Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

Для того, чтобы сравнить разные варианты проектов, соответст-

вующие финансовые потоки дисконтируют (приводят) к одному моменту

времени.

Напомним кратко основные формулы, на которых базируется по-

строение оценок эффективности инвестиционного проекта.

Оценка финансовых средств по сложной постоянной ставке

Формула роста:

S = P(1+i)

)tt(

)i1(P

−

+ ;

формула дисконтирования:

P =

)tt(

)i1(S)i1(S

)i1(

−−

−

+=+=

где t

– начальный момент времени;

t – конечный момент времени;

T – длина промежутка времени, T = t – t

;

P – начальный объем финансовых средств (объем средств в момент

времени t

);

S – конечный объем финансовых средств (объем средств в момент

времени t);

i – процентная ставка или ставка дисконтирования (в числовом фор-

мате).

Обе формулы – и роста, и дисконтирования – можно рассматривать

как

формулы приведения, как формулы пересчета суммы платежа к ново-

му моменту времени. Формула роста определяет будущую стоимость на-

чальной денежной суммы, она приводит платеж к будущему моменту

времени. Формула дисконтирования, напротив, определяет современную

стоимость будущей денежной суммы, приводит стоимость будущего пла-

тежа к начальному моменту времени.

Оценка финансовых средств по сложной переменной ставке

В ряде ситуаций используется переменная процентная или дисконт-

ная ставка (например, с целью учета инфляционных процессов). В этом

случае промежуток времени T разбивается на части T

, T

, . . . T

, так что

T = T

+ T

+ . . .+ T

и на каждой части T

задается свое значение ставки i

. Промежутки вре-

мени T

могут быть одинаковой длины, но могут иметь и различную дли-

ну.

Таким образом, на первом промежутке времени длиной T

ставка

равна i

, на втором промежутке длиной T

ставка равна i

, и так далее.

Формула роста по сложной переменной ставке имеет вид:

.)i1(P

)i1...()i1()i1(P

)i1...()i1()i1(PS

)tt(

1kk

1nn1201

n21

∏

−

−−−

−

+×=

=+++×=

Формула дисконтирования по сложной переменной ставке имеет

вид:

.)i1(S

)i1...()i1()i1(S

)i1...()i1()i1(

)tt(

1kk

1nn1201

n21

∏

−−

−−−−−−

−−−

−

+×=

=+++×=

+++

В этих формулах

– начальный момент промежутка времени T

и общего промежутка

времени T;

– конечный момент промежутка времени T

и начальный момент про-

межутка T

k+1

;

– конечный момент промежутка времени T

и конечный момент про-

межутка T;

P – начальный объем финансовых средств (объем средств в момент

времени t

);

S – конечный объем финансовых средств (объем средств в момент вре-

мени t

);

– процентная ставка или ставка дисконтирования (в числовом форма-

те), действующая на промежутке времени T

В частном случае все ставки i

могут быть равны одной и той же

величине i,

= i

= . . . = i

= i.

В этом случае все основания степеней становятся равными (1+i),

показатели степеней суммируются, и формулы с переменной ставкой ав-

томатически преобразуются в приведенные выше формулы с постоянной

ставкой.

Ставку дисконтирования называют также нормой

дисконтирования.

Приведенная стоимость финансового потока

Оценка эффективности инвестиционного проекта тесно связана с

оценкой соответствующего финансового потока, с оценкой последова-

тельности денежных сумм, приуроченных к определенным моментам вре-

мени.

Приведенная стоимость потока в общем случае равна сумме

приведенных стоимостей членов данного потока. Она определяется по

формуле:

V =

)tt(

)i1(R

−−

∑

В этой формуле

V – приведенная стоимость потока;

– член потока с номером k;

– момент возникновения платежа R

;

– момент времени, к которому осуществляется приведение;

i – ставка приведения.

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для

любого момента времени t

В частности, если t

– начальный момент потока (или сегодняшний

момент времени), то эта формула определяет современную стоимость по-

тока. Величину приведенной стоимости V в этом случае обозначают по-

средством A или посредством PV (

Present Value).

Если же t

– момент окончания срока потока, формула определяет

наращенную сумму потока. В этом случае приведенную стоимость потока

V обозначают посредством S или иногда посредством FV (

Future Value).

Величина приведенной стоимости V потока численно зависит от

момента времени t

, к которому осуществляется приведение. Результаты

приведения к различным моментам времени связаны друг с другом сле-

дующим простым соотношением.

Пусть V – результат приведения к моменту времени t

, а V′ – ре-

зультат приведения к моменту времени t

′. Тогда

)tt(

)i1(VV

−

′

+⋅=

′

Таким образом, результат приведения к одной дате пропорционален

результату приведения к другой дате, причем коэффициент пропорцио-

нальности, равный величине

)tt(

)i1(

−

′

+ , определяется только величиной

ставки i и разностью дат (t

′ – t

), но не зависит от структуры финансового

потока.

Результат расчета приведенной стоимости финансового потока

численно зависит от выбранной ставки приведения (ставки дисконтирова-

ния) i. Величина ставки отражает ценность времени. Чем ниже ставка, тем

медленнее предполагается изменение стоимости денежных средств, тем

ниже стоимостная оценка времени.

В предельном случае, при нулевой ставке, когда i = 0, ценность вре-

мени исчезает. При этом исчезает и дисконтирование (или рост) членов

финансового потока. Результат расчета приведенной стоимости потока в

этом случае даст величину, равную простой сумме членов этого потока.

Указанная выше формула приведенной стоимости потока V позво-

ляет провести расчет с постоянной ставкой i. Однако расчет приведенной

стоимости потока может основываться и на переменной ставке. При таком

расчете промежуток времени, охватывающий всю продолжительность по-

тока, разбивают на части, каждой из которой соответствует своя величина

ставки. Переменная ставка применяется к каждому члену потока, а затем

результаты суммируются. Формулы расчета с отдельными членами потока

(с отдельными платежами) были указаны выше.

ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ ИНВЕСТИЦИОННОГО

ПРОЕКТА

Приведенная стоимость потока капиталовложений (инвестиций) K

Формула приведенной оценки потока инвестиций

K соответствует

общей формуле приведенной стоимости данного потока:

K =

)tt(

)i1(K

−−

∑

где K – приведенная стоимость потока инвестиций;

– член потока с номером k;

– момент возникновения вложения I

;

– момент времени, к которому осуществляется приведение;

i – ставка приведения.

Приведенная стоимость потока доходов D

При оценке потока доходов инвестиционного проекта доходы рас-

сматриваются очищенными от текущих эксплуатационных затрат. Фор-

мула приведенной оценки потока доходов

D соответствует общей форму-

ле приведенной стоимости этого потока:

D =

)tt(

)i1(D

−−

∑

где

D – приведенная стоимость потока доходов,

– член потока с номером k,

– момент возникновения дохода D

– момент времени, к которому осуществляется приведение,

i – ставка приведения.

Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта NPV

Базовой оценкой инвестиционного проекта является

чистая приве-

денная стоимость

(ЧПС) соответствующего финансового потока. Эту

оценку называют также чистым дисконтированным доходом (ЧДД), или

Net Present Value (NPV). Она может быть рассчитана через приведенные

стоимости потока инвестиций и потока доходов по формуле

NPV = D – K,

или же непосредственно по общей формуле

NPV =

)tt(

)i1(R

−−

∑

где

NPV – чистая приведенная стоимость финансового потока;

– член потока с номером k (отрицательный, если он является вло-

жением, и положительный, если он является доходом);

– момент возникновения члена R

;

– момент времени, к которому осуществляется приведение (обыч-

но это начальный момент анализа проекта);

i – ставка приведения.

Величина NPV определяет прибыль по проекту, прибыль в дискон-

тированной форме, с учетом распределения денежных средств во времени.

Чем больше величина NPV, тем, при прочих равных условиях, более до-

ходным является анализируемый инвестиционный проект.

Если величина NPV положительна, то проект окупается с учетом

стоимостной оценки времени, выраженной с помощью дисконтирования

по ставке i. Само численное значение NPV определяет чистый доход от

реализации проекта с учетом стоимости времени.

Если величина NPV отрицательна, то проект не окупается. Числен-

ное значение NPV определяет в этом случае величину чистых убытков от

реализации проекта с учетом стоимости времени.

Нулевое значение NPV соответствует равновесной ситуации, когда

дисконтированные доходы в точности покрывают дисконтированные ин-

вестиции.

В случае, когда финансовый поток проекта имеет простую струк-

туру, для расчета NPV проекта можно получить формулу в виде неслож-

ного аналитического выражения. Рассмотрим один из таких типичных

вариантов.

Пример 1.1

Пусть по проекту предусматривается однократное капиталовложе-

ние в размере K, которое должно вызвать периодический поток из n дохо-

дов одинаковой величины R. Первый доход возникает через один период

после момента начала проекта, то есть через один период после момента

капиталовложения. Таким образом, поток доходов образует постоянную

ренту постнумерандо, причем начало ренты совпадает с началом проекта

(напомним, что платежи в ренте постнумерандо поступают в конце пе-

риодов, так что такая рента начинается за один период до первого плате-

жа).

Предположим, в качестве момента приведения проекта выбрана да-

та его начала, то есть дата капиталовложения K.

В этих условиях величина NPV определяется формулой:

NPV =

1(1i)

−

−+

−

В частном случае, когда поток доходов по времени не ограничен и

образует вечную ренту (то есть если n→∞), формула принимает более

простой вид:

NPV =

−

Величина

NPV для такого проекта будет положительной, если вы-

полнено неравенство:

R > Ki,

то есть если или величина постоянного дохода R достаточно велика, или объем

капиталовложений K достаточно мал, или ставка дисконтирования i не слиш-

ком высока. В противном случае величина

NPV не окажется положительной

даже при бесконечном потоке доходов.

Среднегодовая величина чистой приведенной стоимости проекта U

Среднегодовая величина

U чистой приведенной стоимости про-

екта равна члену R такой постоянной финансовой ренты, продолжитель-

ность которой совпадает с продолжительностью жизни проекта и дискон-

тированная сумма которой PV равна чистому дисконтированному доходу

проекта NPV. Величину

U можно рассчитать по формуле:

U =

)i1(1

NPV

−

+−

где U – среднегодовая величина чистой приведенной стоимости проекта;

NPV – чистая приведенная стоимость проекта;

n – общая продолжительность жизни проекта (в годах);

i – ставка приведения.

При неограниченной продолжительности жизни проекта формула

упрощается и принимает вид:

U = iNPV

Пример 1.2

Вернемся к условиям Примера 1.1. Пусть по проекту предусмат-

ривается однократное капиталовложение в размере K, которое должно

вызвать периодический ежегодный поток из n доходов одинаковой вели-

чины R. Первый доход возникает через год после начала проекта, то есть

через год после момента капиталовложения. Таким образом, поток дохо-

дов образует постоянную ренту постнумерандо, причем начало ренты

совпадает с началом проекта.

Предположим, в качестве момента приведения проекта выбрана да-

та его начала, то есть дата капиталовложения K.

Для такого проекта величина U определяется простой формулой:

U = R.

Таким образом, в этих условиях величина постоянного ежегодного

дохода R в точности совпадает с величиной U среднегодовой чистой при-

веденной стоимости проекта.

Индекс доходности проекта PI

Важной характеристикой проекта, которую можно рассматривать как

вариант оценки его рентабельности в дисконтированной форме, является

индекс доходности проекта PI (Profitability Index):

PI =

100%

× ,

где PI – индекс доходности проекта;

K – приведенная стоимость потока капиталовложений (инвестиций);

D – приведенная стоимость потока доходов.

Индекс доходности называют также Benefit-Cost Ratio.

Индекс доходности, больший 100%, соответствует положительной

величине NPV.

Индекс доходности, меньший 100%, соответствует отрицательной

величине NPV.

Индекс доходности, равный 100%, соответствует нулевой величине

NPV.

Пример 1.3

Вернемся к прежнему примеру. По проекту предусматривается од-

нократное капиталовложение в размере K, которое вызывает периодиче-

ский поток из n доходов одинаковой величины R. Поток доходов образует

постоянную ренту постнумерандо, причем начало ренты совпадает с на-

чалом проекта.

В этих условиях величина PI определяется формулой:

PI =

1(1i)

R 100%

−

−+

⋅

В частном случае, когда поток доходов по времени не ограничен и

образует вечную ренту (если n→∞), формула принимает более простой

вид:

PI =

100%

⋅

Величина PI для такого проекта будет больше 100%, если выполне-

но неравенство:

R > Ki ,

то есть если или величина постоянного дохода R достаточно велика, или объем

капиталовложений K достаточно мал, или ставка дисконтирования i не слиш-

ком высока. В противном случае величина

PI не окажется больше 100% даже

при бесконечном потоке доходов.

Срок окупаемости проекта PP

Срок окупаемости проекта PP (Payback Period) равен продолжи-

тельности периода времени от момента начала проекта t

нач

(момента пер-

вого капиталовложения) до момента окупаемости проекта t

ок

PP = t

ок

– t

нач

Под моментом окупаемости t

ок

понимается тот момент времени, к

которому накопленная дисконтированная сумма доходов окажется равной

дисконтированной сумме капиталовложений.

Момент начала проекта t

нач

не зависит от величины ставки дискон-

тирования. Момент окупаемости проекта t

ок

, напротив, зависит от величи-

ны этой ставки. Тем самым, и срок окупаемости проекта

PP также зависит

от величины ставки дисконтирования.

Средства Excel дают различные возможности для расчета срока

окупаемости. Однако не всегда формула расчета срока оказывается про-

стой.

В общем случае для расчета срока окупаемости проекта PP исполь-

зуют сначала вспомогательные формулы, позволяющие рассчитать час-

тичные суммы дисконтированного дохода D

и определить с их помощью

момент окупаемости с недостатком (

) и с избытком (s

≤

= max {s : D

- K ≤ 0},

= min {s : D

- K ≥ 0}.

Если поток доходов является дискретным, то в качестве момента

окупаемости t

ок

можно принять s

. Если же поток доходов непрерывный,

то момент окупаемости t

ок

лежит между s

и s

и тогда его положение

можно определить с помощью линейной интерполяции.

Срок окупаемости проекта зависти от величины ставки дисконти-

рования. Чем больше эта величина, тем в общем случае больше и срок

окупаемости. Зависимость тут не линейная, при достаточно большой став-

ке срок окупаемости

PP может отсутствовать, то есть проект может ока-

заться не окупаемым.

В случае, когда финансовый поток проекта имеет простую структу-

ру, для определения срока окупаемости проекта можно получить формулу

в виде несложного аналитического выражения. Рассмотрим один из таких

типичных вариантов.

Пример 1.4

Продолжим прежний пример. Пусть по проекту предусматривается

однократное капиталовложение в размере K, которое должно вызвать не

ограниченный по времени периодический поток доходов одинаковой ве-

личины R. Первый доход возникает через один период после момента на-

чала проекта, то есть через один период после момента капиталовложе-

ния. Таким образом, поток доходов образует постоянную вечную ренту

постнумерандо, причем начало ренты совпадает с началом проекта t

нач

Тогда срок окупаемости проекта

PP определится формулой:

Ln(1 )

Ln(1 i)

−

=−