Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

городском транспорте обычно бывают представлены в виде часовых ря-

дов. Показания биржевых котировок задают, по сути, непрерывный вре-

менной ряд.

Во всех таких ситуациях мы имеем наблюдения, характер которых

меняется во времени. Результатом является упорядоченная последова-

тельность данных – временной ряд, состоящий из отдельных

членов

(

уровней). Каждый член такого ряда связан с соответствующим моментом

времени или временным интервалом.

При анализе и прогнозировании ряда в некоторых случаях следует

предварительно обеспечить сопоставимость членов ряда, сравнимость ус-

ловий их возникновения. Следует учитывать, что в календарные выход-

ные дни предприятие или магазин может не работать, праздничные дни

расположены в календаре не регулярно, месяцы имеют различную про-

должительность и так далее.

ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Анализ временного ряда предполагает выявление его особенностей,

характеристик, выраженных в количественной форме.

Средний уровень ряда (среднее арифметическое уровней) дает са-

мое общее первоначальное представление о ряде данных. Однако эта ве-

личина не характеризует направление движения, тенденцию ряда.

Средняя величина прироста (среднее арифметическое цепных при-

ростов) и средний индекс роста (среднее геометрическое цепных индек-

сов) дают предварительное представление об общей тенденции ряда, но

ничего не говорят о ее особенностях.

Мы рассмотрим методы, позволяющие проанализировать ряд дос-

таточно глубоко для выявления его важнейших особенностей и построе-

ния прогноза.

Временной ряд называют детерминированным, если его значения

точно определены какой-либо математической функцией. Прогнозирова-

ние такого ряда не представляет проблемы. Будущие значения ряда следу-

ет вычислять на основе данной функции, подставляя в нее будущие значе-

ния аргументов. Такого рода прогнозы используются при решении многих

астрономических задач.

Ряды, описывающие экономические процессы, не являются детер-

минированными. Они содержат случайную составляющую.

На члены экономического временного ряда можно смотреть как на

результат игры двух сил. Первая определяет закономерность, лежащую в

основе ряда. Она соответствует

детерминированной составляющей ряда

и позволяет в дальнейшем построить основную линию прогноза. Вторая

определяет

случайную составляющую. Ее анализ позволяет установить

надежность будущего прогноза, построить прогнозный коридор (довери-

тельный интервал) вокруг основной линии.

Экстраполяция ряда

Наиболее распространенным способом прогнозирования является

экстраполяция – продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в про-

шлом. Экстраполяция тенденций динамических рядов широко применяет-

ся в силу своей простоты, возможности реализации на основе относитель-

но небольшого объема данных, ясности принятых допущений. Решающим

аргументом здесь зачастую является отсутствие иной информации, поми-

мо отдельно рассматриваемого временного ряда.

Экстраполяция основывается на допущении, что общие условия,

определявшие тенденцию развития в прошлом, не изменятся существенно

в будущем. Предполагается, что анализируемый процесс обладает опре-

деленной инерционностью, так что гипотезы о будущем развитии могут в

значительной мере базироваться на анализе прошлого.

Расчет точечных прогнозных значений при уже выбранном методе

экстраполяции обычно не представляет труда. Однако сами по себе такие

расчеты дают лишь ожидаемые средние значения. Они должны быть до-

полнены оценкой ожидаемого коридора, размаха значений, оценкой точ-

ности и надежности прогноза.

Точность прогноза характеризуется величиной расхождений между

прогнозируемыми значениями исследуемого показателя и фактической

реализацией прогноза. Надежность прогноза определяется вероятностью

наступления прогнозируемого события. Точность и надежность прогноза

статистически характеризуются параметрами доверительного интервала.

При прочих равных условиях надежность прогноза определяется

тремя факторами: объемом исходных данных, их разбросом и дальностью

горизонта прогнозирования (периода упреждения).

Составляющие ряда

Первая задача анализа временного ряда состоит в разложении ряда

на детерминированную (закономерную) и случайную составляющие. Дру-

гими словами, исходный ряд x

следует разложить в сумму

= u

+ r

Для получения такого разложения достаточно, очевидно, выявить

одну из составляющих, u

или r

. Обычно выявляют закономерную состав-

ляющую u

, после чего случайная составляющая определяется разностью

= x

– u

Другой важной задачей анализа является объяснение механизма

изменения членов ряда. Наконец, третьей задачей является само построе-

ние прогноза.

В простых ситуациях закономерная составляющая ряда оказывается

достаточно простой, ровной, гладкой. Она характеризует общую тенден-

цию ряда, его систематическое изменение, его тренд

В более сложных ситуациях закономерная составляющая ряда мо-

жет рассматриваться как результат воздействия различных факторов. В

таких случаях ее в свою очередь представляют в виде суммы собственных

составляющих. Так, отдельно могут выявляться сезонные

или другие дос-

таточно частые регулярные периодические изменения ряда (например, ко-

лебания продаж товара по дням в течение недельного цикла от понедель-

ника к воскресенью).

При исследовании рядов, охватывающих данные за несколько деся-

тилетий, в некоторых случаях могут выявляться длинные многолетние

циклы колебаний деловой активности.

Таким образом, в общем случае во временном ряде выявляют четы-

ре составляющие:

•

тренд, или систематическое движение;

•

длинные циклические колебания относительно тренда (длинные волны);

•

короткие циклические (сезонные) колебания;

•

случайная, несистематическая, нерегулярная компонента.

В этом случае ряд представляют в виде суммы четырех компонент:

= u

+ d

+ s

+ r

где x

–исходный ряд;

– его трендовая составляющая;

– составляющая, отражающая длинные волны;

– сезонная составляющая;

– случайная составляющая ряда.

В задачах управления производственными процессами ограничи-

ваются разложением ряда на две составляющие:

9 тренд, или систематическое движение;

9 случайная, несистематическая, нерегулярная компонента;

или на три составляющие:

9 тренд, или систематическое движение;

9 короткие циклические (сезонные) колебания;

9 случайная, несистематическая, нерегулярная компонента.

Начнем с методов выявления тренда. Наиболее простым и распро-

страненным методом определения общего характера ряда, и тем самым

выявления тренда, является метод скользящего среднего.

МЕТОД СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

Этот метод позволяет сгладить исходный ряд, выровнять имею-

щиеся в нем резкие пики и спады, и тем самым получить более ясное

представление об основной тенденции ряда. Кроме того, данный метод

используется для устранения сезонных колебаний.

Метод скользящего среднего позволяет по исходному ряду x

по-

строить новый ряд y

. Члены нового ряда y

суть средние арифметические

нескольких подряд идущих членов исходного ряда x

. Количество таких

подряд идущих членов называется базой сглаживания (базой усреднения).

Среднее значение членов сглаженного ряда совпадает со средним

значением членов исходного ряда. С дисперсией, характеризующей ко-

леблемость ряда, дело обстоит по-другому. Если колебания членов ряда

вызваны независимыми причинами, то дисперсия сглаженного ряда в m

раз меньше дисперсии исходного ряда. Уменьшение дисперсии и является

основной целью сглаживания.

Для того, чтобы воспользоваться методом скользящего среднего,

следует сначала выбрать величину базы сглаживания. Обозначим базу бу-

квой m. Рассмотрим, например, случай, когда m = 3. Это означает, что

члены нового ряда рассчитываются по формуле:

xxx

1tt1t

+−

Результат сглаживания y

приписывается промежутку времени, со-

ответствующему среднему члену сглаживаемой серии. Для получения

следующего результата, y

t+1

, следует усреднить новую серию:

xxx

2t1tt

= .

Новая серия получается сдвигом на один элемент: из предыдущей

серии устранен x

t-1

и взамен добавлен x

t+2

. Остальные члены, x

и x

t+1

, со-

хранены без изменения. Такая процедура используется и при получении

последующих значений нового ряда y. Усредняемая серия как бы скользит

слева направо, частично накладываясь на предыдущую серию. Этим и

объясняется название метода.

Отметим, что в новом ряде отсутствует член с номером 1. Для его

вычисления потребовалось бы отсутствующее значение x

исходного ряда.

Аналогично, отсутствует и член y

с последним номером n.

Если база равна 5, то:

xxxxx

2t1tt1t2t

++−−

= .

При таком усреднении в результирующем ряде y

отсутствуют уже

два первых и два последних члена.

В качестве величины базы m обычно выбирают нечетное число. В

нечетной серии подряд идущих чисел всегда присутствует число, зани-

мающее среднее место по порядковому номеру. Этот член ряда соответст-

вует некоторому промежутку времени t. Результат сглаживания y

припи-

сывается именно этому промежутку времени. Это положение отражено в

приведенных выше формулах.

В общем виде, когда база m равна произвольному нечетному числу:

m = 2k + 1,

формула сглаживания имеет вид:

kti

∑

−=

Согласно этой формуле, для вычисления y

следует взять член x

ис-

ходного ряда с тем же номером t, прибавить к нему k членов слева и k

членов справа, и полученную сумму разделить на общее число слагаемых

– число 2k +1.

Результирующий ряд y

получится при этом на 2k членов короче

исходного: у него будут отсутствовать k членов в начале и k членов

в конце.

В увеличении базы есть как положительная, так и отрицательная

сторона. Чем больше величина базы сглаживания, тем более ровным, но

и тем более коротким становится результирующий ряд. Выравнивание

ряда способствует выявлению его общей тенденции и последующему по-

строению прогноза. Однако его укорочение препятствует решению этих

же задач.

Двухэтапное сглаживание

Нечетная база удобна для расчетов. Однако в некоторых случаях

приходится прибегать к четной базе.

Предположим, что сглаживание проводится с целью устранения се-

зонных колебаний. Тогда его следует проводить по базе, соответствующей

годовому циклу. Если исходные данные месячные, то в качестве базы

приходится брать число 12. Если данные квартальные, то базой становит-

ся число 4. В обоих случаях это четные числа.

При четной базе в сглаживаемой серии отсутствует член, соответ-

ствующий среднему промежутку времени. Нет промежутка, которому

можно корректно приписать результат.

В таких ситуациях используют двухэтапное сглаживание. На пер-

вом этапе проводят сглаживание по четной базе (скажем, при m=4). Сред-

него промежутка времени здесь нет, и результат приписывают не точно

середине, а со сдвигом на полпериода вперед или назад (например, назад).

После этого проводят повторное сглаживание уже сглаженного ряда по

базе, которая во всех случаях равна 2. База опять четная, и на этот раз ре-

зультат опять сдвигают на полпериода, но в противоположную сторону (в

нашем примере вперед). В итоге такой двухэтапной процедуры оконча-

тельный результат оказывается центрированным корректно.

Пусть, например, ряд x

представляет квартальные данные, в кото-

рых мы хотели бы устранить (сгладить) влияние сезонности. Для этого

следует провести сглаживание методом скользящего среднего по базе m =

4. Новый ряд обозначим посредством y. Со сдвигом на полпериода назад

получаем:

xxxx

2t1tt1t

++−

= .

Повторное сглаживание (его результат обозначим посредством z)

со сдвигом на полпериода вперед проводится по формуле:

t1t

−

Можно два этапа соединить в один.

xxxx

2t1tt1t1tt1t2t

t1t

++−+−−

−

xx2x2x2x

2t1tt1t2t ++−−

Формула при этом усложняется, но в ней становится ясно видной

центрированность результата: z

соответствует тому же периоду t, что и

среднее значение x.

Excel предоставляет различные возможности расчета скользящего

среднего. Уместно использовать функцию СРЗНАЧ.

Задание 2.1

В качестве исходного материала возьмите ежедневные данные по

курсу доллара за последние несколько месяцев. Проведите в Excel расче-

ты методом скользящего среднего при двух вариантах базы сглаживания:

при базе, равной 7 дням, и при базе, равной 31 дню. Постройте соответст-

вующие графики. Сравните результаты. Сформулируйте выводы.

Расчеты организуйте так, чтобы при изменении исходных данных ре-

зультаты менялись автоматически. Проверьте это, скопировав таблицу с гра-

фиками и заменив в копии данные по курсу доллара на данные по курсу евро.

МЕТОД ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

Это более трудоемкий метод. К достоинствам относится то, что при

его применении ряд не укорачивается. Более того, данный метод позволя-

ет рассчитать член нового ряда, относящийся к будущему периоду време-

ни, то есть построить прогноз на ближайший период. Исходные данные

входят в итоговый расчет в виде взвешенной суммы.

Пусть x

– исходный ряд. Ряд y

, получаемый из него методом экс-

поненциального сглаживания, определяется формулами:

= x

t+1

= αx

+ βy

где

α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1.

Две величины α и β, участвующие в формулах, являются парамет-

рами метода. Величина α называется

параметром сглаживания, величи-

на β –

параметром затухания.

Параметры должны быть положительными и в сумме давать 1. Рас-

смотрим предельные значения параметров.

Пусть α = 0 (тогда β = 1). В этом случае:

t+1

= y

в свою очередь

= y

t-1

и так далее вплоть до y

, которое по условию равно x

. При таком сглажи-

вании все члены нового ряда y оказываются равны друг другу, и равны

первому члену исходного ряда. Ясно, что такое сглаживание не имеет

смысла.

Рассмотрим другой предельный случай. Пусть теперь β = 0 (и тогда

α = 1). В этом случае

t+1

= x

так что сглаженный ряд совпадает с исходным (со сдвигом на один пери-

од). Такое сглаживание тоже не имеет смысла.

При одном предельном значении параметра сглаживание имеет аб-

солютный характер, при другом оно не происходит вовсе. Таким образом,

сглаживание имеет смысл проводить только при значениях параметров, не

являющихся предельными. В этом случае формула сглаживания представ-

ляет собой взвешенную сумму двух величин: фактического значения x

прогнозного значения y

. Если параметры равны друг другу,

α = β = 0,5,

то фактическое и прогнозное значение входят в прогноз на будущий пе-

риод на равных основаниях, с одинаковыми весами. Если один из них

больше, то соответствующее значение входит в результат с большим ве-

сом.

Структура прогноза

Поскольку сумма параметров равна 1, достаточно задавать один из

них. Выразим все, например, через β. Получим:

t+1

= (1 - β)x

+ βy

= x

+ β(y

- x

Предположим, что текущий, сегодняшний период времени – это

период t. Тогда t+1 – это будущий, завтрашний период. Мы видим, что

прогноз y

t+1

на завтрашний период состоит из двух слагаемых.

Первое слагаемое есть x

. Оно соответствует текущему состоянию,

и оно кладется в основу прогноза.

Второе слагаемое есть β(y

- x

). Оно характеризует разность, рас-

хождение между прогнозом y

на текущий период и его реализацией x

Эта разность с корректирующим множителем β вводится в прогноз.

Таким образом, прогноз на завтрашний период представляет собой

сегодняшнее состояние, скорректированное в соответствии с той точно-

стью, с которой такой прогноз осуществился в текущем периоде. Предпо-

лагается постоянное отслеживание точности осуществления прогноза и

автоматическое корректирование прогноза на следующий период.

Корректирующий множитель β лежит в пределах от 0 до 1. При

конкретной реализации метода это величина постоянная, не меняющаяся

от периода к периоду.

Экспоненциальный характер сглаживания

В формуле прогноза y

t+1

участвует величина y

. Эту величину в свою

очередь можно выразить через предыдущую величину, y

t-1

. Спускаясь по

индексам и далее и учитывая в конце, что y

= x

, мы получим в итоге:

t+1

= αx

+ βy

= αx

+ β(αx

t-1

+ βy

t-1

) = αx

+ β(αx

t-1

+ β(αx

t-2

+ βy

t-2

)) = …

= αx

+ βαx

t-1

+ β

αx

t-2

+ β

αx

t-3

+ … + β

t-2

αx

+ β

t-1

αx

+ β

= αx

+ βαx

t-1

+ β

αx

t-2

+ β

αx

t-3

+ … + β

t-1

αx

+ β

В последнее выражение входят все члены исходного ряда, от x

до

. Коэффициенты при этих членах расположены по степеням β. От x

до

они образуют убывающую геометрическую прогрессию. Сумма всех

коэффициентов равна 1:

α + βα + β

α + β

α + … + β

t-1

α + β

−β

+β =

−β

Таким образом, в расчетах участвуют все члены ряда, каждый со

своим весовым коэффициентом, причем данные, относящиеся к прошед-

шим периодам, входят с меньшим весом; свежие данные, относящиеся к

последним периодам – с большим весом. Веса изменяются плавно по за-

кону геометрической прогрессии, то есть по экспоненциальному закону.

С этим связано и название данного метода сглаживания.

Задание 2.2

Продолжим предыдущее задание. По ежедневным данным по курсу

доллара за последние несколько месяцев проведите в Excel расчеты мето-

дом экспоненциального сглаживания при двух вариантах параметра сгла-

живания α: при α = 0,1 и при α = 0,3. Постройте соответствующие графи-

ки. Сравните результаты. Сформулируйте выводы.

Расчеты организуйте так, чтобы при изменении исходных данных ре-

зультаты менялись автоматически. Проверьте это, скопировав таблицу с гра-

фиками и заменив в копии данные по курсу доллара на данные по курсу евро.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ТРЕНД

Под тенденцией развития понимают общее направление развития,

долговременную эволюцию. При анализе временного ряда тенденцию

стремятся представить в виде более или менее гладкой кривой, плавно из-

меняющейся во времени. Если кривая определяется математической

функцией с небольшим числом параметров, то ее называют

аналитиче-

ским трендом.

Тренд описывает усредненную траекторию развития во времени

для достаточно протяженного периода наблюдения. Обычно полученная

траектория связывается исключительно с ходом времени. Предполагается,

что со временем можно связать влияние всех основных факторов. Меха-

низм их влияния в явном виде не учитывается.

Процесс выравнивания состоит из двух основных этапов: выбора

типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения времен-

ного ряда, и определения числовых значений (статистическое оценивание)

параметров кривой.

Выбор формы тренда

Вопрос о выборе типа кривой является основным при определении

тренда. Ошибка в решении этого вопроса оказывается более серьезной по

своим последствиям для прогнозирования, чем ошибка, связанная с опре-

делением численных значений параметров тренда.

При выборе типа тренда следовало бы вскрыть внутреннюю логику

изучаемого процесса, специфику и взаимозависимость с другими процес-

сами и внешними условиями. Однако, как правило, такой анализ удается

провести лишь в самых общих чертах (например, рост равномерный, ус-

коренный, с затуханием, и так далее).