Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

370 Гпава 29

Находим корреляционную функцию

К^1,Л2)

М(Х(ц)Х(1,))

М((и-Ъ)^тЪ1,(и-Ъ)^тЪ1^) =

- sin3^jSin3t2M((U -З/)

sin3^,

sin3t2D(U)

sin3^jSinit^.

Корреляционную функцию интеграла Y(t) находим по

формуле (7)

0 0 0 0

1 f 1

= —(cos3t2-l)\sin3s^ds^ =—(^cosЗ/J-lXcosЗ/2~U•

Поскольку дисперсия равна D^,(t)

K^(t,t),

то

D/t)

^(cos3t^\)\

293. Стационарные случайные функции

и их характеристики

1°.

Стационарной случайной функцией X(t) называется

функция, математическое ожидание которой постоянно при всех

значениях аргумента Г,

корреляционная функция зависит толь-

ко от разности аргументов т =

"^Р

'^- ^•

KJt,J2)

K(t2-tO

K(T). (1)

Дисперсия стационарной случайной функции X(t) посто-

янна при всех значениях аргумента t и равна

D/t)

K/t,t)

k/t-t)

k/0), т. е. равна значению ее кор-

реляционной функции в начале координат (г = 0).

2°.

Нормированной корреляционной

функцией стационарной

случайной функции называется неслучайная функция аргумента

p/r)

kjT)/kJO). (2)

СПУЧАЙНЫЕ фУНКиИИ 371

Случайные функции X(t) и Y(t)

на.зывз.ются

стационар-

но

связанными,

если их взаимная корреляционная функция зави-

сит только от разности аргументов ^ =

^2 ""^i

•

RJtvh)

rJz) (3)

3.1.

Доказать, что X(t)

^in(t^-(p) —стационарная слу-

чайная функция, если (р — случайная величина, распределен-

ная равномерно в интервале

("О,

2к).

Решение. Найдем сначала математическое ожидание

mJt)

M(sin(t +

(р)) =

M(sinх cos(р

+ sin(p

cost) =

= sintM(cos(p)-costM(sm(p).

Поскольку распределение равномерное, то

1 г2я

M(cos(p)

—J

cos(pd(p =

0 и

1 f2;r .

2л:

Таким образом, m^(t)

Учитывая, что центрированная функция равна X(t) =

= X(t) - mJt) = sin (t

(p),

найдем корреляционную функцию

KJt,jJ

M(X(tJX(tJ)

M(sm(t,+(p)sm(t^-\-(p)) =

= M(-(cos(u -tJ-cos(t^ +t2+2(p)))

-'(cos(t2 -tj-

—Mcos(t^+t^

+ 2(p)) =

-cos(t2-tJ—cos(t2'^tJM(cos2(p)

+—sin(t2-tJM(sm2(p)

—cos(t2-tJ,

здесь M(cos2(p)

M(sin2(p)

Полагая

t^=t2=t,

находим, что дисперсия D^(t) =

KJtj)

^cos(t--t)

1 Г27Г

M(sm(p)

—J

sin(pd(p =

372 Гпава 29

Так как математическое ожидание случайной функции по-

стоянно и ее корреляционная функция зависит только от разно-

сти аргументов, а дисперсия сохраняет постоянное значение при

любых значениях аргумента, то функция X(t) — является ста-

ционарной случайной функцией.

3.2.

Задана корреляционная функция k/t)

Ъе~^'

стацио-

нарной случайной функции X(t), Найти нормированную кор-

реляционную функцию.

Решение. При определении нормированной корреляцион-

ной функции воспользуемся формулой (2)

к/О) Зе'

3.3.

Доказать, что две стационарные случайные функции

X(t)

cos(2t

+ (p)

У(^^^

sin(^2^

<pj

стационарно связаны,

если (р — случайная величина, распределенная равномерно в

интервале (0,1к),

Решение. Найдем математические ожидания

mjt)

M(cos (2t

+ (p)) =

M(cos It

cos

(p- sin 2 ^sin

(p)

= Qo^lt M

(co^q>)

-^mlt M

(smq>)

- 0;

m/t)

M(sm(2t

+ (p)) =

sin2tM(cos(p)-cos2tM(sm(p)

Центрированные функции примут вид

X(t)

X(t)-mjt)

cos(2t

(p);

X(t) = sm(2t-\-(p).

Таким образом, взаимная корреляционная функция равна

R^,(t^jJ

M(X(t,)Y(t^))^M(Q0^(2t,

+(p)^m(2t^

+(р)) =

= -M(sm2(t2-tJ-{-sm2(t^+t2+(p))

-sm2(t2-tJ,

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 373

Нетрудно доказать, что здесь математическое ожидание

второго слагаемого равно нулю.

Поскольку взаимная корреляционная функция заданных

стационарных случайных функций зависит только от разности

аргументов, то эти функции стационарно связаны.

29.4. Корреляционная функция

производной и интеграла стационарной

случайной функции

1°.

Корреляционная функция производной X'(t) дифферен-

цируемой стационарной случайной функции X(t) равна вто-

рой производной от ее корреляционной функции, взятой со зна-

ком минус:

к(х)^-к':(х).

(1)

Взаимная корреляционная функция дифференцируемой ста-

ционарной случайной функции X(t) и

ее

производной X'(t) = х

равна первой производной от корреляционной функции к^(х)

со знаком в зависимости от порядка индекса х

rjT)

K(x) и rJx)

-K(T).

(2)

2°.

Корреляционная функция интеграла Y(t)=\X(s)ds от

стационарной случайной функции X(t) определяется по формуле

K/t„tJ

j(t,-T)kjT)dT-

- J (t^ -t, -r)k/T)dT

l(t,

-T)kjT)dT.

(3)

0 0

Дисперсия интеграла Y(t) = j X(s)ds от стационарной слу-

чайной функции X(t) определяется по формуле

374 Гпава 29

D/t)

l\(t-t)kJx)dx.

(4)

4.1.

Задана корреляционная функция kjT )

0,5 е'^^ ста-

ционарной случайной функции X(t). Найти:

а)

корреляционную

функцию

дисперсию производной х; б) взаимные корреляци-

онные функции случайной функции X(t) и

ее

производной.

Решение, а) Искомую корреляционную функцию находим

по формуле (1)

Полагая т =

О,

находим дисперсию

б)

Взаимные корреляционные функции находим

по

формуле (2)

4.2.

Задана корреляционная функция к/г)= . ста-

л/т'+1

ционарной случайной функции X(t). Найти дисперсию интег-

рала Y(t)

\x(s)ds.

Решение. Дисперсию интеграла находим по формуле (4)

D^(t)

l\(t-T)kJx)dT

2\-j^===dx

I о ' '

Поскольку дисперсия не постоянна и зависит от аргумента

t, то функция Y(t) нестационарна.

Глава 30

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

30.1.

Основные понятия

системы массового обслуживания (СМО)

Установление зависимости между случайными потоками зая-

вок, числом каналов, где эти заявки обслуживаются, производи-

тельностью каналов, условиями работы СМО и эффективностью

обслуживания представляет

суть

теории массового обслуживания.

Примерами таких систем могут служить сбербанки, почто-

вые отделения, телефонные станции, бензоколонки, билетные

кассы и т. д.

Обычно СМО состоит их некоторого числа каналов обслу-

живания, например, линии связи, рабочие точки обслуживания и

т. д. СМО могут быть

одноканальные

или многоканальные .

Каждая СМО обладает определенной пропускной

способно-

стью,

позволяющей справляться с потоками заявок. Задача тео-

рии массового обслуживания

—

установление зависимости между

характером потока заявок, числом каналов, их производительно-

стью и пропускной способностью. СМО бывают двух типов:

Системы с отказами, когда все каналы заняты, то заявка

не обслуживается и покидает систему.

376 Гпава 30

Система с ожиданием (с очередью). Заявка становится

в очередь, которая бывает упорядоченная, случайная, с при-

оритетом.

Системы с очередью делятся на системы с

неограниченным

ojtcudanueM,

когда заявка «терпеливо ждет», когда ее обслужат

и системы с

ограниченным

олсиданием, когда заявка после ка-

кого-то срока пребывания в очереди уходит.

Эффективность СМО определяется

абсолютной пропускной

способностью,

т. е. средним числом заявок, которые могут быть

обслужены в единицу времени, и относительной пропускной

способностью, т. е. отношением обслуженных заявок ко всем

заявкам, поступившим в СМО.

Поток событий называется

стационарным,

если вероят-

ность попадания события на интервал т зависит только от дли-

ны участка

не зависит от того, где именно на оси Ot находится

этот участок.

Поток событий называется потоком без последствий,

если для любых участков число событий, попавших на один уча-

сток, не зависит от

того,

сколько событий попало на другой уча-

сток. Например, появление одного клиента у бензоколонки не

зависит от появления другого.

Поток событий называется

ординарным,

если вероятность

попадания на элементарный участок двух событий пренебрежи-

мо мала по сравнению с вероятностью попадания одного собы-

тия.

Так, поток посылок, поступающих на предприятие, можно

рассматривать как ординарный, но поток посылок, поступаю-

щих в контейнерах, не ординарен.

Поток, обладающий этими свойствами, называется про-

стейшим,

= const

—

интенсивность потока событий.

Если поток нестационарен, но не имеет последствия и орди-

нарен, то называется

нестационарным пуассоновским

потоком

(t),

то есть потоком, связанным с распределением Пуассона.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУУКИВАНИЯ Z11

Математический анализ СМО значительно облегчается, если

случайный процесс марковский. Тогда работа СМО сводится к

решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений,

а в пределе к системе линейных алгебраических уравнений.

Для

того,

чтобы процесс был марковским, необходимо, что-

бы поток заявок описывался пуассоновским потоком, потоком

без последствий. Если поток не является пуассоновским, то за-

дача значительно усложняется.

30.2.

Определение цепи Маркова.

Матрица перехода

у.

Цепью Маркова называется последовательность изме-

нения состояний, когда вероятностные свойства системы в пос-

ледующий промежуток времени t>t^ определяются их

значениями в данный момент t^t^ и не зависят от значений в

предыдущие моменты.

Если система из одного состояния

другое переходит скач-

ком (мгновенно), то случайный процесс называется

процессом

дискретными

состояниями.

Для процессов с непрерывными со-

стояниями характерен постепенный, плавный переход из одного

состояния в другое.

Геометрически процесс с дискретными состояниями изоб-

ражается графом состояний (рис. 30.1), который стрелками по-

казывает возможные переходы из состояния S^ в состояние Sy.

^ г'

*v^

Sj\

'23

Рис. 30.1

378 Гпава 30

2°.

Переходной вероятностью Рц называется условная ве-

роятность перехода системы из состояния / в состояние/

Матрицей перехода

системы

называется матрица, элемен-

тами которой являются переходные вероятности этой системы

Р.-

Г р р

Ml ^12

Р Р

^21 ^22

Р ^

2л

Р Р Р

где сумма вероятностей каждой строки равна единице

Если переход из состояния i в состояние j невозможен, то

вероятность перехода

/^у

=0.

На графе состояний переходные вероятности проставляют-

ся у соответствующих стрелок (рис. 30.1).

Матрица перехода

из

одного состояния

другое за два шага

выражается через матрицу перехода за один шаг по формуле

за три шага

Р =р р =р^

р=р.р=р.р^=р^

(1)

(2)

В общем случае

Р^=Р^'^

т. е. задача сводится к перемноже-

нию матриц.

Марковская цепь называется

однородной,

если вероятнос-

ти перехода не зависят от номера шага; если зависят, то неодно-

родной.

Зная матрицу переходных вероятностей или размеченный

граф состояний S., вероятности состояний после к- того шага

определяются по формуле

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ

379

причем ^SP(k) = 1, т.к. вероятности состояний несовместных

/=1

событий образуют полную систему.

2.1.

Задана матрица перехода

Р^

рицу перехода г^

Р.иР.,

Г0,8 0,2^1

0,6 0,4

Найти мат-

Решение. Воспользуемся формулой (1), тогда получим

Рг

f0,8 0,2Y0,8 0,2^

0,6 0,4 0,6 0,4

('0,80,8+0,60,2 0,20,8+0,40,2'|

'[о,80,6+0,60,4 0,20,6+0,40,4J

f0,76

0,24^1

0,72 0,28

Пользуясь формулой

(2),

будем иметь

(0,% 0,2^1

0,6 0,4

'0,76

0,24^1

0,72 0,28

("0,608

+ 0,144 0,192 +

0,056

(0,152

0,248

0,744

0,256

0,456

0,288

0,144 + 0,112

2.2.

По некоторой цели ведется стрельба. Граф состояний с

переходными вероятностями показан на

рис.

30.2.

0,4^^

\>^з

\о,б^