Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

Далее, узлы могут работать параллельно (причалы в порту, кассы в

универсаме), последовательно (конвейер) или смешанным образом. В

процессе обслуживания они могут работать независимо или взаимодейст-

вовать, помогать друг другу. Узлы могут выходить из строя и поступать

на восстановление (ремонт, лечение) в другую СО (уже в качестве требо-

ваний на обслуживание).

Обычно в каждый момент времени узел обслуживает не более од-

ного требования. Однако бывают СО, в которых узлы обычно обслужи-

вают сразу группы требований: преподаватель в вузе или экскурсовод в

музее.

В некоторых случаях нас не интересует дальнейшая судьба обслу-

женных требований; требования, поступающие в систему, не связываются

с требованиями, уходящими из нее. В других же случаях следует учиты-

вать, что обслуженные требования после некоторой задержки (обычно со

случайной, не известной заранее продолжительностью) опять поступают

на вход. В первом случае СО называются незамкнутыми, во втором –

замкнутыми. Замкнутой системой является, например, бригада ремонтных

рабочих, закрепленная за одной и той же группой оборудования, или по-

ликлиника, обслуживающая данную территорию.

Разнообразие различных структур, связанных с накопителем и ор-

ганизацией процесса обслуживания, является весьма значительным, и

приведенное выше описание легко можно продолжить.

В литературе по теории обслуживания (ее называют также теорией

очередей) разные авторы используют различную терминологию. Термины

«заявка», «клиент» используются как синонимы термина «требование», а

термины «канал», «линия», «прибор», «сервер» – как синонимы термина

«узел обслуживания».

Качество

Качество обслуживания можно оценивать с разных точек зрения.

Одна точка зрения внешняя, это оценка работы со стороны потока обслу-

живаемых требований, потребителей обслуживания, клиентов системы.

Другая точка зрения внутренняя, здесь оцениваются издержки системы,

трудности организации работы, устойчивость функционирования.

Качество должно соответствовать требованиям рынка, ожиданиям

потребителей. Во многих случаях обеспечение и поддержка уровня каче-

ства выше требуемого может приводить просто к снижению уровня ис-

пользуемой производительности, увеличению издержек, и не давать вза-

мен никаких конкурентных преимуществ.

Поломка оборудования ведет к снижению используемых производ-

ственных мощностей. Это может привести к критическим последствиям

для организации в целом. Для предотвращения такого рода последствий

можно содержать бригаду специалистов-ремонтников, резерв запчастей,

дополнительное резервное оборудование. Такие резервы способствуют

обеспечению бесперебойной работы, но при этом вызывают дополнитель-

ные издержки, омертвление средств и связанные с этим упущенные воз-

можности.

Анализ ситуации достаточно сложен, в нем требуется охватить раз-

нообразные варианты развития ситуации и отдаленные последствия реше-

ний. Такой анализ может быть проведен только на основе моделирования

потоков и их обслуживания в системе.

Аналитический и имитационный подход

Для моделирования систем обслуживания применяются два подхо-

да: аналитический и имитационный. При аналитическом подходе исполь-

зуются расчетные формулы, позволяющие оценить основные характери-

стики работы системы. Существующие формулы пригодны для ограни-

ченного множества базовых моделей. Их адаптация к реальной ситуации

иногда представляет проблему и в любом случае требует достаточно вы-

сокой математической квалификации. Однако получаемый результат име-

ет при таком подходе ясно очерченную математическую форму.

Результаты, получаемые на основе имитационной модели, имеют

статистическую форму. Имитационный подход основан на моделирова-

нии неопределенности с помощью датчика случайных чисел. Роль такого

датчика в Excel выполняет функция СЛЧИС. Она генерирует случайные

числа, распределенные равномерно на промежутке [0, 1). Используя раз-

нообразные функции Excel, можно преобразовать такое распределение в

другие распределения. Например, для получения нормального распреде-

ления с заданными параметрами полезно воспользоваться функцией

НОРМОБР.

Полученные генераторы случайных чисел позволяют моделировать

случайные события (приход требования в систему, процесс обслуживания

и др.). Соединяя такие события в соответствии со структурой и последо-

вательностью работы исследуемой системы, мы получаем ее имитацион-

ную модель. Дальнейшее имитирование работы системы и накопление со-

ответствующей статистики позволяет анализировать качество работы сис-

темы, видеть ее узкие места, варьировать организацию работы и изучать

возникающие изменения, принимать решения по модификации системы

обслуживания.

Мы рассмотрим оба подхода: аналитический и имитационный, ос-

воим расчет наиболее важных характеристик для базовых моделей и под-

ходы к построению имитационных моделей.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Во всех рассматриваемых ниже системах обслуживания предпола-

гается, что как интервалы времени между поступлениями последователь-

ных требований, так и продолжительность обслуживания требования рас-

пределены по экспоненциальному закону.

Для потока требований это означает, что:

{

}

инт

ettP

λ−

Параметр λ определяет среднее число требований, поступающих в

систему за единицу времени. Соответственно, величина 1/λ равна средней

длине интервала времени между последовательными требованиями.

Для процесса обслуживания это означает, что:

{

}

обсл

ettP

ν−

где

ν – интенсивность обслуживания, то есть среднее число требований,

обслуживаемых узлом в единицу времени. Соответственно, величина 1/ν

равна средней продолжительности обслуживания одного требования.

В большинстве характеристик работы системы параметры λ и ν

участвуют в виде отношения λ/ν. Такое отношение называется загрузкой

системы обслуживания и обозначается посредством ρ:

ρ =

Посредством N обозначается число узлов обслуживания системы.

Ниже приводятся формулы как для общего случая (для произвольного N),

так и для важнейшего частного случая с одним узлом (N = 1).

ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ СО С ОТКАЗАМИ

СО с отказами: общие условия

Базовый вариант системы обслуживания с отказами удовлетворяет

следующим условиям.

Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свобод-

ный узел обслуживания, то требование сразу начинает обслуживаться

(любым из свободных узлов).

Каждый узел в любой момент времени обслуживает не более одного

требования.

Каждое требование обслуживается одним узлом.

Обслуживание не прерывается.

По окончании обслуживания требование покидает систему.

Если в момент прихода требования все узлы в системе обслуживания

оказываются занятыми, то требование получает отказ в обслуживании

и покидает систему не обслуженным.

Первое условие говорит о том, что между моментом прихода тре-

бования и началом обслуживания нет паузы, пришедшее требование не

ждет начала обслуживания.

Из второго, третьего и четвертого условий вытекает, что требова-

ния обслуживаются независимо и узлы работают независимо: организация

обслуживания не предусматривает их группировку и перерывы в обслу-

живании.

Пятое условие свидетельствует о разомкнутости системы.

Шестое условие характеризует ситуации отказа. Отказы в обслужи-

вании возникают только при одновременной занятости всех узлов.

СО с отказами: характеристики работы для N узлов обслуживания

Вероятность

наличия j требований в системе обслуживания, то

есть вероятность занятости

j узлов обслуживания, равна:

∑

Эта формула носит название формулы Эрланга. Она верна для СО с

отказами при любом (не обязательно экспоненциальном) законе распреде-

ления длительности обслуживания с интенсивностью обслуживания, рав-

ной

ν.

Вероятность отсутствия требований в системе обслуживания P

оп-

ределяется этой формулой при j = 0, то есть формулой:

∑

Поступающее требование получает отказ в обслуживании, если все

узлы обслуживания заняты. Вероятность отказа

отк

соответствует форму-

ле Эрланга при j = N:

∑

Nотк

Вероятность P

отк

характеризует долю требований получающих от-

каз. Противоположная ей величина характеризует долю обслуженных тре-

бований и называется относительной пропускной способностью СО.

Величина относительной пропускной способности α определятся

формулой:

α =

Nотк

P1P1

−

Абсолютная пропускная способность СО характеризует среднее

число требований, поступающих в узлы обслуживания в единицу време-

ни.

Величина абсолютной пропускной способности A определятся фор-

мулой:

A =

)P1(

−

⋅

Среднее число занятых узлов обслуживания М

зан

равно:

⋅

зан

M .

Среднее число свободных узлов

св

M равно:

зансв

MNM

−

Разумеется,

зан

+ М

св

= N.

Средняя доля рабочего (занятого) времени узла обслуживаня

раб

рав-

на:

раб

= М

зан

/ N.

Средняя доля свободного времени узла обслуживаня

св

равна:

св

= М

св

/ N.

Конечно,

раб

+ d

св

= 1.

СО с отказами: характеристики работы для 1 узла обслуживания

Рассмотрим полученные характеристики СО с отказами для важно-

го частного случая, когда в системе имеется единственный узел обслужи-

вания:

Формулы для этого случая получаются из приведенных выше фор-

мул подстановкой в них

N = 1 с последующими простыми преобразова-

ниями.

Формула Эрланга принимает при этом вид:

ρ+

Отсюда получаем: вероятность отсутствия требований в системе P

равна:

ρ+

Вероятность занятости (единственного) узла обслуживания P

равна:

ρ+

Сумма этих вероятностей равна 1:

+ P

= 1.

Вероятность P

совпадает с вероятностью отказа в обслуживании P

отк

ρ+

отк

Величина относительной пропускной способности α определятся

формулой:

α =

ρ+

Величина абсолютной пропускной способности A определятся фор-

мулой:

A =

ρ+

=α⋅λ

Среднее число занятых узлов обслуживания М

зан

равно:

ρ+

=α⋅ρ=

зан

отк

Среднее число свободных узлов М

св

равно:

−

зансв

М1M .

Средняя доля рабочего (занятого) времени узла обслуживаня d

раб

рав-

на:

раб

= М

зан

= P

отк

Средняя доля свободного времени узла обслуживаня d

св

равна:

св

= М

св

= α.

Задания 3.1

Менеджер в офисе принимает заказы по телефону. В среднем за час

звонят 5 клиентов, а разговор с клиентом занимает в среднем 4 мин.

Интервалы между заказами и продолжительность приема заказов рас-

пределены по экспоненциальному закону. Требуется определить:

•

Процент времени простоя менеджера.

•

Процент обслуженных клиентов и среднее число обслуженных кли-

ентов в час.

2. Предположим, что интенсивность потока звонков увеличилась с 5 до

10 в час. Определите в этих условиях прежние характеристики работы

системы:

•

Процент времени простоя менеджера.

•

Процент обслуженных клиентов и среднее число обслуженных кли-

ентов в час.

Предположим, что интенсивность потока звонков увеличилась допол-

нительно и составляет теперь 15 звонков в час. Определите в новых

условиях прежние характеристики работы системы:

•

Процент времени простоя менеджера.

•

Процент обслуженных клиентов и среднее число обслуженных кли-

ентов в час.

Клиент, не сумевший дозвониться в фирму, делает заказ в других ана-

логичных фирмах. Упущенная прибыль, связанная с потерей клиента,

оценивается в 10 руб. Руководство фирмы решает поставить на прием

заказов еще одного менеджера. Связанные с этим дополнительные за-

траты составляют 20 руб/час. Определите эффективность такого реше-

ния для трех вариантов потока.

Проведите соответствующий расчет и анализ вариантов решений при-

менительно к Вашей ситуации.

Решение таких задач рекомендуется проводить средствами Excel.

Можно создать универсальную расчетную схему с выделенными ячейка-

ми для исходных данных и для результатов. Такая схема позволяет легко

проводить вариантные расчеты и оперативно сравнивать результаты для

различных вариантов управленческих решений.

Пример реализации такого рода расчетов для системы обслужива-

ния с отказами приведен на рис. 3.2 – 3.4. Можно сравнить характеристи-

ки работы системы с отказами при различном числе узлов обслуживания и

выбрать наилучший вариант.

В приведенном ниже примере рассчитан показатель общих потерь,

учитывающий как потери прибыли, связанные с вынужденными отказами

в обслуживании, так и затраты на работу узлов обслуживания. Этот пока-

затель принимает значения 280.75; 270.96 и 326.14 (руб./час) соответст-

венно при 2, 3 и 4 узлах обслуживания.

Наилучшим вариантом в условиях примера является вариант с 3 уз-

лами обслуживания.

ABCDEFGH I JKLM

Система обслуживания с отказами - универсальная расчетная схема

Технические исходные данные Экономические исходные данные

Число узлов обслуживания

100

Потери прибыли из-за отказа в обслуж. (руб. / треб.)

Интенсивность вход. потока (треб. / час)

Затраты на работу узла обслуживания (руб. / час)

Интенсивность обслуживания (треб. / час)

Расчеты

80%

Номера состояний

0123456789101112

Слагаемые

1,000 0,800 0,320 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Вероятности состояний

0,472 0,377 0,151 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Технические результаты работы системы Экономические результаты работы системы

0,472

Вероятность отсутствия требований

120,75

Поток упущенной прибыли от отказов (руб. / час)

0,528

Вероятность наличия требований

160,00

Поток затрат на процесс обслуживания (руб. / час)

отк

0,151

Вероятность отказа

280,75

Итоговые потери (руб. / час)

85%

Относительная пропускная спрсобность (%)

6,792

Абсолютная пропускная способность (треб. / час)

зан

0,679

Среднее число занятых узлов (ед)

раб

34%

Доля рабочего времени узла (%)

св

1,321

Среднее число свободных узлов (ед)

св

66%

Доля свободного времени узла (%)

Рис. 3.2. Характеристики работы системы с отказами с 2 узлами обслуживания

ABCDEFGH I JKLM

Система обслуживания с отказами - универсальная расчетная схема

Технические исходные данные Экономические исходные данные

Число узлов обслуживания

100

Потери прибыли из-за отказа в обслуж. (руб. / треб.)

Интенсивность вход. потока (треб. / час)

Затраты на работу узла обслуживания (руб. / час)

Интенсивность обслуживания (треб. / час)

Расчеты

80%

Номера состояний

0123456789101112

Слагаемые

1,000 0,800 0,320 0,085 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Вероятности состояний

0,453 0,363 0,145 0,039 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Технические результаты работы системы Экономические результаты работы системы

0,453

Вероятность отсутствия требований

30,96

Поток упущенной прибыли от отказов (руб. / час)

0,547

Вероятность наличия требований

240,00

Поток затрат на процесс обслуживания (руб. / час)

отк

0,039

Вероятность отказа

270,96

Итоговые потери (руб. / час)

96%

Относительная пропускная спрсобность (%)

7,690

Абсолютная пропускная способность (треб. / час)

зан

0,769

Среднее число занятых узлов (ед)

раб

26%

Доля рабочего времени узла (%)

св

2,231

Среднее число свободных узлов (ед)

св

74%

Доля свободного времени узла (%)

Рис. 3.3. Характеристики работы системы с отказами с 3 узлами обслуживания