Черняк О.І. та ін. Економетрика

Подождите немного. Документ загружается.

157

Використовуючи наведені вище формули, знаходимо оцінки коефіцієнтів у

структурному вигляді системи:









10 21 11 20

3,594 0,917 0,044 1,302

3,53

0,917

  

 

  



;

0,044

0,05

0,917





  



;















12 21 11 22

0,279 0,917 0,044 0,074

0,215

0,917



 

  



;















20 32 22 30

1,302 0,329 0,074 8,488

3, 21

0,329

  

 

  



;

0,074

0,22

0,329





  



;

















12 21 11 22

0,279 0, 917 0,044 0, 074

0,91

0,279



 

  



Для оцінювання третього рівняння системи в структурній формі застосуємо

двохетапний метод найменших квадратів. Замість змінної

R підставимо її оцінку, що її

ми знайшли:

3,594 0,044 0,279

ttt

RGM  і оцінимо регресію

ttt



 :

ˆˆ

9,33 2,61

IR ,

0,59R  .

Таким чином, остаточно оцінену систему можна записати у вигляді

3,594 0,044 0,279

ttt

RGM  ,

1,302 0,917 0,074

ttt

YGM  ,

ˆˆ

9,33 2,61

IR .

Задачі

Група А

Задача 6.1. Нехай маємо такий структурний вигляд системи одночасних рівнянь:

1101221311

2202212322

tttt

YYXu



  

   

з якої було отримано таку оцінену приведену форму:

112

212

43 8

26 10

ttt

YXX

 

Виходячи зі значень приведеної форми, розрахуйте параметри структурної форми.

Задача 6.2. Чому не обов'язково застосовувати двохетапний метод найменших

квадратів до точно ототожнених (ідентифікованих) рівнянь? Поясніть на умовному

прикладі.

Задача 6.3. Знайдіть зведений вигляд моделі

ttt

tttt

ttt

YCIG



 











 



Визначте, чи є

модель ідентифікованою. Яким чином слід зробити оцінювання коефіцієнтів моделі?

Задача 6.4. Розгляньте таку модифіковану кейнсіанську модель визначення доходу:

158

10 11 1

20 21 22 1 2

ttt

tttt

CYu

IYYu

YCIG



  

   



де

C – споживання; I – витрати на інвестиції; Y – дохід; G – витрати уряду. Нехай Y та

G є екзогенними змінними.

Запишіть рівняння в приведеній формі та визначте, які з них точно

ідентифіковані, а які надідентифіковані.

Який із методів слід використати для оцінювання точно ідентифікованого та

надідентифікованого рівняння?

Задача 6.5. Для моделі попиту й пропозиції грошей

0112 3 1

01 2

tttt

ttt

MYRPu

MYu

    

  

Визначте зведений вигляд моделі..

Визначте метод оцінки системи.

Задача 6.6. Для деякої моделі було обчислено коефіцієнти структурної форми

11221

2112

3123

23,

10,1 4 12 ,

4, 4 0, 95 1, 6

yyx

yyy



  

 





і зведеної:

1121

2122

33113223

7,1 3,8 4 ,

4, 8 2, 3 1, 7 ,

5, 4 .

yxxv

xxv





  

 

Якими методами отримано оцінки структурної та зведеної форм моделі?

Знайдіть невідомі коефіцієнти

13132



.

Задача 6.7. Задано систему рівнянь попиту та пропозиції в зведеній формі. Зробіть

перехід від оцінок параметрів зведеної форми до оцінок одночасних структурних рівнянь.

Обчисліть еластичність попиту та пропозиції залежно від ціни та доходу для

арифметичних середніх цих змінних.

Регресія y

щодо

Регресія y

щодо

Середні значення

змінних

= 144 + 0,005x

–

0,32x

= 522,2 + 0,012x

+ 0,18

Задача 6.8. Зробіть ідентифікацію такої моделі:

1031123

2011322

3021123

yyxx

yyyx

yyxx

  





  





  



Виходячи зі зведеної форми системи

112 3

2123

3123

2410,

36 2,

585,

xx x

yxxx

xxx













  



знайдіть структурні коефіцієнти моделі.

159

Задача 6.9. При оцінюванні системи рівнянь попиту та пропозиції

01 2 1

01 2 2

qpy

qpz



  











де

– ціна;

– обсяг продажів;

– дохід; z – вартість ресурсів, на першому етапі

двохетапного МНК оцінюють регресію p щодо y і

. Доведіть, що в регресіях q

стосовно:



p і y



p і

збігаються залишки.

Група Б

Задача 6.10. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

01 2 1

01 2 2

tttt

RMY

YRI



  

   

Задача 6.11. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

01 211

01 212

tttt

CYY

IYY

YCIG





  

   



Задача 6.12. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

0 1 211

01 212

01 2 3

tttt

CYC

IRI

RYM

YCIG





  

   

   



Задача 6.13. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь



0 1 211

01 1 2

tttt

ttt

CYC

IYY

YCI





  

   



Задача 6.14. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

0 1 211

01 2 2

01 2 313

tttt

ttttt

tttt

CYC

IYR

RYMR

YCIG



   

   

    



Задача 6.15. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

01 2 1

01 2 3 2

01 3

tttt

ttttt

ttt

CYM

YRIG



  



   

  

Задача 6.16. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

01 2 1

01 212

tttt

ttt

CYG

IYI

YCI





  



  



160

Задача 6.17. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

01 2 1

0112

01 3

tttt

ttt

tttt

CYI

YCIG





  

  

  



181

ЧАСТИНА 2. ЕКОНОМЕТРИКА ТА ЧАСОВІ РЯДИ

182

Розділ 7. Вступ до теорії часових рядів

7.1. Поняття часового ряду

Вивчення часових рядів має кілька цілей. По-перше, статистичний аналіз часових

рядів широко застосовують в економічному прогнозуванні. По-друге, властивості часових

рядів визначають, яку економетричну модель буде обрано для дослідження залежності

між різними змінними. Окрім того, деякі моделі часових рядів використовують

для

описання автокорельованих збурень у рівняннях регресії.

Під часовим рядом (time series) розуміють набір значень деякої змінної, здійснених

за послідовні й зазвичай рівні проміжки часу. Часовий ряд (time series) розуміють як

набір значень, що їх мала деяка змінна за послідовні і зазвичай рівні проміжки часу.

Якщо прийняти довжину такого проміжку часу за одиницю часу (рік, квартал, день,

тощо), то можна вважати, що послідовні спостереження

yy y

 здійснено в моменти

1, 2, ,tn  .

Характерною особливістю статистичного аналізу часових рядів є те, що послідовність

спостережень

yy y

 розглядають як траєкторію випадкового процесу з дискретним

часом, тобто як реалізацію послідовності загалом статистично залежних випадкових

величин

YY Y

, що мають певний спільний розподіл (оскільки в конкретних ситуаціях

із контексту зрозуміло, про який саме об'єкт ідеться, то надалі ми використовуватимемо

маленькі літери для позначання як випадкових величин, так і їхніх реалізацій. Так само

інколи ми будемо вживати термін "часовий ряд" для позначання процесу, що генерує

спостережувані значення).

Щоб

зробити завдання статистичного аналізу часових рядів доступним для

практичного розв'язання, доводиться обмежувати клас моделей, що їх розглядають,

роблячи певні припущення щодо структури ряду та його ймовірнісних характеристик.

Здебільшого достатньо обмежитись трьома типами процесів:

стаціонарними, тренд-

стаціонарними

й інтегрованими.

7.2. Класичний розклад часового ряду

Традиційно вважають, що часовий ряд

y складається із чотирьох компонентів:

трендового (

tr ), сезонного (

s ), циклічного (

c ) і випадкового (

 ). Найчастіше

використовують дві форми розкладання: мультиплікативну

,1,

ttttt

tr s c t T  (7.1)

і адитивну

,1,.

ttttt

tr s c t T  (7.2)

Неважко побачити, що мультиплікативному розкладу для рівнів ряду відповідає

адитивний розклад для логарифмів:

ln ln ln ln ln , 1, .

ttttt

tr s c t T

Опишемо кожний компонент часового ряду окремо.

Тренд характеризує довготривалу закономірну тенденцію ряду до зростання або

спадання. Його наявність неважко помітити, проаналізувавши графік часового ряду.

Наявність

тренда в економічних часових рядах можна пояснити демографічними або

технологічними змінами, а також змінами в структурі виробництва, попиту тощо.

Сезонний компонент показує коливання навколо трендового компонента. Його

наявність можна пояснити сезонним характером виробництва, споживання. Наприклад,

у четвертому кварталі кожного року перед Новим роком значно зростає споживання

товарів.

Циклічний компонент характеризує коливання навколо тренда, пов'язані з фазами

бізнес-циклів



Зрозуміло, що представники тих економічних течій, які заперечують існування закономірної циклічності

(наприклад пропоненти теорії реальних бізнес-циклів), не вважатимуть необхідним виокремлювати цей компонент.

183

Випадковий компонент – це те, що залишилось від часового ряду після вилучення

тренда, циклічного та сезонного компонентів. Частину таких ефектів можна зарахувати

до непередбачених природних катаклізмів (землетруси, пожежі, тощо), частину – до

випадкових дій людей. За наявності випадкового компонента неможливо прогнозувати

значення часового ряду без похибки.

7.3. Числові характеристики часових рядів

Для аналізу часових рядів найважливішими числовими характеристиками є

математичне сподівання, дисперсія, автоковаріація, автокореляція.

Нехай

, 1,2,

yt , або 0, 1, 2,....t  – часовий ряд. Його математичне сподівання

становить





 



()

tt t

xdF x , (7.3)

де







Fx P

x – функція розподілу

y , 0, 1, 2,....t



 .

Дисперсію слід визначати за формулою



DM(M)

ttt

yyy. (7.4)

Як ми бачимо, загалом математичне сподівання та дисперсія є функціями від часу

t .

Автоковаріаційна функція дорівнює













   

 

(, ) cov( , ) M M M ,

0, 1, 2,...., 1,2,3,...

ttj t t tj tj

В tt j y y y y y y

(7.5).

Часовий ряд (процес) називається

стаціонарним

якщо:

1) математичне сподівання скінченне й постійне:



M

y для всіх 0, 1, 2,....t  ,

2) дисперсія скінченна й постійна:





для всіх

0, 1, 2,....t



 ,

3) значення автоковаріаційної функції залежать лише від різниці аргументів:

автоковаріація

-го порядку



cov ,

ttj j





 для всіх 0, 1, 2,....t



 , 1, 2, 3,j  .

Важливою характеристикою стаціонарних випадкових процесів є автокореляційна

функція. Автокореляцію

-го порядку визначають за допомогою рівності

cov( , )

ttj j





 



(7.6)

Зауважимо, що

1

j

 . Отже, достатньо розглядати послідовність

 лише для

натуральних

. Ця послідовність називається автокореляційною функцією.

Нехай

y – стаціонарний процес. Позначимо через

y лінійний прогноз

y ,

побудований на базі

попередніх значень, тобто

11 2 2

ttt ktk

yyy y





   

Прогноз називається незміщеним, якщо





yy. Стандартною мірою точності

незміщених прогнозів є середній квадрат похибки (MSE): 

M( )

MSE y y .

Покажемо, що незміщений лінійний прогноз, який має мінімальний середній квадрат

похибки, однозначно слід виражати через автокореляційну функцію й математичне

сподівання процесу. Запишемо

 

 

11 2 2

()

ttt ktk

MSE y y y y





        

11 1

M( ) ( ) ( ) (1 )

ttktk k

yy y



 

     

11 2 2

()( )( ) ( )

tt t ktk

yy y y (7.7)



У теорії випадкових процесів розрізняють два поняття стаціонарності: стаціонарність у вузькому та широкому

розумінні. Ми розглядатимемо лише стаціонарність у широкому розумінні.

184

оскільки

(1 )



    (7.8)

унаслідок незміщеності. Вираз (7.7) можна перетворити до такого вигляду:

0||

ijij

MSE





 



, (7.9)

де 

y ,

 – автокореляції, а

1. Задача мінімізації (7.9) за умови

1 має

єдиний розв'язок:

    









(

1, , , ,

)

ββ (7.10)

де























1..

1.. .

..1..

...1.

...1

β .

Як бачимо, коефіцієнти

 (7.10) цілком можна визначити автокореляційною

функцією. У свою чергу,

 (7.8) можемо виразити через



і математичне сподівання

процесу. Можна показати, що лінійні прогнози на будь-яку кількість періодів також

однозначно піддаються вираженню через математичне сподівання й автокореляційну

функцію.

За досить необмежувальних умов

можливо знаходити спроможні оцінки розглянутих

характеристик стаціонарних часових рядів.

Вибіркове середнє







(7.11)

є оцінкою математичного сподівання. Оцінками відповідних теоретичних моментів є

вибіркова дисперсія





 





, (7.12)

вибіркова автоковаріація

-го порядку



ˆˆ

jttj





   





, (7.13)

вибіркова автокореляція

-го порядку







. (7.14)

Графік вибіркової автокореляційної функції називається

корелограмою. Вона

показує, як змінюється взаємовплив між спостереженнями залежно від часу.

Інколи вибіркові характеристики обчислюють і для нестаціонарних процесів, однак, у

цьому разі вони не є оцінками будь-яких теоретичних відповідників; це лише описові

характеристики конкретної вибірки. Однак хоча вибіркові автокореляції нестаціонарних

часових рядів "нічого не оцінюють", знайшовши останні, можна отримати

корисну

інформацію. Річ у тому, що вибіркові автокореляції більшої частини нестаціонарних рядів

прямують до одиниці, і цей факт лежить в основі багатьох методів діагностики

нестаціонарності.

Звичайно, на практиці економічні часові ряди не є ідеально стаціонарними. Проте

якщо для деякого часового ряду з деяким наближенням виконуються умови



Точне формулювання виходить за межі цієї книги. Умови стосуються існування певних

моментів розподілів процесу. Окрім того, автокореляційна функція має "достатньо швидко"

прямувати до нуля.

185

стаціонарності, то для його аналізу можна використати широкий спектр методів аналізу

та прогнозування стаціонарних часових рядів.

7.4. Оператор лага й оператор різниці

Аналізуючи часові ряди, зручно використовувати оператор лага. Зазвичай його

позначають B (від англ. back–shift operator) або L (від англ. lag operator).

За його

допомогою можна отримувати значення часового ряду як функції від його інших значень.

Застосувавши оператор лага для значення

y , отримаємо



, тобто

1tt

By y





Оператор лага можна застосовувати рекурентно:





12ttt

BBy By y



.

Якщо оператор лага діє

0k  разів, то число k Записують, як показник степеня:

(),0

tttk

By BB y y k







Нарешті,

By y



Можна утворювати поліноми від оператора лага:

01 2

()

BBB B ,

01122

()

mt t t t mtm

By y y y y

 



Найчастіше ми розглядатимемо поліноми, у яких





Нехай

01 2

()

BBB B 

– поліном від оператора лага. Позначимо через

()B





обернений поліном, визначений із такої рівності:

() ()1BB







. Припустимо, що

існує розклад у ряд Тейлора в околі нуля функції

01 2

()

zz z



 



    



()













де

z – комплекснозначна змінна, а





– коефіцієнти розкладу. Можна показати, що

обернений поліном

()B





існує тоді й лише тоді, коли радіус збіжності ряду











більше ніж одиниця, причому

()













. У свою чергу, радіус збіжності більше ніж

одиниця за умови, що всі корені рівняння

()



 більше ніж одиниця за модулем.

Розглянемо приклад. Нехай

()1BB



 .

Тоді

() 1zz,

()



  



 .

Корінь полінома

()

z дорівнює



. Отже, при

||1



 обернений поліном існує й

становить

122

()1BBB





Також визначимо

оператор різниці:

1ttt

yyy





 . Його можна виразити через

оператор лага (1 )

yBy , який також можна застосовувати кілька разів, наприклад:







1112 12

ttt tt tt ttt

yyy yy yy yyy

 

      .

7.5. Процес білого шуму

Процесом білого шуму називають послідовність випадкових величин

 , яка має такі

властивості:

186

1) нульове математичне сподівання, тобто



M0;

2) постійну дисперсію, тобто  

3) некорельованість елементів:





cov , 0, 0

jttj



   

Якщо

 мають нормальний розподіл, то процес зветься гаусівським білим шумом

(назва походить із теорії спектрального аналізу часових рядів, яка виходить за межі цієї

книги. Річ у тому, що "спектр" цього процесу має такий вигляд, як спектр білого світла).

Його елементи незалежні і однаково розподілені.

Неважко побачити, що білий шум має

такі самі властивості, що й збурення в класичній

регресії. Білий шум є основним будівельним блоком для конструювання стаціонарних

процесів.

7.6. Процес рухомого середнього МА(q)

Нехай



є процесом "білого шуму" ,





– деяке натуральне число. Процесом

рухомого середнього

()

MA q (від англ. moving average) є послідовність випадкових величин

y , яка задовольняє таке рівняння:

11 2 2

()

tttt qtq qt

 

         ,

де

()1

BBB B      .

У контексті теорії часових рядів збурення



часто називають інноваціями (



характеризує нову інформацію, яка інкорпорується в значення процесу в період t ), або

шоками.

Розглянемо основні характеристики цього процесу.

Математичне сподівання











 



   

11 2 2

MMMM M M

tttt qtq

 



         

112 2

MM M M .

tt t qtq

(7.15)

Дисперсія



 

   

  

       

               

          





01122

222 22 22

11 22 1 1 2 2

12 1 2 1 1 1 1

M( 2 2

22 2 2

)

ttttqtq

t t t qtq tt tt

qttq t t qt tq q qtq tq

(7.16)





22222 22 2 22 2

12 12

            

Автоковаріація

-го порядку





1, 2, 3,j  













    M

jttj











            

11 11

tt qtqtjtj qtqj





 

   

22 2 2

11 1 2 2 2

jt j j t j j t j qq jtq



11 2 2

, 1, 2, , 1,

, ,

0, .

jj j qqj

 





            



 













(7.17)

Звідси випливає, що якщо

q – скінченне число, то

()

MA q -процес буде стаціонарним.

Відповідно, коефіцієнти автокореляції становлять:



У деяких джерелах вживають варіант "процес ковзного середнього"