Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

ду, что эффективность локального сглаживания возрастает с уве-

личением т и падает с ростом п. При практических расчетах це-

лесообразно Офаничиваться п <2и т<4. Дополнительно обра-

тим внимание на

то,

что при изложенной организации локально-

го сглаживания несглаженными оказываются первые и послед-

ние т элементов исходного временного ряда. Этот недостаток

можно устранить, применив на этих участках алгоритмы типа ре-

куррентного метода наименьших квадратов.

3.4. Линейное прогнозирование структурно

детерминированных рядов

приступим теперь к рассмотрению одного из наиболее важных

вопросов анализа временных рядов

—

прогнозированию их по-

следующих значений по результатам наблюдения за ними на не-

котором фиксированном отрезке времени. Итак, полагаем, что в

нашем распоряжении имеются N наблюдений, математически

отображаемых моделями (3.1), (3.2). Базисные функции ф)^(^/),

А:

О,

1, ..., ^, / = 1,2, .,., N, выбраны или в классе полиномиаль-

ных функций, или

более широком классе ортогональных функ-

ций. Ряд может быть подвергнут локальному сглаживанию, но

мы сохраняем исходные обозначения (3.1). Задача, как

уже

отме-

чалось, заключается в поиске наилучшей в некотором смысле

оценки

tfn

ненаблюдаемой величины

Уг^,

т > N, по результатам

наблюдений

у-\у\У2'-'

Ум]^ -

Прогнозированное значение ряда

у,^

будем искать в классе

линейных операторов, позволяющем представить

Ym=W\

(3.66)

где

W—

пока неизвестный вектор весовых коэффициентов. Этот

вектор попытаемся найти таким образом, чтобы точность про-

гнозирования, понимаемая

далее определяемом смысле, оказа-

лась наивысшей. Чтобы конкретизировать содержание послед-

ней фразы, обозначим символом

У\='Ут-Ут

(3.67)

ошибку прогнозирования и более детально изучим ее структуру

Для этого удобно вектор наблюдений у в соответствии с (3.1),

(3.2) представить в матрично-векторной форме

140

где

Ф =

Тогда

= Фа

+р,

ФоСг) Ф1('2) - Ф?(^2)

Ц^Ут-ГУЧФа+Р).

(3.68)

, в =

«0

«1

л.

, р

Ро

_PN \

Теперь сделаем важное допущение: будем полагать, что мо-

дель тренда (3.2), введенная выше на отрезке [/^

/дг],

справедлива

и на множестве [/j, t^]. Это позволяет представить

Ут = Фт « + Р/и,

где

т_

[фо(и Ф1(^т) - Ф^(и].

С использованием этого допущения записываем

(3.69)

Из (3.69) следует, что ошибка прогнозирования содержит де-

терминированную и стохастическую составляющие. Первая из

них определяет среднее значение ошибки прогнозирования и,

так как вектор а неизвестен, также является величиной неизвест-

ной. Так как вектор ^Гпока не найден, потребуем

Фя

Ф^^=0,

(3.70)

где

- нулевой {q + 1)-вектор. Соотношение (3.70) обеспечивает

равенство М{г\} =

и, следовательно, является условием несме-

щенности. Относительно компонентов вектора W^OHO представ-

ляет собой систему линейных алгебраических уравнений, содер-

жащую q +

уравнений с

неизвестными. Так как q+ \ < М,то

при выполнении условий совместности Кронекера—Капелли си-

стема оказывается неопределенной, т.е. имеет бесконечное число

решений. Для поиска конкретного решения следует задать до-

141

полнительное условие, которому это решение должно удовлетво-

рять.

За таковое примем следующее.

Если выполняется (3.70), то ошибка прогнозирования (3.69)

содержит только случайную составляющую. В этом случае точ-

ность прогнозирования можно характеризовать дисперсией

ошибки прогнозирования

D{r\)

М{г]^},

и точность прогнозиро-

вания окажется наивысшей, если вектор W, помимо выполнения

условий (3.70), обеспечит минимальное значение дисперсии

/){г|}.

В результате приходим к следующей оптимизационной за-

даче поиска вектора W:

M{r]^} =

G^(\-\-W^W)-^ min , (3.71)

Х={1УеК^:(р^-ф^}У=0}, (3.72)

Смысл задачи (3.71), (3.72), таким образом, следующий: на

множестве решений системы (3.70) найти то, которое минимизи-

рует дисперсию ошибки прогнозирования. Подобная задача

встречалась ранее при доказательстве теоремы Маркова и, как

отмечалось, решается методом неопределенных множителей Ла-

гранжа. Поэтому, не прибегая к подробным комментариям, огра-

ничимся основными этапами решения.

Функция Лагранжа

L(W,

= c^W^W+ 2А.^(ф^-ф'^»0.

Необходимые условия рассматриваемого условного минимума

GV- ФЛ = ON,

(fm

- Ф^^=

0^+1.

Решение:

W= Ф(ф'^Ф)-^ф^. (3.73)

Алгоритм прогнозирования:

Ут

fV^y

= ф/(Ф'^Ф)-'Ф^ (3.74)

Таким образом, наилучшее линейное прогнозирование вре-

менного ряда в сформулированных условиях заключается в ли-

нейном преобразовании вектора наблюдений

линейным опера-

142

тором, отождествляемым с вектором (3.73). Легко обнаружить,

что сомножитель (Ф^Ф)~^Ф^>' в (3.74) представляет собой не что

иное, как МНК-оценку а вектора параметров а, ^«айденную по

наблюдениям

у.

Поэтому кратко можно

записать:

Yf^

(рщ^^-

Точ-

ность оптимального прогнозирования определяется минималь-

ным значением дисперсии (3.71), которая в случае (3.73) оказы-

вается равной

а^2 =

min М{г]^}

0^(1

+ ф/(ф'Гф)-1ф^. (3.75)

Можно, вычислив (3.74), построить доверительные интерва-

лы для истинного значения у^ прогнозируемой величины. Пусть

вначале дисперсия а^ известна. Так как вектор заявляется гауссов-

ским, то ошибка прогнозирования г\ является центрированной

гауссовской величиной: ц ~ N(0,

Сц

) и, следовательно, ц/а^ =

(jfTj

-Yfn)/(y^

- N(0, 1)

—

стандартная случайная гауссовская ве-

личина. При доверительной вероятности а должно выполняться

^Ил/с^л!

Ya) "^

ос,

где Ya —

двухсторонняя

а-квантиль

стандартно-

го гауссовскогр распределения, Р

—

символ вероятности. Но тог-

да ~Ya^

(Ут

-^т)/^ц

"^ Ya И С ВСрОЯТНОСТЬЮ

ВЫПОЛНЯСТСЯ

Ущ

УаС^л ^Ут<Ут

Уа^^ц-

(3.76)

Если дисперсия а^ неизвестна, то, как это делалось в рефес-

сионном анализе, вычисляется ее МНК-оценка

где Ф^^ - к-я строка матрицы Ф,

и находится оценка дисперсии (3.75)

Э^2

= э2(1+ф/(Ф^Ф)Лт).

Далее находится величина г|/а^ и средствами, подобными

применявшимся в аналогичной ситуации в п. 2.3.8, доказывает-

ся,

что эта величина распределена по закону Стьюдента с

N—q—l

степенями

свободы:

г\/Ъ^

t{N—

^ - 1). Но тогда прихо-

дим к подобному (3.76) результату:

Ут-УоРх\^Ут<Ут^УоРц, (3.77)

14Э

где Ya

—

двухсторонняя

а-квантиль

распределения Стьюдента с

N - q-\ степенями свободы.

Алгоритм прогнозирования существенно упрощается, если

столбцы матрицы Ф ортогональны. Используя общий результат

(3.74),

несложно найти:

к=0

\ /=1

гг2 -^2

1+ Е

А:=0|

^l(fm)

^ 9

ХФИ^/)

V/=l

/у

(3.78)

(3.79)

Решение (3.74) легко распространяется на случай/>

7V(0,

А^),

f^iPmP)

т.е.

на случай коррелированного гауссовского вектора

р,

но не коррелированного с величиной/^^^j. Соответствующие ве-

личины оказываются равными:

Т/лТгг-1лч-1лТгг-1 , _^ Т^

Ут

ifm\<b'Kp-'<b)-'<b'Kp-'y

= ф^Ч

ал'

ст2

+ ф/(фТА:^-^Ф)-^

3.5. Рекуррентное прогнозирование

структурно детерминированных рядов

Распространенный метод прогнозирования временных рядов ос-

нован на применении рекуррентных алгоритмов типа

экспонен-

циального

сглаживания.

В этом методе используется полиноми-

альная модель тренда

к=0

И в

зависимости от порядка полинома

который обычно не пре-

вышает 2, применяют тот или иной алгоритм экспоненциально-

144

го сглаживания. Начнем рассмотрение с простейшего случая

^ =

О,

которому соответствует модель ряда

}^/

= ^о+А',/=1,2,...,Ж (3.80)

Существо метода заключается в последовательном использо-

вании вычислительного алгоритма

ayi

+ Р^/.ь / = 1,

2,...,

Л^,

а + Р = 1, ае

[О,

1], (3.81)

или, что то же самое,

5'/

= 5^_i + a0;,._5/_i) (3.82)

при некотором начальном условии i^o.

Величину Si принято называть экспоненциальной средней,

параметр а

—

коэффициентом (параметром) сглаживания. Из

(3.81) последовательно имеем:

Si =

ау1

+ Р^о,

ау2

+ P^i =

а(у2

+ P^i) +

Р^^о,

^з =

(3.83)

= а(уз+Р>'2+Р^1) + РХ...,

=a(yi

ч-РУМ

+р2>;,_2

+...

p'-Vi)

P% =а Е р^'Ч +Р%.

Таким образом, величина Si представляет собой линейную

комбинацию всех предшествующих /-му моменту элементов ряда

и /-Г0 элемента, причем вес каждого элемента ряда

формирова-

нии величины Si в соответствии с показательной закономернос-

тью,

определившей название метода, становится тем меньше,

чем

дальше во времени этот элемент отстоит от /-го момента. По-

следнее можно интерпретировать как стремление алгоритма в

большей степени доверять новым наблюдениям и в меньшей -

более ранним, устаревающим. С ростом / количество участвую-

щих в образовании

наблюдений возрастает, причем вес ранних

из них становится все меньшим.

случае (3.80)

=аоа

i Р'-^ +а i р'Л/t +Р% =

к=1 к=\

= (l-P')ao+aSP'-4+P%-

к=\

145

Математическое ожидание и дисперсия этой величины ока-

зываются соответственно равными:

M{Si}

= (l^^)ao +

&So,

(3.84)

(3.85)

Так

как

P <

то при

/ -> ©о

M{Si}-^ao,

/){5/}

•

Таким об-

разом, при достаточно больших /, что, в свою очередь, возможно

при большом объеме TV выборки временного

ряда,

величина

мо-

жет рассматриваться как несмещенная оценка не изменяющегося

во времени тренда а^. При этом параметр р, характеризующий

эффективность сглаживания, оказывается равным

т-;^~<1.

Формально наивысшая эффективность достигается при а = 0.

Однако этот результат лишен практического содержания, так как

в этом случае

-5*/

= const и говорить о каком-либо сглажива-

нии ряда бессмысленно.

При использовании алгоритма (3.82) возникают по крайней

мере,

два важных

прикладном отношении вопроса: как выбрать

начальное условие

параметр сглаживания а. Однозначных

ответов на эти вопросы

нет.

Из приведенных соотношений следу-

ет, что малые значения а обеспечивают высокую эффективность

сглаживания, но при этом может недопустимо «затянуться» про-

цесс достижения величинами

M{Si}

/){5/}

их предельных значе-

ний, соответствующих наилучшему сглаживанию и условию не-

смещенности. Большие значения а ускоряют переходный про-

цесс,

но ухудшаются сглаживающие свойства алгоритма. Требу-

ется компромиссное решение. Часто рекомендуют выбирать а в

пределах

[0,1;

0,3]. Но известны [16] и аргументированные возра-

жения против этих рекомендаций. Аналогичные проблемы воз-

никают

при выборе

iSo-

идеале хотелось

бы

иметь

i^o

^о и

тог-

да из (3.84) следует

M{Si}

независимо от

Но это практичес-

ки недостижимое фантазирование, так как тренд

ао

неизвестен

(иначе не было бы

задачи).

Иногда вполне приемлемым оказыва-

1 '"

ется решение 5о =— S

УА:»

где m

- некоторое количество началь-

146

ных членов

ряда.

качестве прогнозированного значения У^ ря-

да в случае (3.80), (3.82) принимается

При выполнении (3.80) в качестве альтернативного методу

экспоненциального сглаживания можно рассмотреть рекуррент-

ный метод наименьших квадратов, изложенный выше. В этом

случае МНК-оценка

йо/

величины

UQ,

найденная по наблюдени-

ям у\,

У2,

...,

Уь

рекуррентно выражается через оценку 5o(/_i), со-

ответствующую наблюдениям yi, yi,..., ^/-ь и /-е наблюдение:

^о/=^0(/-1)+т(>'/-йо(М))»

^* =

2. - • (3.86)

Внешне алгоритмы (3.82) и (3.86) очень похожи. Различие

проявляется в том, что вес а второго слагаемого справа в (3.82)

постоянен, а

(3.86) аналогичный весовой коэффициент т явля-

ется переменным

во

времени. Но это казалось

бы

незначительное

различие порождает принципиально разные последствия. Рас-

пространив технологию преобразований (3.83) на

(3.86),

получим

. 1 1. Г ,

«01=>'Ь ^02

= 2>'2 +

2^^^"2^^1"^^2).

12 1 1 / <3-«^>

^03

=^УЪ

+Т^02 =Т(Л +>'2

+>'3).

••- %• =7 ^

Ук-

5 5 i

f^-x

МНК-оценка (3.87), таким образом, как и экспоненциальное

среднее (3.83), является линейной комбинацией наблюдений у\,

У2,...,

yi,

НО,

отличие от (3.83), в (3.87) эти наблюдения входят с

одним

и тем же

весом т,

т.е.

алгоритм не «забывает» более ранние

наблюдения и для него все наблюдения одинаково важны. Если

тренд действительно не изменяется на отрезке [1,7V], т.е. выпол-

няется (3.80), то это свойство алгоритма (3.86) не порождает ка-

ких-либо критических замечаний. Но если вопреки (3.80) вели-

чина

изменит

свое

значение

какой-то момент

t^s

(/j,

/дг),

алго-

ритм (3.86) будет медленно реагировать на

это

изменение, так как

проявляется сильное влияние ранних наблюдений, соответству-

ет

ющих прежнему значению тренда

GQ.

Алгоритм (3.82) более опе-

ративно среагирует на это изменение, ибо

его структуре ранние

наблюдения играют менее значимую

роль,

нежели поздние, соот-

ветствз^ющие произошедшему изменению

тренде.

силу анало-

гичных причин алгоритм экспоненциального сглаживания мо-

жет оказаться предпочтительнее и

случаях медленно «дрейфую-

щего» тренда

GQ.

Однако если (3.80) выполняется, то

M{aoi}

= aonpu\/iG[l,N],

т.е.

рекуррентный МНК формирует несмещенную оценку тренда,

начиная с первого наблюдения ух, а не ассимптотически, как в

случае (3.84). Дисперсия

D{aoi} =

{l/i^}M\

Е/?^/?Л

-^г—^Опри/->оо,

что также предпочтительнее

(3.84).

Дополнительно обратим вни-

мание на то, что для алгоритма (3.86) не существует проблемы

выбора начального условия

5оо,

так как алгоритм нечувствителен

к этой величине. Но еще раз подчеркнем, несмотря на эти досто-

инства, рекуррентный МНК менее чувствителен к возможным

эволюциям тренда, нежели алгоритм экспоненциального сгла-

живания. И объясняется это именно тем обстоятельством, что

при формировании МНК-оценки все наблюдения принимают

участие с одним и тем же весом.

то же время при экспоненци-

альном сглаживании более ранние по отношению к текущему

моменту времени наблюдения сопровождаются существенно

меньшими весами, нежели наблюдения, приближенные к этому

моменту. Это в значительной степени объясняет широкую попу-

лярность экспоненциального сглаживания при обработке вре-

менных рядов, включая и задачи прогнозирования.

Алгоритм (3.82) ориентирован на случай (3.80). Несложно вы-

явить его поведение, если в действительности тренд окажется не

постоянным, а, например, линейно меняющимся:

fi =

aiiJ^l,2,...,N.

(3.88)

Чтобы это сделать, удобно (3.82) переписать в виде

5,4-1

ос№

осУ;+ь

/ =

О,

1,..., ЛГ- 1, (3.89)

148

где принято

;?/+!

= 0. Выражение (3.89) представляет собой про-

стейшее неоднородное разностное уравнение первого порядка с

постоянными параметрами. Найдем его решение, соответствую-

щее начальному условию

SQ.

С этой целью предварительно полу-

чим общее решение этого уравнения. Как известно, оно склады-

вается из общего решения Sj однородного уравнения

5'/+,-(1-а)5'/ = 0 (3.90)

и какого-либо частного решения Si неоднородного уравнения

(3.89).

Уравнению (3.90) соответствует характеристическое урав-

нение Z—(1-ос) = 0с единственным корнемzi =

- а. Следова-

тельно, Si = с(1

—

а)', где с

—

постоянная «интегрирования». Ча-

стное решение уравнения (3.89) в случае (3.88) ищем в виде

S** ~ йо

^1^

^'Д^ ^0' ^1 ^ некоторые пока неизвестные констан-

ты.

Для их определения функции 5/ и (3.88) подставляем в (3.89)

и, рассматривая получающееся выражение как тождество, со-

ставляем систему уравнений

аЬо

+ 6i = а(ао + ui), ab\ = aa\^ji3

которой следует b^

—

^iP/a, b\ = a\. Таким образом, 5/ =

До

- «iP/oc + a\i и рбщее решение уравнения (3.89) оказывается

равным Si =

с(1 —

а)' +

fifQ

—

а\^/а + ац. Для решения задачи Коши

используем начальное условие

^SQ

= с +

^о —

t/i(3/a, из которого сле-

дует с =

iSo

^0 "^

^iP/oc, что позволяет окончательно записать

(-^Ь

«о

+ ^iP/oc)(l - а)' +

До

^ ^iP/ot +

a\iy

(3.91)

/=1,2,...,

Таким образом, если тренд изменяется по линейному закону,

алгоритм экспоненциального сглаживания (3.82) формирует по-

следовательность величин (3.91), которые отличаются от (3.88).

Величину

5/= 5,-/ = (5о-«о + ^iP/oc)(l - а)'*- P^i/a (3.92)

можно назвать ошибкой преобразования линейно изменяющего-

ся тренда оператором экспоненциального сглаживания. При до-

статочно больших / первое слагаемое в (3.92) становится сколь

угодно малым и, как говорят, в установившемся режиме, т.е. по-

сле завершения переходного процесса, будет наблюдаться уста-

новившаяся ошибка буст = —P^i/a. Этот результат следует пони-

149