Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

380

Гпава 30

Возможные состояния

цели:

Sj —цель не повреждена;

—

незначительные повреждения;

—значительные повреждения

S^ —

цель полностью уничтожена. Найти вероятности состоя-

ний цели после четырех выстрелов.

Решение. Найдем матрицу переходных вероятностей. Из

графа состояний системы имеем

Р^^

=0,5;

Р^^

=0,3; Р,^^^^\.

Поскольку сумма переходных вероятностей образует полную

группу событий, то /^1 =

-(^/^2 +

/^3

^4>'

"•0,9 =

0,1.

Аналогично:

Ри =0;

Ргъ

=0^4; Р24 =0,3; P^i =0^3;

^31=0;

Яз2=0; /^34=0,6; Рзз=0^4;

Р =0- Р =0- Р =0* Р =1

^41 ^у ^42 ^> ^43 ^' ^44 ^•

Таким образом, матрица переходных вероятностей будет

(^0,1 0,5 0,3 0,0

О 0,3 0,4 0,3

О О 0,4 0,6

0 0 0 1^

Поскольку в начальный момент цель находится в состоя-

нии S,, то PJ^^)

—

Вероятности состояний после первого выст-

рела (шага) определяются первой строкой матрицы Р^(\) =

0,1;

Р^(\) =

0,5; Р,(\) =

0,3;

Р/\) =

0,1.

По формуле (3) находим

вероятности состояний после второго выстрела

^;Г2;=/^п;/^,=о,1о,1=о,о1;

Р2Г2;

= ^;п;/^2+^2П>»^22=0,1.0,5 +

0,5.0,3

= 0,20;

Р,(2)

= Р,(\)Р,,^Р,(\)Р,, + Р,(1)Р,,=

0,10,3

0,50,4

0,30,4

= 0,35;

Р,=

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ 381^

=0,1 ол+о.зо.з+азаб+ол 1=0,44.

Проверка: Р,(1)^Р^(1)^Рг^(1)+Р^(1) = \.

Вероятности состояний после третьего выстрела

/>n;=f|('2;/^,

=0,01 ОД=0,001;

Р2ГЗ;

= /^(^2;/^2+^2('2;Я22=0,01-0,5 +

0,20,3

= 0,065;

Р,(Ъ) = Р,(1)Р,,+Р,(1)Р,,л-Р,(2)Р,, =

0,010,3

+ 0,20.4+0,350,4 = 0,223;

Р,(Ъ) = Р,(2)Р,, +Р,(2)Р,,+Р,(2)Р,, +Р,(2)Р^ =

= 0,01

•0,1

0,20,3

+ 0,350,6 + 0,441=

0,711.

Вероятности состояний после четвертого выстрела

Р^(4)

Р^(3)Р,,

= 0,001

•

0,1

= 0,0001;

Д (4) = /^

(3)Р,2 +

Р^

(Ъ)Р,, = 0,001

•

0,5 +

0,065

•

0,3 = 0,02;

Р,(4)

= Р,(3)Р,,+Р,(3)Р,,+Р,(3)Р,, =

0,001

0,3 + 0,0650,4+0,2230,4 = 0,1155;

Р/4)

= Р,(3)Р,, + Р,(3)Р,, +

РзГЗ;Яз4

+ P/VP^ =

= 0,0010,1 + 0,0650,3 + 0,2230,6 +

0,7111

= 0,8644.

Таким образом, вероятность первого состояния при четы-

рех выстрелах f} (4)

0,0001;

второго —

Р^

(4)

0,02; третье-

го — Р^(4) =

0,1155

и четвертого — Р^(4) =

0,711.

2.3.

Цель может быть в тех же четырех состояниях, что и в

предыдущем примере. Вероятности перехода при трех выстре-

лах различны и заданы тремя матрицами

382

Гпава 30

«')=

(0,\ 0,4 0,3 0,2^1

О 0,2 0,5 0,3

О О 0,4 0,6

0 0 0 1

("?)-

(0,1

0,3

0,4

0,3

0,4

0,3

0,2"!

0,2

0,7

1 ,

(ef')=

(0,Ъ 0,4 0,2 0,0

О 0,5 0,3 0,2

О О 0,2 0,8

0 0 0 1

Требуется найти вероятности состояний после трех выстре-

лов,

если в начальный момент цель находится в состоянии S^.

Решение. Поскольку вероятности перехода меняются шаг

от шага, то марковская цепь неоднородная. Вероятности состо-

яний при первом выстреле берем из первой матрицы Р^(\)

—

0,1;

P/i; = 0.4; Р,(\) =

0,Ъ;

Р,(1) = 0,2-

Вероятности состояний после второго выстрела

(^2;

=/^ n;/^f

0,1

•

0,2 = 0.02;

Р/2;

=/^fU^^z'^ + Д ("^^22^^ =

0,1

•

0,3

+ 0,4

•

0,4 = 0,19;

Р/2)

Р,(\)Р!,'>

Р,(1)Р<,'>+Р,(1)Р^,'^

0,10,3

0,40,4

0,30,3

= 0,28;

Р,(2)

Р,(\)Р<:>

Р,(\)Р<^>

+ Р,(\)Р^> =

0,10,2

0,40,2

0,30,7

+ 0,21 = 0,51.

Вероятности состояний после третьего выстрела

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ 383

f!(^3;

f|r2;/^^'^=0,02

0,3 = 0,006;

Р/3;

= /^(^2;/^^/ЧР/2;Р//^=0,02а4

0,19 0,5 = 0,103;

=-0М0,2

0Л90,3

0Л^'0,2

0ЛП;

Р,(Ъ)

Р,(2)Р<:>

-^Р,(2)Р^> -^'Р,(2)Р1Г

^Р,(2)^^^

0,020,1

+ 0Д90,2 +

0,280,8

+ 0,511 = 0,774.

Следовательно, вероятности состояний после трех выстре-

лов будут:

/^(^3;

= 0,006; Р/3; =

0,103;

РзГЗ; = 0,117; Р/3; = 0,774.

30.3.

Непрерывные марковские цепи.

Уравнения Колмогорова для вероятностей

состояния

1°.

Пусть переход системы из состояния S- в состояние Sj

происходит не в фиксированные, а в случайные моменты време-

ни t. Случайный процесс с дискретными состояниями и непре-

рывным временем называется непрерывной цепью Маркова.

Вместо вероятностей перехода

P^j

системы введем плотности ве-

роятностей перехода

Я .^,

которые в непрерывной цепи Марко-

ва представляют интенсивность потока событий, переводящую

систему из одного состояния в другое. Поток событий рассмат-

ривается как простейший (пуассоновский).

2°.

Имея размеченный граф (рис. 30.3) и зная начальное со-

стояние системы, можно для любого / определить вероятности

состояний P/t). Для этого используют дифференциальные урав-

нения Колмогорова, которые формально составляются по сле-

дующей схеме.

384

Гпава

Каждому состоянию соответствует линейное дифференци-

альное уравнение первого порядка. Левая часть содержит про-

изводную вероятности состояния, а правая — столько членов,

сколько стрелок связано

данным состоянием. Каждый член ра-

вен произведению плотности вероятности перехода Я^у на веро-

ятность того состояния, из которого исходит стрелка

имеет знак

«плюс», если стрелка направлена в рассматриваемое состояние,

и знак «минус», если стрелка направлена из искомого состоя-

ния. Так для графа (рис. 30.3) система уравнений Колмогорова

имеет вид

dP.

--(^Aj2+Ai3>>/^;

2 _

А'.'.Р'у

Л-А.'.Р..

'2V 2 '\У V

dP, _

Следует заметить, что, пользуясь условием P^-vP^-^P^^l,

число уравнений можно было

бы

уменьшить на

одно.

Кроме того,

система уравнений Колмогорова справедлива не только для по-

стоянных интенсивностей потоков, но и для переменных:

^П^^П(ОУ

^\У=^^\Ъ(0> ^ii^^2z(^)-

Если в начальный момент времени при

система на-

ходится в состоянии Sj, то, принимая начальные условия

fj =

Я2

~ ^' решение системы особого труда не соста-

вит.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУРКИВАНИЯ

385

У. Если число состояний S системы конечно и из каждого

состояния можно перейти в любое другое, то существуют пре-

дельные вероятности состояний, которые не зависят от началь-

ного состояния системы и при

_> о в системе устанавливается

предельный стационарный

режим.

этом случае в системе урав-

нений Колмогорова можно все левые части приравнять нулю.

Тогда система дифференциальных уравнений, описывающая

вероятности состояний, превращается в систему линейных ал-

гебраических уравнений. Присоединяя сюда условие 2^^ "^'

эти уравнения дают возможность определить все неизвестные

предельные вероятности.

Практически, алгебраические уравнения для предельных

вероятностей можно записать сразу, минуя составление диффе-

ренциальных уравнений.

3.1.

Система состоит из двух независимых узлов и может

принимать следующие состояния: Sjj — оба узла исправны;

Si2 — первый узел исправен, второй ремонтируется; 5*21 —

второй узел исправен, первый ремонтируется; S22 — оба узла

ремонтируются (рис. 30.4). Записать уравнения Колмогоро-

ва, если поток восстановлений с интенсивностью Я, поток от-

казов первого узла с интенсивностью Я, и второго узла —

Я^

причем все потоки пуассоновские и каждый узел после отка-

за начинает сразу же ремонтироваться.

s„

Х^

1^22

Д,

X /

$2)

.<>-

Рис. 30.4

386

Гпава 30

Решение. Обозначим вероятности состояний, соответствен-

но:/^^,

/^2> ^21' Язг-^^^-^^^^^^^^^УР^^^^^^^^^^^^^^Р^®^*^^^

вероятностей состояний будет

dP,

11 _

•гя,+я,;/^,+яг/^,+р„л-

12 _

-гя+я,;р^2+^^1+^^22/

dP,

^=-ГЯ+я,;р,,+^/^,+яр,,;

dP.

22 _

- -

2ЯЯ22

+ \P\2 +

Я^^г!

•

Если в начальный момент при / =

система исправна, то

начальные условия будут:

Р^^=\:

Р^2-

^ix

^22

•

3.2. Группа бомбардировщиков в составе девяти самоле-

тов движется над территорией противника. Поток атак сред-

ствами ПВО

интенсивностью X/k распределяется равномерно

между самолетами, где к — число сохранившихся самолетов.

Записать уравнения Колмогорова для вероятностей состоя-

ний, если в результате атаки самолет поражается с вероят-

ностью Р.

Решение. Составим граф состояний (рис. 30.5). Обозначим

за

— состояние системы, что все самолеты целы; Sj — сбит

один; $2 —сбито два,..., S^ —сбито девять самолетов. Вероят-

ности состояний обозначим, соответственно:

^о*

^> ...,^9

•

Ин-

тенсивность потока поражающих атак с учетом сбитых

самолетов равна Хр. Проставим эту интенсивность у стрелок.

Хр

—^

Хр

хр

Рис. 30.5

ТЕОРИЯ MA ОСОБОГО ОБСПУЖИВАНИЯ 387

Уравнения Колмогорова примут вид

^ =

-lpP^^XpP,;

-ХрР^+ХрР^;

dt ^ '

Поскольку в начальный момент все самолеты целы, то на-

чальные условия будут: Р^=\; Р^=Р2=...

Рд=0 при

= О.

3.3.

В условиях задачи (3.1.) по графу состояний системы

(рис.

30.4) записать алгебраические уравнения для предельных

вероятностей состояний.

Решение. Минуя этап дифференциальных уравнений, запи-

шем систему алгебраических уравнений для предельных веро-

ятностей состояний в виде

-(X,+X,)P,,+XP,,+?iP,,=0;

Х,Р,,-(Х

1,)Р,,+Щ,=0;

^^2+^^21-2ЯР,,=0.

Поскольку алгебраическая система однородная и опреде-

ляет искомые вероятности /^ i,

/^2'

^2Р

^22

только

точностью до

постоянного множителя, то следует к

ней

добавить нормировоч-

ное условие

388

Гпава 30

\\ \2 2\ 12 '

которое позволяет совместно с системой найти все искомые ве-

роятности.

30.4. Универсальные марковские цепи

V. процесс «гибели и размножения». Марковская непре-

рывная цепь называется

«процессом гибели

размножения»,

если

все состояния можно вытянуть в одну цепочку вида (рис. 30.6).

^12 ^25

Я,._;,.

^ij^l

Я,.

Я,, Ai^i^i

^п-1,п

5.-;

/+Л/

Рис, 30.6

Процесс «гибели и размножения» встречается в различных

приложениях и, в общем случае, предельные вероятности состо-

яний находят по формулам

КгКг

Р.=

КгК\

Ри

(1)

Р =

^п-1,п -^2 р.

Л'

Р,=\/

Я2,

Яз2^1 ^и-1---^1 ^пл-1-^1

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ

389

2^.

Циклический процесс. Марковский непрерывный про-

цесс называется циклическим, если случайные состояния объе-

динены в кольцо (рис. 30.7) с односторонними переходами.

^н-Л«

\l2

^23 К,.

Рис. 30.7

Предельные вероятности состояний для циклических про-

цессов имеют вид

А =

Р,=

Ри

р= ^'2 р.

р =2Jl.p.

п\

р,=\/

Я,2

1 1 1

+ +

...

—

лл

'п\

Если от интенсивностей X-j перейти к средним временам J.

пребывания системы в состоянии

(^/

1,...,Azj,

то предельные

вероятности состояний (2) в циклической схеме находятся по

формуле

Я =

\,...,n).

(3)