Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент
Подождите немного. Документ загружается.
23
Эта формула дает численный результат при условии, что три вели-
чины, входящие в числитель дроби – объем инвестиций K, постоянная ве-
личина дохода R и ставка дисконтирования i, связаны неравенством:
R > K i.
Если же это неравенство не выполнено, то проект не окупится ни-
когда. Другими словами, если или величина регулярного дохода R слиш-
ком мала, или объем инвестиций K слишком велик, или величина ставки
дисконтирования слишком высока, то такой проект не окупается даже при
бесконечно продолжающемся потоке доходов.
Внутренняя норма доходности проекта IRR
К важнейшим оценкам инвестиционного проекта относится его
внутренняя норма доходности. Ее называют также внутренней нормой
рентабельности, или Internal Rate of Return (IRR). Она численно равна
тому значению i
0
ставки дисконтирования i, при котором величина чисто-
го дисконтированного дохода
NPV обращается в 0.
Другими словами, внутренняя норма доходности i
0
является реше-
нием уравнения:
NPV =
)tt(
k
k
0k
)i1(R
−−
+
∑
= 0
относительно неизвестной величины i.
При выполнении условия
i = i
0
,
не только чистая приведенная стоимость проекта становится равной 0, но
и индекс доходности становится равным 100%, а момент окупаемости
проекта t
ок
совпадает с моментом его окончания (с моментом последнего
платежа по проекту в финансовом потоке).
Отметим, что величина IRR не зависит ни от даты приведения про-
екта, ни от выбранной ставки дисконтирования (она сама определяет та-
кую ставку).
В общем случае, для инвестиционного проекта с произвольной
структурой финансового потока, нет формульного выражения для расчета
24
величины IRR. Однако есть приближенные методы, позволяющие полу-
чить численное значение этой величины с любой наперед заданной точно-
стью. Соответствующие алгоритмы реализованы в Excel. Для расчета IRR
в Excel можно воспользоваться встроенной процедурой «Подбор парамет-
ра» или специальной финансовой функцией.
Пример 1.5
Вернемся к прежнему примеру. Пусть по проекту предусматривает-
ся однократное капиталовложение в размере K, которое должно вызвать
периодический поток из n доходов одинаковой величины R. Первый до-
ход возникает через один период после момента начала проекта, то есть
через один период после момента капиталовложения. Таким образом, по-
ток доходов образует постоянную ренту постнумерандо, причем начало
ренты совпадает с началом проекта t
нач
.
В этих условиях внутренняя норма доходности является решением
следующего уравнения относительно i:
K =
n
1(1i)
R
i
−
−+
.
В общем виде формулы для решения такого уравнения не сущест-
вует, для расчетов следует использовать приближенные методы.
Рассмотрим вариант, когда поток доходов не ограничен по времени,
то есть образуемая им рента является вечной. Для этого частного случая
формулу для IRR написать можно, и она будет довольно простой:
i = R / K.
Для конечной ренты величина IRR будет ниже.
АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ИНВЕСТИЦИЙ
Оценки эффективности рассчитываются обычно для еще не реали-
зованных перспективных проектов, обращенных в будущее. В этих случа-
ях и размеры инвестиций, и размеры доходов являются прогнозными ве-
личинами.
25
Прогнозы не обладают абсолютной надежностью. Поэтому наряду
с получением оценок эффективности проекта важную роль играет анализ
чувствительности (Sensitivity Analysis) и анализ устойчивости (Stability
Analysis) полученных оценок относительно ошибок прогноза, анализ типа
«что, если…».
Анализ чувствительности должен показать, насколько сильно из-
менение тех или иных параметров ситуации влияет на результирующие
характеристики проекта. Анализ устойчивости говорит о том, влияют ли
возможные изменения параметров на решения, принимаемые по проек-
ту.
В качестве изменяемых параметров ситуации анализируются, в пер-
вую очередь:
9 вариации объемов вложений и доходов и сроков их возникнове-
ния, отображаемые в итоговом финансовом потоке;
9 изменения общей экономической ситуации, отражаемые в изме-
нении ценности времени и отображаемые ставкой дисконтиро-
вания.
В качестве результирующих характеристик анализируются, в пер-
вую очередь:
9 величина NPV, определяющая общую массу дохода, получаемую
от реализации проекта;
9 величина IRR, показывающая обобщенную доходность вложений
в проект.
Если результирующие характеристики проекта изменяются в до-
пустимых пределах, то можно считать, что возможные ошибки прогноза
не сказываются на окончательных решениях по проекту. В этом смысле
анализ чувствительности переходит в анализ устойчивости принимаемых
решений.
В основе анализа чувствительности и устойчивости лежат вариант-
ные расчеты. Обычно строят варианты для каждой из характеристик про-
гноза, затем полученные результаты сводят в три итоговых варианта рас-
четов: основной, пессимистический и оптимистический.
Такие расчеты особенно удобно проводить в электронных таблицах
Excel. Можно построить одну базовую расчетную таблицу, затем много-
кратно скопировать ее, в каждую копию подставить свой вариант данных,
и сопоставить полученные результаты.
26
ВАРИАНТ ПРОЕКТА
Пример 1.6
Проект производственных инвестиций предусматривает два акта
капиталовложений на закупку, транспортировку, монтаж и наладку ос-
новной и дополнительной группы оборудования. Эти два акта капитало-
вложений в объеме 15 и 5 условных денежных единиц планируются на
начало 2008 и 2009 года. В дальнейшем прогнозируется ежегодное полу-
чение дохода от использования этого оборудования в размере по 10 у.е. в
течение четырех лет.
Требуется выбрать дату приведения и оценить эффективность про-
екта, определить чувствительность и устойчивость полученных оценок.
Отметим сразу, что сумма доходов в 2 раза превышает сумму вло-
жений, так что при предварительном анализе в недисконтированной фор-
ме проект представляется весьма выгодным. Однако в этой форме учиты-
вается лишь общая сумма платежей, но совершенно не учитывается их
распределение во времени, то есть не учитывается ценность времени.
Оценка эффективности проекта зависит от ценности времени, от
перевода времени в деньги, то есть от величины ставки дисконтирования.
Можно считать, что оценка проекта в недисконтированной форме соот-
ветствует дисконтированной оценке, но при ставке, равной 0.
Для проведения необходимых расчетов и построения графиков сле-
дует сформировать таблицу в Excel.
Задание 1.6
Построить расчетную таблицу и графики в Excel.
Образец организации соответствующих расчетов в Excel приведен
ниже (табл. 1.2 – 1.5). Рассмотрим начальную часть этих расчетов
(табл. 1.2).
Верхний блок таблицы (строки с 1 по 6) содержит заголовки и ис-
ходные данные: последовательность дат (включая дату приведения), поток
инвестиций и поток доходов (в условных единицах). В строке 6 рассчиты-
вается итоговый поток (разность доходов и вложений). Пустая строка 7
разделяет два блока.
27
В строке 8 (верхней строке второго блока) указана ставка дискон-
тирования. Первоначально примем ее равной 40% годовых.
В строке 9 для каждого периода времени рассчитан дисконтный
множитель. Он позволяет дисконтировать результаты очередного периода
к предыдущей дате (но еще не к дате приведения).
Далее, в строке 10 последовательное перемножение этих множите-
лей дает кумулятивный множитель, позволяющий дисконтировать резуль-
таты каждого периода к единой дате приведения.
В строке 11 осуществляется дисконтирование потока вложений, а в
строке 12 этот дисконтированный поток последовательно суммируется
(нарастающим итогом).
Аналогично, в строке 13 осуществляется дисконтирование потока
доходов, а в строке 14 этот дисконтированный поток последовательно
суммируется.
В строке 15 рассчитывается разность строк 14 и 12, дисконтирован-
ной суммы доходов и вложений. Тем самым определена ключевая вели-
чина чистой приведенной стоимости – NPV проекта на любую дату.
Наконец, в строке 16 рассчитывается отношение дисконтирован-
ной суммы доходов к дисконтированной сумме вложений. В процентном
формате эта величина определяет индекс доходности – PI проекта на лю-
бую дату.
28
Таблица 1.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ABCDEFGH
Инвестиционный проект А
Дата приведения
Время: 12.01.2008 01. 01. 2009 01. 01. 2010 01. 01. 2011 01. 01. 2012 01. 01. 2013 01. 01. 2014
Поток вложений K
k
15 5
Поток доходов D
k
10 10 10 10
Итоговый поток R
k
=
D
k
-
K
k
0 -15 -5 10 10 10 10
Ставка дисконтирования i
k
=
40% 40% 40% 40% 40% 40% 40%
Дисконт. множитель v
k
= (1+i
k
)^(-(t
k
- t
k-1
)/365) 1,000 0,721 0,714 0,714 0,714 0,714 0,714
Кумулятивный дисконт. множитель V
k
=
Π
v
m
1,000 0,721 0,515 0,368 0,263 0,187 0,134
Дисконтированный поток вложений V
k
K
k
0,000 10,814 2,575 0,000 0,000 0,000 0,000
Дисконтированная сумма вложений
Σ
V
m
K
m
0,000 10,814 13,388 13,388 13,388 13,388 13,388
Дисконтированный поток доходов V
k
D
k
0,000 0,000 0,000 3,678 2,627 1,875 1,339
Дисконтированная сумма доходов
Σ
V
m
D
m
0,000 0,000 0,000 3,678 6,305 8,180 9,519
Чистый дисконт. доход NPV
k
=
Σ
(V
m
R
m
) 0,000 -10,814 -13,388 -9,710 -7,083 -5,208 -3,869
Индекс доходности PI
k
=
Σ
(V
m
D
m
) /
Σ
(V
m
K
m
)
0% 0% 27% 47% 61% 71%
26
29
Таблица 1.3
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
ABCDEFGH
Ставка дисконтирования i
k
=
30% 30% 30% 30% 30% 30% 30%
Дисконт. множитель v
k
= (1+i
k
)^(-(t
k
- t
k-1
)/365) 1,000 0,775 0,769 0,769 0,769 0,769 0,769
Кумулятивный дисконт. множитель V
k
=
Π
v
m
1,000 0,775 0,596 0,458 0,353 0,271 0,209
Дисконтированный поток вложений V
k
K
k
0,000 11,622 2,980 0,000 0,000 0,000 0,000
Дисконтированная сумма вложений
Σ
V
m
K
m
0,000 11,622 14,602 14,602 14,602 14,602 14,602
Дисконтированный поток доходов V
k
D
k
0,000 0,000 0,000 4,584 3,527 2,711 2,085
Дисконтированная сумма доходов
Σ
V
m
D
m
0,000 0,000 0,000 4,584 8,111 10,822 12,907
Чистый дисконт. доход NPV
k
=
Σ
(V
m
R
m
) 0,000 -11,622 -14,602 -10,017 -6,491 -3,780 -1,695
Индекс доходности PI
k
=
Σ
(V
m
D
m
) /
Σ
(V
m
K
m
)
0% 0% 31% 56% 74% 88%
Ставка дисконтирования i
k
=
20% 20% 20% 20% 20% 20% 20%
Дисконт. множитель v
k
= (1+i
k
)^(-(t
k
- t
k-1
)/365) 1,000 0,838 0,833 0,833 0,833 0,833 0,833
Кумулятивный дисконт. множитель V
k
=
Π
v
m
1,000 0,838 0,698 0,582 0,485 0,404 0,336
Дисконтированный поток вложений V
k
K
k
0,000 12,563 3,490 0,000 0,000 0,000 0,000
Дисконтированная сумма вложений
Σ
V
m
K
m
0,000 12,563 16,052 16,052 16,052 16,052 16,052
Дисконтированный поток доходов V
k
D
k
0,000 0,000 0,000 5,816 4,847 4,037 3,364
Дисконтированная сумма доходов
Σ
V
m
D
m
0,000 0,000 0,000 5,816 10,663 14,700 18,064
Чистый дисконт. доход NPV
k
=
Σ
(V
m
R
m
) 0,000 -12,563 -16,052 -10,236 -5,390 -1,353
2,011
Индекс доходности PI
k
=
Σ
(V
m
D
m
) /
Σ
(V
m
K
m
)
0% 0% 36% 66% 92% 113%
27
30
Таблица 1.4
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
ABCDEFGH
Ставка дисконтирования i
k
=
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
Дисконт. множитель v
k
= (1+i
k
)^(-(t
k
- t
k-1
)/365) 1,000 0,911 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909
Кумулятивный дисконт. множитель V
k
=
Π
v
m
1,000 0,911 0,829 0,753 0,685 0,622 0,566
Дисконтированный поток вложений V
k
K
k
0,000 13,672 4,143 0,000 0,000 0,000 0,000
Дисконтированная сумма вложений
Σ
V
m
K
m
0,000 13,672 17,815 17,815 17,815 17,815 17,815
Дисконтированный поток доходов V
k
D
k
0,000 0,000 0,000 7,533 6,848 6,224 5,658
Дисконтированная сумма доходов
Σ
V
m
D
m
0,000 0,000 0,000 7,533 14,381 20,605 26,263
Чистый дисконт. доход NPV
k
=
Σ
(V
m
R
m
) 0,000 -13,672 -17,815 -10,282 -3,434
2,790 8,448
Индекс доходности PI
k
=
Σ
(V
m
D
m
) /
Σ
(V
m
K
m
)
0% 0% 42% 81% 116% 147%
Ставка дисконтирования i
k
=
0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
Дисконт. множитель v
k
= (1+i
k
)^(-(t
k
- t
k-1
)/365) 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Кумулятивный дисконт. множитель V
k
=
Π
v
m
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Дисконтированный поток вложений V
k
K
k
0,000 15,000 5,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Дисконтированная сумма вложений
Σ
V
m
K
m
0,000 15,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000
Дисконтированный поток доходов V
k
D
k
0,000 0,000 0,000 10,000 10,000 10,000 10,000
Дисконтированная сумма доходов
Σ
V
m
D
m
0,000 0,000 0,000 10,000 20,000 30,000 40,000
Чистый дисконт. доход NPV
k
=
Σ
(V
m
R
m
) 0,000 -15,000 -20,000 -10,000
0,000 10,000 20,000
Индекс доходности PI
k
=
Σ
(V
m
D
m
) /
Σ
(V
m
K
m
)
0% 0% 50% 100% 150% 200%
28
31
Таблица 1.5
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
ABCDEFGH
Ставка дисконтирования i
k
=
24,76% 24,76% 24,76% 24,76% 24,76% 24,76% 24,76%
Дисконт. множитель v
k
= (1+i
k
)^(-(t
k
- t
k-1
)/365) 1,000 0,806 0,802 0,802 0,802 0,801 0,802
Кумулятивный дисконт. множитель V
k
=
Π
v
m
1,000 0,806 0,646 0,518 0,415 0,333 0,267
Дисконтированный поток вложений V
k
K
k
0,000 12,097 3,232 0,000 0,000 0,000 0,000
Дисконтированная сумма вложений
Σ
V
m
K
m
0,000 12,097 15,329 15,329 15,329 15,329 15,329
Дисконтированный поток доходов V
k
D
k
0,000 0,000 0,000 5,181 4,153 3,327 2,667
Дисконтированная сумма доходов
Σ
V
m
D
m
0,000 0,000 0,000 5,181 9,335 12,662 15,329
Чистый дисконт. доход NPV
k
=
Σ
(V
m
R
m
) 0,000 -12,097 -15,329 -10,147 -5,994 -2,667 0,000
Индекс доходности PI
k
=
Σ
(V
m
D
m
) /
Σ
(V
m
K
m
)
0% 0% 34% 61% 83% 100%
Внутренняя норма доходности i
0
=
24,76%
29
32
Инвестиционный проект А.
Динамика NPV
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
12. 01. 08
01. 01. 09
01. 01. 10
01. 01. 11
01. 01. 12
01. 01. 13
01. 01. 14
Чистый дисконт. доход
40% 30% 20%
10% 0% 24,76%
Рис. 1.2. Динамика NPV при различных ставках дисконтирования
30