

В любом сечении участка CD действует момент

М = Т2{уо - у) +Md,

который зависит от кривизны оси нити, т.е.

M = v'2(l/P), (4.27)

причем при 1/р =0 М=М£,.

Аналогично выражению (4.19) через функщ1ю /i, обратную «Pi, урав-

нение (4.27) запишем в виде 1/р =/2 (ЛО.

С учетом выражения для кривизны оси нити получим

£у

dx'

[IMf-)']'

= -/2 [Т2(УО~У)

Интегрируя, как и выше, найдем

\ МС

cosyj = 1 - i f f2iM)dM. (4.28)

J.MD

Заменив интеграл правой части площадью S2, ограниченной кривой

(1/р) и осью ОМ, выражение (4.28) запишем в виде

COS72 = 1 (4.29)

Полученные уравнения (4.23), (4.26)

и (4.29) определяют соотноше-

ния между силами натяжения Ti и Tj ветвей нити и углы

ух

иуг, на кото-

рые уменьшается угол охвата реальной нити по сравнению с аналогичными

условиями для идеальной нити. Формулы (4.23) и (4.29) позволяют

подсчитывать углы ji и ti непосредственно по графикам функций и

tp2 без необходимости вычисления интегралов. Заметим, что при г

Уi ••О, 72 =0 зависимость (4.26) переходит в известную формулу Эйлера

Интересный результат получается, если перейти к пределу, т.е. принять

коэффищсент трения ц равным нулю. Тогда уравнения (4.23), (4.26) и

(4.29) позвол>1ют получить зависимость между силами Га и Tj в явном

виде

Мв-Мг

T2=Ti+S2-Si+ — — =Ti +5, (4.30)

г +5

me 5 - площадь петли гистерезиса в координатах М, IIP-

Из выражения (4.30) видно, что, если площадь S мала, поведение

реальной нити не отличается от поведения идеальной нити. Это возможно

при огибании цилиндров достаточно больших радиусов (1/р

-*•

либо

при движении нити, изгиб которой не сопровождается образованием

петли гистерезиса (например, при наличии у нити только упругой дефор-

мации), либо при значении жесткости нити, близком к нулю.

Для нитей, доля пластической деформации которых при огибании

щшиндра малого радиуса существенна (капроновая мононить, пряжа),

это ведет к увеличению натяжения нити при малых радиусах.

Представляет интерес рассмотрение приложения изложенной выше

теории к некоторым частным случаям.

Предположим, что нить имеет следующие свойства. При изгибе до

кривизны 1/Рт нить абсолютно упруга и подчиняется закону Гука. После

достижения кривизны 1/Рх нить перестает сопротивляться изгибу и мо-

мент в сечении нити остается постояшшм. Исходя из этого найдем выра-

жение для углов Yi и 72 в зависимости от радиуса огибаемого цилиндра.

Рассмотрим 3 случая:

а) ——<1/Рт, или г+5 > Рт.

Г + 6

Нить движется по цилиндру большого радиуса, и петли гистерезиса

нет (рис. 4.11, а). При сделанных допущениях момент Mi при жест-

кости нити Н запишется в виде Mi -Hj

{г

+8).

Поэтому

1 Я

S =s, — ;

(г +

6)'

4.11. Модели зависимости момента сопротивления изгибу нити от кривизны огибае-

мой поверхности

C0S7, =1 -

COSY, = 1 -

б) — <

Рт

2Г, +

2Г,

+ fi)'

г + 6

Рт

, или

Рт

<r+S< PI.

Соответствующая диаграмма изгиба приведена на рис. 4.11, о. Ведомая

ветвь упруго изгибается до кривизны 1/Рх; в точке контакта нити с ци-

линдром образуется пластический шарнир и кривизна скачком меняется

до 1/

(г

+ б). Разгибание ведущей ветви носит упругий характер.

В этом случае

Mr =Н1Р^- Мг =Мг - "

+ S

Тогда

2 р\

COST, = 1 -

COS7, = 1 -

2 (г +6)'

гт,р\'

27;

(г +

6)'

•

(4.31)

1 2

в) ^-j—^ > — , или г + 8 < Рт/2.

Нить движется по цилиндру малого радиуса. Пластический шарнир

образуется как в ведомой, так и в ведущей ветвях нити (рис. 4.11, в).

Вычисляя, как и выше. Si и , получаем

COST, = 1-

C0S7, =1

2Н

Т^Рт '•+« Рт

(4.32)

На рис. 4.12, а показана зависимость отношения Г2/Г1 от радиуса оги-

баемого контура, которая вытекает из уравнений (4.26), (4.53), (4.54)

и (4.55) для значений 5 =0,1 mm,ju =0,3,Я/Г1 =0,14мм'.

Как видно из приведенных кривых, при больших значениях Рг нить

ведет себя как идеальная. Это обусловлено малым значением момента

сопротивления, возникающего при изгибе нити. Для значений pj = 0,5 —

1,5 мм наблюдается резкое возрастание отнои^ния Tj/Ti при малых

радиусах. Поведение кривой для р^ = 0,25 мм характеризует свойства

нитей, обладающих практически только упругими свойствами. Здесь

также становится понятным влияние изгибной жесткости нити на прирост

ее натяжения. При упругопластическом деформировании нитей площадь

петли гистерезиса растет с увеличением жесткости нити. Натяжение нити

при этом увеличивается, что широко подтверждается зкспериментально.

в работе ( 101) зависимость натяжсишя нити от радиуса оилиндра была рассчи-

тана из предположения, что функции

ip,

(l/p и i^, (1/р) (см. рис. 4.12, ff) являются

линейными, т.е. (1/р) ==HJp; ifi, (Х/р')^ И^1р,тяеН, иЛГ, - некоторые константы,

характеризующие упругие свойсша нити соответствекко при входе на псяерхность

и сходе с нее.

Тогда

C0S7, = 1 ; C0S7, = 1 - . (4.33)

2Г, (г+ 8)'

ZTjC + S)'

4.12. Зависимость натяжения иити от

ра-

диуса огибаемой поверхности хфи раз-

личных характеристиках упругопласти-

ческих свойств нити

Р I г,тм

Расчет отношения Г,/Г, проводился по формуле (4.45) с учетом соотношений

(4.33). При этом полагалось, что Я,/Г, = 0,05 мм', 6 = 0,05 мм. Отношение Я,/Г,

варьировалось от О до Я, /Г,. Результаты расчета показаны на рис. 4.12, б. Характер

кривых на рис. 4.12, б совпадает с характером кривых на рис. 4.12, а. Это говорит

о том, что определяющим фактором, влияющим на рост натяжения, является пло-

щадь петли гистерезиса, а выбор законов ее описания не имеет существенного зна-

чения. Из рисунка видно, что увеличение необратимых потерь на участке фрикцион-

ного контакта (уменыление величины Я,/?,) приводит к более интенсивному

росту натяжения Т, при умеяьшгавии г. Если Я, = Я,, т.е. S = О, что соответствует

несминаемой упругой нити, то роста натяжения при уменьшении радиуса цилиндра

не происходит.

Экспериментальная проверка сформулированных выше положений

проводилась при анализе зависимости натяжения ветвей нити от радиуса

огибаемого контура для различных видов сырья. Эксперимент прово-

дился на приборе ПТ-1.

Для эксперимента выбирали образцы различных видов стандартных

нитей и .пряжи из производственных партий, отличающихся линейной

плотностью, видом обработки (парафинированная, непарафинирован-

ная), различной жесткостью и характером деформаций при изгибе.

В качестве чистоупругой нити с большим сопротивлением на изгиб исполь-

зовали образцы стеклянной кварцевой нити линейной плотности 107 текс;

в качестве нити, не сопротивляющейся изгибу (близкой к идеальной),

применяли полипропиленовую нить малой линейной плотности 8,3 х

2 текс. Полученные результаты представлены графически на рис. 4.13 в

виде зависимости средних по выборке значений коэффициента танген-

циального сопротивления д от диаметра d огибаемого стержня. Анализ

этих результатов позволяет сделать следующие выводы.

Парафинирование пряжи (кривые 3,8, 9,10,11) существенно умень-

шает силы трения для всех классов вязальных машин. Таким образом,

внешнее контактное трение при огибании нитью поверхности большой

кривизны оказывает существенное влияние на сопротивление движению

нити. Поэтому изысканию эффективных средств обработки прязш, пред-

назначенной для трикотажного производства, следует уделять большое

внимание, как и методам контроля эффективности такой обработки.

Далее можно отметить, что силы трения пряжи в рассматриваемом диапа-

зоне кривизны огибаемой поверхности могут существенно изменяться.

При этом наблюдаются рост нагрузок (кривые i, 3, 4, 7, 8, 9,10, ii), так

и их уменьшение (кривые 5, б). Геометрическими параметрами этого

изменения являются толщина нити и радиус (диаметр) огибаемой поверх-

ности. Поэтому рациональным выбором соотношений между линейной

плотностью нити и классом вязальной машины можно существенно повли-

ять на уровень нагрузок при вязании, а следовательно, и на такие факто-

ры, как обрывность нити, потерю ее прочности и др. Несмотря на значи-

тельную жесткость при изгибе стеклянных нитей (которая на порядок

превышает жесткость хлопчатобумажной и шерстяной пряжи), в основ-

ном упругий характер деформаций нити КН-11 (кривая 2) не вызывает

роста сил трения при уменьшении диаметра нитенаправителя и приводит

к их уменьшению для чистоупругой нити НСК-100 (кривая S). Это подт-

F-

из

Сйышегг 12-22

4.13. фрикционные показатели различ-

ных видов сырья:

1 - льняной непарафинированной пряжи

(Тк = 50 хеке); 2 - стеклянной нити

КН-11 (Гк = 185 текс); 3 - льняной

парафинированной пряжи (Г^ -50 текс)

4 - шерстяной непарафинированной пря-

жи (Гк - 314 2 текс) ;. 5

—

стеклянной

нити (Гк = 100 текс); 6 - полипропи-

леновой нити (Гк = 8,3 X 2 текс) ; 7 -

шерстяной непарафинированной пряжи

(Гк =31 текс); 8 - хлопчатобумаж-

ной парафинированной пряжи (Ту^ -

= 71,4 текс); 9 — шерстяной парафини-

рованной пряжи (^к = 31 X 2 текс);

10 - хлопчатобумажной парафинирован-

ной пряжи (Гк = 18,5 текс); 11 - шер-

стяной парафинированной пряжи (Г^ =

= 31 текс)

верждает теоретическое положение о том, что при трении поведение

чистоупругой жесткой на изгиб нити не отличается от поведения идеаль-

ных нитей, не сопротивляющихся изгибу. В данном случае полипропилено-

вая нить (кривая б) ведет себя как идеальная, не вызывая роста фрик-

ционных сил с ростом кривизны огибаемой поверхности. Трение этой

нити, как и жесткой на изгиб нити (кривые 5, б), целиком определяется

законами внешнего трения на контактной поверхности (хотя жесткости

этих нитей при изгибе отличаются примерно в 100 раз).

Рост сил трения для всех видов пряжи свидетельствует об их несовер-

шенной упругости, упругопластическом характере деформации при изгибе

нити и возрастании с увеличением кривизны огибаемой поверхности

гистерезисных потерь

из-за

деформации нити.

Можно считать, что увеличение крутизны наклона кривых означает

рост составляющей внутреннего трения, что характерно для льняной

пряжи (кривые 1 я 3). Полученные теоретические и экспериментальные

результаты свидетельствуют о том, что особенности трения нити

в процессе петлеобразования обусловлены возникновением деформаци-

онной составляющей сил трения в пределах полного цикла ее изгиба на

поверхности большой кривизны. Рост натяжения нити в этих условиях

помимо внешнего контактного трения определяется деформационной

составляющей и зависит от затрат энергии на гистерезисные потери при

изгибе нити.

Экспериментальные зависимости фрикционных свойств от радиуса

огибаемой поверхности могут быть положены в основу классификации

нитей по их свойствам, например, на нити, не сопротивляющиеся изгибу

(идеальные), чистоупрз^ие, упругопластические.

Взаююдейс-гаие неровностей ниш с петлеойразуюшнми органами

вязальных машин. Структуру нити характеризуют размеры, форма, вза-

имное расположение и связи волокон или элементарных нитей. Неров-

нота нити может быть следствием изменений ее внешнего геометричес-

кого контура — это изменения положения волокон и нитей при кручении,

различные неровности в виде дефектов прядения, узлов и пр. Если исхо-

дить из теории контактного трения, то такая неровнота может быть

отнесена к контурной шероховатости нити. Однако даже совершенно

гладкие по контуру нити могут оказаться вследствие неоднородности

свойств шероховатыми или структурно-неоднородными под влиянием

сжимающей нагрузки. В обоих случаях при перемещении нити относитель-

но петлеобразуюших органов вязальных машин возникает определенный

вид фракционного взаимодействия неровностей нити с огибаемой поверх-

ностью. Механизм этого взаимодействия можно представить следующим

образом. И^-за большой кривизны огибаемой поверхности площадь

контакта нити с иглой мала. В результате под действием натяжения нити

возникают значительные по отношению к материалу нити напряжения,

которые вызывают ее смятие и, как следствие, "внедрение" иглы в

структуру материала нити. При этом возникает дополнительная деформа-

ционная составляющая сопротивления движению нити. Если механические

свойства нити по ее толщине неоднородны, то глубина смятия нити

может изменяться. Это вызывает при движении нити ее смещение в на-

правлении, перпендикулярном скорости движения, пульсацию фрикцион-

ных сил и изменение коэффициента тангенциального сопротивления.

Представим неровность нити в виде жесткого элемента лес (рис. 4.14,

а), который соединен с гибкой нитью в точках вис. Предположим, что

при набегании нити на цилиндрическую поверхность (например, иглу)

неровность нити сохраняет свою форму. Это позволит нам в каждый

момент времени определить положение неровности на поверхности и

силы, которые на нее действуют. Величину входного натяжения ведо-

мой ветви нити примем pasHbiNiJi

высоту неровности

/г, радиус

цилиндра

г. Определим натяжение нити Т{ в точке с, обусловленное взаимодейст-

вием неровности при огибании нитью цилиндра [102]. Введем систему

коордашат ХОУ с осью ОХ, параллельной ведомой ветви нити. Начальное

положение точки а определим углом Pi, а текущую координату — углом

ifi. Коэффициент трения в точках взаимодействия неровности с цилиндром

1фимем равным д (угол трения р), силы реакции со стороны цилиндра

аиРс-

Составим уравнения равновесия неровности а'Ь'с' нити относительно

цилиндра. Для проекций сил на ось ОХ получим

Г, COS7 + Qa sin (а + р) + Pg

sin

(р-ф)=Ту

'cos

f, (4.34)

на ось

Ту

sinr + Qa

cos

(о + р) + Pccos {р-^р)= Ti sinv*. (4.35)

Сумш моментов сил относительно точки с

PcCosprsinj3i =QeSui03i +р)Л,

\90'if-f)

4.14. Модель взаимодействия неровности нити с огибаемой поверхностью

откуда

Pc-Qa ^ .г. Г),

cospsin/Ji г

(4.36)

cospsin^i г

Подставляя соотношение (4.36) в уравнения (4.35) и (4.34), получим

систему уравнений

rcos> + ee[sin(a + p)+Cisin(p-ip)] = 7"cos(^>;

-7'iSin7 + Ge[cos(a + p)+CiCos(p-(/>)] = Ti'sin

решение которой имеет вид

T(/Ti

-COS

[(g + p) - t] + Qcos((p + 7 - p)

CCS 03i +p) +CiCosp

При этом угол Pi определяется соотношением

cos/3, =I-(A/'-), (4.38)

a угол 7 ~ соотношением

/i/rcosi/J- [l-COS(|3i -1^)1

tg.1' =

Ijr - Sin03i -+ h/rsmip

(4.39)

Полученное уравнение (4.37) для натяжения нити справедливо на

отрезке для угла 1^(0,).

Дальнейшее изменение натяжения нити в точке с имеет место, когда

ifi

изменяется на отрезке для угла = ,

i^>niax). ГД®

Vmax соответствует

моменту времени, когда ветвь нити касается цилиндра (рис. 4.14, о) .

Рассмотрение равновесия неровности нити относительно цилиндра на

отрезке для угла

ip(<p

=j8i, v'max) аналогично предыдущему. Оно приводит

к следующим соотношениям:

Ti _ cos

[ (а

+ 7) -

р]

Ci cos ((^

+ 7

р) .

100

cos

(01 +р) + Cicosp

(4.40)