Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

210 Гпава 26

8.1.

Найти вероятность попадания в заданный интервал

(a,j3) нормально распределенной случайной величины X, если

известны ее математическое ожидание а и среднее квадрати-

ческое отклонение:

а) а = 6; /3=10; а = 2; сг = 4;

б)а=3;

j8=9, а=8; ст=1.

Решение, а) Вероятность попадания случайной величины в

заданный интервал определяется по формуле (2)

Р(6<Х<10) = -

j^±i\^(^-^^

= 1[Ф(2)-Ф(1)].

По таблице значений функций Лапласа

P(6<Z< 10) = -(0,95450-0,68269) = 0,135905.

б) По формуле (2) имеем

ДЗ<Х<9) = -

9-8

-Ф

3-8

= ^[Ф(1)-Ф(-5)].

Так как функция Лапласа нечетная, то Ф(-5) =

~Ф(5).

Не-

трудно заметить, что Ф(5) в таблице нет, а ее значение прибли-

зительно равно

Отсюда

Р(3 < X < 9) = -(0,68269 +

= 0,841345.

8.2. Найти вероятность того, что отклонение нормально

распределенной случайной величины от

ее

математического ожи-

дания по абсолютной величине меньше

0,2,

если среднее квадра-

тическое отклонение этой величины равно 0,4.

Решение.

По условию в = 0,2;

(Т

= 0,4. Воспользуемся фор-

мулой (3)

^од^

0,4

Р(|Х-а|<0,2) =

= Ф(0,5) =

0,382923

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 211

8.3.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое отклонение случайной величины Х^ равномер-

но распределенной в интервале

{а,Ъ).

Решение. Математическое ожидание случайной величины

определяется по формуле

M(X) = jjc/(jc)t/jc.

Поскольку равномерно распределенная случайная величи-

на имеет плотность, равную /(х) = , то

Ъ-а

1 г , а^Ъ

М{Х)

\xdx

Дисперсию определяем по формуле

D(X)

jx^f(x)dx-(M{X))\

Подставляя сюда

/(х)=-5-,

м(Х)^^

о-а 2

и интегрируя, получим

b-a 3 4 12 *

Среднее квадратическое отклонение определяется по фор-

муле а = yjD{X) и равно о

—1=-.

8.4. Интервал движения маршрутного автобуса

мин. Най-

ти вероятность того, что пассажир, подошедший к автобусу, бу-

дет ожидать автобус менее 6 мин.

Решение. Поскольку распределение вероятностей равномер-

но,

то плотность распределения имеет постоянное значение, рав-

ное 7(х) = =

—.

8-0 8

P{2<X<S)

jf(x)dx:

212 Гпвва 26

Вероятность

того,

что пассажир будет ожидать менее

мин,

равна

8.5. Непрерывная случайная величина X распределена по

показательному закону, заданному дифференциальной функци-

ей f{x) =

Se'^""

при

и f{x) =

при х <

О.

Найти вероят-

ность попадания X в интервал

(1,5;

3,5).

Решение. Воспользуемся формулой (6). Учитывая, что по

условию задачи

а = 1,5 и 6 = 3,5, получим

Р(1,5 < Л^<3,5) = е'"' -е''^^'

е''^' -е""' = 0,00055.

8.6. Найти математическое ожидание, дисперсию

среднее

квадратическое отклонение показательного распределения, за-

данного интегральной функцией

F(x) = l-e-'''^ (х>0).

Решение. По условию задачи

= 0,2. Воспользуемся теперь

формулами

(7).

Окончательно получим

М(Л = —=

D(^ =

—Ц-

25;

а = —= 5.

0,2 0,2' 0,2

8.7. Длительность времени безотказной работы элемента

имеет показательное распределение F{t) -1 -

е~^'^''

(/ > 0). Най-

ти вероятность того, что за время длительностью

1-\0час:

а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Решение, а) Поскольку интегральная функция F{t)^

- Р{Т

t) определяет вероятность отказа элемента за время дли-

тельностью /, то, подставив / = 10 в интегральную функцию,

получим

Р{Т< 10) =

1-е"^'^^'«

- l-e"^' =0,18.

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 213

б) Вероятность безотказной работы элемента за время дли-

тельностью t определяется функцией надежности

8.8. Производится испытание двух элементов, работающих

независимо один от другого. Длительность времени безотказной

работы элементов распределена по показательному закону: для

первого /^(/) =

1-в"^'",

второго Fj{i)-\-e^'^\ Найти вероят-

ность

того,

что за время длительностью / =

час: а) откажут оба

элемента; б) оба элемента не откажут; в) откажет только один

элемент; г) откажет хотя бы один элемент.

Решение, а) Вероятность отказа первого элемента по фор-

муле (9) равна

Вероятность отказа второго элемента

Вероятность того, что откажет

первый, и второй элемент

по теореме умножения вероятностей независимых событий рав-

на /^^2=0,550,01 = 0,0055.

б) Вероятность безотказной работы первого элемента

=z /?j (8)

= е"^'^ = 0,45. Вероятность безотказной работы второ-

го элемента q^ - R^{^) -

е~^'^^

- 0,09. Вероятность, что оба эле-

мента не откажут, равна q^q^- 0,45

•

0,09 = 0,04.

в) Вероятность

того,

что откажет только один элемент (либо

первый, либо второй) по теореме сложения вероятностей равна

^•^2+

•^1=0.0495 +

0,0045

= 0,054.

г) Вероятность

того,

что откажет хотя бы один элемент, рав-

на Р = 1-^,-^, =1-0,04 = 0,96.

8.9. Найти асимметрию и эксцесс показательного распре-

деления.

214 Гпава 26

Решение. Находим сначала начальные моменты: v, =

= М{Х) = у по формуле (7); v^ =

[х^е"^""rfx, интегрируя дваж-

ды по частям

\х^ =

е'^Чх

d\\

\du =

2xdx v

е~^

9 °^

получим Vo=—Г-; v^=Mx^e'^''dx, интегрируя трижды по час-

Я •'

тям, будем иметь у^=—; v^-X [x^e'^dx, интегрируя четыре

24 '

раза по частям, получим

^ •

Центральные моменты третьего и четвертого порядков на-

ходим по формулам ((5) п.5):

^3 лз

Ql2"^^n3

Q3'

Л Л Л л л

^4~л4 l3Q^n2'32 •^л4""'з4'

Среднее квадратическое отклонение по формулам (7) рав-

1 ,

но ^

у- Таким образом, асимметрия равна а

ii^/o = 2, а

эксцесс равен £= ii^/а^-Ъ

9-Ъ

26.9.

Функции случайных аргументов

1°.

Если

каждому значению одной случайной величины X ста-

вится в соответствии одно значение другой случайной величины

то F называют функцией одного случайного аргумента

(p(X),

СПУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 215

если же случайным величинам X, Y соответствует одно значе-

ние случайной величины Z, то Z называют функцией двух слу-

чайных аргументов

Z=(p(XJ).

При составлении распределения функций по известному

распределению дискретного аргумента пользуются следующи-

ми правилами:

а) если функция У случайного аргумента X известна

(p(X), то возможные значения Y находят из равенства

б) вероятности соответствующих значений X и У моно-

тонной функции Y одного аргумента X между собой равны,

T,^,P(X

= xJ = P(Y = y,);

в) если же функция Y не монотонная и среди Y есть значе-

ния, равные между

собой,

то их вероятности следует складывать.

Данное правило справедливо

для функции двух случайных ар-

гументов. Если аргумент X — непрерывная случайная величи-

на, заданная плотностью распределения f(x),

и если

(р (х) —

дифференцируемая, монотонная функция, имеющая обратную

функцию х

^(у), то плотность распределения g(y) случай-

ной величины Y находится по формуле

g(y) = f('V(y))\¥'(y)\. (1)

Если в интервале возможных значений X функция у =

(х) не монотонна, то этот интервал разбивается на интерва-

лы,

где (р(х) монотонна и g(x) представляется в виде сум-

^big(y)

\^g.(y).

Так для функции (р(х) монотонной

двух

интервалах имеем

g(y) = f('V,(y))-\'i'\(y)\+f('i'2(y))-\V\(y)\, (2)

где ^^(у) и ^\(у) —обратные функции на соответствующих

интервалах.

216 Гпава 26

2°.

Математическое ожидание функции одного дискретно-

го случайного аргумента находится по формуле

M(Y)^f^<p(xJp, (3)

Если аргумент непрерывная случайная величина, то

математическое ожидание

M(Y)=] yg(y)dy

](p(x)f(x)dx. (4)

где f(x) —плотность распределения, а дисперсия

D(Y)= ] y'g(y)dy-(M(Y)f = J (<p(x)ff(x)dx-(M(Y)f.^s)

3°.

Пусть X,Y —дискретные независимые случайные ве-

личины. Чтобы найти распределение функции Z

Y (или

XY),

следует найти все возможные значения Z

Для этого необ-

ходимо сложить (умножить) каждое возможное значение X со

всеми возможными значениями У, вероятности же найденных

возможных значений Z равны произведениям соответствующих

вероятностей значений X и У.

Плотность распределения g(Z) суммы Z

-^-У

(при ус-

ловии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на

интервале

(-оо,оо)

одной формулой) определяется по формуле

g(Z)= I fi(^)f2(^-x)dx (6)

или

g(Z)=]f,(z-^y)f,(y)dy. (7)

где yj,/^ —плотность распределения аргументов.

Вероятность попадания случайной точки {х,у)ъ область S

определяется интегральной функцией распределения

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 217

P(X^Y <Z)^G(Z) (8)

и равна двойному интегралу по всей этой области от произведе-

ния

дифференциальных функций

P((X,Y)cLS)

G(Z}

\\f,(x)Ux)dxdy, (9)

Производная от интегральной функции равна дифференци-

альной функции g(z)-G\Z) величины 2

Хл^У,

9.1.

Найти закон распределения случайной величины

—

Х^, если дискретная случайная величина X задана зако-

ном распределения

а)

0,1

0,3

0,6

б)

д:,.

-2

0,2

0,3

0,5

Решение, а) Находим значения случайной величины Y:

У\

- 4/ У г - 9/

3^3

~ '

Отсюда распределение Y имеет вид

У1

0,1

0,3

0,6

б) Поскольку несовместным событиям jc, =-2;

Х2

соответствует одно значение случайной величины у^ -

то его

вероятность равна сумме вероятностей случайных величин х, и

Xj. Отсюда распределение Y примет вид

У1

0,5

9.2. Независимые дискретные случайные величины X wY

заданы законом распределения

218

Гпава 26

0,2

0,3

0,5

0,3

0,7

Найти законы распределения функции: а) Z = X + F;

б) Z = X7.

Решение,

а)

Возможные значения случайной величины z. есть

суммы каждого значения х. со всеми случайными значениями у.

z,=l +

z2=l

4 = 5; 2з=2

2=4;

24=2 + 4 = 6; 25=3 +

= 5; z^ =3 + 4 = 7.

Поскольку случайные величины jc., >^. независимы, то ве-

роятность их совместного наступления находится по теореме

умножения вероятностей

/^=0,2 0,3 =

0,06;Р2=0,20,7

= 0Д4;Рз=0,ЗаЗ = 0,09;

Р^

0,30,7

0,21;

^5=0,50,3 = 0,15;

Р,=0,50,7

= 0,35.

Складывая вероятности несовместных событий

Z5,

за-

пишем искомое распределение

0,06

0,09

0,29

0,21

0,35

б) Возможные значения случайных величин z. есть произ-

ведения каждого значения

х^

на каждое у^

=1-2 = 2; 22=1-4 = 4; 23 =2-2 = 4;

2^=2-4

= 8; 25=3-2 = 6;

2,=3-4

= 12.

Поскольку величины х.,у^ независимы, то вероятности их

совместного наступления находятся по теореме умножения ве-

роятностей

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 219

/^=0,06;

^2=0,14; Рз=0,09;

Р,^^Л\;

Р,^^\Ъ;

^6=0,35.

Складывая вероятности несовместных событий ^2 и

Z3,

за-

пишем искомое распределение

0,06

0,23

0,15

0,21

0,35

9.3.

Случайная величина X распределена равномерно в

интервале

(О,—).

Найти дифференциальную функцию g(y) слу-

чайной величины Y = sin X.

Решение. Поскольку случайная величина X распределена

равномерно в интервале (^^ТГ), то дифференциальная функция

случайной величины X будет

f(x)

^-0

Функция y

smx в интервале (О,—) монотонно возраста-

ет, следовательно, имеет обратную функцию ^(у)

х =

= arcsin у. Найдем производную от обратной функции

Дифференциальная функция g(y) согласно формуле (1)

имеет вид

g(y)=

жф^

Так как у

sinx, где

< х <

—,

то

< ^ <

Вне этого ин-

тервала g(y) = 0.