Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)
Подождите немного. Документ загружается.
290 Гпава 27
1
X.
Е
2
«л-
iV
3
п^х
S
и^х
4
и^.х^
S
и^х^
5
Л
^Л
6
"хЛ
^".Л-
7
«с^Ух
Ъп^ху^
а) для каждого значения .v. находим сумму частот и распо-
лагаем их во втором столбце;
б) третий столбец равен произведению членов первых двух
столбцов, а четвертый равен произведению членов второго на
квадраты первого, соответственно;
в) в пятом столбце для каждого значения х. корреляцион-
ной таблицы находим среднее значение 'у^ по правилу опреде-
ления средней взвешенной
- Х^х,Д
'^
где п^ — частота появления значения х. ,у^ — соответствую-
щее значению х. при данной частоте значение переменной у\
г) шестой столбец равен произведению членов второго и
пятого, а седьмой третьего и пятого.
Поскольку
Y^n^x^Nx. Y,n^x'^Nx\
Y.^'^y^^^y^
(4)
^n^xy^^Nxy,
то после сокращения на
1SS
система (2) примет вид
ах^
-\-Ьх=
ху,
\ - и - (5)
[ах-\-Ь =
у.
Откуда уравнение прямой регрессии у по х имеет вид
Ух-У
=
Ру/х(х-^1 (6)
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ 291^
здесь р^/^ =-^= коэффициент прямой регрессии у по х,
х^-х'^
Аналогично, уравнение прямой регрессии х по у
^у-^
=
Р.г/у(У-у)^ (7)
ху-Х'у
где р^/у = -=—;;;;;— КОЭффиЦИСНТ ПрЯМОИ регрСССИИ X ПО у;
у^-у^
У=^^-'—; у =^^=^-^ ; х = '^
N N N
Ху:
; N^J^riy. (8)
Если ввести коэффициент корреляции, характеризующий
меру тесноты линейной корреляционной связи
^^^ху-ху
а а
X V
ГИ<и
(9)
то коэффициенты регрессии примут вид
Руу.
=
г — ; P^fy^r — , (10)
X у
где (7^ =
JC"
-х^, сг^ =
j;^
~у^ — дисперсии соответствующих
рядов распределений. Если г < 0,4, то считают, что линейной
корреляции между хну нет. Чем |г| ближе к единице, тем
теснее связь между переменными.
3°.
Упрощенный способ вычисления коэффициента корре-
ляции. При постоянных разностях Дх и Aj; в таблице распре-
деления вычисления значительно упрощаются, если перейти к но-
вым переменным
X-XQ У^УО
Ах Ау ^ ^
292 Гпава 27
где
XQ,
Уд
— произвольно выбираемые значения переменных х
и у (обычно их средние или ближайшие к ним).
Вычисление коэффициентов корреляции и коэффициентов
регрессии сводится к аналогичным операциям над новыми пере-
менными
W
и t; (со значительно меньшими по абсолютной вели-
чине
числами).
Так
г —
ху
" х'
ху-
/-
ху-
ху
__
1
<^/^у
-ху
-х'
ху _
•г
IV-и
V
(^u^v
Ау uv-uv
Ах
Ах
UV
Ау у2
2 —2
и —и
-UV
-v'
г
-^2sLr
Ах(Т„
^о^
Ауог„
(12)
^х/у
Новые переменные и, v помещают в исходной таблице, со-
ответственно,
и—слева
от соответствующих значений л:,а у —
над соответствующими значениями у.
Если линейная корреляция обнаруживает малую тесноту
связи г = 0,4 ~ 0,6, то следует обратиться к криволинейной кор-
реляции.
4°.
Если корреляционная зависимость между значениями х
и
у корреляционной таблицы близка к параболической, то урав-
нение регрессии примет вид
у^=ах^
+Ьх'\'С,
(13)
где параметры
а,
Ь,
с на основании метода наименьших квадра-
тов определяются из решения системы нормальных уравнений
а^пУ
-^Ь^^пУ
+с^пУ =Y,^\y^,
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ
293
5°.
в случае корреляционной зависимости гиперболическо-
го типа уравнение регрессии имеет вид
Л=« + -^ (15)
где параметры
а,
b определяются из решения системы нормаль-
ных уравнений
X
(16)
При составлении системы нормальных уравнений
(14),
(16)
необходимые данные целесообразно вычислять в табличном
виде.
8.1.
Дана корреляционная таблица
л:
\^
15
20
25
30
35
40
"у
11
2
-
-
-
-
-
2
21
3
4
4
2
-
-
13
31
-
6
10
16
8
-
40
41
-
-
3
10
12
8
33
51
-
-
-
-
5
7
12
"*
5
10
17
28
25
15
100
Найти уравнение прямой регрессии:
а)
>^
по х; б) х по у.
Решение, а) Проведем расчет в табличном виде
L^
15
20
25
"х
5
10
17
п^х
75
200
425
1125
4000
10625
Л
17
27
30,41
"х-Л
85
270
516,97
Пх-ХУх
1275
5400
12924,25
294
Гпава 27
30
35
40
2:
28
25
15
100
840
875
600
3015
25200
30625
24000
95575
33,86
39,8
45,66
193,74
948,08
995
684,9
3499,95
28442,4
34825
27396
110262,65
По данным таблицы и формулам (4) х
=
-^=*
=
30,15;
—2
J'=909,0225; у =
_XML-
[00
= 34,999; х'
1^
100
= 955,75;
Зс-7= 1055,23; ху
=
'^ " " =1102,63.
100
Коэффициент регрессии
j;
по х равен
1102,63-1055,23
Ру/х=-
=
1,014.
''" 955,75-909,0225
Таким образом, уравнение прямой регрессии упох (6) при-
мет вид у^-34,999 =
1,014('х-30,15;
или у^ =1,014
+
4,4269.
б) При определении прямой регрессии х по
>-
составим вспо-
могательную таблицу
У/
11
21
31
41
51
\^
".V
2
13
40
33
12
100
Пу-У
22
273
1240
1353
612
3500
Пу-У^
242
5733
38440
55473
31212
131100
^г
15
21,923
28,25
33,788
30,333
131,29
ПуХ^
30
284,999
ИЗО
1115,004
363,9996
3004,0026
ПуУХу
330
5984,98
37510
45715,164
18563,979
108104,12
По данным таблицы и формулам (8) х =
-^^
^
v^v
100
= 30,04;
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ
295
У = ^^^-^ =
35;
v'=1225; / = ^ ""^
=1311;
100 100
х-57 = 1051,4; ху^-^'^^^^^ =1081,0412.
Коэффициент регрессии
,x
noj равен
1081,04-1051,4
^х/у
= 0,34465.
1311-1225
Уравнение прямой регрессии
jc по
j^
(7) примет вид
х^.-30,04
=
0,34465(^>'-35Л
х;. =0,34465;;+ 17,97725.
8.2. Пользуясь таблицей распределения задачи
8.1,
найти уп-
рощенным способом коэффициент корреляции
и
уравнения пря-
мых регрессий.
Решение. Дополним заданную корреляционную таблицу со-
ответствующими значениямиuwv, полагая,
чтоXQ
=
30,
j^
= 31.
и
-3
-2
-1
0
1
2
и
15
20
25
30
35
40
">•
-2
11
2
-
-
-
-
-
2
-1
21
3
4
4
2
-
-
13
0
31
-
6
10
16
8
-
40
1
41
-
-
3
10
12
8
33
2
51
-
-
-
-
5
7
12
«.V
5
10
17
28
25
15
100
Составляем вспомогательные таблицы
296 Глава 27
и
-3
-2
-1
0
1
2
1.1
"х
5
10
17
28
25
15
100
"х"
-15
-20
-17
0
25
30
3
пУ
45
40
17
0
25
120
247
П V
-7
-4
-1
8
22
22
40
""А
21
8
1
0
22
44
96
V
-2
-1
0
1
2
. ^ .
«.
2
13
40
33
12
100
n^v
-4
-13
0
33
24
40
пу
8
13
0
33
48
102
По данным расчетов
находим:
Л/"
=
100;
ir
=
2^ =
0.03;
ЕГ =
2^ = 0,04; й^
=
Ъ!!^
=
2А1;
N N N
=
0,96.
-г Уи„и^ , , — у, ««А
у'=^^^-^^ = 1,02; ы'=0,0009; Г =0,16;
"^ =
^„
N N
Учитывая, что Дх = 5, Ау = 10 и средние значения новых
переменных
м =
0,03,
v=
0,4,
находим средние значения старых
переменных
х=Хо+мАх = 30+0,03-5 =
30,15;
У = 7О+^^АУ =
31 +
0.4-10
=
35.
Незначительное расхождение
со
значениями J и у , вы-
численных в задаче
8.1.,
связано с приближенным характером
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ
297
вычислении
и является
подтверждением правильности упрощен-
ного способа расчета.
Находим средне квадратические отклонения
(Т„
=у1и^-й^ =^/2,47-0,0009 =1,571337;
сг„
= л/у^-у' = Vl, 02-0,16 = 0,9273618.
Отсюда коэффициент корреляции
uv-Uv
0,96-0,030,4
г =
•
<^«<^<,
1,571337-0,9273618
а коэффициенты регрессии
= 0,6505635,
АУ<^„
Рх,.=-Г
Ахсг„
Ах ст..
•г =
•
10
0,9273618
5
1,571337
5
1,571337
0,6505635
= 0,7678909,
•0,6505635 = 0,5511626.
Ау<Т„ 10
0,9273618
Уравнение прямой регрессии упох примет вид:
y,-35 = 0,7678(^jc-30,15; или у, =0,7678х+11,85,
а
л:
ПОЗ'
Зс^-30,15 = 0,5511626(^7-35; или
Зс^
=0,5511626^+10,859.
8.3.
Дана корреляционная таблица
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
2
2
-
-
-
-
-
3
4
7
2
1
-
-
4
7
13
4
1
-
-
5
-
8
5
5
-
-
6
-
-
5
6
1
-
7
-
-
-
-
2
-
8
-
-
-
-
2
1
9
-
-
-
-
1
2
10
-
-
-
-
-
1
298
гпава 27
Найти уравнение регрессии у по х, полагая корреляцион-
ную зависимость параболической.
Решение. Для составления системы нормальных уравнений
(14) необходимые данные находятся суммированием, выполнен-
ным в табличном виде
X.
1
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Г
«г
13
28
16
13
6
4
80
п^х
13
42
32
32,5
18
14
151,5
п^-х:
13
63
64
81,25
54
49
324,25
п^-х^
13
94,5
128
203,125
162
171,5
772,Г25
4
п^х
13
141,75
256
507,8125
486
600,25
2004,8125
«.•Л
44
ИЗ
77
68
45
36
383
".•^•л
44
169,5
154
170
135
126
798,5
«.•^'•я
44
254,25
308
425
405
441
1877,25
По результатам таблицы система нормальных уравнений
имеет вид:
2004,8125й + 772,1256 + 324,25с = 1877,25;
772,125л+
324,25^7
+151,5с = 798,5;
324,25a +
151,5Z?
+ 80c = 383.
Решая систему, находим, что а - 0,47, Ъ =-1091,45,
с= 2069,82.
Таким образом, искомое уравнение будет
у^ =
0,47х'
-1091,45х + 2069,82.
8.4. Корреляционная таблица отражает связь между зна-
чениями
JC
и соответствующими частными средними у^
ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ
299
X
у.
"х
0-2
15
7
2-4
12
6
4-6
12
8
6-8
11
6
8-10
10
4
10-12
9
2
Найти корреляционное уравнение связи.
Решение. Прибрасывая зависимость между 'у^ и х на гра-
фике
рис.
27.11,
считаем, что наиболее близко соответствует урав-
нение гиперболы (15). Данные для составления нормальной
системы уравнений (16) находим в табличной форме.
X
1
3
5
7
9
11
I
Л
15
12
12
11
10
9
«.
7
6
8
6
4
2
33
7
2
1,6
0,856
0,444
0,182
12,083
х~
1
0,6666
0,32
0,122
0,049
0,016
8,174
П V
ХУ
X
105
72
96
66
40
18
397
«Л
105
24
19,2
9,428
4,444
1,636
164,9
Система нормальных уравнений имеет вид:
33 а + 12,083 b = 397;
12,083 а + 8,174 Z>= 164,9.
Решая эту систему, получим: а = 10,122; b = 5,21.
Искомое уравнение примет вид
7^=10,122
+
5,21