Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

3.2.4. Обобщенные ряды Фурье

Напомним, что в л-мерном

конечномерном

линейном пространст-

ве (т.е. в пространстве, где максимальное число линейно незави-

симых векторов равняется п, а любые л

1, «

2 и т.д. векторов

линейно зависимы) можно любой элемент этого пространства

единственным образом представить

виде линейной комбина-

ции линейно независимых векторов. Если

{^,-}/=

система ли-

нейно независимых векторов

их

—

произвольный вектор из это-

го пространства, то, таким образом, справедливо равенство

x=iciei,

(3.14)

известное как разложение по базису. Если векторы с/, / = 1,

2,...,

л,

взаимно ортогональны, коэффициенты разложения С/, обычно

называемые координатами вектора

дс

в базисе {е/}^=

определя-

ются соотношениями

Q=(jc,e,.)/lrf,/= 1,2,

...,«.

(3.15)

Возвратимся теперь

функциональному пространству L2.

Как уже отмечалось, в этом пространстве существует неограни-

ченное число линейно независимых элементов. Пусть {в,(0}7= i

одна из таких систем. Пусть, далее,/(/)

—

некоторая функция из

Li- Тогда становится логичной мысль о возможности представить

функцию/(0 подобным (3.14) образом, т.е. в виде

f(t)-icMO,

(3.16)

где

С/

—

некоторые весовые коэффициенты.

Здесь, в отличие от (3.14), знак равенства заменен символом

соответствия ~ по той причине, что не оговорено, в каком смыс-

ле понимается соответствие между функцией ДО

стоящим

справа рядом. Представляется вполне естественным знак соот-

ветствия заменить знаком равенства, если правый ряд в каком-то

смысле сходится к функцииДО-

Пусть

S„(t) —

п-я частичная сумма ряда из (3.16), т.е.

120

Будем говорить, что ряд

Y.Ciei{t)

сходится по норме к функ-

ции

Д/),

если ^""^

lim||5,(0-/(0lP

= 0.

(3.17)

В случае выполнения (3.17) будем писать

/(0=Sq^/(0 (3.18)

/=1

и говорить, что функция до задана разложением по системе

функций

{^/(0)7=

1- Если выполняется (3.18), несложно опреде-

лить соответствующие этому равенству коэффициенты с/, / = 1,2,

... . Для этого обе части (3.18) умножим скалярно на

ejjj),

вос-

пользуемся свойствами скалярного произведения, справедливы-

ми и в случае ряда, и учтем ортогональность функций ejjj) и ^,(0

при (Фк.В результате получим подобное (3.15) выражение

= (ДО,

е^и))/\\еМ\\

к=^\Л,..., (3.19)

или

с^ = (Д0,^л(0)Д=1,2,..., (3.20)

если система функций

{^/(017=

i ортонормирована. Коэффициен-

ты (3.19), (3.20)

HdiZhiBd^OT коэффициентами

Фурье.

Итак, предположим, что выполняется (3.17), хотя пока мы и

не знаем, при каких условиях это выполняется. В этом случае, по

нашей договоренности, справедливо соотношение (3.18).

Определение 3.17. Пусть {в,(0}7= i ~ некоторая система орто-

гональных (ортонормированных) функций из bi и/{1)е Li. Пусть,

оо

далее, выполняется (3.17). Тогда ряд S

CiCiit),

где

С/,

/=1,2,..., -

/=1

коэффициенты Фурье (3.19), (3.20), называется

обобщенным

ря-

дом Фурье

функции/(0 по системе функций {е,(0}7= i и использу-

ется запись (3.18).

В этом случае будем говорить, что функция ДО представлена

обобщенным рядом Фурье по системе функций {в,(0}Г= ь Если

же для некоторой функции ДОе Li построен ряд S

с/вД/)

с коэф

фициентами Фурье (3.19) или (3.20), но не доказана сходимость

121

ряда к функции Д/) или выявлено, что ряд сходится, но не к

функции

ДО,

то такой ряд принято называть

формальным рядом

Фурье

функции ДО и использовать запись (3.16).

Если некоторая система функций

{е,(0} '**'/= i

обеспечивает ра-

венство (3.18) для

любой

функции ДО из L2, то такую систему

функций называют

ортогональным (ортонормированным) базисом

пространства Ьг-

3.2.5. Минимальное свойство коэффициентов Фурье

Использование обобщенного ряда Фурье как математической

модели некоторого процесса ДОеЬг при решении практических

задач часто приводит к избыточно громоздким результатам. По-

этому стараются ограничиться приближенными моделями, менее

точными, но позволяющими получить вполне реализуемые соот-

ношения при обработке временных

рядов.

Подобная модель мо-

жет быть получена, если использовать частичную сумму ряда по

некоторой системе ортогональных (ортонормированных) функ-

ций {е/(0}7=

этом случае, таким образом, приближенно пред-

ставляем

/(0-iV/(0, (3.21)

где

bi,

1= 1,2, ..., q— некоторые неизвестные пока коэффициен-

ты.

Эти коэффициенты, очевидно, следует выбрать так, чтобы

обеспечить наивысшую в некотором смысле точность приближе-

ния (часто говорят, аппроксимации) (3.21). Функцию

E{t) =

nt)-ibMO

назовем

ошибкой аппроксимации

(3.21). Величину этой ошибки

условимся характеризовать ее нормой или квадратом нормы

||8(/)|р.

Тогда коэффициенты

6/,

/ = 1,

2,...,

следует выбрать

со-

ответствии с условием

|е(/)|Р =

/=1 A:=l

-^ min , (3.22)

обеспечивающим наивысшую точность аппроксимации.

122

Утверждение 3.2. Величина ||8(0|Р достигает наименьшего зна-

чения, если в качестве коэффициентов 6/ принять коэффициен-

ты Фурье

С/,

те. положить

bi =

Cj,

1,2,....

д.

Для доказательства удобно ||е(0|Р записать в развернутом виде

1|е(0|Р

(/(0, /(0)-21 АД/(/),еД/))+ i i bM^iit), ^И0)

/=i

i=\k=\

(3.23)

HI/(Of ~2Е /^ДЛО,^/(0)+ i bf |кД0|Р.

/=1 /=1

Запишем необходимое условие минимума величины (3.23)

^1|£(0|Р

-(/(0, ej,{t))-^bj,\\ek(t)f

к^\, 2, ..., ^,(3.24)

откуда непосредственно следует

bk =

(ДО,

^А(011

/ 1к(0|Р = ^ь

/fe

= й".

Так как V^||e(0|P = 2£ > О, т.е. матрица вторых производных

V^||e(0|P является положительно определенной, полученный ре-

зультат действительно является решением задачи (3.22).

Итак, аппроксимация (3.21) оказывается наилучшей в смыс-

ле минимума нормы ошибки, если в качестве весовых коэффи-

циентов

использовать коэффициенты Фурье

С/.

этом

прояв-

ляется свойство минимальности коэффициентов Фурье. Заме-

тим, что система уравнений (3.24) приобрела простейший вид,

при котором каждое из уравнений системы содержит лишь одну

неизвестную величину благодаря ортогональности системы

функций

{^/(0)1=

ь Если бы эти функции были неортогональны-

ми,

система уравнений, полученная в соответствии с условием

минимума величины (3.23), не распалась бы на q независимых

уравнений, каждое из уравнений содержало бы все q неизвест-

ных, и решение системы не свелось бы к коэффициентам Фурье.

Найденное решение обладает еще одним замечательным качест-

вом: если по каким-либо причинам количество слагаемых

q в

ап-

проксимирующей модели (3.21) оказалось недостаточным и его

следует увеличить, то все коэффициенты не надо пересчитывать,

а нужно вычислить лишь новые коэффициенты

сд^,

/с

= ^ + 1,

123

^ + 2 и т.д., сохранив все предыдущие коэффициенты. Если бы

использовалась неортогональная система функций, пришлось бы

пересчитывать все коэффициенты.

Найдем минимальное значение величины (3.23)

—

min||8(/)|p.

С этой целью представим

Ht)f=\\mf

bi(m, ^до)+i А/НЛО, ^/(0)+*/ WeMh

Эта величина в соответствии с доказанным будет минималь-

на, если выполняется (3.24) и

С/.

Но тогда

min||e(0|P

||/(Of -ЕсДЛО, e/(0)

ll/(Of

Лс}

ЫО\\\ (3.25)

Так как min ||е(0|Р ^

О,

то из (3.25) следует

\\f(t)f>icf\\eM^

(3.26)

при ортогональной системе функций {б,(0}^= i и

\\f(t)f>icf

(3.27)

1=1

при ортонормированной системе

{^/(О}^

Выражения (3.26),

(3.27) называют

неравенствами

Бесселя.

Рассмотрим состоящий из неотрицательных членов числовой

ряд Ес/ 11^/(011

Так как

силу (3.26) частичные суммы этого ря-

да ограничены, то ряд сходится и, следовательно, справедливы

общие результаты

||/(0|Р>1с?|кдо|р

/=1

при ортогональной системе функций

{^,(0}1=

124

при ортонормированной системе

{е/(/)}^

= i. Как следствие, из

сходимости ряда имеем

С/^||е,(0|Р

—> О

при

/ -> ©о для

ортогональной

системы функций

с}

-> О

при

©о для

ортонормированной си-

стемы.

3.2.6. Сходимость обобщенных рядов Фурье

Прежде чем обсуждать проблему сходимости рядов Фурье, рас-

смотрим небольшой пример, не имеющий практической значи-

мости, но иллюстрирующий технику представления (аппрокси-

мации) некоторой функцииД0^Ь2 частичной суммой обобщен-

ного ряда Фурье. Прежде всего отметим, что функция

Д/)

и ис-

пользуемая ортогональная (ортонормированная) система функ-

ций

{е|(0}%

могут быть определены на разных

множествах.

Что-

бы воспользоваться изложенным аппаратом, их нужно «привес-

ти» к единому множеству определения. Это можно сделать, на-

пример, так.

Пусть функция ДО определена на отрезке [а,

й],

т.е. /е

[а,

6], а

система функций {е/(т)}^/= i ортогональна на отрезке [с, d\, те.

TG[C,

d\. В качестве аргумента системы функций записана пере-

менная

именно для

того,

чтобы подчеркнуть тот

факт,

что пере-

менные / и т принадлежат разным множествам. Чтобы привести

их к единому множеству, представим

= а +

Л(й

- а), т = с + A,(rf -

с),

[О,

1].

Выразив X, например, из первого соотношения и подставив

во второе, найдем т = с + (/ -

d){d

- c)l(b - а). Если теперь в со-

ставе функций

{^/(т)}^/

= 1

аргумент т заменить в соответствии с

последним выражением, получим систему функций

[ех

(/)}^

ортогональную на множестве [а, 6], на котором определена и

функция ДО- Если же подобным образом выразить / = <з +

Н-

(т

—

с)ф

—

d)l{d

—

с) и это значение подставить в выражение

функции Л0> получим новую функцию /(т), определенную на

[с,

d\, на котором ортогональна исходная система функций

{е,(т)}^/=

Оба приема, разумеется, эквивалентны

смысле полу-

чения одного и того

же

результата и позволяют после такой заме-

ны аргументов воспользоваться изложенными результатами.

После сделанного замечания рассмотрим следующий пример.

Пусть мы хотим функциюДО = 1+ /,

[О,

2], представить в виде

125

частичной суммы обобщенного ряда Фурье по многочленам Ле-

жандра, ограничив приближение первыми тремя слагаемыми. В

данном случае, таким образом, ei(T) =

Ро{т)

= 1, е2(т) = PI(T) = т,

ез(^) = Р2(^) = 3TV2 -1/2, причем

те[-1,

1], т.е. [а, Ь] = [О, 2],

[с,

d] = [-1, I]. Переопределим функции Лежандра так, чтобы

они оказались ортогональными на отрезке [О, 2]. С этой целью

выражаем т = /

—

1 и получаем

(t) = 1, Pi (t) = t

—

1, P2 (t) =

= 3/^/2

—

3/ + 1. Теперь нам необходимо найти коэффициенты

Фурье

Со,

сь

С2,

которые с наивысшей, как мы выяснили, точнос-

тью позволят представить ЛО ~ ^о^о (О + ^1Л (О "^ ^2^2 (О- Эти

коэффициенты находятся в соответствии с (3.19):

Ci=m.Pi\tMp;(t)\\\i==o,i,2.

Имеем:

\\Po(t)f

iPo4t)dt

\\P;(t)f==jPP(t)dt

2/3;

О о

ll^2(0f

J/'2^Wd/

2/5;

(ЛО,

Po{t)f=Ul^t)dt

(fit),

P;(t)f=Ul

t)(t-l)dt

2/3;

о о

(fit),

P2*(0)^=J(l

0(3rV2-3/

l)d/

= 0

и, следовательно,

= 2, ci = 1,

С2

О,

что приводит к окончатель-

ному результату: ЛО =

CQPO

(/) +

C]Pi

(О = 1 + /. В этом простей-

шем случае, как врщим, с помощью всего лишь двух слагаемых

ряда Фурье удалось совершенно точно описать функцию Д/) =

= 1 + /, что, еще раз подчеркнем, объясняется простотой задачи.

В общем случае такой «блестящий» результат не достигается, но

при удачном выборе системы функций

{е,(т)}^

= i и достаточно

большом их количестве q можно сколь угодно близко к нему по-

дойти.

Определение 3.18. Ортонормированная (ортогональная) сис-

тема функций

{^,(т)}7

= 1 называется замкнутой, если любую

функциюДОе

можно по норме этого пространства приблизить

126

с любой точностью линейными комбинациями конечного числа

элементов этой системы.

Утверждение 3.3. Если система функций {е,(т)}'^= i замкнута,

то для любой функции ДО^Ьг неравенства Бесселя (3.26), (3.27)

переходят

точные равенства соответственно

\\f{t)t-ic}\\e,{t)\t ||/(OlP=ic/,

/=1 /=1

называемые

равенствами

Парсеваля.

Ограничим доказательство вторым из этих равенств, относя-

щимся к ортонормированной системе функций. Из определения

замкнутой системы следует, что при

Ve > О

> О

такое, что

0<i|/(Of-ic?<e. (3.28)

Но это эквивалентно условию

lim|||/(/)f-ic?]=0,

так как

при

возрастании

сумма

(3.28)

может только

возрастать.

Последнее эквивалентно второму

из

записанных равенств Парсе-

валя.

Утверждение 3.4. Если система функций {е,(т)}'7= i замкнута,

то формальный ряд Фурье для любой функции /(/)€

сходится

по норме пространства

к этой функции, т.е.

lim

Г д \

1/(0-1^^/(011

/=1

:0.

Действительно, в соответствии с (3.25) для ортонормирован-

ных функций имеем

wm-^icicM -\\т\?

Лс}

/=1 /=1

Так как при возрастании q правая часть последнего равенства

стремится к

нулю,

приходим к данному утверждению.

127

Существует еще одно очень важное свойство функциональ-

ных пространств, которое мы приведем без доказательства.

Утверждение 3.5. В пространстве hz всякая полная ортого-

нальная (ортонормированная) система функций является замк-

нутой, и наоборот.

И вообще, в функциональных пространствах справедливы

выводы: если ортогональная (ортонормированная) система

функций {е/(т)}°]=

является полной, то она оказывается замкну-

той; с помощью линейной комбинации ее элементов с любой

точностью можно представить произвольную функцию/(Ое

L2;

формальный ряд Фурье функции ДО сходится по норме к самой

функции; выполняется равенство Парсеваля. Такая система яв-

ляется ортогональным (ортонормированным) базисом в прост-

ранстве

L2.

Соответственно, если выполняется равенство Парсе-

валя, то такая система функций является базисом в пространстве

L2,

т.е. выполнение равенства Парсеваля эквивалентно сходимо-

сти формального ряда Фурье функции^/) к этой функции.

3.2.7. Ортогональные (ортонормированные) системы

дискретных функций

При определении временного ряда было указано, что он форми-

руется на основе наблюдений, проводимых в дискретные, как

правило равноотстоящие, моменты времени /ь

/2> •••>

^л^-

Это

яв-

ном виде отражено в модели тренда (3.2). Изложенные же выше

основы теории обобщенных

рядов

Фурье используют концепцию

квадратично интефируемых непрерывных функций с интефаль-

ным определением скалярного произведения, нормы, метрики и

других основанных на этих понятиях характеристик. Поэтому не-

посредственно использовать полученные результаты для матема-

тического описания временных рядов принципиально невоз-

можно. Однако можно построить системы функций, определен-

ных на дискретных множествах значений их аргумента, которые

обладают свойствами и характеристиками, подобными прису-

щим квадратично интефируемым функциям.

Итак, рассмотрим множество функций, определенных в точ-

ках /i,

t2,

...,

tj\f.

Условимся символом У(//), / = 1, 2, ..., N, обозна-

чать некоторую из них. Величину

128

(/(^/), «(//))=

Е/(//М//)

(3.29)

/=о

назовем

скалярным произведением

функций /(//) и w(//).

Нормой

функции Д//) назовем число

ll/(^/)hV(/(^/)'/(^/))=J^/^(^/)- (3.30)

Пол расстоянием

между функциями/(//) и w(//) условимся по-

нимать величину

Р(/(^/),

«(^/))HI/(//)-«(^/)

11=

4U{ti)-u{U), f{ti)-u{U)) =

=JI(/(//)-«(//))^

Можно убедиться, что все введенные величины удовлетворя-

ют соответствующим аксиомам.

Функции У(//) и u{ti) будем называть

ортогональными,

если

(Д//),

w(//)) =

О,

ортонормированными,

если, помимо условия ор-

тогональности, выполняется нормировка

||Д//)||

||w(^/)||

Обра-

тим внимание на

то,

что все введенные определения подобны их

аналогам из пространства Li, но интегральные операции замене-

ны конечными суммами. В выражении (3.29) скалярного произ-

ведения могут быть предусмотрены весовые коэффициенты, мо-

делирующие функцию ц(/) в определении (3.9).

Систему функций

{^А:(^/)}\

о?

где /=1,2, ..., N, будем назы-

вать

ортогональной

на множестве {ti, /2, ...,

^л^}

дискретных значе-

ний ее аргумента, если любые две функции

е^(//)

и еу(//) этой сис-

темы при к

Ф]

ортогональны, и

ортонормированной,

если

где

S/cj

—

дельта-символ Кронекера.

Все введенные понятия удобно переформулировать в терми-

нах линейных конечномерных пространств. Действительно, не-

которую функцию/(//), определенную на множестве дискретных

129