Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

280

Гпава 27

Построим гистограмму относительных частот для наблю-

даемых значений признака X. Для этого определим среднее зна-

чение х^ признака Z для каждого /с-го интервала по формуле

^к = 'т:(^н(^)^^в(^))^ где

х^{)<)

х^(/:)

— нижняя и верхняя

границы А:-го интервала. Полученные значения х^ внесем в

столбец 3.

Вычислим относительную частоту w^ = -^ попадания ве-

личины признака X

/с-ый интервал, где

«^

— число наблюде-

ний в /с-м интервале; п =^

п^

— общее число наблюдений. По-

лученные значения

w^.

внесем в столбец 4. Проверка X

^А:

^ •

Гистограмма относительных частот показана на

рис.

27.10.

0,3

0,1

1 I

I I

57 60 63 66 69 72

Рис. 27.10

X, см

б) Выборочное среднее х, стандартное отклонение с^ и

коэффициент вариции v признака А" определим по формулам

ы\

Л=1

Вьиислим произведения x^w^^, внесем их в столбец

и най-

дем сумму

64,13.

Вычислим отклонения х^ -х и внесем их в столбец 6. В

столбце

запишем квадраты (х^ - х / этих отклонений. Опре-

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

281

делим произведения (Xj^-xf'Wj^, внесем их в столбец 8 и пай-

= 6,38%.

дем сумму Х=16,751. Откуда ст^

=^16,751

=4,09;

4,09 100%

и =

64,13

в) Поскольку объем выборки достаточно велик

{п

>30), то

величину предельной ошибки выборки

определяем по форму-

ле А =

-—г,

где t— есть

-пая критическая точка нормаль-

ного распределения и находится из уравнения

ФГО

^ =

7 _

0,9108

= 0,4554;

г=1,7 из

табл.3.

Тогда

Д =

1.742^

0,42.

л/280

Доверительный интервал для ожидаемого среднего значе-

ния а обхвата груди

детей рассматриваемой группы определя-

ется неравенством х--А<а<х +

или 64,13-0,42<а<

64,13

0,42.

Откуда 13,71< а < 64,55.

Будем полагать, что случайная изменчивость признака

А"

описывается законом нормального распределения с пара-

метрами л и <J, и воспользуемся точечными оценками вели-

чин этих параметров: а = 64,13 и

с7

(Т^

=4,09. Используя

соотношение

Р(а<Х<^)

Ф\

-Ф

У а } ус

и учитывая нечетность функции Лапласа, имеем

Р(5%<Х<вв)

Г66-64.13

^("58-64,13^

'_ф'

4.09

ФГ0.46;

Фа5; =

0.1772

0,4332

= 0.6104.

282 Гпава 27

27.6.

Моменты, асимметрия и эксцесс

1°.

Моментом к-го порядка называется среднее арифмети-

ческое из к-\

степеней

отклонений значений признака

от

v.=(X",(^,-C)*)/n,

где

X.—наблюдаемая варианта;«.—частота варианты;

«=^ п.

—

объем выборки;

С—произвольное

постоянное число.

Если С =

О,

то момент называется

началъньш.

Нетрудно за-

метить, что начальный момент первого порядка есть выбороч-

ная средняя

Если С =

JC,

то момент называется

центральным порядка

Нетрудно заметить, что центральный момент первого по-

рядка равен нулю, а центральный момент второго порядка ра-

вен

дисперсии.

Между центральными и начальными моментами существу-

ет зависимость

^гз

Vз-Зv2Vl+2vJ^•

li,=v,-Av,v,+evy, -3v;. (1)

2^.

Асимметрия

распределения

определяется равенством

11^/а^ (аб]-оо,+оо[ ) (2)

и является показателем отклонения распределения признака X

от симметрии относительно х. При а =

О—распределение

сим-

метрично.

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

283

3°.

Эксцессом называется величина

г=^-3 (г€[-3,М)-

(3)

Эксцесс характеризует степень крутости кривой распре-

деления признака X по сравнению с кривой нормального рас-

пределения. При в =0 — распределение нормально. Если г > О,

то кривая распределения имеет более острую вершину, чем нор-

мальное; если в <

— более плоскую вершину, чем нормаль-

ная кривая.

6.1.

Дано распределение признака X

X,.

-2

-1

Найти

асимметрию

эксцесс.

Решение. Начальные моменты первого, второго, третьего и

четвертого порядков данного распределения находим, пользу-

ясь расчетами в табличном виде

-2

-1

прс.

-2

-3

прс.^

npcf

-8

-3

125

174

n,jc/

162

625

812

12 ^ ^ 56 ^ ^ 174 ^ ^ -^ ^

Отсюда v,= —=

0,6;

v,= —=

2,8;

V3 =

—

8,7;

v, =40,6.

Центральные моменты вычисляем по формулам (1):

284 Гпава 27

Ai2=

2,8-(0,6)2

=2,44;

Дз = 8,7 - 30,6-2,8 + 2(0,6)3 = 4,092;

д^

= 40,6 - 40,6-8,7+ 6(0,6)2-2,8 - 3(0,6)^ = 25,3792.

ju,

4,092

, лт^^^

Асимметрия(2)равна « = —р= = -^ =

^>0/365.

>2 (72:44)

Эксцесс находим по формуле (3)

г =

= ^^ = 4,2628.

А^2 (2,44)^

27Л.

Условные варианты. Метод расчета

сводных характеристик выборки

1°.

Равностоящими называются варианты, которые обра-

зуют арифметическую прогрессию с одинаковой разностью

между любыми двумя соседними вариантами.

Условньши

называются варианты, определяемые по формуле

«, = (х,-С)/А, (1)

где С — произвольное постоянное число.

Если вариационный ряд состоит из равностоящих вариант

с шагом

А,

то условные варианты целые числа.

Условным

моментом к-го порядка называется начальный

момент порядка к, вычисленный по формуле

L (2)

Обычный момент равен условному, умноженному на А^,

т.е.

v,=v\h\

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ 285

Центральные моменты через условные определяются равен-

ствами:

i"2=(v'2-(v',)')•л^

li,=[v\-Ъv\v\Щv\)')•h\ (3)

^i,=[v\-Av\v\+6v\{v\)'-^{v\)'\h\

Выборочная средняя

дисперсия по условным моментам оп-

ределяются, соответственно, равенствами

x=v\h

C и D

(v\-(v\f)'h\ (4)

2°.

Вычисление центральных моментов по условным целе-

сообразно выполнять методом произведений

табличном виде

по следующей схеме:

первый столбец таблицы содержит заданные варианты;

второй—заданные частоты;

третий столбец содержит условные варианты, вычислен-

ные по формуле

(1),

причем за

выбирается варианта, располо-

женная в середине вариационного ряда;

четвертый столбец содержит

А2^г/.,

пятый—п^л?, шестой —

п.(щ+1)'.

5) шестой столбец служит для контроля, т.к.

п.(и.+1)^ =

п^и?

+ 2 X пи. + п.

Если требуется найти моменты четвертого порядка, то в

седьмом столбце помещают п^л^, в восьмом — n^f и девятом

Контролем в данном случае будет выражение

S n.(ur^l)'^ = S nii/^ + 42

п^и.^+

6 2

n^u.^+

4 S

п.и.

+ п.

Если первоначальные варианты не являются равностоящи-

ми,

то для сведения их к равностоящим весь интервал, в котором

286 Гпава 27

ОНИ

заключены, делят на несколько равных частотных интерва-

лов.

Середины частотных интервалов образуют равностоящие

варианты. За частоту каждой равностоящей варианты принима-

ют сумму частот, попавших в соответствующий частотный ин-

тервал.

7.1.

Методом произведений

найти

асимметрию

эксцесс

по

за-

данному распределению выборки

•^,-

«,.

Решение. Составим расчетную таблицу. В качестве лож-

ного нуля

выберем варианту

(10),

которая имеет наибольшую

частоту и

клетке третьего столбца, которая принадлежит стро-

ке,

содержащей ложный нуль, пишем

и над нулем последова-

тельно записываем -1, -2, а под нулем последовательно

записываем 1, 2, 3. Последовательность расчета приведена в

таблице

",•

100

-2

-1

«Л-

-8

-16

«,«/

108

n^(u^•l)^

248

и,«/

-32

-16

104

«,^/

160

162

420

«/«.+;/

288

810

512

1664

Последний столбец служит для контроля вычислений

= 420+4104+6108

4-20+100

= 1664.

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

287

Найдем условные моменты

п,и.

20 У

^М^

108

/7 100 ' /1 100

п.и]

104 У

п.щ

420

« 100 ' п 100

Найдем центральные эмпирические моменты третьего

чет-

вертого порядков:

= П,04-3-1.080,2

2-а2';-2'=3,264;

i"4=(v4-4v'3v',+6v',(v',)^-3(v',)')-/z^

= (4,2-41,040,2 + 61,080.2'-За2')-2'=57,952.

Выборочная дисперсия по условным моментам равна

= (V'2-(V',)')A'=

(1,08-0,04)4

= 4.16.

Таким образом, асимметрия

эксцесс будут

42^1

0,38.

<7 л/4,16'

(У у] 4 Л 6'

27.8.

Элементы теории корреляции

1°.

массовых явлениях некоторому значению одной вели-

чины

соответствует распределение значений другой

у,

причем

с различными вероятностями.

Связь такого характера называется

статистической и,

как

288 Гпава 27

правило,

задается таблицей распределения

или

корреляционной

таблицей, связывающей значения переменных.

iX,

У,

"г;

"./

У2

"и

"2.2

"т.2

"У2

Уп

"т.п

«.«

"х

"х1

"х2

Л^

Во внутренних клетках таблицы обозначены частоты по-

явления переменной

х.

(/=

1,...,т),

соответствующей переменной

v.(/=l,...,«). Суммы чисел п.. по строкам представляют часто-

ты соответствующих значений переменной

х..

Так

^ '^ij

"^ "2,2

+•••+

«г« = V-

Суммы чисел по столбцам представляют частоты соответ-

ствующих значений переменной;^.

^ '^и = "Л2 + «2,2 •*"•••+ "^,2 = V-

причем

2-г

«^

= iL « - N.

Математическая обработка корреляционной таблицы позво-

ляет установить форму корреляционной связи между перемен-

ными

и тесноту этой связи. Найденные из этой таблицы

пары соответствующих значений у^

(у

по х) или х^, и>^(х

по

у) используются для отыскания параметров уравнений рег-

рессии.

Методы математического описания анализа корреляцион-

ных

(стохастических)

связей

между признаками рассматриваются

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ 289

разделах корреляционного и регрессионного анализа матема-

тической статистики.

Уравнение

M^(^Fj

=f (х), описывающее зависимость ус-

ловного математического ожидания случайной величины Y

при заданном X - х, называется уравнением регрессии Y на

X, а график этого уравнения на плоскости будет линией рег-

рессии. Корреляционная связь между Xи Охарактеризуется

двумя параметрами: формой связи и теснотой этой связи.

Форма корреляционной связи определяется формой линии

регрессии.

Различают положительную и отрицательную, линейную и

нелинейную корреляцию. Теснота связи характеризуется степе-

нью случайного разброса величин признака У вокруг линии рег-

рессии, чем меньше разброс, тем связь будет теснее.

2°.

В случае линейной корреляции уравнения прямых рег-

рессии имеют вид

у^

=ax'hb и

х^,

=cy-\-d,

(1)

Система нормальных уравнений для отыскания парамет-

ров а и b уравнения прямой регрессии у по х, получаемая в

результате использования метода наименьших квадратов, име-

ет вид

\aY,n,x-bb^n^=^nJ^

а для отыскания параметров с и

Й?

уравнения прямой регресии

X по у

\с^

ПуУ^

+ ^Х

^уУ =

X ^уУ ^у'

3°.

Схема расчета. Расчет удобнее вести в табличном виде: