Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

300 гпава 27

Соответствующая этому уравнению кривая регрессии по-

казана на рис.

27.11.

У.

12 \

• I ' I ' I • I <*

4 8 X

Рис. 27.11

8.5. При изучении зависимости выработки}^ (тыс. руб.) на

одного работника торговли от величины товарооборота х (тыс.

руб.) магазина за отчетный период обследовалось л = 10 мага-

зинов торга и были получены следующие данные

У1

4,4

4,0

3,7

ПО

5,7

4,2

3,8

3,1

100

4,3

3,8

5,0

Полагая, что между признаками х

у имеет место ли-

нейная корреляционная связь, определить выборочное урав-

нение линейной регрессии, выборочный коэффициент

линейной корреляции и построить диаграмму рассеяния и

линию регрессии. Сделать вывод о направлении и тесноте

связи между признаками xviy. Используя полученное урав-

нение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение при-

знака у при X* = 60 тыс. руб.

Решение. Построим диаграмму рассеяния

(рис.

27.12).

Из диаграммы видно, что между признаками хну действи-

тельно наблюдается линейная корреляция.

Составим исходную расчетную таблицу и найдем суммы

по всем ее столбцам

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

301

д:,

110

100

760

У,

4,4

4,0

3,7

5,7

4,2

3,8

3,1

4,3

3,8

5,0

42,0

х:

6400

3025

5625

12100

7225

4900

1600

10000

2500

9025

62400

У^

19,36

16,00

13,69

32,49

17,64

14,44

9,61

18,49

14,44

25,00

181,16

^У1

352

220

277,5

627

357

266

124

430

190

475

3318,5

тыс. руб.

6 •

5 •

3 .

''•'А

' 1 1 •

А А^^

'^А

60 90

Рис, 27Л2

X, тыс. руб.

Используя полученные суммы по столбцам, вычислим ис-

ходные статистические характеристики

^ 760 ^^ ^

^ 42 ^ ^

п 10 п^ 10

ст, =2^ jc'~-(^]£x/ =62400-57760 = 4640;

302 Гпава 27

а =У/--ГУ7/=181,16-176,4

4,76;

Определим параметры у и

р^^у

уравнения линейной рег-

рессии Хг ~У'^Рх/у(^^'^) и величину г

о,У ^126,5

'^/> а^ 4640

= 4,2; р^/^,=-^ = _1-..0,027;

-0,85.

о^У _ 126,5 _ 126,5

^^ог^. 74640-4,76 148,61

Выборочное уравнение регрессии имеет вид

jT^

4,2 + 0,027(^х -

76;

или у^ = 0,027х + 2,15.

Проведем анализ полученных результатов. Расчеты под-

твердили, что между производительностью труда у и объемом

товарооборота х магазина при изучении группы предприятий

торговли наблюдается положительная линейная корреляция.

Теснота связи между признаками высокая (г = 0,85)

Подставляя х* = 60 тыс. руб. в полученное уравнение

регрессии, находим ожидаемое среднее значение производи-

тельности труда для предприятий с объемом товарооборота

60 тыс. руб.

Убо

=0,027-60 + 2,15 = 1,62 + 2,15 = 3,77 тыс.руб.

Глава 28

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

28.1.

Основные понятия

1°.

Статистической гипотезой

называется гипотеза о виде

неизвестного распределения или о характеристиках известных

распределений.

Различают нулевую Н^ (основную) гипотезу, которая выд-

вигается, и противоположную ей гипотезу, которая называется

конкурирующей Н^.

результате статистической проверки выдвинутой гипоте-

зы могут быть ошибки двух видов. Ошибка первого вида зак-

лючается в том, что отвергается правильная гипотеза, а ошибка

второго вида, что принимается неправильная гипотеза. Вероят-

ность ошибки первого вида называется уровнем значимости,

который принимается обычно равным а - 0,05 или а

0,01.

2°.

Для проверки статистической гипотезы используется ста-

тистический критерий

К,

Множество значений критерия, при ко-

торых нулевая гипотеза принимается, образует область приня-

тия гипотезы. Множество значений критерия, при которых нуле-

вая гипотеза отвергается, образует критическую область.

304 Гпава 28

Таким

образом,

если

статистический критерий принадлежит

критической области, то нулевую гипотезу отвергают,

если

ста-

тистический критерий принадлежит области принятия гипотезы,

то гипотезу

принимают.

Все

возможные значения критерия при-

надлежат некоторому интервалу.

3°.

Для определения критической области задаются доста-

точно малой вероятностью (уровнем значимости а).

Если Р{К>к^)

а,

тдск^

—критическая

точка,

отделяю-

щая критическую область от области принятия гипотезы, то К

определяет

такие

значения

критерия,

при

которых

нулевая

гипо-

теза отвергается.

Значения К>к^, где

к^

О,

определяют правостороннюю

критическую область.

Если Р{К< к^)=а

(к^

<0), то значения К определяют

левостороннюю критическую область.

Если P(K>kJ=^ (к^> 0)и Р{К< -кJ = ^, тозначе-

ния К определяют двустороннюю симметричную относительно

нуля

область.

28.2.

Сравнения двух дисперсий

нормальных генеральных совокупностей

р.

Пусть

по двум

независимым выборкам

объемами

п^,

извлеченными из нормальных генеральных совокупностей

Г,

найдены исправленные выборочные дисперсии

^ ^

и s^.

Требуется,

при

заданном

уровне

значимости а, проверить

нуле-

вую гипотезу

равенстве генеральных дисперсий нормальных

совокупностей Я^: D(X)

D(Y)

при

конкурирующей гипотезе

а) Hj:D(X)>D(Y)\Q) H/.D(X)^D(Y),

а) При

вычислении наблюдаемого значения критерия

на-

ходим отношение

большей исправленной выборочной дисперсии

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА 305

меньшей ^« =-у- По таблице критических точек распределе-

ния Фишера-Снедекора

(табл.6),

при заданном уровне значимости

а и числам степеней свободы

к=п-1,

к^-п^-\, находим кри-

тическую точку

к^

(а, kj,

/с^).

Если F<

к^

—

нулевая гипотеза

принимается, если F>

к^

—нулевая гипотеза отвергается.

б)

этом случае рассматриваем двустороннюю критичес-

кую область. Правую критическую точку

к^

{а/2,

к^,к^ нахо-

дим по таблице по уровню значимости all и числам степеней

свободы к

и к^. Если

F^<

к^

—

нулевая гипотеза принимает-

ся,

если F>

к^

—

нулевая гипотеза отвергается. При решении

практических задач достаточно находить

только одну

критичес-

кую

точку (правую).

2^.

Пусть гипотетическая (предполагаемая) дисперсия нор-

мальной генеральной совокупности равна о1,

выборка объе-

ма п из генеральной совокупности имеет исправленную выбо-

рочную дисперсию

с к-п-Х степенями

свободы.

Требуется

при

заданном уровне значимости а проверить

нулевую

гипотезу

равенстве неизвестной генеральной дисперсии а^ гипотетичес-

кому значению

а], HQ\G^ =

CTQ

при

конкурирующей гипотезе:

а) Я,

.•

а^

><7о;

б) Н^:а^а]; в) Н^:а <а].

ч^

л 2 (n-\)s^

а)

Сначала

по

формуле

Хн

i— находят наблюдаемое

значение

критерия.

Затем

по

таблице критических точек распре-

деления X (табл. 7) по заданному уровню значимости а и

числу степеней свободы к-п-\ находят критическую точку

Хкр(^'^)

•

Если Хн <

Хкр

— нулевая гипотеза принимается,

2 2

если Хн >

Хкр

—нулевая гипотеза отвергается.

б)

случае двусторонней критической области по табл. 7

находят правую ;i:^„^,('—,A:^

левую XIKP(^'"Z*^) критические

306 Гпава 28

2 2 2

ТОЧКИ.

Если

Хп,кр

Хп

Хп.кр

— нулевая гипотеза принимается,

') 2 2 2

если Хи ^

Хл.кр

или Хп ^

Хп.кр

— нулевая гипотеза отвергается.

в)

случае левосторонней критической области по табл. 7

находят критическую точку

Хкр(^'~^^^^) •

Если х1 ^

Хкр

— ну-

2 2

левая гипотеза принимается, если Хп ^

Хкр

—нулевая гипотеза

отвергается.

3°.

случае, если число степеней свободы к >30, то крити-

ческую точку х1р

(^>

^) находят по формуле Уилсона-Гильфери

где .V определяется по таблице (3) значений функции Лапласа,

используя выражение Ф(х)

—(\- 2а).

2.1.

По двум независимым выборкам объемов п^-\\ и

п^~\А,

извлеченных из нормальных генеральных совокупностей

Хи F, найдены исправленные выборочные дисперсии ^^=21,5

и si =7,6. При уровне значимости л = 0,01 проверить нулевую

гипотезу о равенстве генеральных дисперсий Н^: D(X) = D(Y)

при конкурирующей гипотезе Н^

D(X)

D(Y).

Решение. Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид

D(X) >D(Y), то критическая область—правосторонняя. На-

ходим наблюдаемое значение критерия F =—'—.

'7,6

Определяем числа степеней свободы к

=11 -1 = 10

и к^=14-

-1

13.

По таблице (6) критических точек распределения Фише-

ра-Снедекора находим критическую точку

к^^(^0,01;

10;

13^

4,1.

Поскольку

F^<

к^, то нулевую гипотезу о равенстве гене-

ральных дисперсий принимаем.

СТА

ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

Ъ^1

2.2.

В результате двух независимых измерений некоторой

величины получены значения:

а) первым методом

х^-%,1\

JC^=9,4;

Л^^^Ю;

Х^=10,7;

Х^ 9,6;

в) вторым методом

у-=^\^,\\ у^=

9,8; у^= 9,3; >^^=10,5.

Предполагая, что результаты замеров распределены нор-

мально, можно ли считать при уровне значимости а= 0,\ оба

метода одинаковой точности?

Решение. Точность методов будем определять их дисперси-

ями. Равенство генеральных дисперсий (нулевая гипотеза)

D(X)

D(Y) обеспечивает одинаковую точность мето-

дов.

Конкурирующая гипотеза имеет вид Н^

D(X)

D(Y),

т. е. критическая область двусторонняя и при нахождении крити-

ческих точек уровень значимости следует брать

два раза мень-

ше а/2 = 0,05.

Найдем выборочные дисперсии sl^s]. Для этого по форму-

лам и.

Ох.

-100;

V. =

Oj;^

-100 перейдем к условным вари-

антам

и.

-18

-6

-2

-7

-4

Таким образом, исправленные выборочные дисперсии

S"'"~(S"-)

(324 +

36+49 +

16)—441

щ-\

5-1

^84,2;

"> 1

Х^' (Х^/)"

(1 +

25)--9

4 _

«2 -1

4-1

25,58.

Здесь каждая из дисперсий увеличина в 10^ раз. Найдем

наблюдаемое значение критерия F^ = -^, т. е. отношение боль-

308

Гпава 28

шей

исправленной дисперсии

меньшей

F^ =

84,2

3,29.

25,58

По числам степеней свободы /:^=

«^-1=5-1=

4 и к

п-

-1=4-1=3 и табл. 6 находим критическую точку

/:^(0,05;4;3) = 9,12. Поскольку

F^<k^,

то нулевую гипотезу о

равенстве генеральных дисперсий принимаем,

т.

е.

считаем, что

оба метода одинаковой точности.

2.3.

Из нормальной генеральной совокупности извлечены

выборка объема « = 18 и по ней найдена исправленная выбо-

рочная дисперсия 5-^=15,3. Теоретически установлено, что гене-

ральная дисперсия

CJQ=13,1.

При уровне значимости 0,05 про-

верить нулевую

гипотезу

:а^ =<^о'

если

конкурирующая

ги-

потеза Я,

.(Т^

>13,1.

Решение.

Конкурирующая гипотеза имеет вид

Н^

:а^ >\

3,1,

поэтому критическая область правосторонняя. Найдем наблю-

даемое значение критерия

2jn-\)s^ _ П8-1Л5.3

Ли

^0 13Д

19,585.

Число степеней свободы равно

А:

= л-

= 18-1 = 17.

По таблице

находим критическую точку х1р (^>

05;

17 j = 27,6.

Поскольку

Хн ^Хкр> то нулевую

гипотезу

равенстве

гене-

ральной дисперсии гипотетическому значению 0*0 =13,1 прини-

маем.

Иначе,

различие между исправленной дисперией ^=15,3 и

теоретической ст^ =13,1 незначительное.

2.4.

Партия

изделий

проверяется по дисперсии

выборки,

ко-

торая

не

должна превышать сг^ =

0,15.

Выборка дала следую-

щие

результаты

контрольныйразмер

изделии

частота

п.

5,6

6,0

6,4

5,8

6,2

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

309

Можно ли принять партию при уровне значимости

0,05?

Решение. Примем за нулевую гипотезу равенство неизвес-

тной генеральной дисперсии cf гипотетическому значению

CTQ,

Н^ :а^

=(У1

=0,15, а за конкурирующую Я, :а^

ч^

0,15, Кри-

тическая область в этом случае двусторонняя

при определении

критических точек уровень значимости берем меньше

два раза

—

= 0,025.

Найдем исправленную выборочную дисперсию. Для этого

по формуле

IOJC,.

- 60 перейдем к условным вариантам

и.

-4

-2

Отсюда, вспомогательная дисперсия условных вариант

I«,«f--(!«,",) (32

160+16+4)--^26

и-1 19

Искомая исправленная дисперсия будет

:9,38.

^2=-%-= 0,0938.

10'

Таким образом, наблюдаемое значение критерия

-' 19

0,0938

/in

do'

0,15

= 11,88.

Число степеней свободы равно к

п-\=20-1=

19. По

таблице 7 находим правую

;|f^^^

(0,025; 19) = 32,9 и левую

;|^^^^^ (0,975; 19) = 8,91 критические точки. Поскольку

х1кр

^х1^

х1.кр*

то нулевая гипотеза принимается

партию при-

нять можно.