Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

450

Гпава 31

При оценке надежности машины следует рассмотреть не-

которые количественные характеристики. При

= 0 надежность

p(t) =

увеличением времени убывает

(рис.

31.6.). Ненадеж-

ность определяется по формуле q(t) =

- p(t). Характер изме-

нения кривой q(t) показан на рис. 31.6. При возрастании /

кривая q(t) стремится к единице.

Рис. 31.6

Одной

из

количественных характеристик, определяющих бе-

зотказность работы «элемента» машины, является среднее вре-

мя наработки на отказ. Если Т — время безотказной работы, то

функция распределения этой случайной величины определяется

выражениями F(t) = Р(Т <t) и представляет ненадежность ра-

боты элемента F(t)

q(t). Таким образом, F(t) —вероятность

того,

что за время t элемент откажет. Надежность элемента или

машины дополняет F(t) до единицы, то есть p(t) =

- F(t).

Плотность распределения времени безотказной работы равна

f(t) = F'(t) = q(t). График плотности показан на

рис.

31.7.

Эле-

мент вероятности f(t)dt есть вероятность того, что время 7 ле-

жит в пределах от t до t

dt. Плотность вероятности

определяется по формуле

m(At)

f(t)=^-

NAt

(1)

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ

451

где

("А^^

— число элементов, отказавших за время А^, т. е. от

t до t

dt; N — обш;ее число элементов.

/ t+At t

Рис. 31.7

Если Т величина непрерывная, то среднее время безотказ-

ной работы равно

=M(T) =

jtf(t)dt

jtq(t)dt

оо оо

-ltp(t)dt

jp(t)dt.

(2)

Среднее время безотказной работы t равно площади, огра-

ниченной кривой надежности и осями координат (рис. 31.6).

Основные показатели надежности машин, состоящих из k групп

элементов, определяются на основании статистического мате-

риала. Если число элементов в группах равно щ, п^,

...^rif^,

^р ^2'

'••>ЧУ—время

наработки элементов на отказ в каждой группе,

то среднее время наработки на отказ будет

/ =1/2«Д-

(3)

i=l

Среднее время восстановления работоспособности являет-

ся одной из основных характеристик ремонтопригодности ма-

шин. Пусть Тр Т2, ...,т^ — среднее время восстановления

элементов машины в каждой группе.

этом случае среднее вре-

мя восстановления будет

452 Г пава 31

_ __ k

ts=t^n.T./t,.

(4)

которое определяет вероятность того, что восстанавливаемая

машина в данный момент времени находится в рабочем со-

стоянии.

Одним из комплексных показателей надежности является

коэф-

фициент готовности

kj^=T/(T+T^), (5)

Время наработки на отказ

перемонтируемых элемен-

тов машины, число отказов в случае ремонтируемых элемен-

тов и ряд других характеристик надежности подчиняются

различным законам распределения. Наиболее распространен-

ным в технических устройствах является экспоненциальное

распределение. Экспоненциальный закон надежности имеет

вид

p(t) = e-'\ (6)

где

— интенсивность потока событий (отказов) постоянная

величина.

Функция распределения времени безотказной работы рав-

на F(t) = q(t) =

l-е-^',

а плотность — f(t) =

Хе"^'

(t>0).

Интенсивность отказов определяется по формуле

р(0 NAtp(t)

характеризует среднее число отказов в единицу времени, при-

ходящееся на один работающий элемент.

Надежность определяется через интенсивность отказов по

формуле

-\Mt)dt ,„.

p(t) = e о ^^^

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ 453

Если X(t) =

— const, то формула (8) выражает экспонен-

циальный закон надежности (6).

2°.

HadejWHocmb

простой системы. Под простой системой

будем понимать такую систему элементов, отказ любого элемен-

та которой равносилен отказу системы в целом. Простая систе-

ма с точки зрения надежности представляет схему

последовательного соединения элементов

(рис.

31.8).

э. э.

Ч э„

Рис. 31.8

Надежность простой системы Р, составленной из

незави-

симых по отказам элементов, равна произведению надежностеи

ее элементов

ПА. (9)

где р. — надежность /-го элемента.

Если

р^=р2=...

р^,то формула (9) примет вид

р\ (10)

При последовательном (в смысле надежности) соединении

независимых по отказам элементов интенсивности отказов скла-

дываются и интенсивность отказов простой системы равна

A(t) =

J^X,(t).

(И)

Действительно, выразим интенсивности отказов простой

системы A(t) через интенсивности отказов отдельных ее эле-

ментов X/t). Согласно определению надежности через интен-

сивность

(8),

имеем

-JA(t)dl

P(t)

454

Гпава 31

p,(t)

e^ (i

l2^,..^n).

^^^^

Подставляя выражения (12) в выражение (9), получим

-JA(t)dt -j^(t)dt -jl2(t)dt -JK(t)dt

e ' =e ' e " ...e ' =

t t n

-j[X,(t)+l,(t)+...+?^(t)]dt

-lY,^idt

= e ' =e ''=' ,

откуда

следует соотношение (11).

3°.

Наделсностъ резервированной системы. Для повыше-

ния надежности в систему включают резервные элементы «па-

раллельно» тем, надежность которых недостаточна

(рис.

31.9).

Э;

э.

Рис. 31.9

Если основной элемент

Э^

отказал, то система переключа-

ется автоматически на резервный элемент Э^ и т. д. Переключе-

ние безотказное, надежность переключения р„р =

Вероятности

безотказной работы элементов обозначим за Рр

рз» •••'

Рл' ^ ^^'

надежность элементов, соответственно, за

^j,

^2'

•••' ^п •

Ненадеж-

ность всей системы будет равна произведению ненадежностеи

элементов

Q^Qx'Qi'-'Qn- (13)

Поскольку надежность системы равна Я =

- Q, то

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ

455

P = \-q,-q,-...,q„=\-(\-p,)(\-p,)...(\-pJ^

1-ПП-Д;-

(14)

/=1

Если надежности всех элементов одинаковы

р^= р^=,,, =

то соотношения (14) примут вид

Р =

1-П-Р/.

(15)

В общем случае в резервированных системах могут исполь-

зоваться как «параллельные», так и «последовательные» соеди-

нения элементов (рис. 31.10).

•-С

Рис. 31,10

Полагаем, что все надежности элементов равны р , тогда

надежность каждой «строки» равна

р'"

(t), где т — число пос-

ледовательных элементов в «строке». Поскольку «строки» пред-

ставляют «параллельные» соединения элементов, то по формуле

(15) получим

р=1-п-р";% (16)

здесь

— число «строк».

При оценке надежности сложной системы

ее

следует разде-

лить на ряд подсистем, не имеющих общих элементов, и найти

надежность каждой из них, а затем системы в целом.

4°.

Предположим теперь, что переключение на резервный

элемент имеет надежность, меньшую единицы.

456 Гпава 31

гШ"

э.

Рис. 31.11

Пусть переключение на резервный элемент осуществляется

одним переключателем

(рис.

31.11)

надежностью

р^р.

Рассмат-

ривая резервную систему как блок параллельных соединений

элементов, а переключатель

блок резервных элементов как пос-

ледовательную, находим надежность этой подсистемы

р;

=(\-(\-p,)(\-pj...(\-pj)p„^.

(17)

Отсюда надежность всей системы будет

р=\-а-юа-Р2)-

(18)

Если каждый резервный элемент имеет свой переключатель,

соответственно,

надежностью p^p^

p^^Jу..., р^^'',

то, объединяя

переключатели и резервные элементы в последовательные цепи,

в выражении (14) надежность резервного элемента следует ум-

ножить на надежность переключателя

р=\-(\-р)(\-р,р[]> )(\-р,р[1>

)-...-(\-р„р[;>).

(19)

Здесь надежность любого резервного элемента не зависит

от того, включился он в работу или нет.

5°.

Надежность резервной линии. Пусть линия имеет две

резервные

машины.

Считаем, что потоки отказов простейшие, т.

е. интенсивности отказов постоянные и что линия с холодным

резервом. При отказе машины Mj включается машина М^

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ

457

при отказе М^ включается

М^. До

включения каждая из резер-

вных машин находится в холодном резерве и отказать не может.

Пусть

Я,

—интенсивность потока отказов основной машины,

Я2 — остальных машин. Представим процесс, как марковский

случайный процесс (рис. 31.12).

Яу I

1 Я

'^1 I

"-2

1 "-2

*^L_LJ *^LZJ

Рис.

31.12

Введем обозначения:

S, —

работает основная машина;

Sj —работает первая из резерва машина;

—работает вто-

рая из резерва машина;

— не работает ни одна машина.

Система уравнений Колмогорова для вероятностей состоя-

ний будет

dp,

dp2 _

dt =-^'^""

^Рз_

= -^2Рз+^2р2''

(20)

dp4

^1Ръ-

Добавим к системе нормировочное условие

А+Р2+Рз+Р4=1-

Интегрируя первое уравнение при P,((i)

1, получим

p,(t)

e-'r

Подставляя во второе уравнение, будем иметь

458 Гпава 31

Интегрируя

начальным условием

P2(Q) =

О,

получим

Я,

P2(t) = -^

-XJ

'-^е-'^'.

Подставляя в третье уравнение, будем иметь

'''^2.g-V_.

2""

ЯI

• '

е-'^'.

2—

При

Рз^О^

= О' после интегрирования

p,(t)=

Л|Л2

гя^-я,/

-е-"''

Л|Л2

а,-я,/

.е-^2<_.

^1^2?

-i.t

Для нахождения функции р ^( t ) воспользуемся норми-

ровочными условиями, тогда

Я,

= \-ё

Л|Л2

>я,-я,/

-я,/

2—

А]

-е'•''+-

е-^'-'

-е-^'Ч-

ЯДз

ГЯ2-Я,/

л 2—А]

Я2-Я1

8.1.

Интенсивность отказов элемента задана графически

(рис.

31.13). Найти закон надежности p(t) и среднее время без-

отказной работы.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ

459

Решение. Из рисунка находим, что интенсивность отказов

на участке (0,1) меняется по закону X(t) =

а на участке t>\

постоянна

равна

= 1.

Надежность на участке (0,1) по формуле (8) будет

p,(t)

-j(2-t)dt

= е

•(it-'i)

Найдем p(t) на участке t

> 1

jX(t)dt

jdt

t-\;

тогда p^(t)

-t+\

График закона надежности показан на рис. 31.14. Среднее

время безотказной работы равно площади, ограниченной кри-

выми p/t), p2(t)

осями координат

_ 1 со 1 ^ со

p,(t

)dt

p^ft

)dt

je'^^'~^^dt

je-'^'dt =105

+ 1 =

2,05.

Здесь первый интеграл [e'^^^'^^dt

1,05 вычислен прибли-

женно, о

8.2. Плотность распределения времени безотказной рабо-

ты элемента на участке

{t^yt^

) постоянна и равна нулю вне