Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

пример, в [14], и опустим соответствующие пространные ком-

ментарии.

Определение

3.1.

Множество

Л,

элементами которого являют-

ся вещественные функции (для определенности, времени t) или

временные последовательности с установленными соотношени-

ями между элементами, будем называть

вещественным

функцио-

нальным

пространством.

Определение 3.2. Функциональное пространство 3 называют

линейным,

если для любых двух элементов

u(t)

v(t)

из этого про-

странства (т.е. u(t), v(t)e 3) и любых чисел Xj, ^2

линейная

комбинация z(t) = X]w(/) + X2v(t) также принадлежит мно-

жеству 3.

этом определении операции умножения функций на число

и сложения функций понимаются в обычном алгебраическом

смысле (в этом же смысле указанные операции понимаются

да-

лее).

Определение 3.3. Линейное функциональное пространство 3

называется

нормированным,

если существует правило, ставящее в

соответствие каждому элементу

Д/)^

5 вещественное число, на-

зываемое нормой (или длиной) функции ДО? символически

обозначаемое

\\f{t)\\

и удовлетворяющее трем аксиомам нормы ко-

нечномерных линейных пространств [14]:

1.11Д011

приЛО ^

11Д011

«ЛО = 0;

2.||V(0ll

= W«A0l|npHVXGR;

Г(0 +

у(011

11Д011

+ \Ш1 при \/у(0,Л0^3

Определение 3.4. Функциональное пространство 3 называет-

ся

метрическим,

если существует правило, ставящее в соответст-

вие

любым двум функциям

u(t)

и v(/) из Л неотрицательное веще-

ственное число, называемое метрикой (расстоянием) простран-

ства

Л,

символически обозначаемое

p{u(t),

v(/)) и удовлетворяю-

щее трем аксиомам метрики конечномерных линейных прост-

ранств [14]:

l.p(w(0,v(0)

= 0«w(0 = v(0;

p(u(t), v(0) = p(v(/), «(/));

p(u(t),

v(0) <

p{u{t),

z(t)) + pizit), v(0).

Определение 3.5. Линейное функциональное пространство 3

называется

евклидовым

(или пространством со скалярным произ-

110

ведением), если существует правило, ставящее в соответствие

любым двум функциям

u(t)

и v(0 из Л вещественное число, назы-

ваемое

скалярным произведением

функций

u(t)

и v(/), символичес-

ки обозначаемое (w(0, v(/)) и удовлетворяющее четырем аксио-

мам скалярных произведений конечномерных линейных прост-

ранств [14]:

1.(^(0,

v(0) = (v(/),t/(0);

(^(0 + z(th v(/)) =

(u(t),

v(/)) + (z(0, v(0);

(Xu(t),

v(0) =

(u(t),

v(0) при

VAG

(w(0, w(0) > 0 при

M(0

(u(t),

u(t)) = 0^w(0 = 0.

Если в линейном функциональном пространстве определено

скалярное произведение, то обычно принимают:

11/(011=л/(/(0, /(О), (3.6)

р(и(0,

v(0)

=11

u(t)

v{t) 11= V(w(0

v(0,

u{t)

v(t))

(3.7)

и в зависимости от способа определения скалярного произведе-

ния получают

те

или иные норму

метрику.

таком случае гово-

рят, что норма (метрика) порождена скалярным произведением.

Заметим, что если отвлечься от математической аккуратности

мышления, то норму можно интерпретировать как своеобразную

меру «величины» функции и указать, какая функция по норме

больше, а какая меньше. С аналогичной степенью строгости ме-

трику можно рассматривать как «расстояние»

между двумя

функ-

циями.

Для функциональных пространств одной из фундаменталь-

ных является проблема сходимости последовательности элемен-

тов этого пространства.

Определение

3.6.

Пусть

{fnit)}°°n = i

~ последовательность функ-

ций из метрического пространства 3.

Если для Ve > О ЗЛ^(8) > О

та-

кое,

что при всех

п >

Л/^выполняется

р(/п(0,ЛО) "^ £»

где/(Ое

Л,

то

говорят, что последовательность

{fn(t)}°°n =

i в метрике простран-

ства Л

сходится

к функцииДО^Д

Другими словами, последовательность функций

{fn(0}'^n=\

сходится в метрике пространства Л к функции^/) из этого прост-

ранства, если Итр(/^(0,ЛО)

== О

при л

—>

оо.

Это означает, что с

ростом п «расстояние» между элементами последовательности

111

{fn{t)}

и функцией

ДО

становится сколь угодно малым. Если не

возникает недоразумений, то в подобных случаях пишут:

fnit) -^At) при п-^оо.

Если пространство нормировано и метрика порождена нор-

мой, то в случае lim ||/« (0-/(011=0 говорят, что последователь-

ность

{fn{t)} ПО

норме сходится к/(0. в последующем, как прави-

ло,

именно в этом смысле будем понимать сходимость.

Определение 3.7. Последовательность функций

{^(0}°°л

i из

метрического пространства 3 называют

последовательностью

Коши или

фундаментальной

последовательностью, если для

Ve > О

3iV(e)

> О

такое, что для всех т,п> Щг) выполняется нера-

венство

pifniiOJniO) <

е.

У фундаментальной последовательности, таким образом,

«расстояние» между ее элементами при достаточно больших но-

мерах элементов становится сколь угодно малым.

Утверждение 3.1. Если некоторая последовательность

{^(0}°^=lC:Л,

где

Л—

метрическое пространство, сходится к функ-

ции

f{t)G

Д то эта последовательность является фундаменталь-

ной.

Действительно, пусть последовательность

{^(0}°^=ic:5

схо-

дится к функции

ДО^

3. Это значит, что при

3N{E)

> О

та-

кое,

что при п

> iV

справедливо неравенство p(fn(t),f{t))

е. Так

как в соответствии с одной из аксиом метрики p(fn{t),

fm{t)) < p(fnit),AO) + Р(ДО,/т(0), ТО при П,т-^оо ВЫПОЛНЯСТСЯ НС-

равенство

pifmit),

fn(0) ^ 2е, т.е. при достаточно больших п, т

«расстояние» между любыми двумя элементами сходящейся по-

следовательности становится сколь угодно малым. Но в соответ-

ствии с определением 3.7 последовательность

{/«(0}°^=i

тогда яв-

ляется фундаментальной.

Сходящаяся последовательность, таким образом, всегда фун-

даментальная. Но фундаментальная последовательность функ-

ций, в отличие от числовой последовательности, оказывается не

всегда сходящаяся.

некоторых метрических пространствах уда-

ется построить такие последовательности Коши, которые не схо-

дятся ни к какой функции из этого пространства. Вместе

с тем

су-

ществуют и пространства, в которых фундаментальные последо-

вательности оказываются сходящимися, причем сходящимися

112

именно к какому-либо элементу этого же пространства. Такие

пространства принято выделять в самостоятельный класс.

Определение 3.8. Если в метрическом пространстве 3 любая

фундаментальная последовательность сходится к некоторому

элементу этого же пространства, то пространство 3 называется

полным.

Определение 3.9. Нормированное линейное пространство,

полное относительно метрики p(w(/), v(/)) =

\\u{t) —

v(/)||,

порож-

денной его нормой, называется

банаховым

пространством.

Определение

3.10.

Линейное функциональное пространство 3

со скалярным произведением (w(0, v(0) называется

гильберто-

вым,

если оно полно относительно нормы, порожденной его ска-

лярным произведением.

Таким образом, если

нормированном пространстве «рассто-

яние» между функциями определено через норму пространства и

любая фундаментальная последовательность

этом пространстве

сходится по норме к элементу этого пространства, то такое нор-

мированное пространство принято называть банаховым. Если

дополнительно функциональное пространство является евкли-

довым, норма в нем выражена через скалярное произведение и

любая фундаментальная последовательность по этой норме схо-

дится к некоторому элементу

этого

пространства, то такое евкли-

дово пространство называют гильбертовым.

3.2.2. Пространство L2

Абстрактные функциональные пространства в эконометричес-

ких приложениях не находят широкого применения. Обычно ис-

пользуют множества с конкретным заданием скалярного произ-

ведения, нормы и метрики. Распространенным множеством та-

кого вида является пространство Li.

Определение

3.11.

Функция^/) называется функцией с интег-

рируемым квадратом, или

квадратично интегрируемой

на отрезке

[/ь

/2],

если

Jr(Odr<oo, (3.8)

т.е.

интефал существует и конечен.

113

Квадратично интефируемые функции обладают рядом полез-

ных

для последующего свойств.

частности:

квадратично интегрируемая функция является интегрируе-

мой;

2) произведение двух квадратично интегрируемых функций

является интегрируемой функцией;

3) сумма двух квадратично интегрируемых функций является

квадратично интегрируемой функцией;

4) если Л

квадратично интефируема, то и

ХДО

квадратично

интегрируема, где

Хе

Таким образом, линейная комбинация квадратично интефи-

руемых функций является квадратично интефируемой,

а это

зна-

чит, что множество квадратично интефируемых функций образу-

ет линейное пространство.

Определим на множестве квадратично интефируемых функ-

ций следующую интефальную операцию над некоторыми функ-

циями ДО и

u(t):

{m,u(t))=fii(t)mu(t)dt, (3.9)

где |х(0 - произвольная положительная интефируемая функция.

Несложно убедиться, что выражение (3.9) удовлетворяет всем

четырем аксиомам скалярного произведения и, следовательно,

является скалярным произведением в линейном пространстве

квадратично интефируемых функций.

Определение 3.12. Линейное функциональное пространство,

состоящее из квадратично интефируемых на [^i, /2] функций, со

скалярным произведением (3.9) называется

пространством

L2.

Норма и метрика в этом пространстве определяются соответ-

ственно выражениями:

11/(011=

JjM(0/(0^d/, (3.10)

р(/(о,

u(t))=Jjiimf(t)-u(t)fdt, (3.11)

114

в евклидовом пространстве, как известно, выполняются не-

равенства

Коши—Буняковского

треугольника

(Минковского),

имеющие в общем случае соответственно вид:

m.u{t))4m.At)){u{t\u{t)\

ид/)

^/(/)||<||Д011

И/)||.

в пространстве

L2 эти

неравенства таковы:

]\i{t)mu{t)dt

<^^i(0/(0^drJц(rMO^d^ (3.12)

jV(0(/(0

w(0)^d/

jj^i(0/(0^cir

+\]\i{t)u{t)^dt.

(3.13)

Доказывается (например, [14]), что пространство bi является

полным, т.е. представляет собой гильбертово пространство со

скалярным произведением (3.9). Во многих случаях принимается

|Li(0 = 1, и тогда приведенные соотношения упрощаются.

Сходимость последовательности функций {fn{i)Yli=\^^i к

функцииУ(0^

понимается в смысле равенства

lim||Li(/)(/,(/)-/(/))2d/

и в этом случае говорят, что последовательность функций

{fn{t)Tn^\

сходится к функцииЛО

в среднеквадратическом

смысле.

3.2.3. Ортогональные и ортонормировонные

системы функций

Рассмотрим некоторую систему функций

\fn{t)Y°n = 1

^^2,

{t\,

^2],

у которой ни одна из функций тождественно не обращается в

нуль на

[t\,

tj\.

Определение 3.13. Система функций

{fn{t)Y^=^

называется ли-

нейно независимой

на отрезке [^ь /2]^ ^сли любая конечная сово-

115

купность этих функций/х!

W'/cx2

^^)'

'•">fan(0

являстся линейно

независимой при всех

te[t\,

ti], т.е. равенство SP//a.(O

= 0

воз-

можно лишь тогда, когда все

Р/

= 0. '

Отметим, что в функциональных пространствах в общем слу-

чае можно указать систему из произвольного конечного числа

линейно независимых функций. Поэтому такие пространства (в

том числе и hi) называют

бесконечномерными.

Определение 3.14. Система функций

{4(0}"^

= i

называется

ор-

тогональной

на отрезке [/], /2], если любые две функции/(О,

J^CO

(/ ^j) из этой системы обладают свойством:

(fi{t),fj{t))

= 0. Сами

функции в этом случае также называются ортогональными.

Определение 3.15. Система функций

{fn{t)Y°n = 1

называется

ор-

тонормированной

на отрезке

[t\,

ti], если любые две функцииУ/(0,

fj{t)

из этой системы ортогональны и каждая из них имеет единич-

ную норму, т.е.

[1,

/=У.

этом случае говорят, что сама функция

нормирована.

Ортогональную систему функций легко превратить в орто-

нормированную путем перехода к функциям fi (t) = fi(t)/^t)\\,

/=1,2,....

Ортогональная система функций является линейно не-

зависимой. Действительно, рассмотрим равенство SP//)(0

= 0.

Умножив обе его части скалярно на функцию/|;(/),

учетом орто-

гональности получим

РА:11/А:(01Г

О =>

РА:

О?

Т.е.

линсйная комби-

нация ортогональных функций обращается в нуль только при

равных нулю весовых коэффициентах, что является признаком

линейной независимости. Опять же, любую линейно независи-

мую

систему функций

помощью специальной операции ортого-

нализации можно превратить в ортогональную или

ортонорми-

рованную.

Определение 3.16. Ортогональная (ортонормированная) сис-

тема функций называется полной в Li, если в этом пространстве

нет ни одной функции, кроме нулевой, которая была бы ортого-

нальна ко всем функциям данной системы.

Доказывается, что в пространстве L2 существуют полные ор-

тогональные системы функций. Приведем рад таких систем,

характерных для приложений.

116

Основная тригонометрическая

система функций

cos/, sin/,

cos

2/,

sin

2/,

cos3/,

sin3/,....

Система является ортогональной на отрезке [—тс,

я].

Действи-

тельно, пусть /

Ф],

Тогда при ц(/)

(cos//,

COS Jt)= j

COS

it COS jt d/

- / (cos(/-y)/+cos(/

y))d/

= 0,

—-rr -^ —TT

(sin//, siny/)= / sin// siny/ dt

= —

j (cos(/~y)/--cos(/

y))d/

= 0,

-Я

-^-TC

я J я

(cos//,

siny/)= / cos// siny/ d/

= —

J (sin(/+ у)/- sin(/- у

)/)d/=

-Я ^-я

(1,

cos//)= J cos//d/

= 0,

-Я

(1,

sin//)= J sin//d/=0.

-Я

Система не нормирована, так как

l|l|hJj^d/=V2^,

cos //11=

I J

(cos

//)^d/

л/я,

IIsin//11=

J J (sin//)^d/

VTC.

Ортонормированная основная тригонометрическая система

имеет вид:

1 1 1 . 1 .1.^1 , 1 . ,

-т=-,

-T=cos/, -p^sin/, -?=cos2/, -r=-sin2/, -j=cos3/, -7=sin3/, ... .

V27C

л/тс л/тс л/тс л/тс л/тс л/тс

117

Тригонометрическая

система

общего

вида

cos

(О/,

sin

(О/,

cos

2со/,

sin

2Ш,

cos

ЗсоГ,

sin Зсо/,....

Система ортогональна на отрезке

"2'2

|, где

—. Дока-

зательство аналогично предыдущему. Ортонормированная триго-

нометрическая система общего вида такова:

7^'

J-^

cos

со/,

J~sino)/, J^

cos

2(0/,

J~sin2co^

^~cos3co/, ^^

sin

3(0/,

Многочлены Чебышева

первого рода Т^О)

Эти многочлены задаются рекуррентным правилом

r,+i(o

2tTr,{t)

т;

i(o,«

1,2,3,...

при начальных условиях 7о(0

—

\,T\(t)

—

t. Они являются ортого-

нальными на отрезке [—1, 1] с весом

jbi(/) =

l/Vl-/^, причем

\ Ti(t)Tj{t)

(T,(t),

Tjit))=l ' \ dt

О, />y,

71,

y=0.

Ортогональные многочлены Чебышева, таким образом, име-

ют вид:

-^го(о,

^т),

^т,т,

^т,....

Многочлены Чебышева

второго рода 1/^(0

задаются рекуррентным соотношением

Un+i(t)

2tU„(t)

-Un- i(0,

= 1, 2, 3,...

118

при начальных условиях

t/o(/)

= 1,

U{(t)

2/.

Эти многочлены ор-

тогональны на отрезке

[—1,

с весом ц(0

= V1

-/^, при этом

(f/ДО,

Uj(t))= J

Vb^f//(/)f/y(Od/

О, /Vy,

Ортонормированная система имеет вид

^Uo(t),

^U,it), ^U,it), ^U,it),

...

Многочлены Лежандра

Р/О, вычисляемые по правилу

Pn^i(0 =

—Tt^n(t)--rrPn-i(0,

« =

2, 3, ...

ft-t

при начальных условиях Ро(0 =

Pi(0 ~

Многочлены Лежанд-

ра ортогональны на отрезке [-1,

с весом ^i(/) = 1, причем

{P,(t),Pj(t))=jP^(t)Pj{t)dt

-1

О, i^j,

2 . .

ТТ7'

^=-^'

2AZ

что позволяет построить ортонормированную систему многочле-

нов Лежандра:

jjPoit),

]|л(/),

j^Piit),

-J|P3(0,....

прикладных задачах находят применение и другие системы

функций: многочлены Эрмита, многочлены Лагерра, функции

Радемахера, функции Хаара, функции Уолша и др. Заметим, что

все перечисленные системы функций, исключая функции Раде-

махера, являются полными.

119