Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

220

Гпава

Проверка.

b^'"'-h

2 \ dy 2

arcsinj^

=1.

9.4. Задана дифференциальная функция

(Тл/2л:

Найти

дифференциальную функцию g(y) случайной вели-

чины

= 2Х^.

Решение. Так как в интервале

(~-оо,оо)

функция у

2х^ не

монотонна, то разобьем этот интервал на два интервала:

(—оо^

О)

(О,

оо),

которых заданная функция монотонна. Обратные фун-

кции в этих интервалах будут Цf^(y)

—Jj•

^2(У)^^^'

^^"

ответственно.

Находя производные

^\(у)^

?=, ^'i(y)

—7= и

2yj2y 2yJ2y

учитывая,что/Г"F/>';;

—i=-e

**''

и г/ц* fy))=:-J—e ^^' по

формуле (2) окончательно будем иметь

1 -— 1 1 —^

8(У)

—7Т=^е ''

а^2к yJ2y 2GyJny

Поскольку у = 2х^, где -^

<X<OO^TOO<J;<OO

и вне этого

интервала g(y)

Проверка.

\g(y)dy

-—-f=\—j=-dy

2Gyj7t

i yjy

= t^\

2tdt\

1 7 -^ . V2cT 4bi ,

ОУ1К{ ОУЩ 2

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 221

\e-''^dt

Здесь при вычислении использован интеграл Пуассона

2к

9.5.

Дискретная случайная величина X задана распреде-

лением

р>

0.2

0.3

0.5

Найти математическое ожидание Y

Х^

^-Х.

Решение. Найдем значения случайной величины у. - (р/х.) :

у^=\-^\

2; y^=S

\=9;

y,=27

+ \ =

2S,

По формуле (3) математическое ожидание равно

Л/(^У; = 2 0,2 +

0,3 +28-0,5 =

17,1.

9.6. Найти математическое ожидание

дисперсию функции

X", если f(x) =

COSX

плотность распределения непрерыв-

ной случайной величины X в интервале (0,;г); вне этого интер-

вала f(x)-0.

Решение. Из условия (р(х)

х . Математическое ожидание

по формуле (4) равно

оо

л тс

M(Y)

Ix^cosxdx = jc^sinjc] -2j jcsinjcrfx =

0 0 0

= 2xcosx| -2\cosxdx

—2n.

0 0

Дисперсию находим по формуле (5)

тг

D(Y)

j((p(x)ff(x)dx-(M(Y)/=jx''cosxdx-4K\

Интегрируя четырежды по частям, получим

222

Гпава

D(Y)

-AK(7l^'-6)-47t^=-4n(7l^+7l-6).

9.7. Независимые случайные величины X я Y заданы

дифференциальными функциями:

/2(у) = \е-''' (0<у<оо).

Найти дифференциальную функцию случайной величины

Решение. Поскольку возможные значения аргументов х,у

неотрицательны, то по формуле (6) имеем

Z л Z

g(2)

jUx)f2(z-x)dx

-je ye-'"

-е ^

6^0

Здесь 2 >

О,

т.к. возможные значения Z

F неотрицатель-

ны.

Вне интервала

(О,©о)

дифференциальная функция g(z)

9.8. Заданы дифференциальные функции равномерно

распределенных независимых случайных величин X и Y:

Ux)

^ Г0<х<3;; /2(У)

^ (0<у<3).

Вне заданных интервалов функции равны нулю. Найти ин-

тегральную

дифференциальную функции случайной величины

Построить график дифференциальной функции g (z).

Решение. Поскольку возможные значения Z определяются

неравенством 0<Х<3, а Y — неравенством

< F <

то воз-

можные случайные точки (х,у) расположены в квадрате ОУ4БС

(рис.

26.8), сторона которого равна

единицам.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 223

А ЛГ

\В

\1л/\

\с \

3 6

Рис.

26.8

По определению интегральной функции (8) неравенству

y<z удовлетворяют те точки (х,у) плоскости, которые ле-

жат в квадрате ниже прямой x

z, отсекающий на осях ко-

ординат Ох и Оу отрезки, равные z.

Так как возможные значения случайных величин X и Y

независимы, то на основании формулы (9) имеем

G(z)

llf,(x)f,(x)dxdy

^jldxdy,

S ^ S

где S — площадь квадрата ОАВС, лежащая ниже прямой

z. Если

то прямая отсекает от квадрата прямо-

угольник площадью z^l

и интегральная функция равна

G(z)

=—.

9 2 18

При 3 <

< 6 площадь фигуры OAMNC найдем как раз-

ность между площадью квадрата z

= 9 и площадью треуголь-

ника

М^Л^,

равной (6—z/ /2. Таким образом,

(6-zf

G(z)

m-(6-z//2)

224

Гпава 26

Очевидно,

ЧТО

если z<О, то 5 = 0 и G(z)^0; если 2>6,

то

G(z)-

—S()^fj^

=—9 =

Окончательно получим

IО при Z < 0;

IzVlS при 0<z<3;

l-f^e-z/ZlS

при 3<z<6;

при

> 4.

Дифференциальная функция примет вид

[о при

< 0;

|z/9 при 0<z<3;

сг^;-

gr^;-

~(2 ) при 3<z<6;

3 3

AI/7W

z>4.

График дифференциальной функции g(2) показан на

рис.

26.9.

ё(г)

Рис.

26.9

26.10.

Системы случайных величин

1°.

в ряде случаев результат опыта или некоторое событие

описывается не одной случайной величиной X , а несколькими

случайными величинами X,Y,Z,..., образующими систему.

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 225

Систему двух случайных величин будем обозначать (X, Y),

где каждая из величин X и 7 называется составляющей. Гео-

метрически система двух случайных величин представляется

случайной точкой на плоскости.

Трехмерную случайную величину геометрически можно

интерпретировать как точку M(X,Y,Z)

трехмерном простран-

стве или как вектор ОМ,

Аналогично определяется и

«-мерная

случайная величина.

2°.

Законом распределения вероятностей дискретной дву-

мерной величины (X, Y) называют соответствие возможных

значений этой величины (x^.yj) и их вероятностей

P(^i>yj) Г/ =

1,2,...,А2;7=1,2,...,тЛ

приэтом ХмХу=1^у '^^•

Закон распределения системы двух дискретных случайных

величин удобно задавать в виде таблицы

Г""^""^

у^^-^

Ух

Уг

\ У''

Рп

Ри

Рт

Ри

Рп

Рп2

...

Хт

Рш

Plm

Jrnm

причем ^j<X2<-<^m/ У1<У2<'"<Уп-

3°.

Функцией распределения двумерной случайной величи-

ны (дискретной или непрерывной) называют функцию

F(x,y)

P(X<x^Y<y). (1)

Свойства функции распределения:

1) функция распределения удовлетворяет неравенству

0<F(x,y)<l;

2) функция F(x,y) —неубывающая функция по каждому

226 Гпава 26

аргументу, т. е.: F(x2,y)>F(x^,y), если х^Ух^; F(x,y2)>

>F(x,yJ,

если

У2>У1-

3) функция F(x,y) удовлетворяет предельным соотноше-

ниям:

F(-oo^

у)

F(x,

-оо;

О,

F(-oo, -оо J =

О,

F(oo,

оо;

= 1.

при у

= оо

функция распределения системы является фун-

кцией распределения составляющей : F(x,oo)

F^(x),

а при

х =

оо,

соответственно, функцией распределения составляющей

Y:F(oo,y)

F,(y).

4°.

Вероятность попадания случайной точки в прямоуголь-

ник находится по формуле

Р(х,<Х<Х2, y,<Y<yJ =

= [^(^2

^Уг)-

F(x,,;; J] - [F(x2 ,yj- F(x, ,yj\ (2)

где Х^х,;Х^Х2;У:=^у,;У

У2,

5°.

Плотностью совместного распределения вероятностей

f(x,y) непрерывной двумерной случайной величины называ-

ют вторую частную смешанную производную от функции рас-

пределения

Функция распределения находится по формуле

X V

F(x,y)= I J f(x,y)dxdy. (4)

Свойства функции плотности вероятности:

1) f(x,y)>Q; 2) j \f(x,y)dxdy--\.

Вероятность попадания случайной {Xj) точки в область S

определяется по формуле

Р((Х, Y)cS)

\\f(x,y)dxdy. (5)

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 227

Если известна плотность совместного распределения ве-

роятностей f(x,y) системы двух случайных величин, то плот-

ности распределения каждой из составляющих Хи У находятся

по формулам

f,(x)=[°

f(x.y)dy: (6)

f2(y)=^j^f(^'y)^-

(7)

10.1.

Найти законы распределения составляющих дву-

мерной случайной величины, заданной в виде таблицы

двой-

ным входом

У1

Уг

0,1

0,3

0,25

0,04

Хз

0,2

0,11

Решение. Поскольку вероятности несовместны, то для того

чтобы найти вероятность Р(Х

х.), надо просуммировать ве-

роятности

/-ГО

столбца:

Р(х^

)

0,4; Р(х2 )

0,29; Р(х^

= 0,31.

Закон распределения составляющей X:

р>

0,4

0,29

0,31

Проверка: 0,4 + 0,29 + 0,31 = 1.

Сложив вероятности по строкам, найдем вероятности воз-

можных значений Y: P(yJ

0,55; Р(у2)

0А5.

Закон распределения составляющей Y:

У^

0,55

Уг

0,45

Проверка: 0,55 + 0,45 = 1.

228

Гпава 26

10.2.

Найти вероятность того, что в результате испытания

составляющая А^ двумерной случайной величины примет значе-

ние X < 2 и при этом составляющая Y примет значение

< 4,

если функция распределения имеет вид

п 8

Решение. Положив в формуле (1)

= 2,

получим ис-

комую вероятность

Pr^<2,y<4; = Fr2,4; = iarctg^ = i

71 8 4

10.3.

Найти

вероятность попадания случайной точки (Х; У)

в прямоугольник, ограниченный прямыми

х^

=—; х^ =—,

_7Г _71 ^ ^

J^i -"7'' -^2 -"7' если известна функция распределения

к к

¥(х,у)^%\пхъ\пу

(^<х<—;

^<у<—),

к к __к _к

Решение. Положив ^i = -г/ ^2 = Т'" У^^Т'

-^^2

~ Т в фор-

3 2 6 4

муле (2), находим

3 2 6 4

2йГ

з"'7

(

и L V

2 6

З"'б"

. к . п . к . п

sin—sm sin—sin

—

2 4 3 4

\ (. n . n . к . K\

- sin—sm sm—sin— =

2 в 3 6)

(л/2 Ssll

1 S\\

2 2 2 2

-0,1.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 229

10.4.

Найти плотность совместного распределения вероят-

ностей f(x,y) системы случайных величин по известной функ-

ции распределения F(x, у)

cos х cosy и вероятность попадания

точки в прямоугольник 0<х<—, 0<у<—.

Решение. По формуле (3) имеем

^. , Э^ ("cos

л:

cos V J

f(x. у) = ^ ^—^ = sm^ sin

у.

охоу

Зная плотность распределения, вероятность попадания точ-

ки в прямоугольник определяется по формуле (5)

7t/2

к/2 л/2 Т1/2

Р= J J sinjcsin>;(ix:<iv=-J sinjccosj^l rfx =

0 0 0 0

?r/2 n/2

= j sinjct/x=-cosjc

=1.

10.5.

Найти функцию распределения двумерной случайной

величины по известной плотности совместного распределения

/(^x,>'^ = Csin(^x + >'^ внутри прямоугольника x = 0;x = —;

= 0,\у =

—;

и f(x,y) = о вне прямоугольника.

^ п

Решение. Учитывая, что хну изменяются от

до —, бу-

дем иметь

рп/2 рк/2

J J Csm(x

y)dxdy=^\,

Интегрируя сначала по

а затем по

JC,

получим

гп/2 f2

-Cj

QOs(x +

y)\

dx^-C\

f (к ^

p;r/2

cos

-Л-Х

-cosx

n/2

№c

= CJ

(^sinx

+ cosjc^rfx =

C(^-cos^:

sinx^| =С(\Л'\)-\,

Откуда с =--.