Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

160 Гпава 25

Решение. Всего

урне

шаров.

Число

исходов,

благоприят-

ствующих появлению: а) черного шара

тогда по определению

п 4 1

вероятности Р = — = -;

12 3 3 1

б) красного шара 3, Р

— = -;

и) синего шара

О,

т.к. синих шаров нет и это событие невоз-

можное, Р = 0;

г) белого шара 5, Р = — .

1.3. Бросаются три игральные кости. Найти вероятность

того,

что на них выпадет по одинаковому числу очков.

Решение. Так как число граней на каждой кости равно 6, то

число всех возможных тройных групп п-в =216.

Обозначим за А событие, состоящее в том, что на всех гра-

нях выпадет по одинаковому числу очков. Число одинаковых

тройных групп (по 1, по

2,...)

равно m = 6. Отсюда

p(^b^

п 216 36*

1.4. На 7 одинаковых карточках написаны буквы: с, у, е, т,

н, д. Карточки перемешаны и разложены наугад в ряд. Найти

вероятность

того,

что:

а) при этом получится слово «студент»;

б) на пяти, разложенных по одной можно будет прочесть

слово «стенд».

Решение, а) Число всевозможных перестановок из 7 букв

равно

Р^

=1! Обозначим через А событие, состоящее в появле-

нии слова «студент». Этому событию благоприятствует лишь

один

исход.

Искомая вероятность равна отношению числа исхо-

дов,

благоприятствующих событию, к числу всех исходов

Р(^) = — = 0,0002.

б) В слове «стенд» 5 букв. Из 7 букв по 5 можно составить

А^

слов. Событию В, состоящему в появлении слова «стенд»,

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 161

благоприятствует лишь один

исход.

Отсюда искомая вероятность

Р(5) = -^ = 0,00039.

1.5. Среди 16 деталей, подвергаемых проверке, имеется 12

точных. Найти вероятность того, что из числа взятых наудачу 8

деталей 6 окажется без брака.

Решение. Общее число всех равновозможных выборок по 8

деталей из 16 равно числу сочетаний из 16 деталей по 8, т.

е.« = С\^. Число исходов, благоприятствующих интерисующе-

му нас событию, определяем следующим образом. Шесть стан-

дартных деталей из

можно взять С^2 способами, а оставшиеся

8-6=2

бракованные детали из 16-12=4 нестандартных можно

взять С\ способами. Следовательно, число выборок по 8, в ко-

торых 6 точных деталей сочетается с 2 бракованными, равно

произведению т =

С\^

•

€]•

Таким образом,

т _ Cf, »С] _ 28

Р = —=

Q 65

1.6.

партии

100

деталей, из них

бракованных. Наудачу

извлечено

деталей. Найти вероятность того, что среди извле-

ченных: а) нет бракованных; б) нет стандартных.

Решение, а) Общее число возможных исходов испытания

равно числу

способов,

которыми можно извлечь

деталей

из

100,

T.e.n = Cfoo.

Число исходов, благоприятствующих появлению

стандар-

тных деталей, равно числу сочетаний из 90 стандартных дета-

лей по 5, т. е.

= С^о.

Таким образом, вероятность того, что нет бракованных де-

талей, равна

Cfoo 5/85/ 100/

162 Гпава 25

б) Число исходов, благоприятствующих появлению 5 бра-

кованных

деталей,

равно числу способов, которыми можно ото-

брать

деталей из 10 бракованных, т. е.

= Cfo.

Таким образом, вероятность того, что среди отобранных

деталей нет стандартных, равна

С^ 10' 5^95'

р ^ ioo. = ju^ э^^уэ^ ^

0,00000334

С^ 5/5/ 100/

1.7. В партии из 15 изделий 10 первого и 5 второго сорта.

Берут наудачу 2 изделия. Найти вероятность того, что оба изде-

лия одного и того же сорта.

Решение. Обозначим зау4 событие, что оба изделия одного

и того же сорта. Найдем вероятность противоположного собы-

тия:

одно изделие первого, одно — второго сорта; общее число

исходов испытания п =

С^^,

число благоприятных для события

А исходов т =

С^^

•

С],

Р(А) =

10-5-2

1514

~21

тогда

Р(А) =

1-Р(А)

= —

1.8. Окружность радиуса R вписана

квадрат. Найти вероят-

ность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, окажется

внутри вписанного круга, если вероятность попадания точки в

круг пропорциональна площади круга.

Решение. Площадь круга S^ = nR^, а площадь квадрата

S^^

= 4R^. Отсюда

5..

4Л' 4-

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 163

25.2.

Алгебра событий

Суммой событий А-^В называется такое событие, которое

состоит в появлении или события А, или события Д или обоих

событий вместе.

Произведением событий АВ называется событие, которое

состоит в появлении обоих событий.

Разностью

событий

А-В называется событие, которое со-

стоит в появлении события А и непоявлении события В.

Аналогично определяется сумма и произведение несколь-

ких событий. Из приведенных определений для событий А,В,

С,

справедливы равенства

Л+В =В+Л; А+А^А; АВ--ВА;

А'А=А;

(А-^В)

С=А+(В+С); (АВ)С=А(ВС); (1)

А(В '\'С) = АВ + АС.

2.1.

Шар, вынутый наудачу из урны, может оказаться либо

белого цвета (событие А), либо черного (событие В), либо крас-

ного (событие С), Что означают собой следующие события:

а) А + В;б) А + В;в) АС;г) АС + В?

Решение, а) А + В — это событие, которое состоит в появ-

лении хотя бы одного из событий А или Д т. е. это либо белый,

либо черный шар.

б) Событие А + В — это событие, противоположное появ-

лению либо белого, либо черного шара, т. е. это событие С —

появление красного шара.

в) Событие АС —невозможное событие, т. к. один шар не

может быть и белым, и красным.

г) Событие АС + В — это сумма невозможного события и

события Д т. е. это событие В — появление черного шара.

2.2.

Доказать равенства:

а) А

-Ь

В -h С = AWC ; 6)Ал-В = АВ

164 Гпава 25

в) (А

В)(В'^ С) (А + С) = АВ

ВС

АС.

т)

А'\-(В-

АС) + (С - АС) = ^ + 5 + С

Решение, а) Если произошло событие ^ + 5 + С, то это оз-

начает, что ни одно из событий А, В, С не наступило, т. е. про-

изошло событие ABC,

б) Событие А + В означает, что ни одного из событий А и

В не произошло, т. е. произошло событие АВ или АВ.

в) Для доказательства равенства формально перемножим

скобки, учитывая выражения (1)

(AB+AC+B-^BCjfA-^-C) = АВС+АС+ВС+ВС+АВ-^АС+

^АВ-^АВС

ABC -^АВ

ВС

АС^АВ +

ВС-^АС,

т.к. событие ^5С—невозможное.

г) Рассмотрим сначала сумму А + (В - АС), которая пред-

полагает появление события или А или события В - АС, кото-

рое состоит в появлении события В и непоявлении события А С

Отсюда следует, что А

(В - АС) = А-\- В. Рассмотрим теперь

событие Ал- В -\-(С - АС), которое предполагает появление или

события А или

JB,

ИЛИ

С-АС. Последнее предполагает появле-

ние

события Си непоявление события АС. Таким образом, окон-

чательно имеем событие Ал- В+ С, что и требовалось доказать.

2.3.

Упростить выражения:

а) АВ + В; б) АВ-^(А-В) Л-(В - А);

в) (А + В)(А + В); г) (А + В)В + (АВ)В,

Решение, а) Событие АВ

л-

В предполагает появление либо

А и

В,

либо В, поскольку событие АВ — невозможное событие,

то

АВл-В = В.

б) Появление события либо АВ, либо А-В, либо В-А озна-

чает, что событие АВ

—

невозможное событие. А-В

—

событие

А появилось, а событие В не появилось, В-А — событие В по-

явилось, а событие

У1

не появилось. Таким образом, имеем

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 165

АВл-{А-В)^{В-А)^А^В^

в) Рассматриваемое событие состоит в появлении (либо

А^

либо В) и (либо не А, либо В). Поскольку появление Aunt А

события взаимоисключающие, то(А

В)(А + В) = В,

г) Воспользуемся выражениями

(1),

тогда будем иметь

АВ^ВВ^А(ВВ) =АВ-^В + АВ = В

т.к. событие ^5—невозможное.

25.3.

Теорема сложения вероятностей

несовместных событий

Вероятность появления одного из нескольких несовместных

событий, безразлично какого именно, равна сумме вероятнос-

тей этих событий. Для двух событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для

несовместных событий появление одного из них опре-

деляется по формуле

р(4+4+...+4,)=Д4)+Д4)+-+Д4)-

Сумма вероятностей несовместных событий ^j,£"2,...£'„,

образующих полную систему событий, равна единице

3.1.

в урне 24 шара. Из них 12 белых,

зеленых и 4 желтых.

Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Вероятность появления зеленого шара

Вероятность появления желтого шара

Р{В) =

—

= —.

Появление цветного шара означает появление или зелено-

го,

или желтого шара. Поскольку события несовместны, то по

166 Гпава 25

теореме сложения вероятностей

Р{А + В) = Р{А) + Р{В) =

и^

)-.

5 Ь 1

3.2. События А, В,

CvL

D образуют полную систему собы-

тий. Вероятности событий таковы: Р(у4) = 0,4; Р(5) = 0,3;

Р{С) =

0,1.

Найти вероятность события D.

Решение. Поскольку события А, В, С и D образуют пол-

ную систему событий, то сумма вероятностей

Р(А) + Р(В) + Р(С) + P(D) = 1,

откуда

P{D) =

- (Р(А) + Р(В) + Д С)) =

1-(0,4

0,3 + 0,1) = 0,2.

3.3.

в урне 7 белых и 3 черных шара. Найти вероятность

того,

что в наудачу вынутых 2 шарах окажется: а) хотя бы один

белый шар; б) не более одного черного шара.

Решение, а) Событие, что среди извлеченных шаров есть

хотя бы один белый, обозначим через А, а что нет ни одного бе-

лого шара через А . Тогда Р(А)

= 1

- Р(А).

Общее число способов, которыми можно извлечь

шара из

п = 7+3 =

шаров, равно

С^^.

Извлечь

черных из

можно С^

способами. Отсюда вероятность того, что среди извлеченных 2

шаров нет ни одного белого, равна Р(А) =

С^

I Cf

гность

PiA) =

l-C',/Cf,=

10-

Искомая вероятность

15'

б) За А обозначим событие

того,

что нет ни одного черного

шара, а за В, что есть один черный шар.

Отсюда по теореме сложения вероятностей

PiA

B) = PiA) + PiB) =

C^/Cf,

+ -ClC},/C^,=j^+-^=^^.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 167

25.4. Теорема умножения вероятностей

V. Вероятность появления события В при условии, что со-

бытие А уже произошло, называется условной и обозначается

Вероятность совместного появления двух событий равна

произведению вероятности первого события на условную веро-

ятность второго, вычисленную в предположении, что первое со-

бытие имело место

Р(АВ) = Р{А)Р,(В).

Для независимых событий теорема умножения имеет вид

Р{АВ) = Р{А)Р{ВУ

2°.

Теорема умножения вероятностей обобщается на случай

трех, четырех и т. д. событий. Для зависимых событий имеют

место формулы

Р(АВС) = Р(А)Р,{В)Р,,{С);

P(ABCD) = Р{А)РАВ)Р,,{С)Р,,,(ПУ

Соответственно, для независимых событий

Р{АВС) = Р{А)Р{В)Р(С);

P(ABCD) = Р(А)Р{В)Р(С)Р(ВУ

3^.

Вероятность появления хотя бы одного события, если все

п событий имеют одинаковую вероятность, равную/?, определя-

ется по формуле

P(A) = l-q\ где д = 1-р.

Если независимые события Д,

^2'

•••>

Л имеют вероятности

/{,

/^,..., /^, то вероятность появления хотя бы одного из них рав-

на разности между единицей и произведением вероятностей

Противоположных собыгий

168 Гпава 25

4.1.

Найти

вероятность двукратного извлечения белого шара

из урны, в которой из

шаров имеется 5 белых, если: а) выну-

тый шар возвращается обратно в урну; б) вынутый шар в урну

не возвращается.

Решение, а) Обозначим появление белого шара первый раз

через ^, а второй раз через

В.

Тогда вероятности событий AviB

равны

Поскольку события

AVLB

независимы, то

Р{АВ) = Р{А)Р{В) = ^.

1 4 2

б) События АиВ зависимы и

Р(А) =

-, а

^.<(^) =

7Т~^-

3 14 7

Отсюда

P{AB) = PiA)PAB) =

j-^.

4.2.

Рабочий обслуживает три

станка.

Вероятность остановки

на протяжении одного часа для

станка составляет 0,2; для 2 -

0,1

для

0,15.

Найти вероятность бесперебойной работы всех

трех станков в течение одного часа.

Решение. Обозначим вероятность остановки станков:

Ях

0,2;

0,1

и ^3 =

0,15.

Тогда вероятности бесперебойной рабо-

ты,

как события противоположные, будут, соответственно, рав-

ны р^ =

0,8;

Р2

= 0,9 и Рз

0,85.

Поскольку работа одного станка

не зависит от работы других станков, то следует воспользовать-

ся теоремой умножения для независимых событий

^ = Pi^A=0.80,90,85 = 0,612.

4.3.

Из урны, в которой

белых, 6 красных и 4 синих шара,

последовательно извлекается три шара. Найти вероятность того,

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1l69

ЧТО первый шар белый, второй красный и третий синий, если

шары обратно в урну не возвращаются.

Решение. В урне всего 18 шаров. Вероятность появления

8 4

белого шара

Р{А) = — =

--.

1о 9

Вероятность появления красного шара при

условии,

что пер-

вый шар был белый, равна

РА{Щ

- —•

Вероятность появления синего шара при условии,

что первый шар был белый, а второй красный, равна

16 4

Отсюда по теореме умножения

Р{АВС) = P(A)PAB)P,,iQ = ^^\ = ^-

4.4.

Найти вероятность того, что наудачу взятое трехзнач-

ное число содержит только одну цифру, кратную трем.

Решение. Обозначим появление цифры, кратной трем, на

месте сотен через А, на месте десятков — Д на месте единиц

—

По условию задачи нас интересуют исходы ABC, ABC и

ABC. Поскольку нас устраивает любой исход, то по теореме

сложения вероятностей имеем

Р = Р{АВС) + Р(АВС) +

Р{АВСУ

Так как события независимы, то по теореме умножения

вероятностей

Р = Р(А)Р(В)Р(С) + Р(А)Р{В)Р{С) + Р(А)Р(В)Р(С).

Появлению события А благоприятствует

исхода из 9

Р(А) = ^; Р(А) = ^.

Появлению события В и С благоприятствует 3 исхода

из 10