Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)
Подождите немного. Документ загружается.
320 Гпава 28
а) По таблице (3) функции Лапласа из формулы
ФГ"кр.>'
= 'гП"~^>' находится критическая точка и^^. Если
|^н
\^^кр — нулевая гипотеза принимается, если |^„
|
>
w^^
— ну-
левая гипотеза отвергается.
б)
В
случае правосторонней критической области критичес-
кая точка определяется из равенства Ф(и^р ) = а по таб-
лице (3). Если и^
<
и^р
— нулевая гипотеза принимается. Если
^н >
^кр
- нулевая гипотеза отвергается.
в) В случае левосторонней критической области находят
сначала правостороннюю критическую точку по правилу б).
Если
и^>-и^р
— нулевую гипотезу принимают, если
и^ <
"~"^р
— нулевую гипотезу отвергают.
4.1.
Партия деталей принимается, если вероятность
того,
что
деталь окажется бракованной, не превышает 0,015. Из 300 слу-
чайно отобранных деталей
6
оказались
с
браком.
Можно
ли
при-
нять партию?
Решение. По условию нулевая гипотеза имеет вид
Яо
.*
/7 = Ро = 0,015. Тогда конкурирующая гипотеза будет
Я^
.*
/7
> 0,015, т. е. критическая область правосторонняя.
Найдем относительную частоту брака
—
= —г = 0,02.
Вычислим наблюдаемое значение критерия, учитывая, что
^,=
1-/?^=1-0,015
=
0,985
^
^ГО>02~о,015;Узоо_^^^^
V0,9850,015
При уровне значимости 0,05 найдем критическую точку
w
правосторонней критической области
кр
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА
321
0(<t/^j
= l-a = 1-0,05 =
0,45.
^2
2
По таблице
(3)
функции Лапласа
и^^
=1,645. Поскольку
и^
<
и^р,
нулевая гипотеза принимается,
т. е.
вероятность бра-
ка
в
партии
не
превышает 0,015. Следовательно, партию мож-
но принять.
28.5.
Сравнение нескольких дисперсий
нормальных генеральных совокупностей
1°.
Критерий
Кочрена.
Пусть
из т,
нормально распреде-
ленных, генеральных совокупностей
Xj,X^,...,X^
извлечены
т
независимых выборок одинакового объема п. По выборкам най-
дены исправленные выборочные дисперсии
s^
,sl,...,sl^
с
одина-
ковым числом степеней свободы к-п-\.
Требуется, при заданном уровне значимости
а,
проверить
нулевую гипотезу
о
равенстве между собой генеральных дис-
персий H,:D(X,)
=
D(X,)
= .., =
D(XJ.
За наблюдаемое значение критерия примем критерий Коч-
рена, равный отклонению наибольшей исправленной дисперсии
к сумме всех исправленных дисперсий
/^
max ,^ .
По таблице критических точек распределения Кочрена
(9)
находим критическую точку G^p(a,k,m), Если
G„ <
G^^
— ну-
левая гипотеза принимается, если
G^
>
G^^
—
нулевая гипотеза
отвергается.
2°.
Критерий Бартлетта. Пусть из
w,
нормально распре-
деленных, генеральных совокупностей
Xj,X^,...,X^
извлечены
т независимых выборок различных объемов
п. (щ >4) и по
выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии
322 Гпава 28
s\,s\,...,s\.
Требуется, при заданном уровне значимости а, про-
верить нулевую гипотезу о равенстве между собой генеральных
дисперсий Яо ; D(X,)
=
D(X,)
= ... =
D(XJ.
За наблюдаемое значение критерия примем критерий Барт-
летта, равный отношению
V
^.=
7^.
(2)
С
^ 1 Р
где
V =
2,30l(klgj'-Y',JJgs]);
С = 1
+ —^ X:,f-
Ъ(т-\)
t к
к.= И.-1 — число степеней свободы дисперсии;
А:
=
V™
к. —
сумма чисел степеней свободы; s^ ~ TAi^^t^i^f — средняя
К
арифметическая исправленных дисперсий, взвешенная по чис-
лам степеней свободы.
2
По таблице
(7)
критических точек распределения X и чис-
лу степеней свободы / = m -1 находим критическую точку
B^^(aJ).
Если В^<В^р—нулевая гипотеза принимается, если
^н ^
^кр
— нулевая гипотеза отвергается.
Следует заметить, что если V <В^^, то В^ тем более мень-
ше В^р, т.к. С
>1,
и нулевую гипотезу можно принять, не вы-
числяя С.
5.1.
По пяти независимым выборкам одинакового объема
« =11, извлеченным из нормальных генеральных совокупнос-
тей,
найдены исправленные выборочные дисперсии 1,2; 1,6;
2,1;
2,5;
2,7. При уровне значимости 0,01, требуется: а) проверить
нулевую гипотезу о равенстве дисперсий; б) оценить генераль-
ную дисперсию.
Решение, а) Воспользуемся критерием Кочрена
(1).
Найдем
наблюдаемое значение критерия
2 7
G, = — = 0,267.
" 1,2 +
1,6+2,1
+ 2,5 + 2,7
СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА
323
Из таблицы (9) критических точек распределения Кочрена
по числу степеней свободы /c = w-l
=
ll-l
= 10
и числу выборок
/ =5 находим критическую точку
G^
(0,01;
10;5)
= 0,4697.
Поскольку
G^
<
G^p
, нулевую гипотезу об однородности
дисперсий принимаем.
б) Так как равенство дисперсий установлено, то в качестве
оценки генеральной дисперсии возьмем среднюю арифметичес-
кую исправленных дисперсий
1,2 + 1,6 +
2,1
+ 2,5 + 2,7
D=-
= 2,02.
5.2. По трем независимым выборкам объемов п = 8, п=\2,
п^=13,
извлеченных из нормальных генеральных совокупнос-
тей,
найдены исправленные выборочные дисперсии, соответ-
ственно, 2,2; 2,6; 4,1. Требуется, при уровне значимости 0,01:
а) проверить гипотезу об однородности
дисперсий;
б) оценить ге-
неральную дисперсию.
Решение, а) Расчеты удобнее выполнять в табличном виде.
Заполним расчетную таблицу
1
НОМф
выборки
i
1
2
3
I
2
объем
выборки
«,
8
12
13
3
число
степеней
свободы
^,
7
11
12
к=30
4
исправленные
дисперсии
si
2,2
2,6
4,1
5
Ksl
15,4
28,6
49,2
93,2
6
Igs]
0,334
0,404
0,613
7
kjgs]
2,338
4,444
7,356
14,138
8
1
0,143
0,091
0,083
0,317
Из таблицы находим s^
=—^k.s]
=ЪЛ\; /g^^ =0,486;
324 Гпава
28
К
=
2,303(^^/g5'-]£^t./g5f;
=
2,303(^30
0,468-14,138;
=
1,018.
Из таблицы
(7) по
уровню значимости 0,01
и
числу степе-
ней свободы /-1=3-1=2 находим критическую точку
4Г0,01;2;
=
9.2.
Поскольку
V
<
х1р,
то при С
> 1
наблюдаемое значение
критерия
(2) В^ тем
более меньше
Хкр ^
нулевая гипотеза
об
однородности дисперсий принимается.
б)
Так как
однородность дисперсий установлена,
то
гене-
ральную дисперсию будем оценивать по формуле средней ариф-
метической исправленной дисперсии
]_
к
D,=s'=-J^k,sf=3M,
28.6.
Проверка гипотезы
о
нормальном
распределении генеральной совокупности
V.
Пусть эмпирическое распределение задано последова-
тельностью равностоящих вариант
и
соответствующих им частот
X.
1
п.
1
^7
«У
'^2
«2
X
т
п
т
Требуется, при заданном уровне значимости
а,
проверить
нулевую гипотезу
о
том, что генеральная совокупность
X
рас-
пределена нормально.
За наблюдаемое значение критерия примем критерий
Пирсона
,_^(п^^
О)
/LH
/
{
где
щ-—(р(и^)
—
теоретические частоты;
п —
объем
вы-
СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА 325
борки; h — разность между двумя соседними вариантами,
9(щ)-'-г^^ " — функция Лапласа табл. (1);
и.=-^—-;
х^
— выборочная средняя; а^ — выборочное среднее кйад-
ратическое отклонение.
2
Из таблицы критических точек распределения X по чис-
лу степеней свободы к = т-3, где т — число групп выборки,
находится критическая точка Хкр
(^>
^)'
Если Хн ^
Хкр,
то нулевая гипотеза о нормальном распре-
делении принимается.
2 2
Если Хн >
Хкр
— нулевая гипотеза отвергается.
2°.
Пусть эмпирическое распределение задано последова-
тельностью интервалов одинаковой длины и соответствующих
им частот
(х,,х,) (х,,х,) ... (x^^x^J
Требуется при заданном уровне значимости а, проверить
нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность X рас-
пределена нормально.
За наблюдаемое значение критерия принимают критерий
Пирсона
(1).
Для этого сначала методом произведений вычисля-
ют выборочную среднюю х* и выборочное среднее квадрати-
ческое отклонение а^, принимая в качестве вариант х] среднее
арифметическое концов интервала х*=-^^ '—, Пронормиро-
вав совокупность X, переходят к совокупности Z, вычисляя по
• —•
X
—
X X
—
JC
формулам z^ =
-^—^—,
z^^j = -^^ концы интервалов и по-
лагая, что наимень1пему
значению*
Zj
соответствует ~оо, а наи-
большему 2^ соответствует оо.
Вычисляя по формуле р.=Ф(2.^^-Ф(г.) вероятности по-
падания X в интервалы
(x.,x.^J,
гдеФ(^7^ —функция Лапла-
326
Гпава 28
са, находят теоретические частоты п'
=
п-р., здесь п — объем
выборки, т. е. сумма всех частот.
Из таблицы критических точек распределения X по числу
степеней свободы к-т-Ъ, где т —число интервалов выбор-
ки,
находится критическая точка Хкр(^>^)
•
Если х1 <
х1р ?
то
нулевая гипотеза
о
нормальном распределении принимается. Если
х1 >
х1р
— нулевая гипотеза отвергается.
6.1.
Задано эмпирическое распределение выборки объема
«=100:
X.
1
п.
1
4
3
6
4
8
13
10
13
12
15
14
13
16
11
18
12
20
10
22
4
24
2
Проверить при уровне значимости 0,05, справедлива ли ги-
потеза о нормальном распределении генеральной совокупности.
Решение. Методом произведений находим выборочную
сред-
нюю х^ и выборочное среднее квадратическое отклонение сг^.
Для этого составим таблицу
1
X.
1
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
2
п.
1
3
4
13
13
15
13
11
12
10
4
2
п=100
3
и.
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4
пи
1 (
-15
-16
-39
-26
-15
0
11
24
30
16
10
Х«,«,=-20
5
п.
и^.
1 1
75
64
117
52
15
0
11
48
90
64
50
Х«,«,'=586
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА
327
Вычислим условные моменты первого
и
второго поряд-
ков:
•
^
п,и.
20 * ^
ri.u^
586
'
п \00 ^ п 100
Поскольку
шаг
равен
/г = 6-4 = 2 и
ложный нуль
С=
14, то
Х^=М;А + С=:-0,2-2 + 14 = 15,6.
Теоретические частоты находим, пользуясь
табл.
1,
по
фор-
муле
п-
=
—(р(и.)
в
табличном виде
ст.
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X.
1
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
и
-'"'''''•
'•
СТ.
-2,41
-1,99
-1,58
-1,16
-0,75
-0,33
0,08
0,50
0,91
1,33
1,74
(р(и.)
0,0219
0,0551
0,1145
0,2036
0,3011
0,3778
0,3977
0,3521
0,2637
0,1647
0,0878
'
100-2 . .
'
4,82 ^ '
0,91
2,29
4,75
8,45
12,49
15,67
16,50
14,61
10,94
6,83
3,64
Критерий Пирсона (1) ищем
в
табличном виде
328
Гпава 28
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[_I
п.
3
4
13
13
15
13
11
12
10
4
2
0,91
2,29
4,75
8,45
12,49
15,67
16,50
14,61
10,94
6,83
3,64
щ-щ
2,09
1,71
8,25
4,55
2,51
-2,67
-5,50
-2,61
-0,94
-2,83
-1,64
(«,-«')'
4,37
2,92
68,06
20,70
6,30
7,13
30,25
6,81
0,88
8,01
2,69
4,80
1,28
14,33
2,45
0,50
0,45
1,83
0,47
0,08
1,17
0,74
;f'= 28,10
Таким образом, ;t;^ = 28,10 . Из таблицы критических то-
чек распределения ')(^ (табл.
7)
при уровне значимости а= 0,05
и чисел степеней свободы к-т -3
=
11-3 = 8 находим
4Г0,05;8;
=
15,5.
2 2
Поскольку Хн ^
Хкр •>
то гипотезу о нормальном распреде-
лении генеральной совокупности отвергаем.
8.2. Задано эмпирическое распределение выборки объема
«=100:
^i '-^i^l
п.
1
1-1
4
7-12
16
12-17
50
17-22
15
22-27
10
27-32
5
Проверить при уровне значимости
0,025,
справедлива ли ги-
потеза о нормальном распределении генеральной совокупности.
Решение. Эмпирическое распределение задано в виде пос-
ледовательности интервалов одинаковой
длины.
При вычисле-
нии выборочной средней и выборочного среднего квадратичес-
СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА
329
КОГО
отклонения методом произведений перейдем от данного
*
1
,
интервального распределения по формуле х.
=
--(х^
+ х^^,)
к
распределению равностоящих вариант
*
X.
п.
1
4,5
4
9,5
16
14,5
50
19,5
15
24,5
10
29,5
5
Находим выборочную среднюю х*
и
выборочное среднее
квадратическое отклонение о*^. Составим таблицу
*
4,5
9,5
14,5
19,5
24,5
29,5
Е
п.
1
4
16
50
15
10
5
/1=100
и
1
-2
-1
0
1
2
3
пи,
-8
-16
0
15
20
15
5;л,м,=26
"/",'
16
16
0
15
40
45
X«,«f=132
Условные моменты первого
и
второго порядков
M;=S^
= ^ =
0.26;
М; =2^
=
1^
=
132.
и 100 'и 100
Так как шаг
равен А
= 9,5 -
4,5
=
5 и
ложный
нуль
С
=14,5,
то ]с;=м;л
+ С
=
0,26-5+
14,5
=
15,8.
<^<,=
J[^2-(</]^' =^(l,32-0,26')-25 =5,123.
По формулам ^/ =
—^;;—,
^,>i "^
- найдем интерва-
лы
(^z.,z.^,^,
полагая, что наименьшему значению первого ин-