Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

Существует несколько практических приемов, используемых при

выборе формы кривой. Визуальный способ основан на графическом изо-

бражении временного ряда. Риск субъективного выбора здесь весьма велик.

Вместе с тем при относительно простом виде графика и незначительных

колебаниях визуальный способ дает достаточно приемлемые результаты.

Другой путь заключается в применении метода последовательных

разностей. Если первые разности (приросты) членов ряда примерно оди-

наковы, то удовлетворительным типом тренда можно считать линейный.

Если первые разности достаточно сильно различаются, то можно рассмот-

реть вторые разности (приросты приростов), и так далее. Порядок разно-

стей, при котором они окажутся примерно одинаковыми, принимается за

степень выравнивающего полинома. Следует отметить, что такой подход

возможен только при подборе кривых, описываемых полиномами.

Можно вместо приростов рассматривать относительные приросты

(или темпы роста). Их примерное равенство свидетельствует в пользу экс-

поненциальной формы тренда.

Выбирать тип тренда можно и иначе, например, исходя из значения

принятого критерия. Обычно в качестве критерия принимают коэффици-

ент детерминации R

Полезно совместить эти два подхода и выбор вида кривой прово-

дить в два этапа. На первом этапе отбираются кривые, пригодные с точки

зрения содержательного анализа задачи, в результате чего происходит ог-

раничение множества потенциально приемлемых видов кривой. На вто-

ром этапе для этих кривых определяются значения критерия, и на его ос-

нове делается окончательный выбор.

Виды трендовых функций

Наиболее распространенными функциями для описания тенденции

являются:

Линейный тренд с функцией вида:

= at + b.

Полиномиальный тренд степени m с функцией вида:

= a

t+a

+...+a

Логарифмический тренд с функцией вида:

= a×ln(t)+b.

Степенной тренд с функцией вида:

= a×t

Экспоненциальный тренд с функцией вида:

= a×e

= a×EXP(bt).

Отметим, что полиномиальный тренд степени 1 является линейным

трендом. Таким образом, линейный тренд есть частный случай полиноми-

ального. В то же время линейный тренд – это наиболее широко применяе-

мый вид полиномиального тренда.

Определение параметров

Если вид тренда выбран, то встает вопрос об определении его па-

раметров. Для полиномиального тренда параметрами являются m величин

, a

, . . .a

. Для других видов тренда это две величины: a и b.

Параметры выбираются так, чтобы оценка расхождения S между

реальными значениями ряда и соответствующими значениями тренда бы-

ли минимальной. В качестве такой оценки используется обычно сумма

квадратов расхождений:

min)ux(S

→−=

∑

Метод реализации такой оценки носит название метода наимень-

ших квадратов (МНК).

Предположим, что выбран полиномиальный тип тренда. Тогда

следует минимизировать выражение:

m10t

))ta...taa(x(

∑

+++− .

Для этого следует взять частную производную по каждому из па-

раметров a

, a

, … a

, и приравнять полученные выражения 0. Решив по-

лученную систему из m+1 линейных уравнений с m+1 неизвестными a

, … a

, получим искомые параметры полиномиального тренда.

Для других видов тренда ход рассуждений аналогичен. Результатом

является своя система уравнений, решив которую мы получаем параметры

тренда.

Построение тренда средствами Excel

В электронных таблицах Excel тренд можно построить следующим

образом. Сначала по исходному ряду данных следует построить диаграм-

му. Затем при выделенной диаграмме через меню (

Диаграмма \ Добавить

линию тренда…) выбрать вид тренда. Excel позволяет выбрать тренд лю-

бого из указанных выше видов, при этом степень полиномиальных трен-

дов ограничена числом 6. Тренд строится в графической форме.

Обратившись к вкладке

Параметры, можно заказать графическое

отображение прогноза по тренду (

Прогноз) на заданное число периодов, а

также заказать уравнение тренда (

показывать уравнение на диаграмме).

На поле диаграммы появится уравнение тренда с конкретными значения-

ми параметров. Помимо этого можно получить величину коэффициента

детерминации тренда R

(поместить на диаграмму величину достоверно-

сти аппроксимации (R^2)).Она характеризует качество прогноза.

Оценка качества тренда

Коэффициент детерминации R

рассчитывается по формуле:

∑

−

)(

)

(

1 ,

где

x – члены ряда;

– соответствующие значения тренда;

x – среднее значение ряда.

В правой части формулы для R

присутствует дробь. Числитель

дроби характеризует отклонение ряда от тренда. Знаменатель характери-

зует отклонение ряда от его среднего значения, то есть от среднего гори-

зонтального уровня данных, без учета тенденции. Отношение показывает,

насколько теснее ряд примыкает к тренду, чем к своему среднему значе-

нию.

Значение R

лежат в пределах от 0 до 1 и оценивает качество трен-

да. Чем ближе эта величина к 1, тем качество тренда лучше, чем ближе к

0, тем хуже.

По величине R

можно сравнивать тренды с равным числом пара-

метров, построенные для одного и того же ряда. Среди видов тренда, реа-

лизуемых в Excel, линейный, логарифмический, степенной и экспоненци-

альный тренды имеют по два параметра.

С полиномиальным трендом дело обстоит сложнее. Полиномиаль-

ный тренд степени m имеет m+1 параметр. С ростом степени полиноми-

ального тренда растет величина R

. Однако это не означает, что растет ка-

чество тренда. Более того, для любого ряда данных можно построить по-

лином достаточно высокой степени (если ряд имеет n членов, то полином

степени n-1), который пройдет в точности через все точки ряда. При этом

окажется, что R

= 1. Но отсюда отнюдь не следует, что построенный

тренд хорошо отображает свойства ряда, дает хороший прогноз.

Сравнение трендов с различным числом параметров можно прово-

дить по скорректированной величине коэффициента R

. Скорректирован-

ный коэффициент R

определяется формулой:

)R1(1R

−

×−−= .

В этой формуле k – число параметров тренда; n – число членов ряда.

Отметим, что Excel дает нескорректированную величину R

Вычисление трендовых значений

Трендовая функция позволяет рассчитывать значения для различ-

ных периодов времени, в частности вычислять прогнозные значения. Для

этого достаточно в выражение для тренда в качестве аргумента подста-

вить значение, соответствующее рассматриваемому периоду времени, и

провести расчет по формуле. В частности, при подстановке будущего пе-

риода вычисляются прогнозные величины.

В диаграмме Excel значение, соответствующее рассматриваемому

периоду времени, может быть представлено в различных формах. Это мо-

жет быть номер в единой нумерации периодов времени. В этом случае ось

X рассматривается как ось категорий. Но это может быть и дата, соответ-

ствующая данной точке. В этом случае ось X рассматривается как ось вре-

мени.

Уравнение тренда, указанное на диаграмме, зависит от представле-

ния оси X. Для того, чтобы задать определенное представление оси X,

следует сначала выделить диаграмму. Затем в меню пройти через после-

довательность

Диаграмма /Параметры диаграммы…/ Оси, и там в разделе

Ось X поставить флаг (точку) против слов категории или против слов ось

времени, после чего нажать кнопку OK.

Значения, лежащие на линейном тренде, можно вычислять в Excel и

не обращаясь к диаграмме, с помощью функции ПРЕДСКАЗ.

Для получения отдельно двух параметров a и b линейного тренда

at + b можно использовать функции НАКЛОН (вычисляет параметр трен-

да a) и ОТРЕЗОК (вычисляет параметр тренда b).

Значения, лежащие на экспоненциальном тренде, можно вычислять

с помощью функции РОСТ.

Трендовая кривая не совпадает с линией фактических данных. Ес-

тественно ожидать, что так будет и в дальнейшем. Прогнозные значения,

вычисленные в соответствии с трендом, – это наилучшие усредненные

предсказания, которые можно сделать на основе проведенного анализа.

Усредненные значения сами по себе недостаточно информативны.

Важно знать еще, насколько сильным может быть разброс относительно

построенного тренда. Такой разброс характеризуется доверительным ин-

тервалом. Доверительный интервал строится отдельно для каждого значе-

ния на тренде. В простых случаях интервал симметричен, точка на линии

тренда является его центром, и необходимо определить его ширину, или

его верхнюю и нижнюю границы. Вся совокупность таких интервалов об-

разует коридор вокруг центральной линии тренда.

Чтобы вычислить границы такого коридора, следует задать требуе-

мую надежность прогноза, вероятность того, что будущие значения попа-

дут внутрь коридора. Чем больше требуемая надежность, тем шире ока-

жется коридор, и тем самым менее определенным окажется прогноз.

Границы доверительного интервала

Для линейного тренда:

= at + b

границы доверительного интервала в точке τ определяются по формуле:

±T

×s×k

В этой формуле:

α – задаваемый исследователем уровень значимости (вероятность

выхода прогнозируемых значений за границы доверительного интервала);

– статистика Стьюдента для уровня значимости α (в Excel вы-

числяется функцией СТЬЮДРАСПРОБР);

s – оценка стандартного отклонения фактических значений от тренда.

Оценка стандартного отклонения s вычисляется по формуле:

(x u ))

−

∑

Суммирование проводится по прошедшим периодам времени t, ко-

торые соответствуют уже имеющимся статистическим данным.

В этой формуле:

– члены исходного ряда данных;

– члены ряда, вычисленные на основе формулы тренда для про-

шедших периодов времени;

n – количество членов ряда;

m – число параметров тренда (для линейного и для экспоненциаль-

ного тренда m = 2), так что разность n – m соответствует так называемому

числу степеней свободы;

– коэффициент для периода τ, связанный с погрешностью в про-

изведенной оценке параметров тренда по имеющимся данным, и опреде-

ляемый по формуле:

∑

−

−τ

++=

)tt(

)t(

(суммирование в знаменателе идет по всем промежуткам времени t, соот-

ветствующим фактическим данным,t – средний такой промежуток).

Формулу для коэффициента k

можно преобразовать к виду, более

удобному для проведения расчетов. Поскольку в этой формуле последнее

дробное слагаемое не зависит от начала отсчета, то можно промежутки

времени считать занумерованными числами от 1 до n. Тогда:

)1n(n

)tt(,

)1n2(

)t(,

−

=−

−−τ

=−τ

∑

так что

)1n(n

)1n2(3

−

−−τ

++=

Размер доверительного интервала зависит от нескольких характе-

ристик. Ширина доверительного интервала возрастает в следующих слу-

чаях:

•

если исследователь считает нужным увеличить надежность прогноза

(увеличить вероятность попадания между границ доверительного ин-

тервала), и с этой целью задает меньшее значение уровня значимости

α, что приводит к росту множителя T

;

•

если увеличивается разброс данных s относительно тренда;

•

если удаляется горизонт прогнозирования, период времени τ, на кото-

рый строится прогноз.

С ростом τ ширина доверительного интервала растет, и это означа-

ет, что доверительный коридор вокруг линии тренда постепенно расширя-

ется. Границы коридора не параллельны, и вообще не являются прямыми.

Впрочем, если горизонт прогнозирования недалек, то криволинейность

границ малозаметна.

Упрощенное определение доверительных границ

Если длина ряда достаточно велика и прогноз строится на не слиш-

ком отдаленный период времени, то в формуле границ доверительного

интервала коэффициент k

приблизительно равен 1. Кроме того, в этих ус-

ловиях распределение Стьюдента можно заменить нормальным распреде-

лением. Это позволяет упростить формулу для определения границ дове-

рительного интервала.

Упрощенная формула имеет вид:

±d×s.

В этой формуле s имеет прежний смысл, а в качестве d обычно, в

соответствии с «правилом трех сигм» выбирают одно из чисел: 1, 2 или 3.

При d = 1 границы доверительного интервала обеспечивают приблизи-

тельно 68%-ю надежность прогноза, при d = 2 обеспечивается 95%-я на-

дежность, при d = 3 обеспечивается 99%-я надежность. Эти и другие, про-

межуточные значения, можно определить в Excel с помощью функции

НОРМСТОБР.

Задание 2.3

Продолжим предыдущее задание с валютным курсом. По ежеднев-

ным данным по курсу доллара за последние несколько месяцев постройте

в Excel линейный и экспоненциальный тренды. Сравните результаты. Вы-

ведите на диаграмме графики трендов, их уравнения и коэффициенты де-

терминации R

Проведите соответствующие расчеты и постройте графики трендов

с прогнозом на три месяца вперед. Совпали ли линии трендов, построен-

ные по диаграмме и по табличным расчетам?

Полученные прогнозные значения – это лишь наилучшие усред-

ненные значения валютного курса доллара будущих периодов времени.

Эти усредненные значения полезно снабдить границами доверительных

интервалов.

Постройте прогнозный коридор и распространите его на прошедшие

периоды времени. Оцените количественно долю данных, вышедших за

рамки коридора в уже прошедшие периоды времени. Сформулируйте вы-

воды.

Расчеты организуйте так, чтобы при изменении исходных данных

результаты менялись автоматически. Проверьте это, скопировав таблицу с

графиками и заменив в копии данные по курсу доллара на данные по кур-

су евро.

Постройте степенной и логарифмический тренды. Что можно ска-

зать о качестве этих трендов?

ЭФФЕКТ СЕЗОННОСТИ

При изучении сезонности имеют дело с периодическим воздействи-

ем, связанным с календарным циклом. Эти воздействия рассматриваются

как внешние по отношению к основным причинам, характеризующим по-

ведение системы. Поэтому при изучении ряда сезонные колебания отделя-

ют от тренда. Используемые при этом методы по большей части могут быть

перенесены и на исследование других внешних циклических воздействий.

Периодичность ряда означает, что он в точности повторяет себя че-

рез определенный промежуток времени. Если период равен τ, то:

= x

t+τ

Если ряд имеет строго выраженные периодические колебания, то

они полностью устраняются при сглаживании с помощью скользящей

средней при базе сглаживания, равной или кратной циклу.

Построение прогноза предполагает:

• Выявление обобщенных характеристик циклических колебаний,

• Расчет трендового прогноза, выражающего общую тенденцию ряда,

• Совмещение трендового прогноза с характеристиками циклических

колебаний.

Такое построение может быть основано на аддитивной модели:

= u

+ s

+ r

или на мультипликативной модели:

= u

* s

+ r

В обеих моделях предполагается, что исходный ряд данных x

пред-

ставляет собой комбинацию трех составляющих:

– трендовая составляющая, характеризующая основную долго-

временную тенденцию ряда;

– циклическая (обычно сезонная) составляющая, характеризую-

щая регулярно повторяющиеся изменения исходного ряда;

– остаточная составляющая, отражающая случайные воздействия

(ее называют также ошибкой модели).

Аддитивная модель

предполагает, что к тренду ряда u прибавляется

циклическая составляющая s в виде периодически изменяющегося допол-

нительного слагаемого, принимающего положительные и отрицательные

значения. Значения, лежащие на линии тренда, в связи с этим увеличивают-

ся в одни периоды времени (циклическая составляющая для таких периодов

положительна) и уменьшаются в другие периоды времени (циклическая со-

ставляющая отрицательна). Средняя величина всех таких слагаемых, вхо-

дящих в циклическую составляющую, за время одного цикла равна 0.

В мультипликативной модели

предполагается, что тренд ряда u ум-

ножается на циклическую составляющую s, имеющую вид периодически

изменяющегося коэффициента, принимающего значения большие и мень-

шие единицы. Этот коэффициент увеличивает значения, лежащие на линии

тренда, в те периоды времени, когда циклическая составляющая больше 1, и

уменьшаются, в те периоды, когда циклическая составляющая меньше 1.

Средняя величина всех таких слагаемых за время одного цикла равна 1.

Процедуры построения по этим моделям в целом однородны и раз-

личаются лишь в некоторых пунктах. В дальнейшем пошаговом изложе-

нии процедур эти расхождения выделены

курсивом.

Реализация аддитивной модели

1. Устранение циклических колебаний из исходного ряда x (сглаживание

ряда x методом скользящей средней по базе, равной длине цикла; в

случае четной базы проведение двухэтапного сглаживания).

Выявление колебаний ряда (построение разности между исходным и

сглаженным рядом).

Определение средних значений циклических характеристик (вычисле-

ние средних значений по однородным периодам).

Нормирование средних значений циклических характеристик (опреде-

ление их среднего значения с последующим смещением всех характе-

ристик на эту величину так, чтобы

среднее значение смещенных ха-

рактеристик было равно 0). Результат рассматривается как цикличе-

ская составляющая ряда s.

5. Устранение циклической составляющей s из исходного временного ря-

да x (

построение разности между исходным и циклическим рядом).

Результатом является сумма трендовой и случайной составляющей:

– s

= u

+ r

6. Выбор вида тренда и расчет его параметров (определение формулы

тренда).

Расчет прогнозных значений по формуле тренда.

Наложение нормированных циклических характеристик на трендовый

прогноз (

их суммирование с трендовым прогнозом).

Построение графика исходного ряда, продолженного прогнозными

значениями.

10.

Определение случайной составляющей ряда (в соответствии с адди-

тивной моделью

= x

– s

– u

11. Анализ полученных результатов и оценка достоверности прогноза.

Реализация мультипликативной модели

1. Устранение циклических колебаний из исходного ряда x (сглаживание

ряда x методом скользящей средней по базе, равной длине цикла; в

случае четной базы проведение двухэтапного сглаживания).

Выявление колебаний ряда (деление исходного ряда на сглаженный).