Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

170 Г пава 25

P(B)

P(C)

j^;

Р(5) = Р(С) = ^.

Отсюда

P-LL1.

11.JL 2 7 3 ^133

~ 310 10 3 1010 3 1010" 300'

4.5.

Три стрелка стреляют в мишень, причем вероятность

попадания, соответственно, у

-0,9; 2-0,8; 3-0,7. Найти веро-

ятность хотя бы одного попадания при одном залпе.

Решение. Вероятность попадания в мишень одним из стрел-

ков не зависит от результатов стрельбы других, поэтому рас-

сматриваемые события независимы. Вероятность промахов

^1 =

- А = ОД;

q2=l-

Р2=0,2; q^=\- р^= 0,3.

Если вероятность того, что все три стрелка промахнутся,

равна 9i

Я2 Яъ>

то искомая вероятность, как событие противопо-

ложное

^ =

ЧхЧгЧъ

ОЛ •

0,2

•

0,3 = 0,994.

4.6.

В цехе 5 станков. Вероятность того, что станок в дан-

ный момент времени работает, равна /? = 0,8. Чему равна веро-

ятность того, что в данный момент работает по крайней мере

один станок?

Решение. Поскольку события, что «станок работает», име-

ют одинаковую вероятность, равную/?, то вероятность работы

по крайней мере одного станка

данный момент равна

P = l^q" =1-0-/?/ =1-0,2' =0,99868.

4.7.

Вероятность появления события хотя

бы

один

раз

при трех

независимых испытаниях равна

0,973.

Найти вероятнось появле-

ния события

одном испытании, если вероятность появления со-

бытия во всех испытаниях одна и та же.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 171[

Решение. Вероятность появления события хотя бы один раз

при независимых и равновозможных испытаниях определяется

по формуле

Р =

- 9"

Отсюда

0,973

= 1-^'; q" =0,027; ^ = 0,3.

Искомая вероятность р = l'-q = 0,1.

4.8.

Вероятность того, что стрелок при одном выстреле по-

разит мишень, равна р = 0,6. Сколько выстрелов должен сде-

лать стрелок, чтобы

вероятностью

не

менее 0,8 попал в мишень

хотя бы один раз?

Решение. Вероятность попадания в мишень при п независи-

мых и равновозможных выстрелах хотя бы один раз находится

по формуле

P = l-q"

По условию Р > 0,8; р = 0,6; ^ =

- /? = 0,4.

Отсюда

- ^" > 0,8; q" < 0,2; 0,4" < 0,2.

Прологарифмируем последнее неравенство

nlgOA < lg0,2; т.к. IgOA <0,топ> -^-^; п>2.

IgOA

4.9.

Студент знает 25 из 30 вопросов программы. Какова

вероятность

того,

что студент знает три вопроса, предложенные

ему экзаменатором.

Решение. Обозначим через Д,

^2>

^з события, что студент

знает вопрос. Тогда по теореме умножения

Р(А,А,А,) = P(A,)PJA,)P,^,JA,) =

1^1

0,5665.

4.10. Вероятность того, что нужная деталь находится в

первом, втором и третьем ящике, соответственно, равна 0,7;

172 Глава 25

0,8;

0,9. Найти вероятность того, что деталь

содержится:

а) толь-

ко в одном ящике; б) только в двух ящиках; в) во всех трех

ящиках.

Решение, а) Обозначим за

^4,

J? и С события, что нужная

деталь содержится, соответственно, в первом, втором и третьем

ящике: Р(А) = 0,7; Р(В) = 0,8; Р(С) = 0,9. Тогда вероятнос-

ти,

что деталь не содержится в этих ящиках будет

Р(А) = 0,3; Р(В) = 0,2; Р(С) = 0,1.

Пусть деталь содержится в одном ящике и не содержится в

двух других, тогда по теореме умножения вероятностей

Р(АВС) = 0,7

•

0,2

•

0,1 = 0,014;

Р(АВС) = 0,3

•

0,8

•

0,1 = 0,024;

Р(АВС) = 0,3

•

0,2

•

0,9 = 0,054.

Поскольку нас не интересует, в каком именно ящике содер-

жится

деталь,

то по теореме сложения вероятностей

Р = Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) = 0,092.

б) Пусть деталь содержится

двух ящиках и не содержится

в третьем, тогда

Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) = 0,056;

Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) = 0,126;

Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) = 0,216.

Поскольку нас не интересует, в каких двух ящиках содер-

жатся детали, то по теореме сложения вероятностей получим

Р = Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) = 0,398.

в) Вероятность, что,деталь содержится и в первом, и во вто-

ром, и в третьем равна

Р = Р(А)Р(В)Р(С) = 0,7

•

0,8

•

0,9 = 0,504.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 173

25.5.

Следствия теорем сложения

и умножения

1°.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

(обобщенная формула сложения) имеет

вид

Р{А л-В)^ Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

и выражает вероятность появления одного из двух совместных

со-

бытий.

Теорема

сложения

вероятностей совместных

событий

мо-

жет быть обобщена на любое конечное число совместных событий.

Так,

для трех совместных событий имеем

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) -

-Р(ВС) + Р(АВС).

2°.

Формула

полной

вероятности

P(B) = ±P(A,)PJB)

1=1

позволяет найти вероятность события

В,

которое может насту-

пить лишь совместно с одним из единственно возможных и не-

совместных

событий

Д. (i = 1,2,...,п).

3°.

Формула Байеса

Рв(А)

P(A,)PjB)

позволяет найти вероятность события В совместно

каким-то

одним событием

А^

из всех единственно возможных. События

4 называются гипотезами, вероятности которых следует опре-

делить.

5.1.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком

0,8,

вторым —

0,7.

Найти

вероятность

того,

что хотя бы

один из стрел-

ков

попал

мишень,

если

стрелки сделали по одному выстрелу.

174 Гпава 25

Решение. Вероятность попадания

мишень одним из стрел-

ков не зависит от результатов стрельбы другого, т. е. события

независимы.

Если обозначить Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,1, то вероятность

совместного попадания

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,56.

Отсюда по теореме сложения для совместных событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,94.

5.2. В первой урне содержится 20 шаров, из них

черных;

во второй урне 12 шаров, из них 9 черных. Из второй урны на-

удачу взяли и переложили в первую один шар. Найти вероят-

ность Р(В) того, что шар, наудачу извлеченный из первой урны,

будет черный.

Решение. Из второй урны мог быть извлечен либо черный

А^,

либо нечерный ^2 шар. Вероятности этих событий:

Р(А,) = ^;Р(А,) = ^.

4 4

Условная вероятность того, что из первой урны извлечен

черный шар, при условии, что из второй урны в первую был пе-

реложен черный шар, равна р^ (в)

—.

Условная вероятность того, что из первой урны извлечен

черный шар, при условии, что из второй урны в первую был пе-

реложен нечерный шар, равна

Р^

(В)

— =

—.

Отсюда по формуле полной вероятности

P(B) = P(A,)P,SB) + P(A,)P,^(B) = ^f^+^^ = ^.

5.3.

магазине имеется 4 радиоприемника. Вероятности того,

что радиоприемники вьщержат гарантийный срок службы, со-

ответственно, равны

0,8;

0,85;

0,9;

0,95.

Найти вероятность того,

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 175

ЧТО

купленный наудачу радиоприемник вьщержит гарантийный

срок службы.

Решение. Вероятности гарантийной работы радиоприемни-

ков,

соответственно, равны P(^i) = 0,8; P(v42) = 0,85;

Р(.4з) =

0,9;Р(Л)

= 0,9.

Поскольку вероятность купить тот или иной приемник рав-

на -, то по формуле полной вероятности имеем

Р = 0,8-

0,85~

0,9-+0,95^ = 0,875.

4 4 4 4

5.4. В

ящике имеется 10 белых и 12 черных шаров, во 2 -

12 белых и 10 черных. Из

ящика во 2 наудачу перекладывают

2 шара, затем из 2 наудачу берут один шар. Найти вероятность

того,

что он белый.

Решение. Имеет место три гипотезы:

Я,

— из

во 2 переложены 2 белых шара,

Н^ — из

во 2 —

белый и

черный шары,

Яз — из

во 2 — 2 черных шара.

уо2 г~%\ /^\ уо2

Lz-^o ^Tj ^у

Обозначим за А событие, что взятый из второй урны шар

белый, тогда

V 1^ 24 ^ '^ 24 ^ ' 24

По формуле полной вероятности

Р(^)

ХР(Я,).Р(^/Я,)

Д^) = ^^(1<о +

13С,'оС;,

12С,^,)

= 0,538.

176 Гпава 25

5.5.

По данным примера 5.4. определить вероятность того,

что из

ящика во 2 было переложено 2 белых шара, если изве-

стно,

что из 2 ящика после перекладывания был извлечен чер-

ный шар.

Решение. Если событие А — извлечение из 2 ящика белого

шара, то извлечение черного шара противоположное событие А.

Применительно к событию ^ и к гипотезе Н^ (перекладывание

2 белых шаров) формула Байеса имеет вид

' Р{А)

Р(1) =

1-Р(^)

= 0,462; Р(1/Я,) = ^,

т.к. после перекладывания 2 белых шаров во 2 ящике будет 14

белых и

черных шаров. Таким образом

- 1 Г^ 10

Р(Я/^) = —1—^—= 0,176.

0,462

Q^ 14

5.6. Детали изготовляются на трех станках. На 1 станке

вырабатывают 50% всех деталей, на 2 — 30% и на 3 — 20%.

Причем вероятность получения бракованной детали с

станка

равна

0,03;

со

—

0,02;

—

0,01.

Найти вероятность того, что

наудачу взятая со склада

деталь:

а) стандартная; б) стандартная

и изготовлена на

на 2; на

станке.

Решение, а) Обозначим за А^ появление детали с

станка;

^2 —

^—3.

Тогда P(.4j) = 0,5; Р(А^)=-0,3; Р(А,)

0,2,

Если через В обозначить соответствие детали стандарту, то

для отдельных станков имеем следующие условные вероятности

Р,Д5) = 0,97; Р,Д5) = 0,98; Р,Д5) = 0,99.

Искомая вероятность

того,

что наудачу взятая деталь стан-

дартна, по формуле полной вероятности равна

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 177

0,50,97

0,30,98

0,20,99

= 0,977.

б) Вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь

стандартная и изготовлена на каком-либо конкретном станке,

находится

по

формуле Байеса.

На первом станке

Р(А^)Р^{В) 0 50 97

РЛАЛ= ' ^' ^="'^ "-^ =0,4964.

* ' Р(В)

0,977

На втором станке

P.(,,)

^W^^ =

MA?5 =

o.3009.

^ Р{В)

0,977

На третьем станке

Р(А,)Р^{В) 0 20 99

Рв(А,)= ' = ' ' =0,2027.

' Р(В)

0,977

Правильность вычислений подтверждается

тем,

что

Р^,(.4,)

Рд(^2) +

^в(Л)

0'4964+0,3009

0,2027

25.6*

формула Бернулли* Биномиальное

распределение вероятностей

1°.

Ряд испытаний называют

независимым

относительно

со-

бытия А, если вероятность появления события А

каждом ис-

пытании

не

зависит от

исходов

других испытаний.

Вероятность появления события А при

независимых ис-

пытаниях ровно

раз находится

по

формуле Бернулли

Рт,п =СпР

Я ,

178

Гпава

где р — вероятность появления события А в каждом отдель-

ном испытании; q

l-p.

2°.

Вероятность того, что число т случаев появления собы-

тия А заключено в заданных границах между числами

т^

^ т^-,

либо меньше (не меньше) или больше

(не

больше) некоторого чис-

ла

т^

находится

из

биномиального распределения вероятностей

Р +Ч р q

+ C„

р q

-{-..,

C^pq +C„pq +q =1.

6.1.

Всхожесть семян данного растения составляет 80%.

Найти вероятность того, что из

посаженных семян взойдет 6.

Решение. Вероятность всхожести отдельного семени

/7 = 0,8. Отсюда ^ =

- р = 0,2. По формуле Бернулли

^68=QW"'=

0,8'-0,2'=0,17.

''' ' 6!(8-6)!

6.2. Вероятность поражения мишени в каждом отдельном

выстреле равна

0,9.

Чему равна вероятность того, что при 4 вы-

стрелах мишень будет поражена?

Решение. Вероятность

того,

что мишень будет не поражена

равна /J)4-

Рассматривая поражение мишени, как событие противопо-

ложное, будем иметь

Р(т>1) =

1-Ро4=1~9'=1"ОЛ'=0,9999.

6.3.

Найти вероятность того, что при п = 6 независимых

испытаниях событие

появится:

а) ровно

раз; б) не менее

раз;

в) не более т раз; г) хотя бы один раз; д) хотя бы два раза, зная,

что в каждом испытании вероятность появления события равна

0,7, а m = 4.

Решение, а) Вероятность

того,

что при

независимых испы-

таниях событие появится ровно

раз, находим по формуле Бер-

нулли

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Г79

Р4,в=СУд' =^0,7^0,3^ =0,324.

б) Вероятность того, что событие появится не менее 4 раз,

равна

Р(т > 4) = Р,, + Р,, + Р,, = С'Уд' + Clp'q + /.*= 0,744.

в)

Вероятность

того,

что событие появится не более

раз,

равна

Р(ш<4)

Р,,+/>,+Р,,+Рз,б+Аб=1-(^5,б+^б.б)

0,579^^^^

г) Вероятность того, что событие не появится, равна i^

6 •

Тогда

вероятность

того,

что событие появится хотя бы один

раз,

равна

Р(т>1) = 1-Ро, =1-^^=0,999271.

д) Вероятность

того,

что собьггие появится хотя бы два раза,

равна

P(m>2) =

l-(Po,,+/^_,)

= 0,989.

6.4. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выст-

релах равна

0,96.

Найти вероятность четырех попаданий при пяти

выстрелах.

Решение. Обозначим за р — вероятность попадания, а за

q — вероятность промаха при одном выстреле. Вероятность

промаха при двух выстрелах равна q^. Тогда вероятность хотя

бы одного попадания

1-^^=0,96.

Отсюда

^^=0,04;

^ = 0,2; р = 1-^ = 0,8.

Применяя формулу

Бернулли,

получим искомую вероятность

Р4,5=С>'^ = —0,8'0,2 = 0,2816.