Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

340 Гпава 28

затем на варианты v и складывая, будем иметь

Ху^^~Х^"^

-i/y=169.

целью проверки, складываем

все

чис-

ла,

помещенные

в левом

нижнем углу одного столбца,

записы-

ваем

их в

строке V. Умножая

их

затем на варианты и

склады-

вая,

будем иметь тот

же

результат 2а

^ =

169.

Таким образом, искомый коэффициент корреляции равен

169-1000,32а01_^^_.

1001,251,65

Найдем теперь по формуле

(1)

наблюдаемое значение кри-

терия

г. ="#^

14.19.

По

табл.

(8)

распределения Стьюдента для двусторонней

кри-

тической области при числе степеней свободы к-

100

= 98

и уровню значимости а = 0,05 находим критическую точку

^^^(^0,05,98^

= 1,665 двусторонней критической области. По-

скольку

Т^

t^p,

то нулевая гипотеза о равенстве нулю гене-

рального коэффициента корреляции

г^

отвергается,

т.

е.

X и

Y коррелированы.

28.9.

Однофакторный дисперсионный

анализ

1°.

Одинаковое число испытаний на всех уровнях. Счита-

ем,

что генеральные совокупности

Х^,Х^..,Х^

нормально рас-

пределены

групповые генеральные дисперсии хотя

неизвес-

тны, но одинаковы. Требуется установить, какое влияние ока-

зывает некоторый качественный фактор

имеющий п уров-

ней

F^,Fy...,F^

на количественный признак X, т. е. проверить

нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

341

M(XJ = М(Х2) =... = М(Х^), если уровень значимости ра-

вен а и на каждом уровне произведено по одинаковому чис-

лу испытаний т. Результаты испытаний значения

x^j

приведе-

ны в таблице, где / — номер испытания (/ =1,2,..., т), j —

номер уровня фактора (/=1,2,..., w)

Номер

испытания

ep.j

Уровни фактора

ХгрЛ

Рг

•^12

•^22

^т2

^гр.1

...

тп

^гр.п

Для решения поставленной задачи сначала вычисляют об-

щую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от

общей средней

^o6u,=YiL(^4-^)'> (1)

1=1 /=1

факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от

общей средней, которая обусловлена воздействием фактора и

характеризует рассеяние «между группами»

Vm^^E^'^^p/-^/

(2)

остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значе-

ний группы от

своей

групповой

средней,

которая обусловлена слу-

чайными причинами

характеризует рассеяние «внутри группы»

342 Гпава 28

S = S -S

ост общ факт

i=\ /=1 i=]

Для практических вычислений общей и факторной сумм

удобнее пользоваться следующими формулами

^общ ~^^'""

У=1

тп

/=1

факт

/•='

У=1

(3)

где ^ =У]^^ ^1 —сумма квадратов наблюдаемых значений при-

знака на уровне /^; Rj=^"'_

X.J

—сумма наблюдаемых значе-

ний признака на уровне Fj.

Если наблюдаемые значения x.j — десятичные дроби с /

знаками после запятой, то по формуле

y^j

= 10

x^j

-с удобнее

перейти к целым числам, где с — примерно среднее значение

чисел 10 x^j. В этом случае факторная и остаточная дисперсии

увеличатся в 10' раз, однако их отклонение не изменится.

Если наблюдаемые значения x.j сравнительно большие чис-

ла, то для упрощения вычислений пользуются формулой

yij - ^ij "^

где с — примерно среднее значение x.j. В этом

случае формулы (3) будут

5o.. = lQy-—ST;

/=1

тп

/=1

факт

/=i

тп

/=1

(4)

где

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА 343

Факторная и остаточная дисперсии находятся по формулам

"^факт

2 _ ^ост

факт

^ * ост / i \ ' (Ь)

п-\

п(т-\)

где /1-1

п(т-1) — соответствующее число степеней свободы.

Используя критерий Фишера-Снедекора

(28.2),

находим на-

блюдаемое значение критерия

р факт

ост

и сравниваем его с

F^^

табл. 6. Если

/; <

F^^

— групповые сред-

ние различаются незначительно и нулевую гипотезу принимаем,

если

F^p

— отвергаем.

2°.

Число испытаний на различных уровнях неодинаково.

Пусть число испытаний на уровне F^ равно т^, на уровне

F,—

т^,..., на уровне F^— т^. Общая сумма квадратов отклонений

находится как и в случае одинакового числа испытаний на всех

уровнях. Факторная сумма квадратов отклонений находится по

формуле

,Гп V

факт

/=1

(6)

где

к =

т^+

т^+.,.+

т^^

— общее число испытаний.

Остаточная сумма квадратов отклонений равна S^^^

^общ -

^факт

дисперсии, COOTBCTCTBCHHO

фа'<^т

2 _. ^ост /^уч

факт

л * ост i * \')

Дальнейшие вычисления такие же, что

для одинакового

числа испытаний.

344

Гпава

9.1.

На каждом из трех уровней фактора F произведено по

5 испытаний (табл.). Предполагая, что выборки извлечены из

нормальных совокупностей

одинаковыми

дисперсиями,

прове-

рить

нулевую гипотезу о равенстве групповых средних

х^^.^,

если

уровень значимости а =0,05.

Номер испытания

^гр.}

Уровни

фактора

48,6

Рг

60,2

Решение. С целью упрощения расчета перейдем к умень-

шенным величинам г/,у = х.-~с = х.^.-56, где с- 56 — общая

средняя. Расчетная таблица примет вид

Ti=Y.y4

Qi=^yl

Уп

-18

196

У1

324

196

665

Уп

-5

-1

441

У1

441

487

Рг

Уп

-1

900

У1

121

276

Итоговый

столбец

IT;.=64

XQ/=1428

5^7;.'=1537

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА

345

Используя итоговый столбец (табл.) и учитывая, что число

уровней фактора п = 3, а число испытаний на каждом уровне

m = 5, по формулам (4) находим

5-.=lQ/-f7

Х^;.

/=1

тп

/=1

= 1428-—64'=1154,93;

факт

=^±п-Мъ-г,

т^

тп

/=1

= -1537-—64^=34,33.

5 15

Отсюда, остаточная сумма квадратов отклонений

^ост "= ^общ

^факт ~

120,6.

Учитывая, что число степеней свободы равно w-l =

=3 -1=2;

(m -1) = 3 (5 -1) =12, находим по формулам (5) фак-

торную

остаточную дисперсии

факт

rt-1 ~

34.33

ост

1154,93

= 17,16;

^96,24.

п(т-\) 12

Таким образом, наблюдаемое значение критерия

„2

F=-

факт

= 5,61.

При уровне значимости а = 0,05 и числу степеней свобо-

ды А:^=2, к=\2 из табл. (6) находим критическую точку

/;р('0,05;2;12^ =

3,88.

Поскольку /;> 7;^, то нулевую гипоте-

зу о равенстве групповых средних отвергаем.

9.1.

Произведено

испытаний, из них

на первом уровне

фактора,

4—на

втором и

на третьем

(табл.).

Предполагая, что

выборки извлечены из нормальных совокупностей

одинаковы-

346 Гпава 28

МИ

дисперсиями, проверить нулевую гипотезу о равенстве груп-

повых средних

^гр.}^

если уровень значимости а =0,05.

Номер

испытания

^ep.j

Уровни фактора

0,21

0,23

0,31

0,38

0,41

0,308

Рг

0,37

0,39

0,41

0,45

0,405

0,32

0,35

0,37

0,347

Решение. Пользуясь формулой

ijij = lO^x.j

-с , где с = 35,

перейдем к целым числам и составим таблицу

к/=Х^.7

к=1у1

JL.^

Уп

-14

-12

-4

-21

441

yf.

196

144

401

Р2

Уа

484

У1г

100

156

Уп

-3

-1

У1

Итоговый

столбец

1^=0

SQ-570

Используя итоговый столбец таблицы

учитывая, что

А:

= 12

и формулу (6), находим общую и факторную суммы квадратов

отклонений

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА 347

So..

=1^у-^(17;)'=570-0

570.

S^_ =ll- + -ll-4-^-1(7.) = —

--0 = 209,53.

Отсюда, остаточная сумма квадратов отклонений

^ост

^ббщ ^^факт "=570

- 209,53 =360,47. Учитывая, что число сте-

пеней свободы равно:

к^=

w -1 =5 -1

= 4;

к^=

к-п =12-5 = 7,ио

формулам (7) находим факторную и остаточную дисперсии

7 \акт _ 209,53

^ п-1 4

,i.=^,MiZ

= 51,5.

ост л « '

^-дг 7

Таким образом, наблюдаемое значение критерия

f^=^

^l:^

l02.

^факт Ы, Ь

При уровне значимости

ос =

0,05 и числу степеней свободы

/:^= 4; /:^= 7 из табл. (6) находим критическую точку

F^p

(0,05;4;7) = 4,12. Поскольку

F^^,

то нулевую гипотезу о

равенстве групповых средних принимаем.

28.10.

Разыгрывание дискретной

случайной величины. Метод Монте-Карло

(статистических испытаний)

V. Метод Монте-Карло состоит в отыскании значений а

некоторой случайной величины X, иногда его называют мето-

дом статистических испытаний или методом разыгрывания слу-

чайной величины. Суть метода заключается в моделировании

(розыгрыше) случайной величины посредством определенной

348

Гпава 28

процедуры, которая дает случайный результат. Поскольку «ро-

зыгрыш» проводится большое число раз, то набирается статис-

тический материал, который позволяет с определенной точнос-

тью моделировать случайное явление.

Метод статистических испытаний позволяет установить

связь между вероятностными характеристиками различных слу-

чайных явлений, например, между математическими ожидания-

ми и величинами, являющимися результатами аналитических

решений, т. е. значениями интегралов, решениями краевых за-

дач дифференциальных уравнений и т. д.

2°.

Под

розыгрышем

случайной величины А" будем понимать

получение последовательности

ее

возможных значений

Xi.

Дис-

кретная случайная величина X задана законом распределения

х^

^п

Рп

Пусть непрерывная случайная величина R равномерно рас-

пределена в интервале (0,1). Обозначим за fj (j =

1,2,...^

ее воз-

можные значения (случайные числа). Разобьем интервал (0,1)

оси

От

точками Pi, Д +

р2,

А +

р2 "*"

Рз»•

•

^^ ^ частичных интерва-

лов.

Если выбранное случайное число г попадает в /-тый час-

тичный интервал, то разыгрываемая дискретная случайная ве-

личина принимает значение х^.

Если требуется разыграть испытания, в каждом из кото-

рых вероятность появления события А равна/?, а непоявления

А равна

- Р , то для случайных чисел /} < р событие насту-

пило,

а для /} > р не наступило.

10.1.

Разыграть

значений дискретной случайной величи-

ны X, заданной распределением

0,21

0,17

0,62

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА 349

для случайных чисел г.: 0,65; 0,48; 0,11; 0,76; 0,74; 0,17; 0,36.

Решение. Разобьем интервал (0,1) точками

0,21;

0,38 на 3

частичных интервала

(О

- 0,21), (0,21 - 0,38), (0,38 - 1).

Случайное число

г^

= 0,65 принадлежит третьему частично-

му интервалу, поэтому разыгрываемая дискретная случайная

величина принимает значение

х^

=14. Число

г^

=0,48 попадает

также в третий интервал, следовательно, х^ = 14 . Аналогично:

^3 =

х^ =

14;

х^ =

14;

х^ =

х^ = 6.

10.2.

Разыграть

испытаний, в каждом из которых вероят-

ность появления события А равна 0,63, если случайные числа

г: 0,61; 0,19; 0,69; 0,4; 0,06.

Решение. Считаем, что при г <0,63 событие А имеет мес-

то,

а при г.

0,63 наступает противоположное событие А. Ис-

комая последовательность событий в данном случае имеет вид

10.3.

Заданы вероятности трех событий, образующих пол-

ную группу:

р,=ЯГД; = 0,24; р,=ЯГ4; = 0,15; Рз

=^Мз>>

0,61.

Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется

одно из трех заданных событий при условии, что случайные чис-

ла равны г: 0,68; 0,93; 0,59; 0,14; 0,16.

Решение. Разобьем интервал (0,1) на три частичных интер-

вала (О - 0,24), (0,24 - 0,39), (0,39 - 1). Поскольку случайное

число г^ =

о,

принадлежит третьему интервалу, то появляется

событие А

Аналогично находятся остальные события. Таким

образом, искомая последовательность событий имеет вид:

^т^у ^^у Ау А^, /\^.

10.4.

События А и В независимы и совместны. Требуется

разыграть

испытаний, в каждом из которых вероятность появ-

ления события А равна 0,4, а события В равна 0,7, если случай-

ные числа г: 0,02; 0,29; 0,53; 0,68; 0,70.