Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

330 Глава 28

тервала соответствует -оо, а наибольшему значению последне-

го интервала +

00.

Вычислим теоретические вероятности р- и теоретические

частоты п.. Для этого составим таблицу.

х.

2,-

— ОО

-1,72

-0,74

0,23

1,21

2,19

^м

-\,11

-0,74

0,23

1,21

2,19

ОО

Ф(г,)

-0,5000

-0,4573

-0,2703

0,091

0,3869

0,4853

ФГ^,ч,;

-0,4573

-0,2703

0,091

0,3869

0,4853

0,5000

0,0427

0,187

0,3613

0,2959

0,0984

0,0147

«;=100д

4,27

18,7

36,13

29,59

9,84

1,47

Наблюдаемое значение критерия Пирсона находим в таб-

личном виде

I..A

п.

100

4,27

18,7

36,13

29,59

9,84

1,47

100

«;-"/

-0,27

-2,7

13,87

-14,59

0,16

3,53

(n-n\f

0,07

7,29

188,22

212,87

0,03

12,46

(n-n'f

0,016

0,39

5,209

7,194

0,003

8,476

Ж« =21.29

Таким образом,

;[;^

= 21,29. Из таблицы критических то-

чек

распределения

у^^

(табл.

при уровне значимости а =

0,025

и числе степеней свободы /: = т-3 = 6~3 = 3 находим

4Г0,025;3;

= 9,4.

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

331

Поскольку х1 >

х1р •>

то нулевая гипотеза о нормальном

распределении отвергается.

28Л.

Проверка гипотез о других законах

распределения генеральной совокупности

р.

Проверка гипотезы о распределении дискретной слу-

чайной величины Хио биномиальному закону. Пусть вероят-

ность появления события А в каждом из п опытов одна и та

же.

Тогда таблица распределения дискретной случайной вели-

чины У имеет вид

п.

"о

где

п.—число

опытов, в которых зарегистрировано х. появле-

ний события А.

Найдем по формуле Бернулли вероятности

Р^

С'^р'д"'''

появления события А ровно / раз в т испытаниях и вычислим

теоретические частоты п' =

пР-,

где п

^п. число опытов.

Используя критерий Пирсона, находим как правило в таб-

личном виде, наблюдаемые значения критерия

Л/Н

(1)

Число степеней свободы принимаем равным

А:

= /, где / —

максимальное число появлений события А в одном опыте, если

вероятность р задана. Если р оценивается по выборке,

то

I-

где /—число групп выборки.

Критические точки распределения X

при уровне значимо-

сти а, находим из табл. (7) Хкр(^*^).

Если Хн ^

Хкр

— нулевая гипотеза о биномиальном рас-

332 Гпава 28

Пределении генеральной совокупности принимается. Если

2 2

Хн

Хкр —

отвергается.

2°.

Проверка гипотезы о распределении дискретной слу-

чайной величины

по

закону Пуассона. По заданному распреде-

лению находим выборочную среднюю х^

параметр

распре-

деления Пуассона принимаем равным

Зс^.

По

формуле Пуассона р.^ находим вероятности

появ-

ления событий равно /раз при п

испытаниях.

По формуле

п.=пР.,

где

f^^^J^i

— объем

выборки,

находим теоретические частоты и

по формуле

Пирсона

(1)

наблюдаемые значения критерия

Хн •

Приняв число степеней свободы

к-1-1,

где

— число

различных

групп

выборки,

при уровне

значимости а,

из

табл.(7)

находим критические точки распределения XjOL'k). Если

2 2

Хн

Хкр,

то гипотеза

распределении случайной величины по

2 2

закону Пуассона принимается. Если

Хн

Хкр

— отвергается.

3°.

Проверка гипотезы о показательном распределении.

Пусть эмпирическое распределение непрерывной случайной

ве-

личины задано последовательностью интервалов

jc.

x.^j

со-

ответствующих

им

частот п.

Находим сначала выборочную среднюю х^, принимая в

качестве вариант среднее арифметическое концов интервала

* Х^ + Xj-^j

= —-—. принимая параметр Я показательного распреде-

ления равным ^

zr^ находим вероятности попадания X в

частные интервалы

Р.

Р(х^

<Х<х.^.,) =

е"^""'

-e'^""'^' и вычис-

ляем теоретические частоты

п'

пР^,

где

п =

^п- —объем вы-

борки.

Наблюдаемое значение критерия

Хн

находим по формуле

Пирсона

(1).

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

333

Приняв число степеней свободы к-1-2, где / — число

интервалов выборки, при уровне значимости а, из табл.(7) на-

ходим критические точки распределения х1п

(^>

•

2 2

Если Хн ^

Хкр,

то гипотеза о показательном распределе-

2 2

НИИ

принимается; если Хн >

Хкр

— отвергается.

4°.

Проверка гипотезы о равномерном распределении, т. е.

по закону

хе [а,Ь]

f(x) = i

О x€[a,b]'

По заданному в виде

интервалов х. -

х.^^

и соответству-

ющих им частот п. распределению находим выборочную сред-

нюю х^ и среднее квадратическое отклонение а^. По форму-

лам

(3*

3с^-л/3(7^,

Z?*

jc^

v3cj^

оцениваем параметры а и Ь.

Вычисляя по формулам Щ=п

(х^

л *Л

П2=щ=...=

п^

= «-

:(x,-x._J,

п'^^п-

Ь*-а*

:(b*-x^_J,

= ^«. тео-

6*-а*

' " Ь*-а'^

ретические частоты, находим из формулы Пирсона

(1)

наблюда-

емое значение критерия

Хн •

Приняв число степеней свободы к

=т

при уровне зна-

чимости а, из табл. (7) находим критические точки Хкр(^*^).

2 2

Если Хн ^

Хкр,

то гипотеза о равномерном распределении при-

2 2

нимается; если Хн ^

Хкр

— отвергается.

7.1.

В результате испытаний 100 элементов получено эмпи-

рическое распределение интервалов времени безотказной работы

в часах; п.—количество элементов, отказавших в /-м интервале

1 1+}

п.

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

Проверить гипотезу о показательном распределении вре-

мени безотказной работы элементов, принимая уровень зна-

334

Гпава 28

чимости равным а- 0,05.

Решение.

Принимая в качестве вариант op^ms^ арифметическое

концов интервалов

х*.

—(^х.

х.^^),

находим выборочную среднюю

/37-5 + 24-15 + 15-25-И0-35 + 7-45 + 5-55 + 2-65;

100

= 19,9.

Принимая параметр показательного распределения

1 1

-AJC:

^^ ?

находим по формуле

Р.

= Р(х. <Х

x^^j)

•

е'^""'^'

вероятности попадания X в частичные интерва-

лы.

Так, вероятность попадания Z в первый интервал равна

Р,=Р(0<Х<10)

в""'"^"

_^-.">iu =

^^-.^

0,39.

Аналогично

Р2=0,24; Р,=0Л5;

P,=0,OS;

Р,=0,06; Р,=0,03; Р, =0,02.

По формуле п' =

пР.

вычисляем теоретические частоты:

= n/J=1000,39

39;

п^=24; гц=\5;

n',=S;

п,=6; п,=3; гц=1

По формуле Пирсона находим наблюдаемое значение кри-

терия х1

п.

100

",-«'

(«,-<)'

(«,-«')'/"/

0,10

0,00

0,50

0,17

1,33

0,00

Х1=1Л0

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

335

Из

табл.

(7) Критических точек распределения Хн при уровне

значимости а= 0,05

числу степеней свободы к

1-2

1-2 = 5

находим критические точки распределения xL

Г^,

05;

= 9,5.

2 2

Поскольку Хн ^

Хкр

, то гипотеза о показательном распре-

делении принимается.

7.2, На основании эксперимента, состоящего из «=100 испы-

таний, в каждом из которых фиксировалось число х. появлений

некоторого события А, получено эмпирическое распределение

п.

Здесь п. — число испытаний (частота) в которых наблюда-

лось

х.

появлений события А,

Проверить гипотезу о распределении дискретной случайной

величины по закону Пуассона при уровне значимости а= 0,05.

Решение. По формуле ^^ = ^

п-х./п

вычислим выборочную

среднюю

_ _Г53-0+34-1 + 10-2 + 2-3 + 1-4;

100

= 0,64.

Принимая параметр распределения Пуассона равным

х^

= 0,64, по формуле Пуассона /^ = —:— находим вероят-

ности/^ появления /разсобытия^ при 100испытаниях

и^оч^ n^^Wff ^0 34;

О!

64^6"""

64^е""'^

и^04_е

p-!^i2l£ = 0,0233;

^^^1Лоч_£ = 0,0037.

336 Гпава 28

По формуле

п\

пР.

находим теоретические частоты:

1000,53 =

53;

п{ =

34;

п^=П; п;=2,33;

:0,37.

Наблюдаемое значение критерия Хн находим

по

формуле

Пирсона

п.

100

2,33

0,37

и.-п,

-1

0,67

0,63

(«,-«')'

0,45

0,40

(n,-n;)Vn;

0,091

0,193

1,08

Z'=1,365

Из

табл.

(7)

критических

точек

распределения X

при

уровне

значимости а

0,05 и числу степеней свободы к

= I — 2

= 5-

-2 =

находим критические точки распределения

2 2

Поскольку

Хн

Хкр,

то гипотеза о распределении случай-

ной величины

по

закону Пуассона принимается.

28.8.

Проверка гипотезы о значимости

выборочного коэффициента корреляции

Пусть

двумерная генеральная совокупность

{X,

распре-

делена

нормально.

По выборке объема п

из

этой совокупности

найден выборочный коэффициент корреляции

г^

О.

Требует-

ся,

при

заданном

уровне

значимости а, проверить

нулевую

ги-

потезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреля-

ции

:Г^=0 при конкурирующей гипотезе

Н^

г^^О,

Наблюдаемое значение критерия находим

по

формуле

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

337

т:

(1)

По числу степеней свободы к-п-2 из табл. (8) критичес-

ких точек распределения Стьюдента находим критическую точ-

ку

t^p(cc,k)

двусторонней критической области. Если |7'«|<^,,р,

то нулевая гипотеза принимается, т. е. X и

Y—некоррелирова-

ны.

Если

|Г„ I

t^^,

то нулевая гипотеза отвергается,

т.

е.

А"

и Y—

коррелированы (связаны линейной зависимостью).

8.1.

По выборке объема « =100, извлеченной из двумерной

нормальной генеральной совокупности

{X,

У)

составлена кор-

реляционная таблица.

—

«=100

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую

гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корре-

ляции.

Решение. Найдем сначала выборочный коэффициент кор-

реляции. С целью упрощения вычислений перейдем к условным

вариантам

U; =•

Х;-С

338 Гпава 28

где \ =

ц^1

;

v-^^^

— разность (шаг) между двумя со-

седними вариантами; С,,

С^—ложные

нули.

За ложный нуль принимаем варианту, расположенную при-

мерно в середине вариационного ряда, т. е. С, =44, С2=55. По-

скольку /Zy=10; А^=5, то, переписывая частоты из исходной

таблицы (среднее положение числа в клеточке), получим корре-

ляционную таблицу в условных вариантах. В правом верхнем

углу клетки записываем произведение частоты

п^^

на варианту

левом нижнем — произведение частоты

п^^

на варианту v.

(см.

табл.).

Выборочный коэффициент корреляции находится по фор-

муле

г =

Y,\,uv-nuv

^^u(^v

где

п 100

- XV 5r-3;+18f-2;+15('-i;+26-0+161+ll-2+9-3 ^^,

V -^=^—-—— •— —

-0,01,

п 100

— У"У 6-9

10-4

+ 23

7-4+1-9

, ^^

и -^==- = = 1,66,

п 100

— Х"У 5-9

18-4+15-1 + 16И-11-4+9-9 ^ ^,

V =^^ = =

-2,73,

п 100

ст„ = д/?Ч^ = л/^ббЧ^ОЗЗ/= 1,25,

o,=^v^-(vf

=^2,73-(^-0,01/ =1,65.

Складывая все числа, помещенные в правых верхних уг-

лах одной строки, записываем их в столбце U. Умножая их

-3

-2

-1

V=J,n,.v

-3

-12

-6

-16

-2

-3

-12

-4

-2

-16

-1

-10

-20

-7

-3

-1

-5

-22

-4

-2

^ = ^f^uu^

-14

-28

-9

-1

-5

^vU=\e9

^uV=\69