Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

390

Гпава 30

4.1.

Система характеризуется графом состояний (рис. 30.8).

Найти предельные вероятности состояний.

[Т

Я;,=3

^25-^

1 * 1

Рис. 30.8

K=J

izzs

х,,=з

Решение. Из графа состояний видно, что процесс, протека-

ющий в системе, представляет собой процесс «гибели и размно-

жения». Воспользуемся формулой (1), учитывая, что по условию

имеет место четыре состояния.

Р=\/

3 2-3 1-2-3

1+-

1 2-1 3-2-1

R =

3 1 3

= т; ^3

2-3 1_^ _Ь2-3 1 1

18 8 ^2-18 8 3-2-1 8 8

4.2.

В течение суток ЭВМ может находиться в одном из сле-

дующих состояний:

S, — исправна, ^ = 19^;

Sj — неисправна, ведется поиск неисправности, J^=\ti\

53 — ремонтируется, ^^ = 3^;

54 — подготовка к пуску, ^ = Ы.

Найти предельные вероятности состояний, если потоки со-

бытий простейшие.

Решение. Составим граф состояний ЭВМ (рис. 30.9).

Рис. 30.9

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУУКИВАНИЯ

391

Поскольку граф состояний имеет циклический вид и извес-

тно среднее время пребывания ЭВМ в каждом из состояний, то

при определении предельных вероятностей состояний восполь-

зуемся формулой (3)

^ =

/, +

^4 19 + 1

1А'

' 24' ' 24'

28.5.

Одноканальная

многоканальная СМО

с отказами

1°.

Пусть СМО состоит из одного канала и поток заявок

пуассоновский с интенсивностью Я= X(t).

Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покида-

ет систему. Система имеет граф состояний (рис. 30.10). Обозна-

чим:

— канал свободен; S, — канал занят; PQ(t) и P/t) —

вероятности состояний;

— поток заявок, который переводит

систему из состояния

в S,; i" — интенсивность потока об-

служивания.

Рис. 30.10

Очевидно для любого момента времени

P,(t)

Составим уравнения Колмогорова

(1)

392 Гпава 30

i^:=-XP„

IXP,

(2)

Из решения уравнений вероятностей состояния

(2)

находим,

что

АХ

Хл-11 ^^^

Для одноканальной СМО

Р^

есть не что иное, как относи-

тельная пропускная способность q и при /

—>

с», т. е. когда про-

цесс обслуживания уже установился

Отсюда абсолютная пропускная способность равна

Относительная пропускная способность характеризуется

тем, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. Таким

образом, вероятность отказа будет

2°.

Рассмотрим п -канальную СМО с отказами. Будем нуме-

ровать состояния по числу занятых каналов.

— все каналы

свободны; S, —один канал занят,...,

Sj^

—заняты

А:

каналов,...,

S„ — заняты

все

п каналов. Граф состояний показан на

рис.

30.11.

Рис. 30.11

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУУКИВАНИЯ

393

Обозначим Х/\1 =

— приведенная интенсивность потока,

иначе среднее число заявок за среднее время обслуживания. Со-

ставляя для графа

30.11.

уравнения Колмогорова

решая их,

находим предельные вероятности состояний (формулы Эрланга)

К=^Ро;

\,2....,n)

ft=

,.Р.£!....,Р:

2! п\

(7)

2! п\

Зная предельные вероятности

Р^,

fJ,...,P„ найдем характе-

ристики СМО, вероятность отказа, относительную пропускную

способность, абсолютную пропускную способность.

Если все каналы заняты, заявка получает отказ и покидает

систему. Таким образом, вероятность отказа

п\

Вероятность того, что заявка будет обслужена, т. е. проти-

воположное событие, равна

= 1-Р„ =1-4^0,

(9)

здесь q — относительная пропускная способность.

Абсолютная пропускная способность будет

A = :iq =

X(l-PJ. _ (10)

Найдем теперь среднее число занятых каналов

Восполь-

зуемся средним значением или

МО

дискретной случайной ве-

личины

^ = 0^0+1/^+2^2+•• +

^-^„-

Поскольку А есть среднее число заявок, обслуженное в еди-

ницу времени, то

394 Гпава 30

5.1.

Одноканальная СМО с отказами представляет собой

одну телефонную

линию.

Интенсивность потока вызовов

= 0,8

(вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора

t^^ = 1,5 мин. Все потоки событий — простейшие. Определить

предельные (при

^©о) значения: а) относительной

абсолют-

ной пропускной способности; б) вероятности отказа.

Решение. Определяем параметр /I потока обслуживания

= 1/^^ =1/1,5 = 0,667.

По формуле (4) находим относительную пропускную спо-

собность

0.667

^^..

а = = 0,455.

0,8 +

0,667

По формуле (5) определяем абсолютную пропускную спо-

собность

Л =

Я(7

= 0,8

0,455

= 0,366,

Вероятность отказа будет

Т. е. около 55% вызовов будут получать отказ.

5.2.

Рассмотрим

-х канальную СМО. Пусть

= 0,8 — по-

ток заявок, д =

0,667

— интенсивность потока обслуживания.

Найти

вероятности состояний, относительную

абсолютную про-

пускную способность, вероятность отказа

среднее число заня-

тых каналов.

Решение. Приведенная интенсивность потока заявок

р =

Я/А1

= 0,8/0,667 = 1,2.

По формулам Эрланга

2 3

z=:

ПР

•

Р =^Р ' Р =В-Р •

Р,=12Ро;

Р2=0,72Р,; Рз=0.288Ро;

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ 395

Ро= \ Г = ^ = 0,312.

р"

+ 1,2 +

0,288

+ р +

^^—+ ^^—

Вероятность отказа по формуле (8) будет

Р^^^

=0,09.

Вероятность состояний f; =1,20,312 = 0,374; P^^^Jl-

•0,312 = 0,22;

Р3

=0^2880,312 = 0,09. Относительная пропуск-

ная способность ^ =

-Рз =

0,91.

Абсолютная пропускная спо-

собность Л = Я-^ =

0,80,91

= 0,728. Среднее число занятых

каналов ^ = рП-Яз^ =

1^20,9

= 1,09.

28.6.

Одноканальная СМО с ожиданием

V. Рассмотрим простейшую систему, т. е. одноканальную

СМО с ожиданием. Если канал занят, то заявки становятся в

очередь и ожидают обслуживания.

ОГО

iCl-

—-В

Рис. 30.12

Поток заявок с интенсивностью Я; поток восстановле-

ний — ji. Пусть число мест в очереди ограничено числом т ,

т. е. если заявок больше т, то заявки, поступившие позже, по-

кидают систему.

— канал свободен; S, — канал занят, очереди нет;

S^ — канал занят, в очереди одна заявка;... S^ — канал занят,

в очереди k-X заявок; S^^j — канал занят, в очереди т зая-

вок. Составим граф состояний (рис. 30.12). Пользуясь общим

решением для схемы гибели и размножения, запишем выраже-

ния предельных вероятностей состояний

396 Гпава 30

p,=(i/ii)P„

(1)

Р,=(Х/ц/Р,.

Рл=-

" 1+(Vfi)+(X/^f +...+ГЯ/ju/^' •

Если ввести обозначение Я/д = р , то

/> = рРо. р, = р^п,..., р, = р*Ро.-••.^... = Р'"^'П; (2)

р= \

" l+p+p^.-.+p""*'

или через геометрическую прогрессию со знаменателем р

Р= ^-Р ...

2°.

Определим характеристики СМО с очередью. Вероят-

ность отказа будет, т. е. когда все т каналов заняты

р _р -

п^-^^Р

- Р (^^Р) ...

Относительная пропускная способность

(5)

Абсолютная пропускная способность

A = Xq. (6)

Среднее число заявок в очереди, ожидающих обслужи-

вания

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОВСПУЖИВАНИЯ 397

p'[l-p'"(m +

l-mp)]

(1-р'"")(1-р) ^^^

Среднее число заявок в системе k равно сумме среднего

числа заявок в очереди и среднего числа заявок под обслужива-

нием О)

^=^+^

^+71^-

(8)

Среднее время ожидания равно среднему числу заявок в

очереди, деленному на интенсивность потока заявок

_F_p[l-p"'(m +

l-mp)]

---Х- ^,(1-р-)(1-р) • (9)

Среднее время пребывания заявки в системе равно сумме

среднего времени ожидания и среднего времени обслуживания

l=l^+q/^, (10)

3"^.

Одноканальная СМО

неограниченной очередью. Пусть

число мест в очереди т стремится к бесконечности. Найти веро-

ятности состояний СМО при /п

—>

оо.

При р = Я/д >

очередь растет неограниченно. При р <

существует установившийся режим работы. Формулы предель-

ных состояний при неограниченной очереди будут

Ро=1-р;

Р,=рРо; Р, =

р'(\-р).....

Р, =

р'(1-р),...

(11)

При отсутствии ограничений по длине очереди каждая за-

явка будет выполнена, т. е. ^ — относительная пропускная спо-

собность ^ =

Абсолютная пропускная способность будет

A = Xq =

(12)

Среднее число заявок в очереди находим из (7) при m

—>

«>

^=1^-

03)

398 Гпава 30

Среднее число заявок в системе

г - Р^ Р

A;=/-+p=-tl_+p = -tl-. (14)

1-р 1-р ^ '

Среднее время ожидания

''^ Я ЯП-р; МП-Р/ ^'^^

Среднее время пребывания в СМО равно сумме времени

ожидания в очереди и времени обслуживания

6.1.

Рассмотрим АЗС как одноканальную СМО. Пусть стан-

ция позволяет поставить в очередь только 3 машины, следую-

щая машина остается необсл уженной. Поток машин

(одна

машина в мин.). Заправка 1,25 мин. Определить: вероятность

отказа; относительную

абсолютную пропускную способность;

среднее число машин в очереди; среднее время в очереди; сред-

нее число машин, находящихся на АЗС; среднее время нахожде-

ния машины на АЗС.

Решение. Время заправки 1,25, откуда п = = 0,8 и

р = - = — = 1,25.

п 1-р 1-125 _.^.

По формулам (2), (3) П

]~^"

i^n 25/ " '

^!=рРо=1,250,122 = 0,152; Р^= p^P,=0,\9l;

Рз =р'Яо =0,238; Р, = р'Ро =0,297.

Вероятность отказа по формуле (4) равна

Р^^^

= 0,297. От-

носительная пропускная способность

с{ = ^-Ротк

=0,703. Абсо-

лютная пропускная способность Л = ^Я = 0,703.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 399

Среднее число машин в очереди находим по формуле (7)

1,25'fl-1,25'(3

1-3,75)1

г = i- -^^ ^J -1,56.

(l-l,25')(l-l,25)

Подставляя к 7 среднее число машин, находящееся под об-

служиванием

1 25-1 25'

1-1,25'

получим по формуле (8) среднее число машин в системе

^ =

г"

+ ш

= 2,44.

Среднее время ожидания машины в очереди находим по

формуле (9)

L=^

1^56

(мин).

Среднее время пребывания машины на АЗС будет

^=L+^/M = b56 + 0,88 = 2,44(MHH).

6.2. На сортировочную станцию прибывают машины с ин-

тенсивностью

= 2 (две в

час).

Среднее время, в течение которо-

го сортировочная станция обрабатывает машину, равно 0,4 часа.

Если станция занята, машины ожидают на стоянке

порадке оче-

реди. На стоянку помещается три машины. Машина, прибывшая

когда стоянка занята, становится

очередь на улице.

Найти:

сред-

нее число машин, ожидающих в очереди (как на стоянке, так и

вне ее); среднее время ожидания на стоянке и вне ее; среднее

время нахождения на станции; вероятность того, что машина

займет место на внешних путях.

Решение. Интенсивность потока Я = 2; время обслужи-

1 Я 2

вания и= = 2,5. Отсюда р= —=

—--

0,8<1.

0,4 М 2,5