Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

230 Гпава 26

Функция распределения по формуле (4) будет

\ С^ СУ 1 С^ 1^

F(x,y)

= —\

Ш1(х +

y)dxdy- — J cos(x^y)\ dx-

Z, Z, 0

\ ex 1 1^

= —J (co^(x-\-y)-cosx)dy-—(^т(хЛ-у)--'^тх)\ =

Z. Z, 0

= —

f'sin

+ sin

- %\xv(x+y)).

K K\

2 2J

10.6.

Внутри прямоугольника x = 4, x = 6,

з;

10,

15,

фун-

кция /(^jc,;;jсохраняет постоянное значение и f(x,y)

0 вне

этого прямоугольника. Найти плотность совместного распреде-

ления и функцию распределения системы.

Решение. Поскольку функция f(x,y) сохраняет постоян-

ное значение внутри прямоугольника, то обозначая ее за С, бу-

дем иметь

откуда

5C£V = 2-5C =

и С = 0,1

{

ОД внутри прямоугольника

О вне прямоугольника.

Функцию распределения находим по формуле (4)

F(x,y)=[ V QAdxdy

OA[ (y-\(i)dx

QMy-\0)(x-A).

JA JlO J4

10.7.

Плотность совместного распределения двумерной слу-

чайной величины (X, Y)

f(x,y)-

— при х^

-\-у^

О при jc^+y >1.

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 231

Найти плотность распределения составляющих JSf и Y.

Решение. Плотность распределения составляющей X на-

ходится по формуле (6)

1 г>Л^ 1 / г

f^(x)^^—\

г— dy

-yl\-x ;

Ux)

-yj\

—

x' при

|х|<1,

при

\х\'>1.

Плотность распределения составляющей У находим по фор-

муле (7) ,

1 fVbV 1 I

2л i-^

^ , , I -ф-/ при

\у\<\,

о при \у\'^^-

26.11.

Условные законы распределения

вероятностей составляющих системы

1°.

Условный закон распределения составляющей Х систе

мы

дискретных случайных величин в предположении, что собы

тие Y

у. произошло, находится по формуле

Р(Х„У;)

Р(Х,\У,)

P(yJ

(1)

здесьу сохраняет одно и то

же

значение при всех возможных зна-

чениях X,

Условный закон распределения составляющей Y:

, P(x,yJ

Р(Уп^^= p(^j •

(2)

232

Глава 26

Для

непрерывных случайных величин

Гусловная

диф-

ференциальная

функция Ц>(у\у)

составляющей Jf при заданном

значении F

у определяется отношением

^г(У)

\j(x,y)dx

(3)

где

f-^iy)—дифференциальная

функция

составляющей Гнепре

рывной двумерной случайной величины

(см.(7)

п.

10).

Аналогично, условная дифференциальная функция состав

ляющей У равна

U") I

f(x.y)dy

3°.

Условным математическим ожиданием дискретной

слу-

чайной величины Упри Х

х называется сумма произведений

возможных значений У на

их

условные вероятности.

(4)

(5)

M(Y\x=jc;

yiP(yi

кл

Для непрерывных величин

M(Y\X

x)=ll y(p(y\x)dy, (6)

Аналогично определяется математическое ожидание случай-

ной величины Z на У=j;.

11.1.

Задана

двумерная дискретная случайная величина

Уг=^

X, =0,1

0,05

0,20

^2=0,3

0,25

0,14

Хз=0,6

0,30

0,06

Найти:

а)

условный закон распределения составляющей X,

при условии, что составляющая У приняла значение

>^,

= 2;

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 233

б) условный закон распределения У, при условии, что

Решение, а) Условные вероятности возможных значений X

при условии, что составляющая У приняла значение

j^,

= 2, на-

ходим по формуле (1)

где Р(у^) равна сумме вероятностей первой строки

Р(у,) = Р(х„у,)+Р(х^.у,)+Р(х„у,)--0,05 + 0,25 +

0,Ъ0

= 0,в.

р^

P(x,,yOJ_^^l_

" ' Р(у,) 0,6 12

"•"^ Р(у,) 0.6 12

^'-'" рг>;,; 0,6 2

Искомый условный закон распределения Химеет вид

P(^J

0,1

1/12

0,3

5/12

0,6

1/2

,15 1,

у.)

= —+—+- = 1.

' 12 12 2

Проверка: X,=i^<^^'

б)

Условные вероятности значений Y, при условии Xj =0,3,

находим по формуле (2)

где

P(x^,yj)

Р(У1 F2 ) = — •

Р(х^) = Р(х^.у^)+Р(х^,у^) =

а,2Ь

+ 0М =

0,Ъ9.

Р(У\\Х2)-

pfxj 0,39 39'

234

Гпава

ny2\X2J~

р^^^^ 0

39'

Таким образом, условный закон распределения

Р(уМг)

25/39

14/39

Проверка: Xy=i^<'^y

24 ^

11.2.

Задана

дифференциальная функция непрерывной дву-

мерной случайной величины f(x,y)

—

е'^""

^^^^^У

)

Найти

услов-

ные дифференциальные функции составляющих.

Решение. Найдем сначала дифференциальную функцию

составляющей X

f^(''^

= 1У(^'У)^У

=\y''''-'''''^'>dy

e-^^iy^'

'dy.

= 9^

Л-^у)

-W

'' ''

d(—-^2y)

^- ^2 2

При вычислении здесь использован интеграл Пуассона

е~^

\lK. Дифференциальная функция составляющей

равна

J—00 J—00

Подставляя найденные функции в формулы

(3), (4),

оконча-

тельно получим:

(р(х\у) =

(р(у\х) =

^~(х'+2ху^у') ^-(^-^У)

-(х^+2ху+у-)

л/тг

4f+2v/

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 235

11.3.

Дискретная двумерная случайная величина задана

таблицей распределения

|^\^

^ ^^\

1 >'2=4

X, =2

0,10

0,15

х-^—Ъ

0,16

0,25

Хз =6

0,04

0,30

Найти условное математическое ожидание составляющей

Y при X =

= 2.

Решение. Найдем вероятность

Р(х^),

для чего сложим ве-

роятности в первом столбце Р(х^ J =

ОД

ОД 5

= 0,25.

Условные вероятности возможных значений Y, при усло-

вии х^ = 2, находим по формуле (2)

Р(У} к / = ^^

''^^'' Р(хО

^'^^1'''^

P(xJ 0,25 ' '

p.^b, =

:^fe^

0.6.

nУ2\^^) p^^j 0 25

Искомое условное математическое ожидание находим по

формуле (5)

M(Y\x,=2)

j;^y.P(yj\xJ

= у,Р(у,\х,)^у^Р(у^\х,)

Ъ-()А^АО,в

= Ъ,в.

26.12« Числовые характеристики

системы двух случайных величин

1°.

Математические ожидания дискретных случайных вели-

чин XHY, входящих

систему, вычисляются по формулам

236

Гпава

.=1

У=1

M(Y) = ±±y,p,.. (1)

1=1 7=1

Дисперсии дискретных случайных величин

Хи У определя-

ют

по формулам

m п

D(X)

2t.Py(x,-M(X)f:

1=1 у=1

т п

D(Y)

2TPij(yj-^(Y)f'

(2)

1=1 j=i

средние квадратические отклонения по формулам

a^=^D(X),

<у^=4Щ). (3)

2°.

В случае непрерывных случайных величин

математичес-

кие ожидания равны

M(X)=j

\xf(x,y)dxdy,

оо оо

M(Y)=\\yf(x,y)dxdy

(4)

или,

зная дифференциальные функции составляющих

со

M(X)=\xf,(x)dx;

оо

M(Y)=^\yf,(y)dy.

(5)

Дисперсии непрерывных случайных величин

Хи У опреде-

ляются по формулам

D(X)= ]

](x^M(X)/f(x.y)dxdy;

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 237

оо оо

D(Y)^

\ \(y-M(Y)ff(x.y)dxdy (6)

или через дифференциальные функции составляющих по фор-

мулам

оо оо

D(X)=\(x-M(X)fUx)dx = \x'f,(x)dx-(M(X))';

D(Y)=](y-M(Y)ff,(y)dy=]/f,(y)dy-(M(Y)/ (7)

—оо —оо

Для

вычисления дисперсий

можно

также использовать

фор-

мулы

D(X)

M(X')-(M(X))\

D(Y)

M(Y')^(M(Y))\ (8)

3°.

Корреляционным моментом

ji^ случайных величин на-

зьшают математическое ожидание произведения отклонений

этих

величин. Для вычисления jU^ дискретных величин используют

формулу

п т

М^ = Ilr^/

''^(Х))(У,

-M(Y))p,j. (9)

1=1

У=1

для

непрерывных

оо оо

iU^ = j l(x-M(X))(y^M(Y))f(x.y)dxdy. (10)

Корреляционный момент может быть найден

по

формуле

М^ =M(XY)-M(X)M(Y). (11)

где

для дискретных случайных величин Хи Y

т п

M(XY)

Y;^x,yjP,j,

1=1 м

а для непрерывных

238 г

пава

M(XY)= j jxyf(x,y)dxdy.

Случайные величины X и Y

называются

независимыми,

если

закон распределения одной из них не зависит от того, какие зна-

чения приняла другая величина.

Характеристикой линейной связи Y = аХ +

между случай-

ными величинами X

Услужит

коэффициент

корреляции:

'ху

г..=^

(12)

о-.^у

Если случайные величины независимы, то г^ =

Коэффи-

циент корреляции удовлетворяет условию

уху\-1-

причем, чем

ближе \г\ к единице, тем связь сильнее.

Если корреляционный момент отличен от нуля, то случай-

ные величины X и Гназываются коррелированными. Если M.vv~

О,

то JSf и 7 называются некоррелированными случайными ве-

личинами.

4°.

Пусть в результате

испытаний случайные величины X

и 7 принимают значения

{^\^У\)^{^2'У2)^--->{^п'Уп)'

Если п до-

статочно велико и г^

Л/А1~1

^3, то вероятно существует связь

между случайными величинами XHY.

Линейное приближение У от X дается формулой линейной

регрессии

- g(X) -аХ

Л-Ь,

где а,Ь — коэффициенты, подле-

жащие определению. Наилучшее приближение, в смысле мето-

да наименьших квадратов, дает функция g(X), которая назы-

вается

среднеквадратической

регрессией У на X,

Прямая линия среднеквадратической регрессии УпаХ имеет

вид

g(X)-m^=r^-^(X-mJ,

(13)

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 239

аХна Y

<У^

g(Y)-m^=r^,^(Y-m^.),

(14)

где т^=М(Х), т^=М(¥),

X^g(Y).

Коэффициент b(Y/X)

г —^ — называется коэффициен-

том регрессии У на

а b(X/Y)

г^у

-~ — коэффициентом рег-

рессии

JSf

на Y.

Прямые регрессии (13), (14) проходят через точку {т^,туУ

которая называется центром рассеивания системы случайных

величин ХиУ.

12.1.

Двумерная дискретная величина задана таблицей рас-

пределения

у^-^

Уг^'^

1 7з=3

X, =0,1

0,04

0,16

0,10

Х2=0,2

0,15

0,05

0,15

Xj =0,3

0,05

0,10

0,20

Найти

математические ожидания, дисперсии

средние квад-

ратические отклонения случайных величин Z и У.

Решение. Воспользуемся формулами

(1),

тогда:

М(Х) = 0,1(0,04+0,16+0,10)+0,2(0,15+0,05+0,15)+

+0,3(0,05+0,10+0,20) =

0,03+0,07+0,105

= 0,205;

M{Y) = 1(0,04+0,15+0,05)+2(0,16+0,05+0,10)+

+3(0,10+0,15+0,20) =

0,24+0,62+1,35

= 2,21.

Точка (0,205; 2,21) является центром рассеивания для за-

данной системы случайных величин.