Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

400 Г пава 30

Среднее число машин в очереди (на стоянке и вне)

1-р 1-0,8 0,2

Среднее число машин вне стоянки подсчитываем так: Р^—

вероятность того, что вне стоянки

машина;

Р^

— две машины

т. д.; с вероятностью Р^

{к

>5) — {к-А) машины. Среднее число

машин, ожидающих вне парка , как МО дискретной величины

будет

Г = \- Р^+2-

Р^

+ ...+(k-A)P^+ ...=

= \(\-p)p' + 2(\-p)p'+...

(k-A)(\-p)p'+...=

1 _ р'

= p'(l-p)(\ + 2p

3p'+... + (k-A)p'-'+...) =

=р'а-рк ..

а-рг 1-Р

1 -, •. 2

1-р"'П+т-тр)

(1-Р> (^-p)

то г =1,64.

Вероятность того, что машина займет место вне станции,

равна вероятности того, что длина очереди будет не меньше

трех, т. е.

Р, + Р,+Р, +

...

= (1-р)р'+(1-р)р'+(\-р)р' + ...=

= (1-р)р\\ + Р +

р'+...)

= (\-р)р'-^=:р'=0,А\.

1-Р

Среднее время ожидания вне стоянки

fj, /л fU, fX

=£lri-p;ru2p.3p4...>''Vi-p;i-p7H>.-mp;^

}1 Ц (l-pf

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУ^КИВАНИЯ

401^

р'

^_М1_

о,82 (час).

^(\-р)

2.50,2

Среднее время ожидания на стоянке

м м

=1[(1-р)р+2(1-р)рЧз((1-р)рЧ(1-р)рЧ(1-р)рЧ...)]=

-[(1-р)р

2(1-р)рЧЗр^(1-р+(1-р)р+(1-р)рЧ...)]

1[(1-р)р + 2(1-р)рЧЗр^] = 1(р + рЧр^) =

Р~Р

=0,78(час).

1-р

Среднее время пребывания

на

сортировочной

станции,

счи-

тая ожидание

обслуживание, будет

=0,82+0,78+0,4=2(^ча^^.

ЗОЛ.

Многоканальная

СМО с

ожиданием

1°.

Рассмотрим /2-канальную СМО, на которую поступает

поток заявок

интенсивностью Я; интенсивность обслуживания

одного канала

//;

число мест в очереди

т.

Состояние системы:

—

все каналы свободны;

—

занят один канал, остальные свободны;

—

заняты

каналов, остальные свободны;

S„

—

заняты все п каналов;

S^^j

—

заняты все

каналов, одна заявка в очереди;

402 Гпава 30

S^^^

— заняты все п каналов, г заявок в очереди;

\+т

— заняты все п каналов, т заявок в очереди .

Запишем предельные вероятности состояний, полагая

1/11

р\

р=£.р- р-Е-р ' . р =R^p

•

п^1 п+2

Р =11 р- р =11 р. . р =

^ /1+1 I О'

п+2 2 • О' •••' ^ п+т

пп\

П^П\

Ро

, р р' р" р'р/п-{р/п)

-1

О'

(1)

т+\

п\

1-р/п

2°.

Найдем некоторые характеристики эффективности об-

служивания. Заявка получает отказ, если заняты все п каналов

и все т мест в очереди

р =11 р

п п\

Относительная пропускная способность равна

?=1-^„..=1-

п"'п\

•р..

Абсолютная пропускная способность

( п+т \

п"'п\

(2)

(3)

(4)

Обозначим за z среднее число занятых каналов. Каждый

канал обслуживает /л заявок в единицу времени. СМО обслу-

живает А заявок в среднем в единицу времени. Отсюда число

занятых каналов

^-- Ро

п"'п\ "

= Р

1-Е—я

п"'п\

(5)

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУХСИВАНИЯ 403

Среднее число заявок в очереди г вычисляем непосред-

ственно как МО случайной величины, т.е.

Если ввести обозначение р/п =<^, то

'^пп\'

(\-3Bf

^^^

Среднее число заявок в очереди г и среднее число занятых

каналов даст среднее число заявок в системе k = г + г .

Найдем теперь среднее время ожидания в очереди

t = — Р ч Р + ч Р

njl nfl n/Ll

Отсюда

t = — = ^— • -. ал

ож л , /1 \2 V'/

Я njj^nl (i-ce)

Среднее время пребывания заявки в очереди будет

где д//л — среднее время обслуживания.

3"^.

Рассмотрим многоканальную СМО, у которой очередь

т может неограниченно возрастать.

Сумма соответствующей геометрической прогрессии сходит-

ся при р/п

< 1

и расходится при р/п

1, т.е. в последнем случае

очередь будет неограниченно возрастать. Пусть р/п <

и m

—>

«з,

тогда выражения для предельных вероятностей состояний будут

Р -К р. р -И р. . р =11 р-

пп\

п п\ п п\

404 Гпава 30

, р р' р" р"" 1

2! n! п\ n-pj ^^^

Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена,

то характеристики пропускной способности СМО будут:

Ро..=0; q = \; A^Xq = L (9)

Среднее число заявок в очереди т-^^

Я + 1 1

Среднее время ожидания

- _Г _р'Р, 1

я njxn\ (1 -gsf

Среднее число занятых каналов

(И)

^ А X

а среднее число заявок под обслуживанием

k=r+z.

(13)

7.1.

Почтовое отделение (ПО) с двумя почтовыми окнами

п = 2 обслуживает клиентов с интенсивностью

= 0,8 (клиен-

тов в минуту). Среднее время обслуживания одного клиента

^^g

—

= 2 мин. В районе другого ПО нет, так что очередь мо-

жет расти неограниченно. Найти характеристики СМО.

Решение. Имеем д =

—

= 0,5; р= —= -^—= 1,6; п

Ж=^ = 0,8.

Поскольку <ж< 1, то очередь не растет безгранично. Най-

дем предельные вероятности.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУ^СИВАНИЯ

405

^0 =

l + ^ +

^-H-

n-i

2! 2\(п-р)

1.6+1,28+

1.6^

20,4

0,111;

/^=-^Ро=Ь60,111 = 0,178; Я=-^Я,=1,280,111 = 0,142;

Рз=—Яо=0Л14 и т.д.

Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолют-

ную пропускную способность на интенсивность обслуживания

^ = 0,5; Л = Я^ = 0,8; 2=

—

= —= 1,6.

/i 0,5

Вероятность отсутствия очереди у ПО будет

+ fl +

=0,111

+ 0,178 + 0,142 =

0,431.

Среднее число клиентов в очереди

1,6'Ро

1,б'0,111

г =

= 0,71.

Среднее число клиентов в ПО ^=Г +

г=2,31.

Среднее время ожидания в очереди

Среднее время пребывания клиента в ПО

^ = С+^=0,89 +

= 2,89Гмин.;.

30.8.

СМО с ограниченным временем

ожидания

V. До сих пор мы рассматривали СМО с ожиданием, огра-

ниченным только длиной очереди, числом т. В такой очереди

заявка, раз встав, «терпеливо» ждет обслуживания. Существу-

406 Гпава 30

ЮТ

СМО, в которых заявка, постояв, покидает ее—«нетерпели-

вые заявки».

Пусть имеется п канальная СМО с ожиданием, в которой

число мест в очереди не ограничено, а время пребывания в оче-

реди ограничено некоторым

t^^,

т. е. есть поток уходов v = 1/ (,,.

Предельные вероятности состояний, где fi

v/ji, г — чис-

ло заявок в очереди, rv — суммарная интенсивность потока ухо-

дов,

будут

^п ^ ^

' 1! "'

Р=^-Р-

' 2! "

Рп.2 =

Р=Р-РР ^Е^^р.

я.

п=

п\

(n^+v)(nii-\-2v)

р я

п\

(nfi+v)---(nfj.

+ rv)

• р р' р" р"^

(1)

•Ра,-

•+...+-

«!

Р'

п +

п-1

(п

р)(п

2р) (п

Р)--(п

гр)

2°.

СМО

«нетерпеливыми» заявками при t -^°о устано-

вившийся режим устанавливается всегда, т.к. знаменатель Р^

всегда

сходится,

поскольку «нетерпеливые» заявки уходят

Р^^^

просто нет. Подсчитаем, какое число заявок покидает очередь.

Найдем число заявок в очереди

р 2

(2)

'•='^-Рп.^+^-Рп.2+- + Г-Рп.г

Интенсивность потока ухода v, умноженная на среднее

число Т уходов, будет vT

Следовательно, в единицу времени

будет обслужено

^.'Vr.

(3)

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОВСПУЖИВАНИЯ 407

Относительная пропускная способность системы.

А , v_

Среднее число занятых каналов будем определять как МО

случайной величины

2=/^+2P,+...+rt[i-rn+^+-+^«-i;]

или по формуле

_ А X-vT ^_

8.1.

Рассматривается простейшая двухканальная СМО

«не-

терпеливыми»

заявками.

Интенсивность потока заявок

заяв-

ки/час;

среднее время обслуживания одной заявки

t^^^^

= 1/^ = 1ч.;

средний

срок,

в течение

которого заявка «терпеливо» стоит

очере-

ди,

равен

0,5

ч.

Подсчитать предельные вероятности состояний, огра-

ничиваясь

теми,

которые не меньше

0,001.

Найти характеристики

эффективности СМО:

q,A,Y,Tj^^J^,

Решение. По условию задачи имеем:

= 2;

= 1;

1 о

Предельные вероятности состояний находим

по

формулам

(1),

ограничиваясь

теми,

которые не меньше

0,001.

^0 =

, ^ 3' 3' 3 9 27 81

+—+—( + + +

2 2 2 + 2

4(^2

+ 2-2; 4-6-8

4-6-810

•

= 0.0692;

243 729 2178

+ . . ^ ,J

4-6-81012 4-6-8101214 4-6-8-10-12-1416

2 3

/^=рРо=0,208; Р,=^Р,=0,Ъ\\; P,=^^P,=0,2ЪA:

408 Гпава 30

4 J о

Р,=-^Ро =0,117; Рз =77^0 =0,044; Р, =^Ро =0.013;

J! О!

Р =-^Ро =0,003; Р =-^Ро

=0,001.

Среднее число занятых каналов г=Ру^л-'1(\-Р^-Р^)

л усл — Р-2"

3-1,654

„ ,„-

1,654;

число заявок в очереди г =

—

= • = 0,673;

j3 2

абсолютную

относительную пропускную способность находим

1,654

по формулам (3), (4) Л = 3-20,673 =

1,654;

0,551;

t^^ =

—

= 0,224; среднее число заявок в СМО

^ ^ k

ife=2+r =2,327; ^, =~ = 0,776ч.

30.9.

Замкнутые системы СМО

1°.

Системы, в которых интенсивность потока зависит от

состояния системы, называют замкнутыми. Рассмотрим та-

кую систему. Пусть рабочий-наладчик обслуживает п машин,

причем любая машина может выйти из строя. Интенсивность

потока неисправностей Я.

Если рабочий свободен, то время на наладку машины

^об

=~' где \1 — интенсивность потока обслуживании.

Если рабочий занят, машина становится в очередь и ждет,

пока рабочий не освободится, т. е. источником заявок являются

машины. Для замкнутой СМО характерным является ограничен-

ное число источников заявок.

2°.

Предельные вероятности состояний в данном случае

имеют вид

Р,=прР,: Р,=п(п--1)р'Р,; ...; Р,=п(п^1)..Лр''Р,;

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ 409

Po=[l + AZp+A2(^/2-i;p'+... + n(^AZ-l>...-lp"]"\ (1)

Под абсолютной пропускной способностью надо понимать

среднее количество неисправностей, устраняемых рабочим в

единицу времени. Вероятность, что рабочий занят

Р^^^

-\-Р^,

Если рабочий обслуживает II машин в единицу времени, то аб-

солютная пропускная способность

А = (\-Р,)11, (2)

Поскольку любая заявка будет удовлетворена, то относи-

тельная пропускная способность ^ = I. Вероятность

того,

что ра-

бочий не будет занят

^св=1-^за.=1-1 + П=^0- (3)

Среднее число неисправных машин как МО случайной ве-

личины

Найдем теперь среднее число машин, ожидающих ремонта.

Число машин, которые ремонтируются, равно

w=^\-P^.

Таким

образом

г=ш-ш = Аг-Ь^-Г1-Я^ =

А2~П-/'о>>Г1

->>.

(5)

р р

Потеря производительности группы машин L

wl, где

/ —производительность исправной машины.

У. Рассмотрим более общую СМО. Бригада т рабочих об-

служивает п станков (т<п).

Предельные вероятности будут

'Я

2 ^у^ 1 ^/^ О ^/^ 1 V

р^Ц^р.

__п(п-\)Х'

п(п-\)(п-2)

ц " ^

l-2ju^

"' ' 1-2-3

у^

Ро.-

р _п(п-\)...(т1-т)^ХЛ р^

l-2-...-m