Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

значений

ее

аргумента

//, / = 1, 2, ..., N,

можно отождествить

Л^-мерным арифметическим вектором

компоненты которого

равны соответствующим значениям функции

Д//),

т.е.

/'^=1Л/1)Л^2)...Л^/^)]еК^. (3.32)

Тогда

соответствии

обычными векторными операциями

выразим

т).

и(т =

(Г,

и)

^/и =

uV, (3.33)

Р(/(^/),

«(0))=11/-«11=л/(/-и. /-«)=V(/-«)V~«). (3-35)

Пусть теперь

{^;^(^/)}\=

2,...,

N, -

это Л^линейно неза-

висимых

функций,

определенных

Л^дискретных

точках.

Тогда N

векторов

еь

^2,...,

^м

сформированных по принципу (3.32), так-

же линейно независимы

пространстве R^

и,

так как

простран-

ство R^

— ЭТО

Л^-мерное, образуют

нем базис. Любую функцию

f{ti),

/ = 1,2, ...,

Л^, можно единственным образом представить

виде линейной комбинации этих функций:

/(Г/)=ХР^е^(Г,), (3.36)

А:=1

Причем весовые коэффициенты разложения (координаты) одно-

значно находятся

из

системы линейных алгебраических уравне-

ний

/=ХР^^ь (3.37)

являющейся совместной

определенной. Если ввести обозначе-

ния 1?=

[ех

ei...

^л^],

= [Pi

Р2

...

Рл^]^,

система (3.37) приобретает

вид/- £Р, откуда следует ее решение

£"!/: (3.38)

Поиск этого решения существенно упрощается, если функ-

ции

eiJJi),

следовательно,

векторы

е^

ортогональны (ортонор-

мированы), т.е.

ei^Bj

при

Ф],

Такие функции, как уже отме-

130

чалось, линейно независимы и образуют ортогональный (орто-

нормированный) базис. В этом случае достаточно обе части ра-

венства (3.37) скалярно умножить на

ву,

чтобы получить

Ру

{ерЛ

I \\4 = ^/// ^Л (3.39)

при ортогональных векторах и

Р/ =

(^у,/)

= ^// (3.40)

при ортонормированных векторах. Последний результат непо-

средственно следует и из (3.38), так как в этом случае матрица Е

оказывается ортогональной и для нее

Е~^

= Е^. Полученные вы-

ражения обладают явным вычислительным преимуществом пе-

ред общим результатом (3.38), не будучи связанными с трудоем-

кими операциями обращения матрицы. Обратим внимание на

внешнее совпадение соотношений (3.39), (3.40) и ранее получен-

ных определений коэффициентов Фурье (3.19), (3.20). Поэтому и

величины (3.39), (3.40) обычно

Yidi^bY&2i\Qni коэффициентами

Фурье,

Возвратимся теперь к математической модели (3.1), (3.2) вре-

менного ряда. Предположим, что в качестве функций ФА:(//) вы-

браны ортогональные (ортонормированные) функции ву^(^/)>

А:

= О, 1, ..., ^. Модель тренда должна быть достаточно простой,

чтобы работа с ней не порождала дополнительные трудности, но

и не настолько элементарной, чтобы оказаться не адекватной

изучаемому экономическому

явлению.

Поэтому соблюдается ус-

ловие ^ +

< Ж В этом случае система

{ei^{ti)]\

= о Уже

не может

быть базисом в Л^-мерном пространстве R^, в силу чего произ-

вольную функциюД//), / =

О,

1,...,

Л^,

нельзя абсолютно точно за-

дать разложением по этим функциям. Возможно приближение

/(//)= i

ci,ei,(t{),

/ =

1,2, ..., TV, или f^ 2

с^е^,,

(3.41)

Как

в пространстве

L2,

коэффициенты разложения должны

обеспечить условие

q 2

Эта задача подобна рассмотренной ранее задаче (3.22), реша-

ется аналогичным образом и приводит к тому

же

результату:

131

=(<f.ek)/\\ekt

^ , k

1, ..., q,

(3.42)

при ортогональных функциях и

=(f,ek)=lf(ti)ek(ti), k

1, ..., g, (3.43)

при ортонормированных функциях. Точность приближения вы-

ражается подобным (3.25) образом:

minll/- i

СкСк

\\ff -icl

Wck

\t (3.44)

Обратим внимание на одно важное обстоятельство, касающе-

еся результатов (3.42), (3.43). По существу, используемая целевая

функция J та же, что ранее использовалась нами в методе наи-

меньших квадратов при поиске оценки параметров линейной ре-

грессионной модели. Поэтому соотношения (3.42), (3.43) можно

рассматривать как обычные МНК-оценки вектора с =

[CQ

...С^]^,

но полученные с учетом ортогональных свойств приближения

(3.41).

Действительно, если использовать обычный аппарат мето-

да наименьших квадратов, то минимизация целевой функции

J=\\f-

JLckek\?=\\f-Ect,TjxQE-=^[eQex

... е J, приведет к уже

известному результату с =

{E^E)~^£^f.

С учетом ортогональности

столбцов матрицы Е имеем Е^Е = diag [|Ыр],

= О, 1, ..., ^, т.е.

(Е^Е)-^

= diag [Ы'\ Так какE^f= [V/^i /..• ejj\^, приходим к

вычислительно более предпочтительным соотношениям (3.42).

Таким образом, если модель временного ряда

(3.1)

имеет квазиде-

терминированную структуру:

У/= t

Ckek(ti)-^Pi,

/ =

то МНК-оценки параметров модели определятся соотношения-

ми (3.42), (3.43), в которых вектор/и его компоненты следует за-

менить на вектору=

\у\,У2,

••-, Ум1

и его компоненты соответст-

венно. Это же относится и к (3.44).

132

3.2.8. Ортогональные системы тригонометрических

и полиномиальных дискретных функций

Рассмотрим теперь некоторые конкретные системы функций,

ортогональных на дискретных множествах значений их аргумен-

тов.

Начнем рассмотрение с

тригонометрических

функций.

В п.

3.2.3 отмечалось, что тригонометрическая система общего вида 1,

cos

со/,

since/, cos2co/, sin2co/, cos3co/, sin3co/, ... является ортого-

нальной в смысле пространства bi на отрезке

[-я/со,

тг/со].

Стро-

го говоря, эта система является ортогональной на любом отрезке

длительностью 27i/co.

Предположим теперь, что отрезок [О, 2я/со] точками

/Q»

^ь •••,

/дг

разбит на

Л^

непересекающихся участков длительностью In/odN

каждый. В этих точках, таким образом, // = 2я//соЛ^, / =

О,

1, ..., Ж

Рассмотрим свойства тригонометрической системы в # дискрет-

ных точках /ь

/2,...,

tN-

При этом из всей бесконечной совокупно-

сти функций, формирующих тригонометрическую систему, огра-

ничимся первыми

Л^

функциями, т.е. функциями 1, cos

со/,

sin

со/,

cos

2со/,

sin 2со/,..., cos 7Vco//2 при

четном и функциями 1, cos

со/,

sin

со/,

cos2co/, sin2co/, ..., sin

(Л'^

—

1)со//2 при

нечетном . В /-й

точке // (/ = 1, 2, ..., N) эти функции принимают соответственно

значения 1,

cos2ni/N,

sm2ni/N,

..., cosя/и 1,

cos2ni/N,

sin2ni/N,

..., sin (TV-

\)ni/N,

Доказываются (например, [3]) важные для нас

свойства этих функций:

[0,0<A:^y<[7V/2],

bv/2,

0<k

j<N/2, (3.45)

[N, k

= 0

или N/2,

X cos 2nj'i/N cos

27iki

/ N -

X cos 2nji/N sin 2nki/N=0, Л,

у = 0,

1, ..., [N/2],

sin 2nji/N

sin

2nki/N

•

0,0<кФ]<Щ2],

N/2,

0<k

J<N/2,

0, k

= J = 0

или N/2,

'Zcos2nki/N=0, к

1,2, ..., [N/2],

Ysm2nki/N=0, k

\,2, ..., [N/2],

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

133

где [Л//2] = N11, если TV четное, и [ЛУ2] = (N- 1)/2 при нечетном

N. Соотношения (3.46), (3.49) показывают: если N четное, то

функции 1,

COS

Ini/N,

sin

Ini/N,

cos4ni/N,

sm4ni/N,

...,

cos (Л^

—

l)ni/N,

sin (N -

l)ni/N,

cos ni = (-1)' образуют ортого-

нальную на дискретном множестве точек t\, ti, ..., /^v систему

функций; при нечетном

таким свойством обладает система 1,

cos

Ini/N,

sin

Ini/N,

cos4ni/N,

sin

Ani/N,

..., cos

(TV —

l)ni/N,

sin(N—

\)ni/N.

Эти функции не нормированы, а именно:

\\coslnki/Nf='L{coslnki/NY=N/l, Q<k<[N/2], (3.50)

/=l

||sin27iA://A^|r=S(sin27cA://TV)2=TV/2, 0<^<[TV/2], (3.51)

/=1

l|l|P =

TV,

(3.52)

ll(-l)f =

TV.

(3.53)

Имея в виду (3.50)~(3.53), легко построить соответствующие

нормированные функции. Но независимо от нормировки эти

функции в пространстве R^ образуют базис (ортогональный или

ортонормированный) и, следовательно, любая функция f(t^,

/ = 1, 2, ..., TV, может быть единственным образом представлена

разложением по этому базису подобным (3.36) образом:

при четном

iV/2-l

/(/.)

= ^0

+ S {bkcosInki/N

ct^

sinInki/N)

b^^ni-iy, (3.54)

A:=l

при нечетном

{N-\)/l

fiti)

flo

+ 2 ih cos Inki

/N-hCf^

sin

27iA:/

TV),

(3.55)

где no аналогии с (3.42)

ao=-^lf(ti),

bk=-^lf(ti)cos2nki/N,

/=i

c^ =-| I f{ti)sin2nki/N, 6^/2 =-- S /(r,)(-l)^

(3.56)

134

Эти функции применяют для математического представле-

ния тренда, содержащего периодические составляющие. Модель

тренда формируют подобным (3.41) образом со всеми последую-

щими выводами (3.42)

—

(3.44).

Вторым важным для эконометрических приложений классом

функций являются

ортогональные

на множестве

{/Q,

^Ь

...,

^Л^}

мно-

гочлены. Обычно задача построения таких многочленов ставится

так. На отрезке

[а,

Ь]

задана некоторая функцияД/). Этот отрезок

равноотстоящими точками

= a,ti,t2, ...,t]^= b разбивается на N

непересекающихся участков, так что ti =

а +

i(b

a)/N и, как

следствие,

)^т1Л,

1 =

....

(3.57)

Ь-а

Требуется построить Л^+ 1 многочленов

PQ,

М)^

Л,

NUI)^

•••»

f^N,

лК^/) соответственно нулевого, первого

т.д. 7V-ro порядков,

определенных и ортогональных на множестве {/Q, /Ь ...,

/ДГ}

И ПОЗ-

ВОЛЯЮЩИХ аналогично (3.36) представить

/(//)=

cj^P^M^,), /

= 0,

1, ...,

(3.58)

где

Ck —

определяемые подобным (3.39) или (3.42) образом коэф-

фициенты Фурье. Чтобы не быть привязанными

конкретным

значениям величин

/Q,

/j,...,

/дг, обычно ищут многочлены Д,

NU]^

О,

I, ..., N,

ортогональные

на

целочисленном множестве

{О,

1,..., Л^ значений их аргумента, а после того как такие много-

члены найдены, при необходимости аргумент / в них заменяют на

// в соответствии с (3.57). Известны [15, 16] явные выражения для

многочленов Д^

дг1/],

= 0,

I,...,

Pk^NU]=

i {-ircici^'^ii/Nr,

(3.59)

где Cj^ —k\

m\(k

—

m)\

—

биномиальные коэффициенты. В част-

ности,

^,7vW

= l-^,

135

^ ,., , 6/

6/(/-1)

N N(N-iy

' ... ^ 12/- 30/(/-1) 20/(/-1)(/~2)

Л^

N(N-1) N(N-l){N-2)

Многочлены (3.59), часто называемые дискретными полино-

мами

Лежандра—

Чебышева,

обладают свойством

/=0

0, ki^s,

{N-\-k

\){N +

k)^

, (3.60)

{2k +

\)N^

', k=s

т.е.

многочлены ортогональны, но не нормированы. Их исполь-

зование для моделирования тренда аналогично общему случаю

(3.41) с естественной заменой функций

ei^{tj)

на ортогональные

многочлены,

3.3. Предварительное (локальное) сглаживание

временных рядов

Одной из часто используемых операций, направленных на

уменьшение влияния случайной составляющей ряда на точность

оценивания параметров тренда, является локальное сглаживание

ряда. Сущность этой операции заключается в следующем.

Пусть наблюдается ряд

(3.1).

Зададимся некоторой величиной

m«N и рассмотрим фрагмент ряда, срответствующий отрезку

yi-mji+ml Т.е. совокупность ВСЛИЧИН y'^Zi = [У/-т У1-т+\ -

У1

yi+fn]

. Здесь предполагается i>m'^

vii<N—m—

Так как дли-

на отрезка

[ti-m,

//+;„] существенно меньше общего интервала на-

блюдения [/i,

/дг],

то на отрезке

[ti-m^

ti+rn]

можно использовать бо-

лее простую модель тренда по сравнению с моделью, например

(3.2),

соответствующей отрезку [t\, /дг]. Обычно в качестве тако-

вой используют многочлен невысокого порядка типа (3.3), т.е.

принимают

)^5

= 21 ЙА:('^~0 +/^5' se[i-m,

i +

m],

п<2т, п<д,

к=0

ИЛИ

же в матричной форме

136

(3.61)

У1-т

-т

МЬ+Р11^,

-(W-1) (/И-1Г

{-т-\)"

„

Pi-m

~\.Pi-m---Pi+mi

•

(3.62)

Используя наблюдения (3.62), находят МНК-оценку

векто-

ра

Л:

rT»^-UVr,./+m

р =

(м'м)-'м*>;;

(3.63)

с помощью которой вычисляют сглаженное значение>^/

/-го

уров-

ня ряда

j^/,

соответствующего

середине

отрезка локального сгла-

живания

[//_;„,

//+;„].

В соответствии с моделями наблюдений

(3.61),

(3.62) при

= / принимают

Tft_

yi^^Mm+i

Р=Ро,

тг

где

Mfn+i

—

(m + 1)-я строка матрицы

М,

Ро

—

первый компонент

вектора р. Из выражения (3.63) следует Ро = Qi yll^, где d^ --

первая строка матрицы

{АГМу^М^.

Следовательно,

yi=Q]y'i-m=

S дЦ-т+\-кУк,

k-i-m

(3.64)

где

q\j—j'Vi

элемент строки Q^. Несложно рассчитать вектор ве-

сов Q^ при различных тип. Так, при п = О имеем М =

[1 1 ... ireR^'^+^H

137

2in

lk=i

i+m

(3.65)

т.е.

происходит простейшее усреднение элементов ряда на отрез-

ке локального сглаживания. Этот алгоритм принято называть

скользящим

средним.

При

находим

= \

-т

-{т-\)

, м'^м^

^•^ У1-т

S yt^s

2 syi^,

j=~m

1 s

s=-m

после вычисления

приходим к тому

же

результату (3.65), т.е.

скользящее среднее является алгоритмом локального сглажива-

ния как

для

многочлена нулевого, так

первого порядка. Можно

показать, что для многочленов второго и третьего порядков так-

же будет общий алгоритм локального сглаживания и т.д. Приве-

денная далее машинная распечатка (рис. 3.1) процедуры вычис-

ления весовых коэффициентов локального сглаживания для раз-

личных тип позволяет в этом убедиться.

Нетрудно оценить эффективность локального сглаживания.

Предварительно условимся под этим термином понимать отно-

шение р дисперсий случайной составляющей /-го уровня ряда

после сглаживания и до сглаживания. В результате сглаживания

величина у/ преобразуется в

р/

соответствии с (3.65), случайная

составляющая

8/которой,

что видно из

(3.62),

оказывается равной

£/ ^ бЛ Pi^' Дисперсия GI ЭТОЙ величины легко вычисляется:

а,2 =

M{Qi^PiLVr

{QiPi-mY} = OWQU где с^ - дисперсия слу-

чайной составляющей исходного наблюдения

у^.

Следовательно,

Р ~ бЛбь и эффективность локального сглаживания, таким об-

разом, просто оценивается. Так, например, при

А1

= 2иЗит = 5

имеем Qi^ =

[-0,086

0,343

0,486

0,343

-0,086] и, значит, р = 0,486.

Аналогично для тех же

= 7 имеем Qi^ =

[—0,095

0,143

0,286

0,333

0,286

0,143 -0,095] и р = 0,333. Вообще следует иметь в ви-

138

исходные обозначения: 2m+1 - количество точек, участвующих в

локальном сглаживании; п - порядок сглаживающего многочлена;

z(n,m) - вектор весовых коэффициентов локального сглаживания

0RIGIN:=1

z(n,m):=

for jG1..n+1

for iei..2*m+1

M::<-(i-m-1)i-'^

Q<-M(M'^M)-'^

M1<-Q<^>

z(2,2)= (-0.086 0.343 0.486 0.343 -0.086)

z(2.3)= (-0.095 0.143 0.286 0.333 0.286 0.143 -0.095)

z(2,4)= (-0.091 0.061 0.169 0.234 0.255 0.234 0.169 0.061 - 0.091)

z(3,2)= (-0.086 0.343 0.486 0.343 - 0.086)

z(3,3)= (-0.095 0.143 0.286 0.333 0.086 0.143 -0.095)

z(3,4)= (-0.091 0.061 0.169 0.234 0.255 0.234 0.169 0.061 -0.091)

z(4,2)= (00100)

z(4,3)= (0.022 -0.13 0.325 0.567 0.325 -0.13 0.022)

2(4.4)= (0.035 -0.128 0.07 0.315 0.417 0.315 0.07 -0.128 0.035)

z(5,2) не существует, так как число п+1 оцениваемых параметров

превышает количество 2т+1 используемых наблюдений и, как

следствие, матрица М' М является вырожденной

z(5,3)= ( 0.022 -0.13 0.325 0.567 0.325 -0.13 0.022)

z(5,4)= (0.035 -0.128 0.07 0.315 0.417 0.315 0.07 -0.128 0.035)

и так далее.

Рис. 3.1. Результат машинного вычисления

весовых коэффициентов локального сглаживания

139