Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

410

Гпава 30

Р =

п(П'-\)...(п-т)

l-2-...-m-m

\m+l

l^J

P.;

(6)

'm+2 ~

n(n-\)...(n-m-\)

1-2-...

(

T""^

P.:

P =

n(n-l)---l

(

\-2---m-m"

Po;

Отсюда

пЯ

n(n-\)(X^

li 1-2

+...+

n(^n~lX^"-2^"Y^~^+U

n(n-\)---(n-m)

f . Y+i

1-2-...-m-m

+...+•

l-2-m

nfm-lJ-'-l

l-2-...-m-m"

/^Q

v^y

Среднее число занятых рабочих

г=1-/^+2-Р2+... + /^П-^о-^

Абсолютная пропускная способность

А-111

Среднее число неисправных машин

n .

•-п.-,;

(7)

(8)

(9)

(10)

9.1.

Рабочий обслуживает три машины. Каждая машина

останавливается в среднем 3 раза в час. Процесс наладки зани-

мает у рабочего в среднем 20 мин. Определить характеристики

замкнутой

СМО:

вероятность занятости рабочего; его абсолют-

ную пропускную способность А; среднее количество неисправ-

ных

машин;

среднюю относительную потерю производительности

машин за счет неисправностей.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОВСПУЖИВАНИЯ

411

Решение. По условию задачи имеем: п =

= 3;

Предельная вероятность

Р^

по формуле (1) равна

1 1 - Я

/!==-

= —= 3; р=-

я.=

+ 3-2-1 + 3-2-м

= 0,0625.

Вероятность занятости рабочего

^з.« =1-^0 =0,9375.

Абсолютная пропускная способность по формуле (2) равна

Л =

0,9375-3

2,81.

Среднее количество неисправных машин по формуле (4)

9375

^ =

3-^^^^^^

= 2,0625.

Средняя относительная потеря производительности машин

за счет неисправностей w/n

0,6875.

9.2. Двое рабочих обслуживают группу из четырех машин.

Остановка работающей машины происходит в среднем через

каждые полчаса. Процесс наладки занимает у рабочего в сред-

нем 20 мин. Определить характеристики замкнутой СМО: сред-

нее число занятых рабочих; абсолютную пропускную

способность; среднее количество неисправных машин.

Решение. По условию задачи имеем: п

4; т

Я = 2; fi = ^ = 3; р

Предельные вероятности по формулам (7), (6) будут

Ро

, и 2 4-3

4--

3 1-2

/oV

чЪ

4-3-2

1-2-2

/2^^

УЪ

4-3-2-1

1-2-2^

= 0,115;

412 Гпава 30

Я =4-0,115 = 0,306.

' 3

Среднее число занятых рабочих равно

2=lfJ+2n~Po-^>* =

0,306

+ 2n-0,42i; = l,464.

По формуле (9) находим абсолютную пропускную спо-

собность

Л =

1,464-3

= 4,392.

Среднее количество неисправных машин по формуле (10)

будет

й)

= 4-^^ =

1,804.

30.10.

СМО со "взаимопомощью"

между каналами

1°.

Рассмотрим СМО, где заявка может обслуживаться дву-

мя и более каналамид. е. со «взаимопомощью» между канала-

ми.

Для этого необходимо учитывать два фактора:

Насколько убыстряется обслуживание заявки, когда над

ней работает сразу несколько каналов.

Какова «дисциплина взаимопомощи», т. е. когда и как

каналы берут на себя обслуживание.

Самый простой случай «дисциплины» взаимопомощи «все

как один», т. е. при появлении заявки ее начинают обслужи-

вать все п каналов и остаются занятыми пока не закончится

обслуживание. В этом случае СМО становится как однока-

нальная СМО, но с более высокой интенсивностью обслужи-

вания.

2^.

Рассмотрим влияние «взаимопомощи» на работу СМО с

ожиданием, причем

неограниченной очередью.

Среднее число заявок в очереди без «взаимопомощи»:

ТЕОРИЯ MA ССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ 413

р'^^Я,

Среднее время ожидания

"^- (1)

^- • —• (2)

ож

nnn\(i-as)

Среднее время пребывания в системе

^с=С+-.

(3)

где^

= ^;Ро41 + ^

+ .-.

+ ^

п ' L 1! 2! п\

Если применяется «взаимопомопц>» типа «все как

один»,

то

сис-

тема будет работать как одноканальная. Ее характеристики будут

X X р ^ д^

р*

= = — = —=Ж; г= ; (4)

jU*

nil п l-cO

ев - - 1

3°.

Рассмотрим случай равномерной «взаимопомощи» меж-

ду каналами. Если заявка приходит, когда все каналы свобод-

ны,

то все п каналов принимаются за ее обслуживание; если в

момент обслуживания заявки приходит еще одна, часть каналов

переключается на ее обслуживание и т.д., до тех пор, пока не

окажутся занятыми все п каналов.

Для СМО с отказами характеристики системы будут

р .^•(•-•-^. (5)

414

Гпава

A = Xq = Xj^, зе=Х/(п11). (7)

4°.

Рассмотрим СМО с очередью и максимальным числом

заявок в очереди т . Предположим, что между каналами имеет-

ся равномерная «взаимопомощь» и iJ,(k)

k/j.. Характеристики

системы примут вид

I •у-'"*"'

g=^_^..m..' (9)

1 /jQ^^"^

^"^^"^l^^"-^-'-

(10)

10.1.

Имеется 3-х канальная СМО с отказами. Интенсив-

ность потока заявок

= 4. Среднее время обслуживания одной

заявки одним каналом

0,5; функция lJ.(k) - kfi. Спрашива-

ется,

выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО

вводить «взаимопомощь» между каналами по типу «все как

один»? Выгодно ли это

точки зрения среднего времени пребы-

вания в системе?

Решение, а) Без взаимопомощи; /2=3;

= 4;

= = 2;

р =

По формулам параграфа 30.5.

П=—у-^^-^

0,158;

Я_=Рз=|.р„

=1^0.158 =

0.21.

-+ — + —

2! 3!

Относительная пропускная способность

\-Р =0.79.

т -^ отк V/, / ^ .

Абсолютная пропускная способность Л = ^

= 0,79

•

4 = 3,16.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ 4Г5

Среднее время пребывания в системе

i^=^.^^

=0,79 0,5 = 0,395.

б) Со взаимопомощью: п* =

= 4; ^"^-Zii- 6;

1 13 2 2 3

1+Р 1+2 5' '3^35

^о..=^^=0,4; ^ =

1-Р_=0,6;

Л = ^Я = 0,6.4 = 2,4;

F = Я — = 0,4

•

- = 0,0667.

' ^3/1 6

Таким образом, пропускная способность со «взаимопомо-

щью» меньше, т.к. заявка, пришедшая, когда система занята,

получает отказ и уходит. Что касается среднего времени пре-

бывания, то оно уменьшилось, т.к. заявку обслуживает сразу

три канала.

10.2.

Имеется 3-х канальная СМО с неограниченной очере-

дью;

интенсивность заявок

= 4. Среднее время обслуживания

t^^

= 0,5

Функция li(k) - kfi.

Выгодно ли

вводить взаимопо-

мощь «все как один», имея в виду: среднюю длину очереди; сред-

нее время ожидания обслуживания; среднее время пребывания

заявки в СМО.

Решение. Найдем характеристики системы без «взаимопомо-

щи»,

используя формулы

(1), (2), (3).

Ъ;

= 4;

^=-

= 2; р= —= 2; де= —

Ро

' 2 2' 2' 2'

+ - + — + —

+ -

2! 3! 3.Y3-2;

-1

~9^

416

Гпава 30

Г =•

= 0,889; С =0,222; t = С+^об =0,722

3-3!

1--

Найдем теперь по формулам (4) характеристики системы

со «взаимопомощью»

Я 2

п* =

= 4; |х* = 3/х = 6; р* = — =i^=—;

^х*

г =

Р1

-1 I'll-

1-2" '

ож

:0,333;

4 =0,333 + - = 0,5

Таким образом, средняя длина очереди и среднее время ожи-

дания

случае

«взаимопомощью» больше, а среднее время пре-

бывания в СМО меньше.

Глава 31

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

31.1.

Оптимизация планирования

комплекса работ

1°. Основным материалом для сетевого планирования яв-

ляется список или перечень работ, который называется струк-

турной таблицей комплекса работ. В структурной таблице для

нахождения работы

а^

должно быть указано, выполнение каких

работ она требует или на какие работы опирается.

Работа

«/

«1

а^

а,

а.

а,

«6

Опирается

на работу

«1.^

а,, Oj.Oj

a^, 02, а^

0-2

^а^

Ранг

Обозначение в

новой нумерации

Ь^

Ьэ

Первая операция называется упорядочением. Для упоря-

дочения все работы разделяются на ранги. Работа называется

418 Гпава 31

работой 1-го ранга, если для ее начала не требуется выполне-

ние никаких других работ. Работа называется работой второго

ранга, если она опирается на одну или несколько работ пер-

вого ранга и т. д.

Если задано t. —время вьшолнения работы а-, то минималь-

но возможный срок окончания работы находится по формуле

7:=т,+/,,

(1)

где т. = тах|7^.,

7^,

Т^ j — минимально возможный срок начала

работы а-, которая опирается на работы

а^,

a^^Uf^

и не может

начаться прежде, чем не будет завершена работа, которая за-

канчивается позже всех.

Работы а.,

из

длительностей которых составлено минималь-

ное время завершения комплекса работ Г, называются крити-

ческими работами. Чтобы найти критические работы, а

следовательно, и критический путь, надо найти работу а., для

которой время окончания Т. максимально; эта работа и будет

критической. Далее следует найти работу, для которой

Т.

будет

моментом начала работы а.. Величина т^ представлена в виде

максимума

Tj,T^,Tf^,

Необходимо найти max. Это будет вторая

критическая работа от конца и т. д.

2°.

Пусть общее время вьшолнения работ Т

^1^ нас не

(кр)

устраивает и требуется его сократить до времени

Т^.

Очевидно,

что надо форсировать критические работы. Вложение дополни-

тельных средств X. в работу а. сокращает время ее вьшолнения

с t- до

f.=f.(x-).

Время вьшолнения комплекса работ будет

7'= ^ //jcJ < 7о . Нахождение минимума вложенных

Средств

л:

= ^

х^

= min разберем на примере 1.2.

3°.

Рассмотрим задачу перераспределения уже имеющихся

средств между отдельными работами. Известно, что количество

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ 419

средств

> о, снятое с работы щ, увеличивает время ее выпол-

нения с t. до t'

f.(x),

а количество средств х, вложенное до-

полнительно в работу а^, уменьшает время ее выполнения до

t-'=

(pj(x)

Сумма средств, снимаемых с каких-то работ, долж-

на быть равна сумме средств, добавляемых к другим работам,

так что

X,+Х2+... +

х„

=0. (2)

Для решения задачи необходимо, чтобы общий срок выпол-

ненного комплекса работ был минимален

кр кр

4°.

Сетевое планирование при случайных временах выпол-

нения работ. При сложении достаточно большого числа незави-

симых случайных величин, распределенных по любым законам,

закон распределения суммы близок к нормальному, поэтому МО

времени равно сумме

кр

где

]

т^

— МО времени выполнения /-й работы.

Среднеквадратическое отклонение, соответственно, будет

^'=JZ^''

(5)

кр

гдесг^ —среднеквадратическое отклонение времени выполне-

ния

/-Й

работы.

Если величины (4), (5) известны, то вероятность выполне-

ния комплекса в срок

Т^

находится по формуле

Р(Т<Т,)

= Ф

(То-т,

+ 0,5, (6)

где Ф — функция Лапласа находится из таблицы.