Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)
Подождите немного. Документ загружается.
440 Г пава 31
4.
Пусть
(a^.a-ij,
(а^,а^),.,.,
(а.^^,щ^)—найденый
путь.
Тогда для каждой
дуги
(а^^,
а.^^^),
входящей
в
этот
путь,
следует
вьшолнить операторы:
^k^k+\
h^k+i
^k^k+l ^k^k+l
^k+\ h h+\ *A
Далее переходим к шагу
1.
Если пути положительной про-
пускной способности
не
существует,
то
полученный поток явля-
ется
максимальным.
5.1.
В
области
имеется
семь городов, соединенных дорога-
ми.
Граф задачи показан на
рис.
31.4.
Рис,
31.4
На каждой дуге (а,, а^) около узла а- указано макси-
мальное (за один день) число мешков с корреспонденцией,
которые можно перевезти от щ к а^, а около узла
fly
—
макси-
мальное число мешков, которые можно перевезти из aj в а^.
Найти максимальное число мешков, которые можно перевез-
ти из а^ в а^.
Решение. Пусть начальный поток задан числами ^ =
^о2 ==
=
^25
=
^56
~
^
(потоки
по
остальным
дугам
равны
нулю).
После
изменения пропускных способностей дуг
Ь-
получается
сеть.
ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗЛиИИ
441
Далее выбираем путь
а^-^а^-^ а^-^а^,
где 0 = 3
нимальная величина из пропускных способностей.
Изменяя пропускные способности
дуг,
получим
v=5^3=8
— ми-
На следующем шаге выбираем путь
а^ --> aj
—>
02 -^ ^4 -^ а^, 0 = 1,
тогда граф примет вид
v=8+l=9
442
Гпава 31
Далее
а^-^а^-^а^^а^,
в
=^2
и граф будет
v=:9+2=ll
Следующий шаг а^
--^
а^
-^
а^
^>
а^
--^
а^, в
=
\
v=im=i2
Далее а^ -^
а^
-^
а2
-^
а^
^
а^,
в
= 1
v=12-^l=13
Наконец, а^ -^
а^
-^
а^
-^
а2
-^
а^
-^ а^, в
=
\
ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ
443
v =
14
Поскольку положительной пропускной способности нет,
то
полученный поток является максимальным.
31.6.
Задача замены оборудования
Покупная цена нового оборудования известна
и
равна
S .
Известны затраты на эксплуатацию (уход, ремонт
и т.
д.) в соот-
ветствующие периоды
(1,
2,...,
^,...,
п).
Пусть периоды равны,
а затраты
в
период
t
будут
Q
.
В результате старения балансо-
вая цена оборудования непрерывно падает. Обозначим
ее
за
S^.
Считаем, что
Q и
S^
экспоненциально зависят от
t
C,=a,(e"-l);
S,=V"'"-
Средние затраты равны
Y(t)=(S+J^Q-SJ/t,
(=1
Y(t)
=
(S
+
ao(e^' -\)-bae-'")/t
=
(ao(e^'
-\)
+
S(\-e-^'))/t.
Отсюда
dY
_
(a,Xe^
+
З/ие-"'
)t
-
a^(e^'
-\)-
S(\
- e'"')
_^
dt~
f
Преобразуя, будем иметь
444 Гпава 31
Если обозначить
У;
= а^(Ие^' -е^' ^\) ^^
Y^^S(\-
е'^' -
-lite'^^),
то точка пересечения этих кривых и даст искомое
время t, когда следует произвести замену оборудования.
31
Л. Метод наименьших квадратов
1°.
Метод наименьших квадратов заключается в том, что
из данного множества функций у = 1(х) выбирается та, для ко-
торой сумма квадратов отклонений опытных значений от рас-
четных является наименьшей.
Подбор параметров функции у = 1(х) делается после опре-
деления вида
функции.
Вид функции выбирается из графическо-
го изображения опытных данных таким образом, чтобы график
функции наиболее точно отражал расположение опытных дан-
ных на графике. Пусть дана таблица значений переменных
х.^
и
соответствующих им значений
\)-^.
X,
[
У'
х,
Ух
^2
Уг
^п
Уп
Рассмотрим некоторые простейшие виды функций.
2°.
Линейная функция у
=
ах-{-Ь. Нормальная система для
определения коэффициентов аиЬ имеет вид
п п п
П Г1
а^х^ +bn
=
Y,
Уг-
1=1
(1)
1=1
3°.
Квадратичная функция
г/
= ах^+6х + с. Нормальная
система для определения коэффициентов
а,
Ьис имеет вид
ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ
445
(2)
4°.
Гипербола вида
у
= а
+
— . Нормальная система
для оп-
X
ределения параметров
аиЬ
имеет
вид
X.
«Xf-^I^^Z^
X; X;
па
+*1^=Ей.
(3)
7.1.
Результаты экспериментальных исследований
представ-
лены таблицей
X,.
1 ^••
1
13
2
8
3
4
4
1
5
-2
6
-9
Полагая, что
зависимость
лршейная,
найти значения параметров
функции
у
=
ах-\-Ь.
Решение.
Воспользуемся методом наименьших
квадратов.
При
составлении системы нормальных уравнений (1)
суммиро-
вание удобнее выполнять в табличной форме
i
1
2
3
4
5
6
2 .
X,.
1
2
3
4
5
6
21
У.
13
8
4
1
-2
-9
15
х/
1
4
9
16
25
36
91
^iVi
13
16
12
4
-10
-54
-19
446
Гпава 31
Система нормальных уравнений примет вид
Г91а + 216
= -19,
[21а
+ 66
=
15.
143 84
Из решения этой системы получим: а= ; Ь=—. Зави-
симость между X и // представляется в виде у
-
143 84
х+—.
35 5
7.2. Результаты опыта представлены таблицей
1
h
1
У1
0
1
1
2
2
4
3
7
4
11
Найти зависимость между переменными.
Решение. Прибрасывая опытные данные на графике, счи-
таем, что зависимость между ними квадратичная.
Воспользуемся методом наименьших
квадратов.
При состав-
лении системы нормальных уравнений (2) суммирование пред-
ставим в табличной форме
/
1
2
3
4
5
2
X,
0
1
2
3
4
10
У1
1
2
4
7
11
25
^f
0
1
4
9
16
30
х]
0
1
8
27
64
100
х;
0
1
16
81
256
354
^iy;
0
2
8
21
44
75
xfyi
0
2
16
63
176
257
Система нормальных уравнений примет вид
[354а+
100Ь
+30с = 257,
100а+
306
+Юс = 75,
30а
+ 106
+
5с
= 25.
ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ
447
Умножая третье уравнение на 2 и вычитая из второго, и
умножая второе на 3 и вычитая из первого уравнения, полу-
чим
Г40а +
106
= 25,
|54а +
10&
= 32,
откуда а = -, 6 = -
2 2'
Таким образом,
с = 1.
X X ,
у =—+
—+
1.
2 2
7.3.
По таблице опытных данных
Xi
1
Ус
0,5
5
1
2
2
0
4
-1
6
-1,5
найти
зависимость между переменными.
Решение. Прибрасывая опытные данные на графике
(рис.
31.5.), считаем, что зависимость между переменными ги-
перболическая. Пользуясь методом наименьших квадратов, сум-
мирование, при составлении системы нормальных уравнений (3),
приведем
в
табличном виде
/
1
2
3
4
5
I
X,
0,5
1
2
4
6
У1
5
2
0
-1
-1,5
4,5
1/х.
2
1
1/2
о;25
1/6
3,916
Ух^
4
1
1/4
1/16
1/36
5,34
yAi
10
2
0
-1/4
-1/4
11,5
Система нормальных уравнений примет вид
448 Г пава 31
J3,916a-h5,346 = ll,5,
|5а
+
3,9166
= 4,5.
Решая эту систему, находим: а =
--1,847;
6 =
3,5.
Таким об-
разом, зависимость примет вид
3 5
^ = -1,847 +—.
X
1А.
Найти нормальную систему для определения коэффи-
циентов а, b показательной функции
у^аЬ""
^
Решение. Прологарифмируем функцию In
г/
=
In
а +
х1п b
и
считаем \пу линейной функцией от х, а
In
а,
In 6
принимаем за
параметры.
Будем подбирать параметры так, чтобы сумма квадратов
отклонений вычисленных значений 1па +
хДп6
от наблюдаемых
значений \пу., т. е. величина
S = (\па + Xjlnfe - In
!/j
/ + (\па +
x^Xnb
-
\пу^
f +
п
+
---
+ Ппа + х^п6-1п^/^^
=^('1па
+ х.1п6-1п//./
принимала наименьшее значение.
Рассматриваем сумму S как функцию двух переменных
In а и
In
6. Функция
S
принимает минимальное значение при тех
значениях
In
а и
In
6, при которых обращаются в нуль частные
производные по этим параметрам, т. е.
= 0 и = 0.
Э1па Э1п6
Находим частные производные
—— = 2У (\па +
хДпб
-
1п^^;
=
dlna ^
п
п.
=
2(п1па
+ Inb^
Х-
-^ ]пу.)
^
/=1 /=1
ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗЛиИИ 449
дтЪ ^
п
п п
= 21па^
Х-
+ 1п6^
х^
-^
х-\пу-.
Приравнивая частные производные
нулю,
получим нормаль-
ную систему
п п
п
\па + \пЬ^
Х-
= ^ \пу.
П
П Г1
1па^
X.
+ 1п6^ х^
=
^ x.ln г/.
/=1 /=1 /=1
Найденные из этой системы значения параметров
In
а и
In 6
позволяют
с
помощью таблиц натуральных логарифмов опреде-
лить значения а и b.
31.8.
Методы расчета надежности
V. Основные понятия надежности. Наделсностью p(t)
элемента называется вероятность того, что этот элемент будет
работать в течение времени t безотказно. Отказ — это собы-
тие,
состоящее в нарушении работоспособности элемента. От-
казы бывают внезапные и постепенные. Внезапный отказ
происходит в случайный момент времени. Постепенный отказ
характеризуется постепенным ухудшением характеристик ма-
шины (элемента).
Деление технических устройств на элементы носит услов-
ный характер. Так одно и то же устройство может рассматри-
ваться как машина, состоящая из элементов, так и как элемент
технологической линии машин.
В
дальнейшем под «элементом»
мы будем понимать техническое устройство, не подлежащее
дальнейшему расчленению.