Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

103

ABCDEFGH I JKLM

Система обслуживания с ожиданием - универсальная расчетная схема

Исходные данные Экономические исходные данные

Число узлов обслуживания

100

Упущенная прибыль из-за ожидания (руб. / треб.)

Интенсивность вход. потока (треб. / час)

Затраты на работу узла обслуживания (руб. / час)

Интенсивность обслуживания (треб. / час)

Расчеты

80%

Сумма геом. прогр.0,031

Номера состояний

0123456789101112

Слагаемые

1,000 0,800 0,320 0,085 0,023 0,006 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Вероятности состояний

0,447 0,358 0,143 0,038 0,010 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Технические результаты работы системы Экономические результаты работы системы

0,447

Вероятность отсутствия требований

1,89

Поток упущенной прибыли от ожидания (руб. / час)

0,553

Вероятность наличия требований

240,00

Поток затрат на процесс обслуживания (руб. / час)

зан

0,052

Вероятность того, что все узлы заняты

241,89

Итоговые потери (руб. / час)

оч

0,014

Вероятность наличия очереди

оч

0,019

Средняя длина очереди (треб)

ож

0,002

Среднее время пребывания в очереди (час)

зан

0,800

Среднее число занятых узлов (ед)

раб

27%

Доля рабочего времени узла (%)

св

2,200

Среднее число свободных узлов (ед)

св

73%

Доля свободного времени узла (%)

Рис. 3.7. Характеристики работы системы с ожиданием с 3 узлами обслуживания

100

104

ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ СО С ОГРАНИЧЕННОЙ

ОЧЕРЕДЬЮ

СО с ограниченной очередью: общие условия

Наличие накопителя в системе обслуживания означает возмож-

ность существования очереди из требований, ожидающих начала обслу-

живания. Ограниченность очереди соответствует ограниченности накопи-

теля и означает, что требования могут получить отказ до начала обслужи-

вания. Таким образом, система с ограниченной очередью объединяет в се-

бе как признаки системы с ожиданием, так и признаки системы с отказа-

ми.

Базовый вариант системы обслуживания с ограниченной очередью

удовлетворяет следующим условиям.

Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свобод-

ный узел обслуживания, то требование сразу начинает обслуживаться

(любым из свободных узлов).

Если все узлы заняты, а накопитель не заполнен, то поступившее тре-

бование становится в очередь за уже имеющимися в накопителе требо-

ваниями.

Если все узлы заняты и накопитель заполнен, то поступившее требова-

ние получает отказ в обслуживании и покидает систему.

Если в момент освобождения узла имеется хотя бы одно требование в

накопителе, то первое из них по очереди сразу поступает на обслужи-

вание.

Каждый узел в любой момент времени обслуживает не более одного

требования.

Каждое требование обслуживается одним узлом.

Обслуживание не прерывается.

По окончании обслуживания требование покидает систему.

Посредством N будем, как и раньше, обозначать число узлов об-

служивания в системе. Посредством S обозначим максимально возмож-

ную длину очереди (объем накопителя).

При:

S = 0

СО с ограниченной очередью превращается в систему с отказами.

При:

S =

∞

СО с ограниченной очередью превращается в систему с ожиданием.

105

Таким образом, СО с ограниченной очередью охватывает как част-

ные случаи системы двух предшествующих видов.

В системе с ограниченной очередью очередь не может неограни-

ченно расти, так что условие:

ρ < N,

указанное выше для систем с ожиданием, оказывается излишним для сис-

тем с ограниченной очередью.

СО с ограниченной очередью: характеристики работы для N узлов

обслуживания и S мест в очереди

Вероятность отсутствия требований в системе обслуживания P

оп-

ределяется формулой:

kN1

k! N!(N ) N



ρρ ρ



+⋅−



−ρ



∑

Вероятность отказа

отк

для системы с ограниченным накопителем

определяется занятостью всех узлов обслуживания и равна:

отк

⋅

Относительная пропускная способность

α есть величина, допол-

няющая вероятность отказа до 1:

α = 1 - Pотк = 1 -

⋅

Величина абсолютной пропускной способности

A определяется

формулой:

отк

А=λ×α =λ×(1-P )

Вероятность наличия очереди

оч

определяется формулой:

106

оч

NN N

!( )



ρρ



=⋅−⋅



−ρ



Вероятность того, что все узлы заняты

зан

может быть вычислена

следующим образом:

зан 0

N!(N )



ρ−ρ⋅





=⋅

−ρ

Среднее число требований, находящихся в системе обслуживания,

тр

N1 N2 NS1 NS2

SS1

тр 0

NS1 NS

(N 1)

k! (N 1)!(N )

+ + ++ ++

−

++ +



+⋅ρ −ρ − ρ + ⋅ρ



=ρ⋅ +



−−ρ





∑

Средняя длина очереди М

оч

=⋅

−

⋅+ ⋅













−−

ρρ ρ ρ

ρ()!( )

Среднее число занятых узлов М

зан

зан 0

(k 1)! (N 1)!(N )

−



ρ−ρ⋅









=⋅ρ⋅ +



−−−ρ





∑

Среднее время ожидания начала обслуживания для требования, по-

ступившего в систему Т

ож

=⋅

оч

+ P

зан

107

108

СО с ограниченной очередью: характеристики работы для 1 узла

обслуживания и S мест в очереди

Рассмотрим еще один частный случай СМО с ограниченным нако-

пителем, когда в системе работает один узел обслуживания. Число мест в

накопителе произвольно. Возникающие при этом формулы получаются из

общих формул подстановкой 1 вместо N с последующими преобразова-

ниями.

Вероятность отсутствия требований

в системе обслуживания P

оп-

ределяется формулой:

−

−ρ

Вероятность отказа

отк

для системы с ограниченным накопителем

определяется занятостью всех узлов обслуживания и равна:

отк

S1 S2

−ρ

Относительная пропускная способность

α равна:

α =

−

Величина абсолютной пропускной способности

A определятся фор-

мулой:

A =

⋅α.

Вероятность наличия очереди

оч

определяется формулой:

оч

2S2

−

−ρ

Вероятность того, что все узлы заняты

зан

может быть вычислена

следующим образом:

зан

−

−ρ

109

Среднее число требований, находящихся в системе обслуживания,

тр

(1 (S 1) (1 ))

(1 ) (1 )

−

⋅+ +⋅−

−ρ ⋅ −ρ

Средняя длина очереди

оч

2S2

(1 S (1 ))

(1 ) (1 )

−

⋅+⋅−

−ρ ⋅ −ρ

Среднее число занятых узлов

зан

= Р

зан

−

−ρ

Среднее время ожидания начала обслуживания для требования, по-

ступившего в систему Т

ож

=⋅

оч

+ P

зан

СО с ограниченной очередью: характеристики работы для 1 узла

обслуживания и 1 места в очереди

Рассмотрим, наконец, частный случай частного случая, когда в

системе работает один узел обслуживания и в накопителе имеется одно

место.

Вероятность отсутствия требований

в системе обслуживания P

оп-

ределяется формулой:

−

Вероятность отказа

отк

для системы с ограниченным накопителем

определяется занятостью всех узлов обслуживания и равна:

отк

−ρ

=ρ ⋅

−ρ

110

Относительная пропускная способность α равна:

−ρ

Величина абсолютной пропускной способности A:

A =

⋅α.

Вероятность наличия очереди Р

оч

−ρ

=ρ ⋅

−ρ

Вероятность того, что все узлы заняты Р

зан

может быть вычислена

следующим образом:

зан

−ρ

=ρ⋅

−ρ

Среднее число требований, находящихся в системе обслуживания,

тр

(1 ) (1 )

−ρ

ρ⋅

−ρ

⋅−

Средняя длина очереди

оч

для рассматриваемого частного случая

совпадает с вероятностью наличия очереди в системе:

оч

−ρ

=ρ ⋅

−ρ

= P

оч.

Среднее число занятых узлов

зан

совпадает с вероятностью заня-

тости узлов:

зан

= Р

зан

−ρ

=ρ⋅

−ρ

Среднее время ожидания начала обслуживания для требования, по-

ступившего в систему Т

ож

⋅

оч

+ P

зан

111

КАЧЕСТВО РАБОТЫ СО

Большая часть приведенных выше характеристик работы систем об-

служивания оценивает качество обслуживания с внешней точки зрения, с

точки зрения клиентов системы. Так, вероятность очереди, средняя длина

очереди, проведенное в очереди время важны для требований, прибываю-

щих в СО с ожиданием. Вероятность отказа, пропускная способность систе-

мы существенны для требований, прибывающих в СО с возможными отка-

зами.

С другой стороны, среднее число занятых (или свободных) узлов

обслуживания характеризует степень загруженности работников системы,

используемую производительность работников, и отражает качество рабо-

ты с внутренней точки зрения.

Увеличение числа узлов обслуживания, числа работников, занятых

обслуживанием, способствует уменьшению очереди и усиливает привле-

кательность системы для клиентов. Однако это приводит к росту простоев

узлов обслуживания, росту простоев работников, росту издержек и может

оказаться неэффективным.

Принятие решений здесь связано с соизмерением дополнительных

результатов и потерь в широком смысле слова. Один из возможных выхо-

дов – реорганизовать систему, придав ей черты системы другого типа.

Например, в СО с отказами организовать ограниченный накопитель, что-

бы поступившее требование могло дождаться начала обслуживания. Для

СО с ожиданием попытаться организовать входящий поток с помощью

расписания, предварительной записи на обслуживание.

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Имитационное моделирование является мощным инструментом

анализа сложных процессов с участием случайных событий. Имитационная

модель системы обслуживания предназначена для выбора параметров орга-

низации системы обслуживания в условиях неопределенности и риска, в

условиях, когда аналитические расчеты оказываются весьма трудоемкими

или практически не реализуемыми. С помощью генераторов случайных чи-

сел в модели имитируется входящий поток требований на обслуживание,

пребывание требований в накопителе, сам процесс обслуживания.

Модель позволяет многократно имитировать такие процессы при

различных комбинациях параметров случайных событий, анализировать

накапливаемую статистику, разрабатывать и корректировать на этой ос-

112

нове управленческие решения. Методы имитационного моделирования

широко используются при анализе работы систем обслуживания.

ИЗБРАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ К РАЗДЕЛУ 3

1. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные за-

дачи исследования операций: Учебное пособие. – М., 2006 (гл. 13).

Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и при-

нятия решений. – М., 2007 (гл. 9).

Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.,

1997 (гл. 15).

Козловский В.А., Маркина Т.В., Макаров В.М. Производственный и

операционный менеджмент. – СПб., 1998 (гл. 5).

Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в эко-

номической сфере. – М., 1998.

Мур Дж., Уэдерфорд Л. и др. Экономическое моделирование в

Microsoft Excel. – М. – СПб. – Киев, 2004 (гл. 13).

Стивенсон В. Дж. Управление производством. – М., 2002 (гл. 17).

Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятельно-

сти. – М., 1999 (гл. 9).

Чейз Р.Б., Эквилайн Н.Дж., Якобс Р.Ф. Производственный и операци-

онный менеджмент – М. – СПб. – Киев, 2007 (гл. 5 с Дополнением).

10.

Чернов В.П., Ивановский В.Б. Теория массового обслуживания. – М.,

2000.

11.

Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решений. – М., 1997

(гл. 14).