Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

200 Гпава 26

появления более одного события мала

сравнении с вероятнос-

тью появления одного события;

в) появление события

предыдущий период

не

сказывается

на вероятности появления событий в последующий период.

6.1.

Среднее число вызовов, поступающих на диспетчерс-

кий пункт в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того,

что за 4 минуты поступит: а) 3 вызова; б) менее трех вызовов;

в) не менее трех вызовов.

Решение, а) Предполагаем, что поток вызовов простей-

ший по условию / = 2,

= 4, m = 3. Воспользуемся формулой (1)

/'4(3) = ^^-^^^ = 0,028.

б) Вероятность того, что наступило менее трех вызовов, по

теореме сложения вероятностей равна

/5(»1<з)=;',(0)+р.(1)+/;(2)=

I! 2!

в) События «поступило менее трех вызовов» и «поступи-

ло не менее трех вызовов» противоположны, поэтому вероят-

ность того, что за 4 минуты поступит не менее трех вызовов,

равна

РДт>3) =

1-РДт<3)

1-0,0135

= 0,9865.

26Л.

Непрерывные случайные величины

и их числовые характеристики

V, Случайная величина X называется непрерывной, если

ее функция распределения F(x) = Р{Х

< х)

есть непрерывная, ку-

сочно дифференцируемая функция.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 201

Производная от функции распределения называется плот-

ностью распределения вероятностей (дифференциальной фун-

кцией) непрерывной случайной величины

f{x)^r(x).

(1)

Функция распределения при заданной плотности распреде-

ления находится по формуле

Р{х) = J f{x)dx. (2)

Свойства плотности распределения:

1)/W>0;

2) \f{x)dx =

(3)

Ъ)

P{a<X<b) = \f{x)dx. (4)

2°.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной

случайной величины определяются по формулам

M{X)=]xf{x)dx; (5)

D{X)=\{x-aff{x)dx =

^\x~f{x)dx-a', (6)

где а математическое ожидание.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случай-

ной величины определяется по формуле

= ЩХ). (7)

202 Гпава 26

У. Модой

непрерывной случайной величины X назы-

вается ее возможное значение, которому соответствует макси-

мум дифференциальной функции.

Медианой М^ непрерывной случайной величины X назы-

вается

ее

возможное значение, которое определяется равенством

Р(Х<М^ = Р(Х>МД (8)

т. е. медиана делит площадь, ограниченную кривой распределе-

ния, пополам.

4"".

Центральный момент к

-го

порядка непрерывной случай-

ной величины X определяется равенством

li,^\{x-aff{x)dx (9)

Если

О,

то момент называется начальным и определяет-

ся по формуле

v, = ]x'f{x)dx, (10)

Если

А:

то

v^=M{X)

a, 11^=0; если к

2, то

/^2 = D(X), Центральные моменты выражаются через началь-

ные моменты по формулам (26.5 (5)), т. е. по тем же, что и для

дискретной величины.

7.1.

Случайная величина задана плотностью распреде-

ления

f(x)

о при jc<0;

asinx при 0<х<л:;

О при х>п.

Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения;

в) вероятность попадания случайной величины в заданный ин-

тервал

(0;—).

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 203

^ Решение, а) Из условия (3) | f{x)dx

= 1

находим, что

\а smxdx

\. Откуда ""

Г 1

-acosx\ =1; ~а(-1-1) =

= —.

о 2

б) При

f{x)

О,

следовательно F{x)

0. Функцию

распределения при

< х <

Я"

находим по формуле (2)

f f

F(x)= 0(ic+ —sinx(ijc =

—COSJC|

cos

(•1 .

При x>K

F{x)= \ 0'dx+\

—

sinxdx'\'\Odx

— cosx| =1.

Отсюда

F(x)

0 при x<0;

1-COSJC

при 0<х<я;

11 при х>ж.

в) Искомая вероятность находится по формуле (4)

У2

-1

"А

I • т I / А

Р{0<Х<j)

= —

\ smxdx

—cosx| =

2^0 2 'о 2

7.2. Случайная величина А" задана функцией распределения

[о при х<0,

F(x) = — при 0<х<2,

1 при х>2.

Найти:

а) дифференциальную функцию (плотность вероят-

ности); б) математическое ожидание

дисперсию случайной ве-

204

Гпава 26

личины;

в)

среднее квадратическое отклонение; г) построить гра-

фики интегральной

дифференциальной функции.

Решение, а) По формуле (1) дифференциальная функция

имеет вид

10 при jc<0,

Пх)

при о <

л:

< 2,

О при х>2.

б) Математическое ожидание

дисперсию находим по фор-

мулам (5), (б)

M(X)

\x^dx

U^ =^;

D(X)

3 2

6 о 3

X 16 _ ^ |' 16 _ 2

^ 2 ^"Т'Т'о'У?

в) среднее квадратическое отклонение находим по форму-

ле (7)

\9 3 '

г) Графики интегральной (рис. 26.3) и дифференциальной

(рис.

26.4) функций

F(x) f(x)

Рис. 26.3

Рис. 26.4

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 205

7.3.

Случайная величина задана интегральной функцией

F{x).

О при

< 0;

1-C0SJC

при 0<х<—;

при

Найти: а) дифференциальную функцию (плотность вероят-

ности); б) математическое ожидание

дисперсию X ; в) постро-

ить графики интегральной

дифференциальной функции.

Решение, а) Дифференциальную функцию находим по

формуле (1)

/U) =

О при х < 0;

sinjc при 0<х<—;

О при X>

б) Математическое ожидание и дисперсию находим по

формулам (5), (6)

f if I

M{X)-\xs\x\dx--xQOSx\ +J cosxd^ =

sinjc|

=1.

0 0 0 «

2 f 2

D{X)-

\x^ s\nxdx-\ =-x" cosjc| +2| jccosxJx-l =

T 2

= 2jcsinjc| ~2jsinx(ijc-l=^ + 2cosjc|

-\-к-Ъ.

в) Графики интегралььюй (рис. 26.5) и дифференциальной

(рис.

26.6) функций имеют вид

206

Гпава 26

Fix)

f(x)

Рис. 26.5

Рис. 26.6

7.4. Найти моду и медиану, если случайная величина зада-

на дифференциальной функцией распределения: а) f{x) = cosx

в интервале (О,—), вне этого интервала/(л:) =

;

б) /(x)=Jc^-4x"-3 винтервале(1;3),

вне

этого интервала /(х) = 0.

Решение, а) Поскольку функция f{x)

cos х в интервале

/л ^\

(U,-—; не имеет максимума, то X моды не имеет.

Из определения медианы (8) имеем, что

Поскольку возможные значения X положительны, то запи-

л/,

шем это равенство в виде ДО<Х<М^)

= —

или cosхdx =

^.1 \ к

sin

М^

= ~. Таким образом: М^ = arcsin

—

—.

о ^ 2 6

б) Запишем дифференциальную функцию в виде

у = {x-2Y -1. Отсюда

видно,

что дифференциальная функция

достигает максимума при х = 2, следовательно М^ - 2.

Поскольку кривая распределения представляет парабо-

лу, то она симметрична относительно прямой х = 2, следова-

тельно, М^ = 2.

7.5.

Случайная величина X задана дифференциальной

функцией /(х) = 4х в интервале (О,—), вне этого интервала

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 207

у(х) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого,

второго, третьего и четвертого порядков.

Решение. Начальные моменты находим по формуле (10):

Уг

1^1

V. = fjcMxd!x = —;

v,-\x^Axdx^—.

\ 40' \ 96

Центральные моменты выражаются через начальные по

формулам ((5) п.

5):

^^ =0; ^2 =

-V, = 0,0347;

А^з

= ^з

- Sv.v^ + 2vf = 0,003;

|i4 =

-4V1V3 + 6VjV2 -3v,^ = 0,00185.

26.8.

Функция распределения вероятностей

случайных величин

1°.

Случайная величина имеет нормальное распределение,

если плотность

ее

вероятности определяется формулой

1 _i£l£)i

где а — математическое ожидание, <т — среднее квадратичес-

кое отклонение. Если слз^айная величина имеет нормальное рас-

пределение с плотностью /(х), то вероятность попадания ее в

заданный интервал определяется по формуле

P(a<^<)3) = i Ф

^-а

V ^ )

-Ф

(а-а^

V ^ yj

(2)

Вероятность того, что отклонение нормально распределен-

ной случайной величины от математического ожидания меньше

некоторого в >

О,

определяется по формуле

208 г пава 26

(3)

Р{\Х-а\<е)

ф\-

Т". Распределение вероятностей непрерывной случайной

величины

н<хзыв'ается равномерным

на интервале

(«,^),

если

плотность распределения на этом интервале сохраняет постоян-

ное значение, равное /(^) = т ' ^ вне интервала f{x)

3"^.

Распределение вероятностей непрерывной случайной

величины X называется/lo^-^jamey/b/zbiA/, если плотность распре-

деления определяется функцией

O при

< 0;

где Я —постоянная положительная величина.

Интегральная

функция

показательного распределения имеет вид

O при х<0:

X (5)

Х-е-^'

прих>0. ^^^

Если случайная величина распределена по показательному

закону, то вероятность попадания непрерывной случайной вели-

чины X в интервал {а,Ь) определяется по формуле

Р{а<Х<Ь)

е-^''-е-^',

(6)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадрати-

ческое отклонение показательного распределения, соответствен-

но,

равны

M{X)

D{X)

^; a^j. (7)

Длительность времени безотказной работы элемента имеет

показательное распределение, интегральная функция которого

имеет вид

Fit)

1-6-" (Я>0), (8)

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 209

где Я —интенсивность отказов (среднее число отказов

едини-

цу времени), /—длительность времени безотказной работы эле-

мента.

Вероятность отказа элемента за время длительностью t оп-

ределяется по формуле

Р(Г< 0 =

1-/?(/),

(9)

где R{i)

—

e~^

— функция надежности, определяющая вероят-

ность безотказной работы элемента.

4°.

Оценка отклонения распределения от нормального оп-

ределяется асимметрией и эксцессом.

Асимметрия определяется отношением

Если асимметрия положительна, то «длинная часть» кривой

расположена правее моды (рис. 26.7); если отрицательна — ле-

вее моды.

/Гх)

Рис. 26 J

Эксцесс

определяется по формуле

£=1^,^(7"^

-3

и характеризует степень крутизны кривой распределения. Если

г >

О,

то кривая имеет более высокую вершину, чем нормаль-

ное распределение, если £ <0 — более низкую.

Для нормального распределения а = 0,4; г = 0.