Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

260 Гпава 27

Размахом

вариации

называется разность между наибольшим

и наименьшим значениями признака.

4^.

Если совокупность разбита на группы, то групповой

дисперсией

называется дисперсия значений признака некоторой

группы, относительно

ее

групповой средней

д=(1«,(^,-^Г )/!«,•

Если известны дисперсии каждой группы, то внутригруп-

повой дисперсией называется средняя арифметическая диспер-

сия,

взвешенная по объемам групп.

где N— объем всей совокупности; N. — объем группы.

Если известны групповые средние

общая

средняя,

то

ме^н:-

групповой

дисперсией

называется дисперсия групповых средних

относительно общей средней

где J —общая средняя.

Общей дисперсией называется дисперсия признака всей

совокупности относительно общей средней

Яб=(Х'^Д^/-Ю'+Х'^/и~Ю')/(^ +

'^)-

(8)

3.1.

Дана выборочная совокупность распределения

"-•

Найти: а) выборочную дисперсию и среднее квадратичес-

кое отклонение;

б)

среднее абсолютное отклонение.

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

261

Решение, а) Найдем общую среднюю

5И-25-3 + 20-4+10-8 240

X —•

= 4.

5 +

+ 20+10 60

Выборочная дисперсия по формуле

(2)

равна

_ 5(1-4)'+ 25(3-4)'+ 20(4-4)'+ 10(8-4)'_ 23

60 6

Дисперсия, найденная по формуле (3), дает тот же самый

результат

D =

5-1Ч25-ЗЧ20-4Ч10-8' .2 23

-4^=—.

Среднее квадратическое отклонение равно

(Т

= J— =

1,95789.

б) Для нахождения среднего абсолютного отклонения вос-

пользуемся формулой (6)

5 =

5|1-4|

+ 25|3-4| + 20|4-4|

10|8-4| _ 4

60 "З'

3.2. Совокупность разбита на две группы

.X.

«-•

"*''•

'"/

Найти: а) групповые дисперсии; б) внутригрупповую дис-

персию; в) межгрупповую и общую дисперсию.

Решение, а) Найдем групповые средние:

х=(^п.х.)/^п.={\'1 +

6-4-\-3

5)/{1 +

6 + 3)

= 4;

У =

(Х'^л)/1'^.=(Ы + 3.3 +

2-4)/(1

+ 3 +

2) =

262

Гпава

Искомые групповые дисперсии:

Д=(]^ПХ^-Х)')/А1

(1(1-4)%6(4~4)'+3(5-4)')/Ш

^;-(1^Ь-Я')/^

(К1~3)^3(3~3)Ч2(4-3)^)/6^

б) Внутригрупповая дисперсия равна

A,^=ri01.2

6U/16 = |.

в) Найдем общую среднюю

_ М +

6-4+3-5

+ Ы+3-3 + 2-4 29

П+б+з;+п+з+2;

Межгрупповая дисперсия равна

D..

гр

^ 29 \

4-—

+ 6

Гз_29^'

/16 =

64'

Находим общую дисперсию по формуле (8)

Я.=

^ 29 V

Г, 29^'

5-^

"i'

/16 =

64'

3.3.

В результате измерений некоторой физической ве-

личины одним прибором получены следующие значения 80,

83,

87, 89, 91. Найти выборочную и исправленную диспер-

сии ошибок измерений.

Решение.

Найдем сначала выборочную среднюю

_ „^ 0+3+7+9+11 _,

х=80+ =86

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

263

Выборочная дисперсия, вычисленная по формуле (2),

будет равна

д ^ X (^i -

^>''

("80

- 86/ +

(%Ъ

- 86/ +

Г87

- 86/ ^

п 5

(^89-86/+(^91-86/

По формуле (5) найдем исправленную дисперсию

п-\

3.4. Найти исправленную выборочную дисперсию по задан-

ному распределению

X,.

151

155

159

Решение. Переходя к условным вариантам и. =х^-155,

получим распределение

-4

Исправленную выборочную дисперсию условных вариант

находим по формуле (7)

" 9

216

50+316-

(2(-4) + 50+3-4)

392

45 •

Поскольку искомая дисперсия равна дисперсии условных

вариант, то

s'^sl

392

45 '

3.5.

Найти

исправленную выборочную дисперсию по заданно-

му распределению

264 гпава

«,•

0,02

0,03

0,07

Решение.

целью упрощения расчетов переходим

распределении

целым числам посредством условных

ва-

риант

и-

ЮОх.

"'•

Исправленную выборочную дисперсию условных вариант

находим

по

формуле (7)

52=1^2-4 + 5-9 + 3-49-

Г2-2

5-3+3-7/

•)••

•

Искомая исправленная дисперсия находится по формуле

40 1

о2

^и

=-—•

с'

100'

2250'

3.6.

результате испытания некоторого параметра полу-

чено распределение

170-190

190-210

210-230

230-250

250-270

Найти

дисперсию,

коэффициент вариации

размах вари-

ации признака.

Решение. Необходимые вычисления приведем

виде таб-

лицы

интервал

170-190

190-210

«,

середина интервала

180

200

w,.=Vr-220

-40

-20

«Л

-400

-220

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

265

210-230

230-250

250-270

сумма

220

240

260

180

320

-120

=..+i^=

220-2,4 = 217,6.

D =

Искомую выборочную дисперсию находим

по

формуле

101600+11-400+9-400+81600

-2,4'=730,34.

Среднее квадратическое отклонение равно

=27,0248.

Отсюда коэффициент вариации

—100%

= 12,419,

а ее размах R

x^^-

jc^.„ = 270 -170 =

100.

27.4. Мода и медиана

1°.

Модой называется варианта с наибольшей частотой,

т. е. наиболее часто встречающееся значение признака.

Если интервалы вариационного ряда имеют постоянную

ширину

Л,

то мода признака определяется

по

формуле

Мо=х^+Л

^ж ^^п, 1

K-«m-l)+K-«m+l)'

(1)

где

х^

— начальное значение модального интервала,

п^

— наи-

большая частота, п^^ и n^^j — частота интервала предшеству-

ющего

последующего модальному.

266

Гпава 27

2°.

Медианой называется варианта, которая делит статис-

тическую совокупность на две равные части по числу вариант.

Медиана признака в случае интервального распределения опре-

деляется

по

формуле

М =

(2)

где

— объем статистической совокупности, y^j — накопленная

частота до ^-го интервала, п^ — частота е-то интервала, е

номер медианного интервала определяется из условия 7e-i ~

7е+1

> Т'

х^

—

начальное значение медианного интервала.

4.1.

Дано интервальное распределение

8-11

11-14

14-17

17-20

20-23

23-26

Найти моду и медиану.

Решение. Наибольшей частоте п,„ = 32 соответствует ин-

тервал

14—17.

Воспользуемся формулой

(1).

Так как

л:

= 14;

«т-; = 11 и «^^^ = 18, то

М„=14+3-

32-11

= 14+18 = 15,8.

(32-11)+(32-18)

Для нахождения медианы строим кумулятивный ряд

8-11

11-14

14-17

17-20

20-23

23-26

л с

в нашем случае ~ =

44,5,

поэтому медианным интерва-

лом является интервал 14-17. Медиану находим по формуле (2)

44 5-16

М,^14

+ 3

^ ^16,67.

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ 267

27.5.

Доверительные интервалы

для средних. Выборочный метод

1°.

Пусть требуется оценить по данным выборки некото-

рый параметр. При выборке малого объема пользуются то-

чечными и интервальными оценками. Точечной называется

оценка, которая определяется одним числом. При точечном

оценивании предполагается, что истинное значение парамет-

ра генеральной совокупности приблизительно равно соответ-

ствующей выборочной характеристике. Так, выборочное сред-

нее X служит точечной оценкой величины генеральной сред-

ней х^ и т. д. Под интервальной оценкой будем понимать

интервал, который покрывает оцениваемый параметр. Интер-

вал, покрывающий оцениваемый параметр с заданной надеж-

ностью

(доверительной вероятностью), называется довери-

тельным.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания

а нормально распределенной величины

по

выборочной средней х

при

известном среднем квадратриеском отклонении а генеральной

совокупности определяется неравенством

x—t—r=<a<x-)rt—j=, п\

где п — объем выборки, / — значение аргумента функции Лап-

ласа Ф(г) = -. Значение t определяется по таблице функции Лап-

ласа по заданной надежности у-

Точность оценки или средняя ошибка выборки, с которой

доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а,

определяется по формуле

d = ta/^. (2)

Доверительный интервал для оценки математического ожи-

дания нормального распределения при неизвестном среднем

268 Гпава 27

квадратическом отклонении о генеральной совокупности по вы-

борочной средней X и объеме выборки/7 >30 определяется не-

равенством

^ ^

x—t

—F=^<

а < X +t —т=-,

'4^ '^ (3)

где

— исправленное среднее квадратическое отклонение, зна-

чение t находится при заданных пи у по таблице (4).

Доверительные интервалы для оценки среднего квадрати-

ческого отклонения а нормального распределения количествен-

ного признака Z генеральной совокупности

надежностью у по

исправленному выборочному среднему квадратическому откло-

нению

определяются неравенствами

s(l-q)<G <s(\-i-q) при q<l; (4)

0<a<s(l

q) при q>l, (5)

где значения q находятся по таблице (5) по заданным пи у.

2°.

Выборочный метод позволяет по данным выборочного

обследования определить признаки, характеризующие генераль-

ную совокупность.

Пользуясь теоремой Лапласа

Р(\Х-х\<6)

2Ф\-\ (6)

где X — генеральная средняя,

^г

— средняя квадратическая

ошибка выборки, можно найти:

1) какова вероятность того, что отклонение генеральной

средней от выборочной

не

превышает заданного значения

2) при каком объеме выборки п выполнима заданная точ-

ность

того,

что отклонение генеральной средней X от выбороч-

ной X не превышает определенного числа;

3) в каких границах заключена генеральная средняя, если

известна вероятность

того,

что отклонение генеральной средней

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

269

ОТ

выборочной удовлетворяет соответствующему отклонению.

Для случайной повторной выборки при определении средней при-

знака величина ii определяется

по

формуле

л/и

(7)

где si —дисперсия случайной величины в

выборке;

для беспов-

торной выборки

.2/

/i=-

(8)

где 1 необследованная часть генеральной совокупности.

Для случайной повторной выборки при определении доли

признака

для бесповторной выборки

\w(\-w)

(9)

М =

\w(\

—

w)(^

1-^

(10)

где

1-W — доли данного и противоположного признака в

выборке.

Если требуется определить необходимый объем выборки с за-

данной точностью

Р=2Ф(г),

то разрешая формулы

(7),

(8) относитель-

но п для повторной выборки получим

п =

для бесповторной

Nt'sl

N5^+rs

2„2

(И)

(12)