Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

360 Гпава 28

Минимальное число испытаний, которое

надежностью 0,95

обеспечивает верхнюю границу ошибки 5=0,1 находим из

равенства (2) (параграф (28.12))

^""Т^"'

^Д^

o^^D(X),

ФГ^>>

= ~- Таким образом,

Ф(^^;

= ^^^^ = 0,475; из

табл.(З)

= 1,96; п = -^^^ = 128.

^^ 0,1'-3

Глава 29

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

29.1.

Случайные функции

и их характеристики

1°.

Случайной функцией называется функция неслучайно-

го аргумента /, которая при любом фиксированном значении

аргумента представляет случайную величину. Случайная фун-

кция как совокупность случайных величин, зависящих от аргу-

мента t, обозначается X(t). Каждому фиксированному значе-

нию аргумента t соответствует случайная величина, которая

называется сечением случайной функции.

Математическим

оон:иданием

случайной функции называ-

ется неслучайная функция mjt), которая при любом фиксиро-

ванном значении аргумента / равна математическому ожида-

нию сечения mJt)='M(X(t)). С геометрической точки зрения

математическое ожидание случайной функции есть средняя кри-

вая,

около которой группируются другие кривые.

Дисперсией случайной функции называется неслучайная

функция DJt), которая при любом фиксированном значении

аргумента / равна дисперсии сечения DJt)^D(X(t)). Диспер-

362 Гпава 29

СИЯ

характеризует рассеяние возможных кривых около матема-

тического ожидания случайной функции.

Среднее квадратическое отклонение случайной функции

определяется по формуле: (Jjt) = yJDJt).

Свойства математического ожидания и дисперсии случай-

ной функции аналогичны свойствам математического ожидания

и дисперсии случайной величины.

2°.

Разность между случайной функцией и ее математичес-

ким ожиданием называется центрированной случайной функ-

щей X(t)

X(t)-m/t).

Корреляционной функцией K^=(t^,t2) случайной функции

X(t) называется неслучайная функция, равная корреляционно-

му моменту сечений для каждой пары фиксированных значений

о о

аргументов t^Jj

т.е.

K(t^,t2)

M(X(t^)X(t2)).

Нормированной корреляционной

функцией Px(^\>h) случай-

ной функции X(t) называется неслучайная функция, равная ко-

эффициенту корреляции сечений для каждой пары фиксирован-

ных значений аргументов

t^,

3°.

Корреляционная функция суммы двух коррелирован-

ных случайных функций Z(t)=X(t)-^Y(t) равна сумме корре-

ляционных функций слагаемых и взаимных корреляционных

функций с разным порядком следования аргументов, т. е.

Если случайные функции некоррелированы, то корреляци-

онная функция суммы равна сумме корреляционных функций.

1.1. Найти математическое ожидание и дисперсию случай-

ных функций: а) X(t)

Us'm3t

e~';

б) X(t)

Ucost-

Vt^,

где t/и

V—случайные

величины M(U)=2; M(V)=3;D(U)=5;

D(V)=OJ,

СПУЧАЙНЫЕ фУНКиИИ 363

Решение, а) Поскольку математическое ожидание суммы

случайной и неслучайной функции равно сумме математическо-

го ожидания случайной функции и неслучайной функции и не-

случайный множитель выносится за знак математического ожи-

дания, то будем иметь

M(X(t))

M(U sin 30 + в"= sin

M(U) + e" =

sin

Ъ(

+ e"'.

Так как дисперсия суммы случайной функции и неслучай-

ной функции равна дисперсии случайной функции и дисперсия

произведения случайной функции на неслучайную равна произ-

ведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию слу-

чайной функции, то получим

D(X(t))^D(Usm3t

e-' )

П(и^тЪ1) =

= sin'3/i)(^t/; =

5sin'3/.

б)

Аналогично

M(X(t))

M(Ucost-Vt^) =

= costM(U)-t^M(V)

2cost-3t\

D(X(t))

D(Ucost-Vt^) =

=^cos^tD(U)

t'D(V)

= 5cos^t +

0,lt\

Здесь использовано свойство дисперсии, что дисперсия раз-

ности равна сумме дисперсий.

1.2. Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию;

в) нормированную корреляционную функцию случайной функ-

ции X(t)

и cos

2/,

где U — случайная величина, причем

M(U)=2, D(U)=5.

Решение, а) Сначала найдем математическое ожидание

m/t)

M(X(t))

M(Ucos2t)

cos2t M(U)

2cos2/

и центрированную функцию

X(t)=X(t)-m/t)=Ucos2t-2cos2t=(U-'2)cos2t.

364 Гпава 29

Отсюда

X(t, )^(U-

2;cos

21,;

X(t^ )

(U-

2;cos

21^.

Таким образом, корреляционная функция будет равна

K/t,J^)

M(X(tJX(tJ)

M((U-'2)cos2t,-(U-2)cos2tJ =

= cos2

t^cos2

t^MffU

-2/ )

cos2t^cos2 t^D(U ) =

= 5cos2^jCos2^2-

б) Поскольку дисперсия случайной функции равна корре-

ляционной функции этой функции при равных между собой зна-

чениях аргументов ty=t2= t, т. е. D^(t)

K(t^,t^),

то

Z)/^;

= 5cos2^cos2^ = 5cos^2л

в) Нормированную корреляционную функцию случайной

функции X(t) определяем, пользуясь формулой (1), по найден-

ной

а) корреляционной функции

5 cos

2/.cos

2/.

д/5

cos

2/j

cos

2/,

лУ5 cos 2 ^2 cos

2 ^2

Так как нормированная корреляционная функция равна

еди-

нице,

то между сечениями линейная функциональная зависимость.

1.3. Даны случайные функции X(t)=(t-\-l)U и Y(t) =t'V,

где и п V — некоррелированные случайные величины, причем

M(U)=2; M(V)=4; D(U)=3; D(V)=5. Найти: a) математи-

ческое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию

суммы Z(t)=X(t)-^Y(t),

Решение, а) Математическое ожидание суммы двух слу-

чайных функций равно сумме математических ожиданий

m/t)

M((t

l)U)+M(t^V) =

= (t

l)M(U)

t^M(V)

2(t

l)-h4t\

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

365

б)

Поскольку случайные величины

С/

и F

не

коррелирова-

ны,

то

их корреляционный момент равен нулю

M((U-2)(V-

-4))

= 0.

Следовательно, взаимная корреляционная функция

K/t,J,)

(t,-l)t',M((U-'2)(V^4))

т. е. функции

X(t)

и Y(t)

не коррелированы. Таким образом, корреляцион-

ная функция равна

=^M(x(tjx(t,))+M(htjht2))-

Находя центрированные функции

X(tJ

(t,^\)U-2(t,+\)

(t,+l)(U--2);

X(t,)

(t,-\-l)(U-2);

Y(tJ=^tfV^4tf =tf(V^4); Y(t,)

tl(V-^4)

и подставляя их

предыдущее выражение, получим

K/t„t,)

(t,+\)(t,+\)M(U-2/+ty,M(V-4f

(t^+\)(t^+l)D(U) + tftlD(V)

3(t^+l)(t^+l)+5tftl

в)

Искомая дисперсия равна

D/t)

K/t,t)

3(t

5t\

29.2.

Производная и интеграл

случайной функции

1°.

Производной случайной функции

X(t)

называется сред-

неквадратичный предел отклонения приращения функции

при-

ращению аргумента при Д/

О:

Az-^O

Д^ ^ ^

366 Гпава 29

Математическое ожидание производной от случайной фун-

кции X(t) равно производной от

ее

математического ожидания

m,(t)^m\(t).

(2)

Корреляционная функция производной от случайной функ-

ции X(t) равна второй смешанной производной от

ее

корреля-

ционной функции

Взаимная корреляционная функция случайной функции X(t)

ее

производной X'ft) = х равна частной производной от кор-

реляционной функции по соответствующему аргументу:

i?.rvU —3^, ^.rVU-—з;^- (4)

2°.

Интегралом от случайной функции X(t) на отрезке

называется предел в среднеквадратическом интегральной сум-

мы при стремлении к нулю максимальной длины частичного ин-

тервала А

и обозначается

max

^(0= }imj;^X(sJAs,=lx(s)ds. (5)

max О

Математическое ожидание интеграла Y(t)= \X(s)ds от

случайной функции X(t) равно интегралу от ее математичес-

кого ожидания

m/t)

jm/s)ds ^^^

Здесь переменная интегрирования обозначена через s, что-

бы не спутать ее с пределом интегрирования /.

Корреляционная функция интеграла Y(t)= \X(s)ds от

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКиИИ 367

случайной функции X(t) равна двойному интегралу от ее кор-

реляционной функции

K/t,jJ

jJK/s,,s,)ds,ds, (7)

Взаимная корреляционная функция интеграла

Y(t)= \X(s)ds и случайной функции

Х(^^у1

равна интегралу от

корреляционной функции случайной функции X(t)

RJhA,J

\KJt,^s)ds; RJt,jJ

JK/sjJds. (g)

0 0

2.1.

Дано математическое ожидание m/t)

-I случай-

ной функции X(t). Найти математическое ожидание:

а) ее производной; б) случайной функции Y(t)

t^X'(t)

+1^.

Решение, а) Математическое ожидание производной равно

m^(t)=^m[(t)

(t'^\/

3t\

б) Математическое ожидание случайной функции равно

m^(t) = M (Y(t)) = t^M (X'(t))-^M (t^). Поскольку

M(X'(t))

mJt)

Zt\ то т/1)

Ъг'Л'1'=Аг\

2.2.

Задана корреляционная функция KJt^J^)-

= cos2^jCOs3/2 случайной функции X(t), Найти: а) взаимные

корреляционные функции

(t^

Jj) ^ ^хх (h

)

б) корреляци-

онную функцию

ее

производной.

Решение, а) Воспользуемся формулами

(4).

Дифференцируя

корреляционную функцию по t^

t^, получим

R^Jt^J^)

(cos2tJ'^cos3t2 =-2sin2/iCOs3^2>'

Кх (h

'^2) = cos

2^/cos

3 /2

X =

~3 cos 2

^jsin

31^.

6) Корреляционную функцию производной находим по фор-

муле (3)

368 Гпава 29

K,(t.t.)=|-^^^^=|-rcos2r,cos3r,;;

= —f-3cos2/jSin3/2>> = 6sin2/jSin3/2.

2.3.

Зная математическое ожидание mjt)

= t^

-ht случай-

ной функции X(t), найти математическое ожидание интеграла

Y(t)

jX(s)ds,

Решение. Математическое ожидание искомого интеграла

находим по формуле (6)

о Ь I

2Л. Задана случайная функция X(t) =

Usin^t,

где U —

случайная величина, причем M(U) =

Найти математическое

ожидание случайной функции Y(t)

(t-l)\X(s)ds.

Решение. Найдем математическое ожидание случайной

функции X(t)

mjt) = M(X(t)) = M(Usm^t) = sin'/

•

M(U)

3sin'/.

Математическое ожидание случайной функции Y(t) опре-

деляем по формуле (6)

m/t)

(t-l)J3sm^sds

^(t-\)j(\-cos2s)ds=:

о ^0

3 1

= -(t-l)(t—sin2/;.

2 2

2.5. Задана корреляционная функция KJt^,t2) =

= /fcos2/2 случайной функции X(t).

Найти:

а) корреляционную

функцию

дисперсию интеграла Y(t)=\X(s)ds\ б) взаимные

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 369

корреляционные функции R^,(1^,(2)^

^vx(^\

>h)

случайных фун-

кцийА^^/J и Y(t)^^X(s)ds.

Решение, а) Используя формулу

(7),

находим корреляцион-

ную функцию интеграла Y(t)

KJt^,t2)-\\slco^2s2ds^ds2

=—sin2^2j'^f^'^i

00 ^0

2 '48' '

Поскольку дисперсия равна DJt)

KJt.t), то

DJt)

U\\n2t.

6) Взаимные корреляционные функции находим по форму-

лам (8)

R^(h.t2)'=^\KJt^,s)ds=^tl^cQ^lsds

-tlsm2t2;

о ^

RyJt^,t2)

\KJs,t2)ds=cos2t2\s^ds=^-t'lcos2t2.

2.6. Задана случайная функция X(t)

Usm3t,

где U —

случайная величина, причем M(U)=3; D(U)=]. Найти кор-

реляционную функцию

дисперсию интеграла Y(t) -

X(s)ds.

Решение. Найдем сначала математическое ожидание слу-

чайной функции X(t)

mJt)

M(Us\nZt)^^mitM(U)

^smit.

Отсюда, центрированные функции будут

Х(г,)

Х(г^-т^г^

и^тЪц-Ъ^тЪ1,=(и-Ъ)^тЪг,;

X(t2)

X(t2)-mJt2)

UsmЪt2-ЪsmЪt2=(U'•Ъ)smЪt2.